20 bài Hệ PT có lời giải (21 40)

TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA MATH.VN Giải hệ phương trình: Giải Bài 22 Giải hệ phương trình:     a(a + b) = b(b + c) = 30    c(c + a) = 12 th Bài 21  x3 + y3 − xy2 = 4x4 + y4 − 4x − y = Giải Với x = ⇒ y = Với y = ⇒ x = Với x = 0; y = thay (1) vào (2) ta được:  y =1 y y −4 + = ⇔  xy 4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 − xy2 ) ⇔ 3y2 − 4xy + x2 = ⇔ x x = x Với x = y thay vào (1) ta có x = ⇒ y = Với x = 3y thay vào (1) ta có x = √ ⇒y= √ 3 25 25 ;√ Vậy hpt có nghiệm phân biệt (x; y) (0; 1); (1; 0); (1; 1); √ 3 25 25 Bài 23  x2 − y2 = (1) Giải hệ phương trình: log (x + y) − log (x − y) = (2) ĐK: Giải  x + y > ma x − y > Từ pt (1) có log3 (x2 − y2 ) = ⇔ log3 (x + y) + log3 (x − y) = ⇔ log3 (x + y) = − log3 (x − y) (∗) Thay (∗) vào pt (2) có − log3 (x − y) − log5 log3 (x − y) = ⇔ log3 5) = ⇔ log3 (x − y) = ⇔ x − y = log3 (x − y)(1 −  x2 − y2 = x + y = x = Lúc ta có hpt ⇔ ⇔ x − y = x − y = y =  x = Vậy hpt có nghiệm y = Bài 24 Giải hệ phương trình:   log4 (x2 + y2 ) − log4 (2x) + = log4 (x + 3y) x  − log4 (xy + 1) − log4 (2y2 + y − x + 2) = log4 y Giải Giải th  2   (x + y )2 = x + 3y (1) x hệ phương trình ⇔ x xy +   = (2) 2y + y − x + 2y x = y (3) (1) ⇔ x2 − 3xy + 2y2 = ⇔ x = 2y (4) (2), (3) ⇔ x, y ∈ R > (2), (4) ⇔ x = 2, y = Bài 25  x2 (y + 1) = 6y − 2(1) Giải hệ phương trình: x4 y2 + 2x2 y2 + y(x2 + 1) = 12y2 − 1(2) 4y − 9y + ;x +3 = y+1 y+1 Thay (1) vào (2), ta có: x4 y2 + x2 y2 + y + 6y2 − 2y = 12y2 −  ⇔ (x2 − 2)(x2 + 3)y2 − y + = √ y=1⇒x=± y=1 4(y − 1)(9y + 1)y2 ⇔ = y−1 ⇔ ⇔ (y + 1)2 4(9y + 1)y2 = (y + 1)2 y= ⇒x=0 Bài 26  x3 − y3 + 3y2 − 3x = 2(1) Giải hệ phương trình: √ x2 + − x2 − 2y − y2 = −2(2) Dễ thấy y = y = −1 Từ (1) ⇒ x2 y(y + 1) = 6y2 − 2y, x2 − = Giải  1 − x2 ≥ Cách 1: Đk: 2y − y2 ≥  −1 ≤ x ≤ ⇒ 0 ≤ y ≤ Đặt t = x + 1,  ≤ t ≤ 2.Lúc hpt cho trở thành:  t − 3t = y3 − 3y2 t − 3t + = y3 − 3y2 + ⇒ √ √ x2 + − x2 − 2y − y2 = −2 x2 + − x2 − 2y − y2 = −2 a=0 a=2 Lập BBT ta có f (a) = a − 3a nghịch biến với ≤ a ≤ Vậy f (t) = f (y) ⇒ t = y ⇒ x + = y √ √ Thay x + = y vào pt (2) có x2 − − x2 = −2 ⇔ − x2 + − x2 − = √ √ √ − x2 = ⇒x=0⇒y=1 ⇔ ( − x2 − 1)( − x2 + 3) = ⇔ √ − x2 = −3 Vậy