www.facebook.com/toihoctoan
Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x KINH NGHIỆM VỀ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA cos2x Vì 2 2 2 2 cos2 os sin 2cos 1 1 2sinx c x x x x = − = − = − . Vì vậy khi gặp phương trình lượng giác có chứa 2 2 2 2 cos 2 os sin cos sinx c x x x x ∨ − ∨ ∨ ta gọi chung là dạng phương trình có chứa os2c x . ▼Chú ý: Đối với các phương trình có chứa cos2x và sinx hoặc cos2x và cosx ta có cách giải quen thuộc như sau: • 2 cos2 sin 0 (1 2sin ) sin 0a x b x c a x b x c+ + = ⇔ − + + = 2 2 sin sin 0a x b x c a⇔ − − − = (Phương trình bậc 2 theo sinx) • 2 cos2 os 0 (2 os 1) sin 0a x bc x c a c x b x c+ + = ⇔ − + + = 2 2 cos sin 0a x b x c a⇔ + + − = (Phương trình bậc 2 theo cosx) TRƯỜNG HỢP 1): Phương trình có chứa os2c x và đồng thời có chứa sinx, cosx Cách giải: Biến đổi cos2x thích hợp để đưa về phương tình tích. Ví dụ và nhận xét: Ví dụ 1): Giải phương trình: cos2 2cos 4sin 3 0x x x− − − = (1) Giải: (1) 2 2 os sin 2cos 4sin 3 0c x x x x⇔ − − − − = 2 2 2 2 ( os 2cos 1) (sin 4sin 4) 0 (cos 1) (sinx 2) 0c x x x x x⇔ − + − + + = ⇔ − − + = (cos sin 3)(cos sinx 1) 0 (cos sin 1) 0 2 os 1 4 x x x x x c x π ⇔ − − + + = ⇔ + + = ⇔ − = − ÷ 3 2 2 3 4 4 os os 3 4 4 2 2 2 4 4 x k x k c x c x k x k π π π π π π π π π π π π = + − = + ⇔ − = ⇔ ⇔ ÷ = − + − = − + • Nhận xét: Đã biến đổi 2 2 cos2 os sinx c x x= − , sau đó nhóm các hạng tử để được các tam thức bậc hai theo cosx , theo sinx. Sử dụng hằng đẳng thức: a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) để phân tích thành tích. Ví dụ 2): Giải phương trình: 2 2cos 4cos 2sin 2 0x x x+ + + = (2) Giải: (2) 2 2 1 os2 4cos 2sin 2 0 os sin 4cos 2sin 3 0c x x x c x x x x⇔ + + + + = ⇔ − + + + = 2 2 2 2 ( os 4cos 4) (sin 2sin 1) 0 (cos 2) (sinx 1) 0c x x x x x⇔ + + − − + = ⇔ + − − = 1 Nguyễn Công Mậu Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x (cos sinx 1)(cos sinx 3) 0 (cos sinx 1) 0 2 cos 1 4 x x x x π ⇔ + + − + = ⇔ + + = ⇔ − = − ÷ 3 2 2 3 4 4 cos os 3 4 4 2 2 2 4 4 x k x k x c x k x k π π π π π π π π π π π π = + − = + ⇔ − = ⇔ ⇔ ÷ = − + − = − + • Nhận xét: Đã biến đổi 2 2 2 2cos 1 os2 1 os sinx c x c x x= + = + − , sau đó nhóm các hạng tử để được các tam thức bậc hai theo cosx , theo sinx. Sử dụng hằng đẳng thức: a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) để phân tích thành tích. Ví dụ 3): Giải phương trình: 2 cos 3sin 1 2sinx x x+ = + (3) Giải: (3) 2 2 cos 3sin 1 1 os2 os sin cos 3sin 2 0x x c x c x x x x⇔ + = + − ⇔ − + + − = 2 2 2 2 1 9 1 3 os cos sin 3sin 0 cos sin 0 4 4 2 2 c x x x x x x ⇔ + + − − + = ⇔ + − − = ÷ ÷ ÷ ÷ (cos sinx 1)(cos sin 2) 0 cos sinx 1 0 os 1 4 x x x x c x π ⇔ + − − + = ⇔ + − = ⇔ − = ÷ 2 2 4 4 cos os 2 4 4 2 2 4 4 x k x k x c x k x k π π π π π π π π π π π − = + = + ⇔ − = ⇔ ⇔ ÷ = − = − + • Nhận xét: Đã biến đổi: 2 2 2 2sin 1 os2 1 ( os sin )x c x c x x= − = − − , sau đó cũng làm như hai nhận xét ở 2 ví dụ trên. Ví dụ 4): Giải phương trình: 3 2sin sin sinx 2cos 0 2 2 x x x− − = (4) Giải: (4) 2 2 cos os2 sinx 2cos 0 cos sin