TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA MATH.VN Bài 1. th. Giải hệ phương trình: x3 − y3 = 35 (1) 2x2 + 3y2 = 4x − 9y (2) Giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) theo vế ta được: (x − 2)3 = (3 + y)3 ⇒ x = y + y = −2 ⇒ x = Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y2 + 5y + = ⇔ y = −3 ⇒ x = Đáp số: (3; −2), (2; −3) nghiệm hệ. Bài 2. x3 + y3 = (1) Giải hệ phương trình: x2 + 2y2 = x + 4y (2) (3) Giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) theo vế ta được: (x − 1)3 = (2 − y)3 ⇒ x = − y (3) y=1⇒x=2 Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y2 − 3y + = ⇔ y=2⇒x=1 Đáp số: (2; 1), (1; 2) nghiệm hệ. Bài 3. x3 + y3 = 91 (1) Giải hệ phương trình: 4x2 + 3y2 = 16x + 9y (2) ma Giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) theo vế ta được: (x − 4)3 = (3 − y)3 ⇒ x = − y (3) y=4⇒x=3 Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y2 − 7y + 12 = ⇔ y=3⇒x=4 Đáp số: (3; 4), (4; 3) nghiệm hệ. Bài 4. x2 + y2 = (1) Giải hệ phương trình: 57 4x2 + 3x − = −y (3x + 1) (2) 25 Giải Lấy phương trình (1) nhân với 25 cộng theo với với phương trình (2) nhân với 50 nhóm lại ta được: 17 25(3x + y)2 + 50(3x + y) − 119 = ⇔ 3x + y = ; 3x + y = − . 5 x2 + y2 = 11 Trường hợp 1: Thế ta được: x = ⇒ y = ; x = ⇒y= 5 25 25 y = − 3x x2 + y2 = Trường hợp 2: vô nghiệm. 17 y = − − 3x 11 Vậy ; ; ; nghiệm hệ. 5 25 25 Bài 5. Giải hệ phương trình: x3 + 3xy2 = −49 (1) x2 − 8xy + y2 = 8y − 17x (2) Giải Lấy phương trình (1) cộng với phương trình (2) nhân với được: x = −1 th. x3 + 3x2 + (3y2 − 24y + 51)x + 3y2 − 24y + 49 = ⇔ (x + 1) (x + 1)2 + 3(y − 4)2 = ⇔ x = −1, y = Lần lượt vào phương trình (1) hệ ta (−1; 4), (−1; −4) nghiệm hệ. Bài 6. 6x2 y + 2y3 + 35 = (1) Giải hệ phương trình: . 5x2 + 5y2 + 2xy + 5x + 13y = (2) Giải Lấy phương trình (1) cộng với lần phương trình (2) theo vế ta được: (6y + 15)x2 + 3(2y + 5)x + 2y3 + 15y2 +39y + 35 = y=− . ⇔ (2y + 5) x + =0⇔ + y+ 2 x=− , y=− 2 5 Lần lượt vào phương trình (1) ta được: ;− ; − ;− nghiệm hệ. 2 2 Bài 7. x2 + y2 = xy + x + y Giải hệ phương trình: x2 − y2 = Giải Chú ý rằng: x2 − xy + y2 = 3(x − y)2 + (x + y)2 a = x + y 3a2 + b2 = 4b nên ta đặt hệ mới: b = x − y ab = (1) . (2) ma Đem a = từ phương trình (2) vào phương trình (1) giải tìm b = ⇒ a = b Từ tìm lại được: x = 