hpt có nghiệm (x; y) là(0; 1) Cách 2: Sự xuất thức ở pt (2) mách bảo ta đặt z = − y hệ trở thành x3 − 3x + z3 − 3z = √ √ x2 + − x2 − − z2 = −2 ma Xét hàm số f (a) = a3 − 3a2 , ≤ a ≤ Có f (a) = 3a2 − 6a; f (a) = ⇔ 3a2 − 6a = ⇔ Phương trình (1) hệ tương đương x + z = x2 + xz + z2 = Thế xảy 2trường hợp:   z = −x x = x = Trường hợp 1: ⇔ ⇔ √ √ x2 + − x2 − − z2 = −2 z = y =  x2 + xz + z2 = Trường hợp 2: √ √ x2 + − x2 − − z2 = −2 Giải Bài 28 Giải hệ phương trình: th Phương trình đầu hệ kết hợp với điều kiện x z dẫn đến x = z = −1; x = z = 1, khả không thỏa mãn phương trình thứ 2, nên trường hợp vô nghiệm Kết luận: (0; 1) nghiệm hệ Bài 27  x2 − y2 − y = Giải hệ phương trình: x2 + xy + x =  9y3 (3x3 − 1) = −125 45x2 y + 75x = 6y2 ma Giải Với y = hệ pt vô nghiệm Với y = chia vế pt (1) pt (2) cho y3 = 0; y2 = ta có hpt   125 125    27x3 + = 27x + = y y ⇔ (∗) 5 x x     3x (3x + ) = 45 + 75 = y y y y Đặt u = 3x; v = , v = y   u3 + v3 = (u + v)3 − 3uv(u + v) = (u + v)3 = 27 Lúc đó: (∗) ⇔ ⇔ ⇔ uv(u + v) = 6n uv(u + v) = uv(u + v) =    u + v = u = u = ⇔ ⇔ hay uv = v = v =     x = u = 3x = ⇔ Với ⇔ 5  v =  =2 y = y    u = 3x = x = Với ⇔ ⇔ v =  =1 y = y Vậy hpt cho có nghiệm (x; y) ; ; ;5 3 Bài 29  √x + √ 32 − x − y2 + = (1) Giải hệ phương trình: √ √  x + 32 − x + 6y − 24 = (2) Giải  0 ≤ x ≤ 32 Đk: y ≤ Lấy (1) + (2) vế theo vế ta có √ √ √ √ x + 32 − x + x + 32 − x = y2 − 6y + 21 (∗) Có y2 + 6y + 21 = (y − 3)2 + 12 ≥ 12 √ √ √ √ Lại có x + 32 − x ≤ (1 + 1)(x + 32 − x) = ⇔ x + 32 − x ≤ √ √ √ √ Vậy x + 32 − x + x + 32 − x ≤ 12 √ √ (1 + 1)( x + 32 − x) =  √ √   x = 32 − x   √ √ Do (∗) nên có hpt x = 32 − x    y − =  x = 16 ⇔ y = th Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) (16; 3) Bài 30  √x + y + + = 4(x + y)2 + √3x + 3y (1) Giải hệ phương trình: 12x(2x2 + 3y + 7xy) = −1 − 12y2 (3 + 5x) (2) Giải √ √ Đặt x+ y + = a ≥ 0; 3x + 3y  =b≥0 3a2 − b2 = 3a2 − b2 = 3a2 − b2 = ⇔ (1) ⇔ ⇔ 9a − 9b + 9a4 − 6a2 b2 − 3b4 = 9a + = 4b4 + 9a + 3a2 − b2 = 4b4 + 9b   3a2 − b2 = 3a2 − b2 = ⇔ ⇔ (a − b) 9a3 + 9a2 b + 3ab2 + 3b3 = a = b √ ⇔b= ⇔ 2x + 2y = ⇔ 2x = − 2y −1 −5 ; , ; Thay vào (2) ta : (x, y) = 10 Bài 31  x3 y (1 + y) + x2 y2 (y + 2) + xy3 = 30 Giải hệ phương trình: x2 y + x + y + y2 + y − 11 = Giải Bài 32 Giải hệ phương trình: Giải (1) (2) 1 x2 + = Từ (1), (2) ⇒ x + x2 + nghiệm pt y y  y  1    x+ = x + = y y ⇔ A2 − 4A + = ⇔ ⇔x=y=1 x   x + =  =1 y y2 Bài 33  √ 2 + 6y + x − 2y = x y Giải hệ phương trình: √  x + x − 2y = x + 3y − ma y   x(1 + x) + 1 + = y y Giải hệ  x3 y3 + y2 x2 + xy + = 4y3 (2) ⇔ x + Giải Bài 34 Giải hệ phương trình:  √ 12   x = (1)  1− y + 3x 12 √   y = (2)  1+ y + 3x Giải Cách 1: Đk: x > 0; y > Bài 35 Giải hệ phương trình: th    √ + √ = x y Từ lấy (1) + (2); (2) − (1) ta hpt 24   = √ −√  y + 3x y x 12 ⇒ = − ⇒ 12xy = (y + 3x)(9 − y) y + 3x y x ⇒ y2 + 6xy − 27x2 = ⇒ (y + 9x)(y − 3x) = ⇒ y = 3x x > 0, y > √ √ √ √ √ Thay y = 3x vào pt (1) ta được: x − x − = ⇒ x = + ⇒ x = + ⇒ y = 3(4 + 3) √ √ Vậy hpt có nghiệm (x; y) (4 + 3; 3(4 + 3)) √ Cách 2:Đk: x > 0; y > Nhân pt (1) với nhân pt (2) với hệ số ảo i cộng vế ta được: √ √ 12 √ √ √ ( 3x − yi) = + 6i 3x + yi − y + 3x √ √ √ 12 √ = + 6i ⇔ z2 − (2 + 6i)z − 12 = Đặt z = 3x + yi z − z √ √ √ √ √ z = ( − 3) + (3 − 3i)(loại 3x < 0) ⇔ z = + + (3 + 3i) (thỏa  mãn)  √3x = + √3  x = + 2√3 √ √ Với z = + + (3 + 3i ⇔ √ ⇔ √  √y = +  y = 12 +  2y x2 − y2 = 3x x x2 + y2 = 10y Giải Nhân chéo ta có: 3x2 x2 + y2 = 20y2 x2 − y2 ⇔ 3x4 − 17x2 y2 + 20y4 = ⇔ 3x2 = 5y2 or x2 = 4y2 Thay vào ta có nghiệm (x;y)= (0; 0) , ± Bài 36 Giải hệ phương trình: 27 ;± 125 ; (±1; ±2)  2√x + 3y + − 3√y = √x + (1) √y − − √4 − x + − x2 = (2) ma Giải √ √ √ (1) ⇔ x + 3y + = x + + y ⇔ 4(x + 3y + 2) = x + + 9y + y(x + 2) √ √ ⇔ ( x + − y)2 = ⇔ y = x + √ √ x−3 x−3 Thay vào (2), ta có: x + − − x + − x2 = ⇔ √ +√ + (3 − x)(3 + x) = 4−x+1 x+1+2 ⇔x=3⇒y=5 1 √ Ta cần cm pt √ + = x + 3(∗) vô nghiệm đoạn [−1, 4] x+1+2 1+ 4−x 1 1 √ Ta có: √ ≤ √ ≤1⇒ √ + < mà x + ≥ ⇒ (∗) vô nghiệm x+1+2 4−x+1 x+1+2 1+ 4−x Bài 37  (x + √1 + x2 )(y + + y2 ) = (1) Giải hệ phương trình: x√6x − 2xy + = 4xy + 6x + (2) Giải √ Cách 1:Xét f (t) = t + t + 1, √ t2 + + t |t| − t f (t) = + √ = √ >√ ≥0 t2 + t2 + t2 + t Do f (t) đồng biến R Giải th √ (1) ⇔ x + x2 + = −y + + y2 ⇔ f (x) = f (−y) ⇔ x = −y √ √ √ 2x2 + 6x + = 3x 25 x 2 (2) ⇔ x 6x + 2x2 + = −4x + 6x + ⇔ ( 2x2 + 6x + − ) = x ⇔ √ 2 2x + 6x + = −2x   7x2 − 6x − = 2x2 + 6x + = 9x2 √ ⇔ ⇔ x = → y = −1 Với 2x2 + 6x + = 3x ⇔ x ≥ x ≥   √ √ 2x2 − 6x − =  2 √ 2x + 6x + = 4x − −3 + 11 11 Với 2x2 + 6x + = −2x ⇔ ⇔ ⇔x= →y= x ≤ x ≤ 2 √ (1) Cách 2:Biến đổi phương trình thứ hệ thành: x + + x2 = −y + + y2 √ Rõ ràng (1) khiến ta nghĩ đến hàm số f (t) = t + t + 1, hàm đồng biến R nên (1) tương đương x = −y vào phương trình thứ hai hệ ta được: √ (2) Có một√cách hay để giải (2) ẩn phụ, để đơn giản, ta x 6x + 2x2 + = −4x2 + 6x + − 11 lũy thừa vế ta tìm nghiệm x = 1; x = √ √ − 11 − 11 ;− ) nghiệm hệ Kết luận: (1; −1); ( 2 Bài 38  2x3 − 4x2 + 3x − = 2x3 (2 − y)√3 − 2y Giải hệ phương trình: √x + = 14 − x√3 − 2y + ma √ √ 2x3 − 4x2 + 3x − = 2x3 (2 − y) − 2y ⇔ − + 1− = (3 − 2y)3 + − 2y x x √ (Do hàm số f (t) = t + t đồng biến R) ⇔ − 2y = − x √ √ Thay vào phương trình thứ hai ta được: x + − − 15 − x − = x−7 x−7 111 ⇔√ + =0⇔x=7⇒y= √ 98 x+2+3 (15 − x)2 + 15 − x + Bài 39  x2 + 2xy − 2x − y = Giải hệ phương trình: x4 − 4(x + y − 1)x2 + y2 + 2xy = Giải Từ pt (2) ta có x4 − 4x3 − 4yx2 + 4x2 + y2 + 2xy = 2 2x − 2y)2 = 3y2 + 6xy ⇔ (x4 − 4x3 + 4x2 ) − 4(x2 − 2x)y  + 4y − 3y − 6xy = ⇔ (x −  x2 + 2xy − 2x − y = y = x2 + 2xy − 2x (3) Lúc hpt cho trở thành: ⇒ (x2 − 2x − 2y)2 = 3y2 + 6xy y2 (1 + 2x)2 = 3y(y + 2x) (4) Từ (4) có 2y(2xy + 2x2 − 3x − y) = ⇔ + Với y= từ (3) có x2 − 2x = ⇔ y=0 2xy + 2x2 − 3x − y = x=0 x=2  +Với 2xy+2x2 −3x−y = ⇒ y = 2xy+2x2 y−3x thay vào (3) có x(2xy−x−1) = ⇔  x+1 Thay y = (x = 0) vào pt (3) ta có (x − 1)(2x2 + 1) = ⇔ x = ⇒ y = 2x Vậy hpt cho có nghiệm (x; y) (0; 0), (2; 0), (1; 1) x=0⇒y=0 x+1 y= (x = 0) 2x Bài 40 Giải hệ phương trình:  x2 + y2 + 2y = (x2 + xy)(y + 1) + x = ma th Giải ... hệ Bài 27  x2 − y2 − y = Giải hệ phương trình: x2 + xy + x =  9y3 (3x3 − 1) = −125 45x2 y + 75x = 6y2 ma Giải Với y = hệ pt vô nghiệm Với y = chia vế pt (1) pt (2) cho y3 = 0; y2 = ta có. .. 10 Bài 31  x3 y (1 + y) + x2 y2 (y + 2) + xy3 = 30 Giải hệ phương trình: x2 y + x + y + y2 + y − 11 = Giải Bài 32 Giải hệ phương trình: Giải (1) (2) 1 x2 + = Từ (1), (2) ⇒ x + x2 + nghiệm pt. .. =1 y y2 Bài 33  √ 2 + 6y + x − 2y = x y Giải hệ phương trình: √  x + x − 2y = x + 3y − ma y   x(1 + x) + 1 + = y y Giải hệ  x3 y3 + y2 x2 + xy + = 4y3 (2) ⇔ x + Giải Bài 34 Giải hệ phương