cos sin 0x c x x x x x x⇔ − − − = ⇔ − + + = (cos sin )(cos sin ) (cos sin ) 0x x x x x x⇔ + − + + = (cos sin )(cos sin 1) 0x x x x⇔ + − + = cos sin 0 (4.1) cos sin 1 0 (4.2)x x x x⇔ + = ∨ − + = + Phương trình (4.1) 3 2 os 0 4 4 2 4 c x x k x k π π π π π π ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = + ÷ + Phương trình (4.2) 2 3 2 os 1 os os os 4 4 2 4 4 c x c x c x c π π π π ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ + = ÷ ÷ ÷ 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 2 x k x k x k x k π π π π π π π π π π ⇔ + = + ∨ + = − + ⇔ = + ∨ = − + Kết luận phương trình (4) có ba nghiệm là: 3 4 x k π π = + ; 2 ; 2 2 x k x k π π π π = + = − + • Nhận xét: Đã biến đổi: 3 2sin sin cos os2 2 2 x x x c x= − , tiếp theo biến đổi: 2 Nguyễn Công Mậu Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x 2 2 os2 os sinc x c x x= − , sau đó nhóm hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung rồi biến đổi về phương trình tích. ▼Nhận xét chung: Ở 4 ví dụ trên ta thấy có một đặc điểm chung đó là: Biến đổi đại lượng liên quan đến cos2x về cos 2 x – sin 2 x rồi sau đó nhóm hạng tử thích hợp để đua về phương trình tích. Việc biến đổi thích hợp cos2x ở đây là: cos2x = cos 2 x – sin 2 x TRƯỜNG HỢP 2): Phương trình có chứa os2c x và đồng thời có chứa sinx, cosx ngoài ra còn chứa thêm một vài hàng tử khác lượng giác khác. Cách giải: Biến đổi cos2x thích hợp để đưa về phương tình tích. Ví dụ và nhận xét: Ví dụ 5): Giải phương trình: 3 sin 2 os2 3 sin 5cos 3x c x x x+ = + − (5) Giải: (5) 2 (2 3 sin cos 3sin ) (2 os 5cos 2) 0x x x c x x⇔ − + − + = 3 sin (2cos 1) (cos 2)(2 os 1) 0x x x c x⇔ − + − − = (2 os 1)( 3 sin cos 2) 0c x x x⇔ − + − = 1 3 1 2 os 1 0 3 sin cos 2 0 os sin cos 1 2 2 2 c x x x c x x x⇔ − = ∨ + − = ⇔ = ∨ + = 2 sin 1 2 2 3 6 3 6 2 x k x x k x k π π π π π π π π ⇔ = ± + ∨ + = ⇔ = ± + ∨ + = + ÷ 2 2 2 3 3 3 x k x k x k π π π π π π ⇔ = ± + ∨ = + ⇔ = ± + Đáp số: 2 3 x k π π = ± + , ( )k Z∈ • Nhận xét: Đã biến đổi: 2 os2 2cos 1c x x= − để tạo ra tam thức bậc hai theo cosx và dễ dàng nhẩm nghiệm và phân tích thành tích đó là tam thức: 2 (2 os 5cos 2) (cos 1)(2cos 1)c x x x x− + = − − . Các hạng tử còn lại trong PT là: 3 sin 2 & 3sinx x được nhóm lại và biến đổi thành tích: (2 3 sin cos 3 sin ) 3 sin (2cos 1)x x x x x− = − Khi đó trong phương trình có hai hạng tử và giữa chúng có nhân tử chung là ( 2cos 1x − ) nên ta tiếp tục biến đổi thành phương trình tích. • Nhận xét: Nếu biến đổi 2 os2 1 2sinc x x= − thì ta thu được phương trình: 2 2sin 3 sin 2 3 sin 5cos 4 0x x x x− + + − = . Ta nhóm lại tam thức bậc hai theo sinx thì không thể biến đổi tiếp thành phương trình tích. Ví dụ 6): Giải phương trình: sin 3cos os2 sin 2 2x x c x x + = + + (6) Giải: (6) 2 2 2 os 1 2sin cos sin 3cos 0 (2 os 3cos 1) (2sin cos sin ) 0c x x x x x c x x x x x ⇔ + + − − = ⇔ − + + − = (cos 1)(2 os 1) sin (2cos 1) 0 (2 os 1)(cos sin 1) 0x c x x x c x x x⇔ − − + − = ⇔ − + − = 3 Nguyễn Công Mậu Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x 1 2 2 os 1 0 cos sin 1 os cos 2 4 2 c x x x c x x π ⇔ − = ∨ + = ⇔ = ∨ − = ÷ 2 2 2 2 2 3 4 4 3 2 x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π ⇔ = ± + ∨ − = ± + ⇔ = ± + ∨ = + ∨ = Đáp số: 2 ; 2 ; 2 3 2 x k x k x k π π π π π = ± + = + = , ( )k Z∈ • Nhận xét: Ở ví dụ 6) ta cũng có nhận xét như ở ví dụ 5) • Nhận xét: Nếu ta biểu diễn 2 os2 1 2sinc x x= − và tạo ra một tam thức bậc hai theo sinx thì xem kết quả như thế nào ! 