2; y = nghiệm hệ. Bài 7.1 √ x2 + 2x + = y + Giải hệ phương trình: x2 + xy + y2 = Giải ĐK: y ≥ −1 Hệđã cho tương đương với: x2 + 2x + = y2 + 2y + (x − y)(x + y + 2) = −5 (∗∗) ⇔ 3(x + y)2 + (x − y)2 = 3(x + y)2 + (x − y)2 = 28 a = x + y b(a + 2) = −5 a = −1 a = hay Đặt (∗∗) trở thành ⇔ b = x − y 3a2 + b2 = 28 b = −5 b = −1 x = −3 x = Giải hệ ta thu nghiệm: hay y = y = Kết luận: Hệ phương trình cho có tập hợp nghiệm là: {(−3; 2), (1; 2)} Bài 8. x2 + 2y2 = xy + 2y Giải hệ phương trình: 2x3 + 3xy2 = 2y2 + 3x2 y . Giải x > Đk: y > th. Giải Với y = ⇒ x = nghiệm hệ. Với y = 0, nhân phương trình với −y cộng theo vế với phương trình ta được: 2x3 − 4x2 y + 4xy2 − 2y3 = ⇔ x = y Thế lại vào phương trình hệ ta được: 2y2 = 2y ⇔ y = ⇒ x = Vậy (1; 1), (0; 0) nghiệm hệ Bài 9. x√x − y√=y = 8√x + 2√y Giải hệ phương trình: (∗) x − 3y = 3 x√x − y√y = 4√x + √y (1) . Lúc hpt (∗) ⇔ x − 3y = (2) √ √ √ √ √ √ √ Thay (2) vào (1) có:3 x x − y y = (x − 3y) x + y ⇔ x x + xy − 12y x = √ √ √ √ √ √ √ ⇔ x x − y x + y = ⇔ x = y ⇔ x = 9y. Thay vào (2) có y = ⇒ x = 9. x = Vậy hpt có nghiệm y = Bài 10. Giải hệ phương trình: Giải 2x 2y + =3 y x x − y + xy = (∗) ma 2x 2y 2x2 + 2y2 − 5xy = + =3 y x ⇔ Đk x.y > . Lúc hpt (∗) ⇔ x − y + xy = x − y + xy = (x − 2y) (2x − y) = x = 2y y = 2x ⇔ ⇔ hay x − y + xy = 2y2 + y − = 2x2 − x − = Lúc kết hợp với đk ta hpt có nghiệm (x; y) (2; 1) ; −3; − Bài 11. Giải hệ phương trình: . 3 ; (−1; −2) ; ;3 2 x4 − y4 = 240 x3 − 2y3 = 3(x2 − 4y2 ) − 4(x − 8y) Giải Lấy phương trình trừ phương trình nhân với ta được: (x − 2)2 = (y − 4)4 ⇔ x = y − 2; x = − y Lần lượt vào phương trình thứ hệ ta x4 − y4 = 240 x = −4 Trường hợp 1: ⇔ x = y − y = −2 x4 − y4 = 240 x = Trường hợp 2: ⇔ x = − y y = Vậy (4; 2), (−4; −2) nghiệm hệ. Bài 12. Giải hệ phương trình: √ (x − y) = √xy x2 − y2 = Giải Lúc th. √ x = 2y √ (x − y) = xy ⇔ 2x2 − 5xy + 2y2 = ⇔ (x − 2y)(2x − y) = ⇔ y = 2x x = x = −2 Khi x = 2y ⇒ y = ±1 ⇒ hay y = y = −1 Đk: x ≥ y. Khi y = 2x ⇒ −3x2 = (pt vô nghiệm) Vậy đối chiếu với đk hpt có nghiệm (2; 1) Bài 13. (x − 1)2 + 6(x − 1)y + 4y2 = 20 Giải hệ phương trình: x2 + (2y + 1)2 = Giải y = x + (1) 3x − ⇔ x + 4y2 = − 4y x2 − 2x + + 6xy − 6y + 4y2 = 20 hệ phương trình ⇔ x2 + 4y2 = − 4y (1) vào hệ (2) ta x2 + 2x + 18 +1 3x − =2⇔ −9 . x− 55 = hay x = −1 suy x = −1 ⇒ y = −1 Bài 14. x2 + 2xy + 2y2 + 3x = (1) Giải hệ phương trình: xy + y2 + 3y + = (2) ma Giải Lấy (1)+2.