de thi pt luong giac co loi giai

Trang 1

TUYỂN TẬP 40 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1.Giải phương trình : sin 2x+

√

3 cos 2x sin2x−3cos2x =1.

Chuyên Lê Quý Đôn – BÌNH ĐỊNH lần 1

Hướng dẫn.Phương trình⇔sin 2x+√

3 cos 2x=sin2x−3cos2x

⇔sin 2x+√

3 2cos2x−1

=sin2x−3cos2x

⇔2 tan x+√

3

2− 1 cos2x

=tan2x−3

⇔2 tan x+√

3 2−1−tan2x

=tan2x−3

⇔1+√

3tan2x−2 tan x−3−√3 =0

Bài 2.Giải phương trình :

2 cos 2x−sin 2x−1 sin x+cos x −1=2 sin

2x−π 6

+sin x+cos x

Hướng dẫn.Phương trình

⇔ 2 cos 2x− (1+sin 2x)

sin x+cos x −1=2

h sin 2x cosπ

6 −sin

π

6 cos 2x

i +sin x+cos x

⇔ [2(cos x−sin x) − (sin x+cos x)] −1 =√

3 sin 2x−cos 2x+sin x+cos x

⇔ −1−4 sin x=√

3 sin 2x−cos 2x

⇔ −2sin2x−4 sin x=√

3 sin 2x

Trang 2

Bài 3.Giải phương trình : cos 2x+√

3 cos x+5 sin x=√

3 sin 2x+3

Hướng dẫn.Phương trình⇔cos 2x+5 sin x−3=√

3 sin 2x−√3 cos x

⇔ −2sin2x+5 sin x−2=√

3 sin 2x−√3 cos x

⇔ −2(sin x−2)

sin x−1

2

=√

3 cos x(2 sin x−1)

⇔ − (sin x−2) (2 sin x−1) = √3 cos x(2 sin x−1)

Bài 4.Giải phương trình : cot x

2 −

1+cos 3x sin 2x−sin x =2 sin

3x+π 3

Hướng dẫn.Ta có

cos x 2 sin x 2

− 1+cos 3x sin x(2 cos x−1)

=

2 cos x

2cos

x

2(2 cos x−1) − (1+cos 3x) sin x(2 cos x−1)

= (1+cos x) (2 cos x−1) − (1+cos 3x)

sin x(2 cos x−1)

= 2cos2x−1+cos x− (1+cos 3x)

sin x(2 cos x−1)

= cos 2x+cos x−1−cos 3x

sin x(2 cos x−1) =

(cos 2x−1) + (cos x−cos 3x)

sin x(2 cos x−1)

= −2sin2x+2 sin 2x sin x

sin x(2 cos x−1) =

2 sin x(sin 2x−sin x) sin x(2 cos x−1) =2 sin x.

Bài 5.Giải phương trình : 7 tan x+cot x =2

3√3+ 1

sin 2x

Quốc học - QUY NHƠN lần 1

Hướng dẫn.Phương trình⇔7sin x

cos x +

cos x sin x =2

3√3+ 1

sin 2x

⇔14sin2x+2cos2x=6√3 sin 2x+2

⇔12sin2x=6√3 sin 2x

Trang 3

Bài 6.Giải phương trình : sin22x+1

4sin

2x =sin 2xsin2x

Quốc học - QUY NHƠN lần 2

Hướng dẫn.Phương trình⇔sin2x

4cos2x+1

4−sin 2x

=0

⇔sin2x

4.1+cos 2x

1

4−sin 2x

=0

Bài 7.Giải phương trình : 4 cos x−2 sin x−cos 2x=3

Chuyên Phan Bội Châu – NGHỆ AN lần 1

Hướng dẫn.Phương trình⇔4 cos x−2 sin x− cos2x−sin2x

−3=0

⇔ (sin x+cos x−3) (sin x−cos x+1) = 0

Trang 4

Bài 8.Giải phương trình :√3(sin 2x+sin x) −cos 2x+cos x−4=0.

