n TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA MATH.VN Bài 41 Giải :// ma th v √ 3y − m x2 + = Tìm m để hệ có nghiệm nhất: √ = m2 x + y + 1+ x +1 Giải √ y + x2 + = m2 Hệ pt cho trở thành (I) √ 3y − m x2 + = * Điều kiện cần: giả sử hpt có nghiệm (x0 ; y0 ) (−x0 ; y0 ) nghiệm hệ nên hpt có nghiệm duy ⇔ x0 = −x0 ⇒ x0 = y = m2 − Lúc hệ (I) ⇔ ⇒ 3m2 − m − = ⇔ m = −1 ∨ m = 3y = + m *Điều kiện đủ: √ x = y + x2 + = ⇔ Vậy m= -1 (nhận) + Với m= -1 ta có (I) ⇔ √ y = 3y + x2 + = √ 16 x = y+ x +1 = 4 + Với m = ta có (I) ⇔ Vậy m = (nhận) ⇒ √ 3 y = 3y − x +1 = Do m = −1; m = giá trị cần tìm Bài 42 x2 y2 − 2x + y − = Giải hệ phương trình: 2x2 + y2 − 4x − = Bài 43. xy + x − 7y = −1 (1) Giải hệ: x2 y2 + xy − 13y2 = −1 (2) htt p Giải Từ pt (1) ⇒ xy + = 7y − x xuống pt (2) pt (2) ⇔ (xy + 1)2 − xy − 13y2 = ⇔ (7y − x)2 − xy − 13y2 = ⇔ x2 − 15xy + 36y2 = ⇔ (x − 3y)(x − 12y) = ⇒ x = 3y Hoặc x = 12y Tới :D Bài 44. (2011x + 3) (ln(x − 2) − ln 2011x) = (2011y + 3) (ln(y − 2) − ln 2011y) (1) Giải hệ: (x; y ∈ Z) 2y6 + 55y2 + 58√x − = 2011 (2) Giải Điều kiện: x, y > 2, từ (1), ta xét hàm số: f (t) = (2011t + 3)(ln(t − 2) − ln 2011t) t > 2, dễ thấy f (t) đơn điệu tập xác định nên : f (x) = f (y) ⇔ x = y, Thay vào (2), ta phương trình: Giải n ma th v √ √ 2x6 + 55x2 + 58 x − = 2011 ⇔ 2x6 + 55x2 − 1953 + 58 x − − = x−3 ⇔ (x − 3)(x + 3)(x4 + 18x2 + 217) + 58 √ =0 x−2+1 58 ⇔ (x − 3) (x + 3)(2x4 + 18x2 + 217) + √ =0 x−2+1 58 ⇔ x = 3, vì: (x + 3)(2x4 + 18x2 + 217) + √ >0 x>2 x−2+1 Kết luận: Hệ phương trình cho có nghiêm là:(3; 3) Bài 45. 8x6 − xy = y − 3x4 (1) Giải hệ: x3 − 4x2 y = y (2) 8x6 + 3x2 x+2 x3 Từ phương trình thứ hai rút ra: y = 4x + x3 8x6 + 3x2 = ⇒ x3 (64x6 + 16x4 + 23x2 − 2x + 6) = ⇒ x = ⇒ y = Từ dẫn đến: x+2 4x + Đáp số: (0; 0) Bài 46. x2 + xy + 2x + 2y − 16 = (1) Giải hệ: (x + y)(4 + xy) = 32 (2) Từ phương trình thứ rút ra: y = Giải (1 ) (2 ) :// (x + y)(x + 2) = 16 Hệ pt cho (x + y)(4 + xy) = 32 * Với x = y từ pt(1) có x2 + 2x − = ⇔ x=2 x = −4 hpt cho thỏa hpt cho không thỏa htt p * Với x = −y hpt không thỏa x=0 ⇒y=8 x+2 (1 ) * Với x = −y lấy ⇒ = ⇒ x(2 − y) = ⇒ (2 ) + xy y = ⇒ x = hay x = −6 Vậy hpt có nghiệm phân biệt (x; y) (2; 2), (0; 8), (−6; 2) Bài 47. xy = x + 7y + Giải hệ: x2 y2 = 10y2 − Giải Từ phương trình thứ hệ rút x theo y ta được: x = 7y + y−1 7y + 2 Thế vào phương trình thứ hai hệ ta được: y = 10y2 − y − y = −1 ⇒ x = ⇒ 39y4 + 34y3 − 8y2 − 2y + = ⇒ y=− ⇒x=1 Đáp số: (3; −1), 1; − nghiệm hệ Bài 48 Giải 3y + 55 = t y3 + 3y2 + 3y = 3t + 51 ma th v Dễ thấy x = không thỏa mãn hệ Viết lại hệ dạng: n x3 (3y + 55) = 64 Giải hệ: xy(y2 + 3y + 3) = 12 + 51x Cộng vế với vế hệ ta được: x (y + 1)3 + (y + 1) + 51 = t + 3t + 51 ⇔ y + = t ( f (t) = t + 3t + 51 đồng biến R) từ có: t − (y − 1) − 55 = ⇔ (t − 4) t + 4t + 13 = ⇔ t = x=1 Vậy hệ có nghiệm y=3 Bài 49 log (2x + 1) − log (x − y) = √4x2 + 4x + − (x − y)2 + − 3x2 + y2 − 4x − 2xy − 3 Giải hệ phương trình: √ √ log (2x) + 4x − 4x2 + = − với t = :// Giải Viết phương trình thứ hệ thành: (2x + 1)2 + − (2x + 1)2 − log3 (2x + 1) = (x − y)2 + − (x − y)2 − log3 (x − y) (∗) Xét hàm số: f (t) = (t)2 + − (t)2 − log3 (t) với t > √ t 1 Có: f (t) = − (2t + ) ≤ √ − 2 ≤ nên f nghịch biến Thế (∗) ⇔ 2x + = x − y (1) t (t)2 + √ Với phương trình thứ hai, xét hàm: f (x) = log3 (2x) + 4x2 − 4x2 + với x > 1 Có: f (x) = 4x(2 − √ ) + > nên f đồng biến x 4x2 + √ 1 Thế mà f = − nên x = thỏa mãn phương trình thứ hai 2 3 ;− nghiệm hệ Kết hợp với (1) cho ta y = − Vậy 2 Bài 50. 4 2 x + y − ( x + y ) + x + y = −2 (1) y2 x2 y x Giải hệ: y4 x4 x2 + y6 − 8x + = (2) htt p Giải ĐK: x = 0; y = x y x2 y2 x2 y2 Với pt(1): Đặt + = t ⇒ t = + + ⇒ + = t − y x y x y x 2 4 x y x y Mặt khác : + = (t − 2)2 ⇒ + + = t − 4t + y x y x 4 x y Từ đó: + = t − 4t + y x x2 y2 Theo AM_GM có + ≥ ⇔ t ≥ ⇔ |t| ≥ y x Ta có vế trái pt (1) g(t) = t − 5t + t + 4, |t| ≥ Có g (t) = 2t(2t − 5) + Nhận xét: + t ≥ ⇒ 2t(2t − 5) ≥ 4(8 − 5) > ⇒ g (t) > + t ≤ −2 ⇒ 2t ≤ −4; 2t − ≥ ⇒ −2t(2t − 5) ≥ 12 ⇒ 2t(2t − 5) ≤ −12 ⇒ g (t) < Lập BBT có giá trị nhỏ g(t) =-2 đạt t = −2 x y + = −2 (∗) y x x y Đặt u = ⇒ = , u = y x u Lúc pt (∗) ⇔ u + = −2 ⇔ (u + 1)2 = ⇔ u = −1 ⇔ x = −y u Thay x = −y vào pt(2) có :x6 + x2 − 8x + = ⇔ (x − 1)2 (x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 6) = ⇔ (x − 1)2 x2 (x + 1)2 + 2(x + 1)2 + = ⇔ x − = ⇒ x = ⇒ y = −1 Vậy hpt có nghiệm (x; y) (1; −1) Bài 51 (2x2 − 1)(2y2 − 1) = xy Giải hệ phương trình: x2 + y2 + xy − 7x − 6y + 14 = Giải Dễ thấy xy = không thỏa mãn hệ Với: xy = viết lại hệ dạng: ma th v n Vậy từ pt(1) có 1 2y − = x y 2 x + y + xy − 7x − 6y + 14 = 2 ĐK để phương trình x + y + xy − 7x − 6y + 14 = ( ẩn x) có nghiệm là: ∆1 = (y − 7)2 − 4y2 + 24y − 56 ≥ ⇔ y ∈ 1; 2 ĐK để phương trình x + y + xy − 7x − 6y + 14 = ( ẩn y) có nghiệm là: 10 ∆2 = (x − 6)2 − 4x2 + 28x − 56 ≥ ⇔ x ∈ 2; Xét hàm số f (t) = 2t − đồng biến (0; +∞) t Nên: ⇒ f (x) f (y) ≥ f (2) f (1) = x=2 nghiệm hệ Kết hợp với phương trình thứ ta y=1 Bài 52 √ x4 + 2y3 − x = − + 3 (1) Giải hệ phương trình: √ y + 2x − y = − − 3 (2) Giải −1 Lấy (1)+(2), ta có: x4 + 2x3 − x + y4 + 2y3 − y = 1 2 2 2 ⇔ (x + x) − (x + x) + + (y + y) − (y + y) + = 4 1 ⇔ (x2 + x − )2 + (y2 + y − )2 = √ −1 − x = 2√ ⇔ y = −1 + Bài 53 Đề thi thử lần chuyên Lê Quý Đôn_ Bình Đinh log (3x + 1) − log y = (1) √2 Giải hệ phương trình: 2 x2 −4y + 3log9 = 10 (2) htt p :// 2x − Giải Đk: x > − , y > 0, x2 − 4y ≥ n √ √ Từ pt(1) có: log2 (3x + 1) = + log2 y ⇔ 3x + = 4y (∗) √ √ 2 Từ pt(2) có: x −4y + = 10 ⇔ x −4y = ⇔ x2 − 4y = ⇔ 4y = x2 − (∗∗) √ 19 Thay (∗∗) vào (∗) ta được: x2 − = 16(x2 − 9) ⇔ 7x2 − 6x − 145 = ⇔ x = ∨ x = − Với x = ⇒ y = Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) (5; 4) Bài 54. √ y √ + = x + 2(1) x x y Giải hệ: √ y( x2 + − 1) = 3(x2 + 1)(2) ma th v (loại) Giải :// Giải √ √ √ x = −y(∗) y + x 2(y + x) (1) ⇔ = ⇔ x y y = 2x(∗∗) Với (∗), ta dễ thấy y < , tức VT (2) < 0, VP lại lớn nên loại! √ √ x2 + − 3(x2 + 1) = ( ĐK: x > ) Với (∗∗), ta có: 2x( x2 + − 1) = 3(x2 + 1) ⇔ 4x4 − 8x √ 2 x2 + 1(i) x − x +1 = √ 2 2 √ ⇔ 4(x − x2 + 1) = (x + 1) ⇔ − x2 − x2 + = x2 + 1(ii) √ − 11 √ 11 √ Dễ thấy (ii) vô nghiệm + < Còn (i) ⇔ x4 − ( + 7)x2 − ( + 7) = 4 11 √ Đặt α = + −α + (α)2 + 4α ⇔x= Bài 55. 2√2x + 3y + √5 − x − y = Giải hệ: 3√5 − x − y − √2x + y − = htt p Bài 56. 6x2 + y2 − 5xy − 7x + 3y + = (1) Giải hệ: x − y = ln(x + 2) − ln(y + 2) (2) Giải Đk: x > −2; y > −2 Bài hệ hay! Từ pt (1) có :y2 + (3 − 5x)y + 6x2 − 7x + = ⇔ (y − 3x + 2)(y − 2x + 1) = ⇔ y = 3x − y = 2x − Từ pt (2) có x − ln(x + 2) = y − ln(y + 2) Xét hàm số y = f (t) = t − 3ln(t + 2),t > −2 Có f (t) = t −1 t +2 Từ f (t) = ⇔ t − = ⇔ t = Lập BBT ta nhận có nhận xét hàm số y = f (t) nghịch biến (−2; 1) đồng biến (1; +∞) Từ ta đến nhận xét sau: + Với x = ⇒ y = kiểm tra ta thấy x; y thỏa hệ + Với x, y ∈ (−2; +∞), (x = 1) ⇒ f (y) > f (x) Thật vậy: y = 3x − ∨ y = 2x − ⇒ y − x = 2(x − 1) ∨ y − x = x − Nhận thấy ma th v n + x > ⇒ y > x ⇒ f (y) > f (x) hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) +x < ⇒ y < x ⇒ f (y) > f (x) hàm số nghịch biến khoảng (−2; 1) Do hệ pt cho có nghiệm (x; y) (1; 1) Bài 57. Trích đề học sinh giỏi Thừa Thiên Huế 2008 - 2009 khối chuyên 2x + 4y = 32 Giải hệ: xy = Giải Ta có x; y