(2) ta :(x + 2y)2 + (x + 2y) + = 0⇔ (x + 2y + 1) (x + 2y + 2) = TH1: x + 2y + = ⇒ x = −2y − thay vào (2) ta √ √ y = + ⇒ x = −3 − 2 √ √ y − 2y − = ⇒ y = − ⇒ x = −3 + 2 TH2: x + 2y + = ⇒ x = −2y − thay vào (2) ta được√ √ 1− y= ⇒ x = −3 + 2√ y2 − y − = ⇒ √ 1+ y= ⇒ x = −3 − Do hpt cho có nghiệm √ √ √ √ √ √ √ 1− √ 1+ (x; y) : −3 − 2; + ; −3 + 2; − ; −3 + 5; ; −3 − 5; 2 Bài 15. x3 − y3 = 3x + Giải hệ phương trình: x2 + 3y2 = 3x + Giải t = x3 − 3x − hệ phương trình ⇔ 3t + (x2 − 3x − 1)y = ta có D = x2 − 3x − 1, với t = y3 . Dt = (x3 − 3x − 1)(x2 − 3x − 1), Dy = −3(x3 − 3x − 1) th. nhận thấy D = mà Dy = suy pt VN Dy Dt = Xét D = ta có hay (x2 − 3x − 1)3 = −27(x3 − 3x − 1) D D ⇒ x = hay 28x5 + 47x4 − 44x3 − 151x2 − 83x − 13 = ⇒ x = hay x ≈ −1, 53209 từ suy y Bài 16. 2x2 + y (x + y) + x (2x + 1) = − 2y Giải hệ phương trình: x (4x + 1) = − 3y Giải Cách 1: Thế = 4x2 + x + 3y phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: (2x2 + y)(x + y)= 2x2 + y ⇒ y = −2x2 y = − x y = −2x2 vô nghiệm. Trường hợp 1: x (4x + 1) = − 3y √ √ + − 17 17 y = − x x = x = 4√ 4√ Trường hợp 2: ⇔ x (4x + 1) = − 3y y = − 17 y = + 17 √ √ √ √ − 17 + 17 + 17 − 17 Đáp số: ; ; ; nghiệm hệ. 4 4 Cách 2: Phân tích (1) ta có 2x3 + 2x2 y + xy + y2 + 2x2 + x = − 2y ⇔ 2x3 + 2x2 (y + 1) + x(y + 1) + (y + 1)2 = ⇔ 2x2 (x + y + 1) + (y + 1)(x + y + 1) = ma ⇔ (x + y + 1)(2x2 + y + 1) = ⇔ (x + y + 1)(4x2 + 2y + 2) = 16 (x + y + 1)(4x2 + 2y + 2) = 16 (x + y + 1) [9 − (x + y)] = 16 ta có ⇔ suy x+y = hay x+y = 4x2 = − x − 3y 4x2 = − x − 3y √ Với x + y = ta tìm đc x = ± 17 hay y = − x Với x + y = thay vào (2) phương trình VN KL Bài 16.1 x3 + 7y = (x + y)2 + x2 y + 7x + (1) Giải hệ phương trình: 3x2 + y2 + 8y + = 8x (2) Giải Từ pt thứ (2) hệ ta rút = 8x − 3x2 − y2 − 8y Thay vào pt thứ (1) hệ thu gọn ta (x − y) x2 + 2x − 15 x=y =0⇔ x=3 x = −5 Với x = y thay vào pt thứ ta −4x2 = pt vô nghiệm y = −1 Với x = thay vào pt thứ ta y2 + 8y + = 0⇔ y = −7 Với x = −5 thay vào pt thư ta y + 8y + 119 = pt vô nghiệm Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) (3; −1); (3; −7) Bài 17. Giải hệ phương trình: x − 12z + 48z − 64 = y3 − 12x2 + 48x − 64 = z3 − 12y2 + 48y − 64 = th. Giải Cộng theo vế phương trình hệ ta được: (x − 4)3 + (y − 4)3 + (z − 4)3 = (∗) từ suy số hạng tổng phải có số hạng không âm, không tổng quát ta giả sử (z − 4)3 ≥ ⇒ z ≥ Thế phương trình thứ hệ tương đương x3 − 16 = 12(z − 2)2 ≥ 12.22 ⇒ x ≥ Thế phương trình thứ hai hệ tương đương y3 − 16 = 12(x − 2)2 ≥ 12.22 ⇒ y ≥ Do từ (x − 4)3 + (y − 4)3 + (z − 4)3 = (∗) ⇒ x = y = z = Thử lại thỏa mãn. Vậy (4; 4; 4) nghiệm hệ. Bài 18. x4 + 4x2 + y2 − 4y = Giải hệ phương trình: x2 y + 2x2 + 6y = 23 Giải t − 4y = − x4 − 4x2 hệ cho tương đương (x2 + 6)y = 23 − 2x2 với t = y2 ta tính D = x2 + 6, Dt = −x6 − 10x4 − 30x2 + 104, Dy = 23 − 2x2 . Dy Dt = suy (x2 + 6)(−x6 − 10x4 − 30x2 + 104) = (23 − 2x2 )2 ta có D D ⇔ (1 − x)(1 + x)(1 + x2 )(x4 + 16x2 + 95) = suy x = hay x = −1 , từ tìm y Bài 19. x2 + xy + y2 = Giải hệ phương trình: x2 + 2xy − 7x − 5y + = ma Giải Cách 1: Cộng theo vế phương trình hệ ta (2x + y − 3)(x + y − 2) = Từ dẫn đến trường hợp: x2 + xy + y2 = x = x = Trường hợp 1: ⇔ y = − 2x y = y = −1 x2 + xy + y2 = x = Trường hợp 2: ⇔ y = − x y = Kết luận: (1; 1), (2; −1) nghiệm hệ. x = a + a2 + b2 + 3a + 3b + ab = Cách 1: đặt hệ trở thành y = b + a2 − 3a − 3b + 2ab = cộng (1) (2) ta đc Bài 20. 2a2 + b2 + 3ab = Giải hệ phương trình: 3 x2 + y2 + (1) (2) ⇔ (2a + b)(a + b) = suy x y = 2(10 − xy) (x − y)2 2x + =5 x−y Giải Hệ ⇔ 2(x + y)2 + (x − y)2 + = 20 (x − y)2 u = x + y ma th. Đặt v = x − y + x + y + x − y + =5 x−y x−y 2u2 + v2 − = 20 v = − u u = u = Ta có hệ sau: ⇔ ⇔ 14 u + v = 2u2 + (5 − u)2 = 22 v = v = x + y = x = u = x + y = ⇔ ⇔ TH 1: ⇔ x − y = y = v = x − y + = x − y 1 u = x + y = x + y = x + y = √ √ 3 TH 2: ⇔ ⇔ 14 + 10 − 10 14 v = x − y + x − y = x − y = = 3 √ x − y √3 x = + 10 x = − 10 3√ 3√ ⇔ y = −3 − 10 y = −3 + 10 3 . vào pt thứ 2 ta được −4x 2 = 4 pt vô nghiệm Với x = 3 thay vào pt thứ 2 ta được y 2 + 8y + 7 = 0⇔ y = −1 y = −7 Với x = −5 thay vào pt thư 2 ta được y 2 + 8y + 119 = 0 pt vô nghiệm Vậy hệ pt có. = 2x ⇒−3x 2 = 3 (pt vô nghiệm) Vậy đối chiếu với đk hpt có một nghiệm là (2; 1) Bài 13. Giải hệ phương trình: (x −1) 2 + 6(x −1)y + 4y 2 = 20 x 2 + (2y + 1) 2 = 2 Giải hệ phương trình ⇔ x 2 −2x. 16.1 Giải hệ phương trình: x 3 + 7y = (x + y) 2 + x 2 y + 7x + 4 (1) 3x 2 + y 2 + 8y + 4 = 8x (2) Giải Từ pt thứ (2) trong hệ ta rút 4 = 8x −3x 2 −y 2 −8y Thay vào pt thứ (1) trong hệ thu