Hướng dẫn.Phương trình⇔√3 sin 2x−cos 2x+√

3 sin x+cos x=4

Bài 9.Giải phương trình : cos3x

2 cos

x

2 +

√ 3sin2x

2 +

π

4

=√ 3cos2x+ π

4

Hướng dẫn.Ph.trình⇔cos 3x

2 cos

x

2 +

√ 3sin2x

2 +

π

4

−√3cos2x+π

4

=0

⇔ 1

2(cos 2x+cos x) +

√ 3







1−cosx+π

2

1+cos2x+ π

2





 =0

⇔ 1

2(cos 2x+cos x) +

√ 3

2 (sin x+sin 2x) =0.

Bài 10.Giải phương trình : 3(cot x+cos x)

cot x−cos x =2(1+sin x).

Chuyên Nguyễn Huệ - HÀ NỘI lần 1

Hướng dẫn.Phương trình⇔ 3 cos x(1+sin x)

cos x(1−sin x) =2(1+sin x).

Trang 5

Bài 11.Giải phương trình : cos

3x−cos2x sin x+cos x =2(1+sin x).

Hướng dẫn.Phương trình⇔ 1−sin2x

(cos x−1) =2(1+sin x) (sin x+cos x)

⇔ (1+sin x) (1+cos x+sin x+sin x cos x) =0

⇔ (1+sin x) (1+cos x) (1+sin x) =0

Bài 12.Giải phương trình : 2 cos 6x+2 cos 4x−√3 cos 2x=sin 2x+√

3

Hướng dẫn.Phương trình⇔4 cos 5x cos x =2 sin x cos x+2√3cos2x

⇔ cos x =0

2 cos 5x =sin x+√

3 cos x

Bài 13.Giải phương trình : 3cot2x+2√2sin2x=2+3√2cos x

Hướng dẫn.Phương trình⇔3 cos x cos x

sin2x −

√ 2

=2cos x−√2sin2x

⇔cos x−√2sin2x 3 cos x−2sin2x

=0

Bài 14.Giải phương trình : sin 7x+sin 9x=2hcos2π

4 −x

−cos2π

4 +2x

i

Chuyên ĐHSP - HÀ NỘI lần 1

Hướng dẫn.Phương trình⇔sin 7x+sin 9x=cosπ

2 −2x

−cosπ

2 +4x

⇔sin 7x+sin 9x=sin 2x+sin 4x

⇔sin 8x cos x=sin 3x cos x

Trang 6

Bài 15.Giải phương trình : cos 3x−2 sin 2x−cos x−sin x−1=0.