phải số dương Vì x;√ y âm 2x + 4y < < 32 √ √ Khi ta có: 2x + 4y ≥ 2x+2y ≥ 22 2xy = 32 Dấu = xảy x = 2y Khi x = y = Bài 58. Trích đề học sinh giỏi Hà Tĩnh 2008 - 2009 −1 − 16 y x = 8x y Giải hệ: x2 − 2xy + y2 = :// Giải Điều kiện x = 0, y = x Phương trình thứ hệ có dạng f = f (y) (1) t4 − ,t = Ta có f (t) = 3t + > Với f (t) = t t Suy hàm số f đồng biến khoảng (−∞; 0) , (0; +∞) Trên (−∞; 0) √ √ x (1) ⇔ = y, thay vào phương trình thứ hai hệ thu được: y2 = ⇔ y = −2 ⇒ x = −4 2 Trên (0; +∞) √ √ x (1) ⇔ = y, thay vào phương trình thứ hai hệ thu được: y2 = ⇔ y = 2 ⇒ x = 2 √ √ √ √ Vậy hệ có nghiệm (x; y) 2; , −2 2; −4 Bài 59. y2 − xy + = Giải hệ: x2 + y2 + 2x + 2y + = Trích đề học sinh giỏi Cần Thơ 2008 - 2009 vòng htt p Giải Thay y2 + = xy vào phương trình ta được: x2 + xy + 2(x + y) = ⇔ (x + 2)(x + y) = Nếu x = −2 y = −1 ±1 Nếu x = −y y = √ Bài 60. Trích đề học sinh giỏi Quảng Bình 2008 - 2009 vòng √ √ x2 + 2x + 22 − y = y2 + 2y + Giải hệ: y2 + 2y + 22 − √x = x2 + 2x + Giải Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0, x = y = không thỏa hệ nênx > 0, y > Trừ hai phương trình hệ theo vế ta √ √ √ x2 + 2x + 22 + x + x2 + 2x + = y2 + 2y + 22 + y + y2 + 2y + √ √ Phương trình có dạng f (x) = f (y) với f (t) = t + 2t + 22 + t + t + 2t + t +1 Ta có f (t) = √ + √ + 2t + > t + 2t + 22 t htt p :// ma th v n Suy f hàm đồng biến ⇒ f (x) = f (y) ⇔ x = y √ √ Thay vào PT thứ ta có x2 + 2x + − x2 + 2x + 22 + x = √ √ Phương trình có dạng g (x) = g (1) với g (x) = x2 + 2x + − x2 + 2x + 22 + x = 0, x+1 x+1 > 2− √ >0 g (x) = 2x + + √ − √ 2 x x + 2x + 22 √ x + 2x + 22 |x + 1| x+1 x2 + 2x + (Vì √ ≤√ =√ < 1) ⇒ g hàm đồng biến nên g (x) = g (1) ⇔ x = x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 22 x2 + 2x + 22 Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) ... nghịch biến khoảng (−2; 1) Do hệ pt cho có nghiệm (x; y) (1; 1) Bài 57. Trích đề học sinh giỏi Thừa Thiên Huế 200 8 - 200 9 khối chuyên 2x + 4y = 32 Giải hệ: xy = Giải Ta có x; y phải số dương Vì... hai hệ thu được: y2 = ⇔ y = 2 ⇒ x = 2 √ √ √ √ Vậy hệ có nghiệm (x; y) 2; , −2 2; −4 Bài 59. y2 − xy + = Giải hệ: x2 + y2 + 2x + 2y + = Trích đề học sinh giỏi Cần Thơ 200 8 - 200 9 vòng htt p Giải. .. ⇔x= Bài 55. 2√2x + 3y + √5 − x − y = Giải hệ: 3√5 − x − y − √2x + y − = htt p Bài 56. 6x2 + y2 − 5xy − 7x + 3y + = (1) Giải hệ: x − y = ln(x + 2) − ln(y + 2) (2) Giải Đk: x > −2; y > −2 Bài