2 2 (6) sin 3cos 1 2sin 2sin cos 2 (2sin sin 3) (3cos 2sin cos ) 0x x x x x x x x x x ⇔ + = − + + ⇔ + − + − = (sin 1)(2sin 3) cos (2sin 3) 0x x x x⇔ − + − − = . Ta thấy phương trình này không biến đổi được về phương trình tích. Ví dụ 7): Giải phương trình: os2 sin 2 3sin cos 1 0c x x x x − + − + = (7) Giải: (7) 2 2 1 2sin 2sin cos 3sin cos 1 0 (2sin 3sin 2) cos (2sin 1) 0x x x x x x x x x ⇔ − − + − + = ⇔ − − + + = (2sin 1)(sin 2) cos (2sin 1) 0 (2sin 1)(sin cos 2) 0x x x x x x x⇔ + − + + = ⇔ + + − = 1 7 2sin 1 0 sin sin 2 2 2 6 6 6 x x x k x k π π π π π ⇔ + = ⇔ = − = − ⇔ = − + ∨ = + ÷ ( do sin cos 2 sin 2 2 sin cos 2 0 4 x x x x x π + = + ≤ < ⇒ + − < ÷ ) • Nhận xét: Ta đã biểu diễn 2 os2 1 2sinc x x= − và tạo ra một tam thức bậc hai theo sinx, đó là: 2 (2sin 3sin 2)x x− − , tam thức này dễ dàng nhẩm nghiêm và phân tích được thành tích: (2sin 1)(sin 2)x x+ − và nhóm các hạng tử còn lại để biến đổi thành tích là: cos (2sin 1)x x + , sau đó biến đổi được thành phương trình tích. • Nhận xét: Nếu biến đổi 2 os2 2cos 1c x x= − thì ta thu được phương trình: 2 2 os sin 2 3sin cos 0c x x x x− + − = thì phương trình này không thể biến đổi tiếp thành phươg trình tích. TÓM TẮT: 1) Khi phương trình lượng giác có chứa cos2x và cosx, sinx thì ta biến đổi: cos2x = cos 2 x – sin 2 x, sau đó nhóm thành hai nhóm, một nhóm theo tam thức bậc hai cosx và một nhóm theo tam thức bậc hai sinx, mỗi nhóm này đều có dạng bình phương của tổng hoặc hiệu của nhị thức. Tiếp tục biến đổi thành tích dựa vào hằng đẳng thức: A 2 – B 2 = (A – B)(A+B), ta thu được phương trình tích. 2) Khi phương trình lượng giác có chứa cos2x, cosx, sinx và một hạng tử lượng giác khác (thường là sin2x) thì ta biến đổi: cos2x = 2cos 2 x -1 hoặc 4 Nguyễn Công Mậu Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x biến đổi cos2x = 1 – 2sin 2 x, sau đó nhóm một tam thức bậc hai theo cosx (hoặc một tam thức bậc hai theo sinx) với điều kiện là sau khi phân tích nhóm tam thức bậc hai đó thành tích và hai hạng tử còn lại biến đổi thành tích thì giữa chúng phải có nhân tử chung. ►Chú ý: Nếu biến đổi cos2x = 2cos 2 x -1 (hoặc cos2x = 1 – 2sin 2 x) mà không biến đổi được thành phương trình tích thì ta thay đổi lại cách biến đổi cos2x = 1 – 2sin 2 x (hoặc cos2x = 2cos 2 x -1) 5 Nguyễn Công Mậu . Kinh nghiệm về cách giải phương trình lượng giác có chứa cos2x KINH NGHIỆM VỀ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CHỨA cos2x Vì 2 2 2 2 cos2 os sin 2cos. sin sinx 2cos 0 2 2 x x x− − = (4) Giải: (4) 2 2 cos os2 sinx 2cos 0 cos sin cos sin 0x c x x x x x x⇔ − − − = ⇔ − + + = (cos sin )(cos sin ) (cos sin )