Hướng dẫn.Phương trình⇔4cos3x−3 cos x−4 sin x cos x−cos x−sin x−1 =0

⇔4cos3x−4 sin x cos x−4 cos x−sin x−1=0

⇔4 1−sin2x cos x−4 sin x cos x−4 cos x−sin x−1=0

⇔4 1−sin2x cos x−4 cos x(sin x+1) − (sin x+1) = 0

⇔ (sin x+1) [4(1−sin x)cos x−4 cos x−1] =0

⇔ (sin x+1) (−2 sin 2x−1) =0

1 cos2x −

cos x+sin x tan x

2

=

sinx−π

6

+cosπ

3 −x

cos2x −



cos x+sin x

sin x 2 cos x 2



=

sinx−π

6

+sinπ

6 +x

cos x

cos2x −

cos x+2sin2x

2

=

2 sin x cos π

6 cos x

⇔1+tan2x−1−2sin2x

2 +2sin

2x 2

=√

3 tan x

⇔tan2x−√3 tan x =0

Bài 17.Giải phương trình : 1

cos2x −

1 sin2x =

8

3cot

x+π 3

cotπ

3 −x

Hướng dẫn.Phương trình⇔ 1

cos2x −

1 sin2x =

8 3

⇔3sin2x−3cos2x=8sin2xcos2x

⇔ −3 cos 2x=2sin22x

⇔ −3 cos 2x=2 1−cos22x

⇔2cos22x−3 cos 2x−2 =0

Trang 7

Bài 18.Giải phương trình : 1+sin x+cos x=2 cosx

2 −

π

4

Hướng dẫn.Phương trình⇔sin x

2 +cos

x 2

2

+cos2x

2 −sin

2x

2 =2 cos

x

2 −

π

4

⇔sinx

2 +cos

x 2

sinx

2 +cos

x

2 +cos

x

2 −sin

x 2

=2 cosx

2 −

π

4

⇔sinx

2 +cos

x 2

2 cos x

2 =2 cos

x

2 −

π

4

⇔cosx

2 −

π

4

√2 cos x

2 −1

=0

Bài 19*.Giải phương trình : tan23x tan 5x+2 tan 3x−tan 5x =0

Hướng dẫn.Phương trình⇔tan23x tan 5x+tan 3x− (tan 5x−tan 3x) =0

⇔tan 3x(tan 3x tan 5x+1) − (tan 5x−tan 3x) = 0

⇔ sin 3x

cos 3x

sin 3x cos 3x

sin 5x cos 5x+1

− sin 5x cos 5x−

sin 3x cos 3x

=0

⇔ sin 3x

cos 3xcos 2x−sin 2x=0

⇔sin 3x cos 2x−sin 2x cos 3x=0

3sin2x cos 3π

2 +x

−sin2π

2 +x

cos x=sin xcos2x−3sin2x cos x

Hướng dẫn.Phương trình⇔3sin3x−cos3x =sin xcos2x−3sin2x cos x

⇔3sin3x+3sin2x cos x−cos3x−sin xcos2x =0

⇔3sin2x(sin x+cos x) −cos2x(cos x+sin x) =0

4 sin x sinπ

3 +x

sinπ

3 −x

+4√3 cos x cos 2π

3 +x

cos 4π

3 +x

=2

⇔2 sin x

cos 2x−cos2π

3

+2√3 cos x

cos 2x+cos2π

3

=2

⇔2 sin x cos 2x+sin x+2√3 cos x cos 2x−√3 cos x =2

Trang 8

⇔ (sin 3x−sin x) +sin x+√

3(cos 3x+cos x) −√3 cos x=2

⇔sin 3x+√

3 cos 3x=2

Bài 22.Giải phương trình : cosπ

3 +3x

+cos 2π

3 −4x

+cos x=1

ĐH Quốc Gia - HÀ NỘI lần 1

Hướng dẫn.Phương trình⇔cosπ

3 +3x

+cos 2π

3 −4x

=1−cos x

⇔2 cosπ

2 −

x 2

cos 7x

2 −

π

6

=2sin2x

2

⇔2 sinx

2cos

7x

2 −

π

6

=2sin2x

2.

Bài 23**.Giải phương trình : 1+4 cos x cos 3x=tan 5x

Hướng dẫn.Phương trình⇔1+2 cos 4x+2 cos 2x=tan 5x

⇔ sin 5x

sin x =

sin 5x cos 5x

⇔ sin 5x=0

sin x=cos 5x

Bài 24*.Giải phương trình : sin x+1= 3 cos 2x−5

2 cos x−4 .

Hướng dẫn.Phương trình⇔ (sin x+1) (2 cos x−4) = (3 cos 2x−5)

⇔2 sin x cos x−3 cos 2x+2 cos x−4 sin x+1=0

⇔sin x cos x+2sin2x−cos2x+ (cos x−2 sin x) =0

⇔ (2 sin x−cos x) (sin x+cos x−1) =0

Trang 9

Bài 25.Giải phương trình : 2cos3x =2 cos x+2 tan 2x+sin x sin 2x.

Hướng dẫn.Phương trình⇔cos3x =cos x+tan 2x+sin2x cos x

⇔cos x−cos3x+ sin 2x

cos 2x +sin

2x cos x=0

⇔sin2x cos x+ sin 2x

cos 2x +sin

2x cos x =0

⇔sin x cos x

sin x+ 1

cos 2x

=0

Bài 26.Giải phương trình : cos x+sin

3x sin x−sin2x =1+sin x+cot x.

Chuyên – Đại học VINH lần 1

Hướng dẫn.Phương trình⇔ cos x+sin

3x sin x(1−sin x) =1+sin x+cot x

⇔cos x+sin3x = (1+sin x) (1−sin x)sin x+cos x(1−sin x)

⇔cos x+sin3x =cos2x sin x+cos x−cos x sin x

⇔sin x sin2x−cos2x+sin x cos x

=0

⇔ sin x=0

sin2x−cos2x+sin x cos x =0

⇔

"

sin x=0 cos 2x= 1

2sin 2x

⇔ sin x =0 tan x=2

Trang 10

Bài 27.Giải phương trình : tan x cos 3x+2 cos 2x−1

1−2 sin x =

√

3(sin 2x+cos x)

Hướng dẫn.Ta có : sin x cos 3x+cos x(2 cos 2x−1)

cos x(1−2 sin x)

=

1

2(sin 4x−sin 2x) +cos x(2 cos 2x−1)

cos x(1−2 sin x)

=

1

2sin 2x(2 cos 2x−1) +cos x(2 cos 2x−1)

cos x(1−2 sin x)

= (2 cos 2x−1) (sin x cos x+cos x)

cos x(1−2 sin x) =

(2 cos 2x−1) (sin x+1) (1−2 sin x) . Khi đó phương trình

⇔ (2 cos 2x−1) (sin x+1) = √3(sin 2x+cos x) (1−2 sin x)

⇔ (2 cos 2x−1) (sin x+1) = √3 cos x 1−4sin2x

⇔ (2 cos 2x−1)sin x+1−√3 cos x=0

Bài 28*.Giải phương trình :p2(1−sin 2x)sin

x+3π

4

+cos 2x =0

Hướng dẫn.Phương trình⇔p2(1−sin 2x)√1

2(cos x−sin x) +cos

2x−sin2x =0

⇔ (cos x−sin x) √1−sin 2x+cos x+sin x

=0

(sin x+cos x)2−2sin2x

1+cot2x =

√ 2 2

sinπ

4 −x

−sinπ

4 −3x

Chuyên Nguyễn Quang Diêu – ĐỒNG THÁP lần 1 khối A

Hướng dẫn.Phương trình⇔ (sin 2x+cos 2x)sin2x =√

2 cosπ

4 −2x

sin x

⇔cos2x−π

4

sin x=cos2x−π

4

⇔ (sin x−1)cos2x−π

4

=0

Bài 30.Giải phương trình :√3 sin x+cos x= 1

cos x.

Chuyên Nguyễn Quang Diêu – ĐỒNG THÁP lần 1 khối D

Trang 11

Hướng dẫn.Phương trình⇔ 3 sin x cos x+cos2x=1

⇔

√ 3

2 sin 2x+

1+cos 2x

⇔cos 2x+√

3 sin 2x=1

Bài 31.Giải phương trình : (1−2 sin x)cos x

(1+2 sin x) (1−sin x) =

√ 3

Hướng dẫn.Phương trình⇔ (1−2 sin x)cos x =√

3(1+2 sin x) (1−sin x)

⇔cos x−sin 2x=√

3(sin x+cos 2x)

⇔cos x−√3 sin x=sin 2x+√

3 cos 2x

Bài 32.Giải phương trình : 2cos

3x−2 cos x−sin 2x cos x−1 =2(1+cos x) (1+sin x).

⇔2 cos x cos2x−1

−sin 2x=2(1+cos x) (1+sin x) (cos x−1)

⇔ −2 cos xsin2x−sin 2x = −2sin2x(1+sin x)

⇔cos xsin2x+sin x cos x=sin2x(1+sin x)

⇔cos x sin x(sin x+1) =sin2x(1+sin x)

⇔ (sin x+1) cos x sin x−sin2x

=0

Bài 33.Giải phương trình : 1+sin x−cos

2x sin2x tan

π

4 −

x 2

=tan x+2√3

tanπ

4 −

x 2

=

sinπ

4 −

x 2

cosπ

4 −

x 2

=

cos x

2 −sin

x 2 cos x

2 +sin

x 2

=

cos2x

2 −sin

2x 2

cosx

2 +sin

x 2

2 = cos x

1+sin x.

Phương trình⇔ 1+sin x−cos

2x sin2x .

cos x

1+sin x =tan x+2

√ 3

⇔ sin x(1+sin x)

sin2x .

cos x

1+sin x =tan x+2

√ 3

⇔cot x=tan x+2√3

Trang 12

√

2(2 sin x−1) =4(sin x−1) −cos2x+π

4

−sin2x+π

4

Hướng dẫn.Phương trình⇔√2(2 sin x−1) =4(sin x−1) −√2 sin2x+π

2

⇔2 sin x−1=2√2(sin x−1) −cos 2x

⇔2sin2x+2√2−2sin x−2√2 =0

Bài 35.Giải phương trình : cos x(cos x

+2 sin x) +3 sin xsin x+√

2

Chuyên HÀ TĨNH lần 1

⇔cos x(cos x+2 sin x) +3 sin xsin x+√

2=sin 2x−1

⇔cos2x+2 sin x cos x+3sin2x+3√2 sin x=sin 2x−1

⇔2sin2x+3√2 sin x+2=0

Bài 36*.Giải phương trình :r 8+cos 3x

2−cos x = −2 sin x.

Hướng dẫn.Phương trình⇔ 8+cos 3x

2−cos x =4sin

2x

⇔8+cos 3x=4 1−cos2x

(2−cos x)

⇔8+4cos3x−3 cos x =4 1−cos2x

(2−cos x)

⇔8cos2x+cos x =0

Bài 37.Giải phương trình : sin2 x

2 +

7π

4

tan2(3π−x) −cos2x

2 =0.

Hướng dẫn.Phương trình⇔ 1

−cosx−π

2

2x−1+cos x

⇔ (1−sin x) sin

2x cos2x − (1+cos x) = 0

⇔ (1−sin x) 1−cos2x

− (1+cos x) 1−sin2x

=0

Trang 13

Bài 38.Giải phương trình : sin

3x+cos3x

1+ (cos x−sin x)2 =

1

16sin 4x.

chuyên Hạ Long – QUÃNG NINH lần 1

Hướng dẫn.Phương trình⇔ (sin x+cos x) (1−sin x cos x)

2(1−sin x cos x) =

1

8sin 2x cos 2x

⇔sin x+cos x= 1

4sin 2x cos 2x

⇔sin x+cos x= 1

4sin 2x(cos x+sin x) (cos x−sin x)

⇔ (sin x+cos x)

1−1

4sin 2x(cos x−sin x)

=0

⇔ sin x+cos x

sin 2x(cos x−sin x) = 4

16sin6x+cos6x−3 sin 4xh2+√

2(1+tan x tan 2x)i =10

chuyên Hạ Long – QUÃNG NINH lần 2

• 16 sin6x+cos6x

=161−3sin2xcos2x

=16

1−3

4sin

22x

=16

1−3

8(1−cos 4x)

=10+6 cos 4x

• 1+tan x tan 2x=1+ sin x sin 2x

cos x cos 2x =

1 cos 2x.

Do đó phương trình⇔10+6 cos 4x−3 sin 4x

2+√

2 1 cos 2x

=10

⇔cos 4x−sin 4x=√

2 sin 2x

⇔√2 cos4x+π

4

=√

2 cosπ

2 −2x

Bài 40.Giải phương trình : sin x cos 2x+cos2x tan2x−1

+2sin3x=0

chuyên Trần Phú – HẢI PHÒNG lần 3

Hướng dẫn.Phương trình⇔ sin x cos 2x+2sin3x

+cos2x sin

2x cos2x −1

!

=0

⇔sin x cos 2x+2sin2x

−cos 2x=0

⇔sin x−cos 2x=0

⇔sin x=sinπ

2 −2x

========== HẾT ==========

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	567,04 KB