vn
TỔNG HỢP 20 BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRÊN MATH.VN
1 Giải phương trình: cos3x+ sin3x+ 2 sin2x= −1
Giải:
Ta có −1 ≤ sin3x+ cos3x≤ 1 và 0 ≤ 2 sin2x≤ 2
Vậy ta có pt ⇔
"
cos3x+ sin3x= −1
2 sin2x= 0 ⇔ cos x = −1
2 Giải phương trình: 4 cos x − 4 sin2x+ cos 4x = 5
Giải:
cos 4x = 2 cos22x − 1 = 2(2 cos2x− 1)2− 1 = 8 cos4x− 8 cos2x+ 1 −4sin2x= −4(1 − cos2x)
PT ⇔ 4 cos x + 4cos2x− 4 + 8 cos4x− 8 cos2x+ 1 − 5 = 0 ⇔ 8 cos4x− 4 cos2x+ 4 cos x − 8 = 0
⇔ (cos x − 1)(8 cos3x+ 8 cos2x+ 4 cos x + 8) = 0 ⇔
"
cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = 1 ⇒ x = k2π (k ∈ Z)
8 cos3x+ 8 cos2x+ 4 cos x + 8 = 0 (V N)
3 Giải phương trình: tan x + tan2x+ tan3x+ cot x + cot2x+ cot3x= 6
Giải:
tan x + cot x = 1
sin(x) cos(x) =
2 sin 2x tan2x+ cot2x= sin
2x cos2x+cos
2x sin2x = cos
4x+ sin4x cos2x.sin2x = 4 − 2sin
22x sin22x tan3x+ cot3x= sin
3x cos3x+cos
3x sin3x = cos
6x+ sin6x cos3x.sin3x = 8 − 6sin
22x sin32x
PT ⇔ 2
sin 2x+
8 − 6sin22x sin32x +
4 − 2sin22x sin22x = 6 ⇔ −8sin
32x − 4sin22x + 4 sin 2x + 8 = 0
⇔ (sin 2x − 1)(−8 sin22 − 12 sin 2x − 8) = 0 ⇔
"
sin 2x − 1 = 0 ⇔ sin 2x = 1 ⇒ x = π
4 + kπ(k ∈ Z)
−8 sin22 − 12 sin 2x − 8 = 0 (V N))
4 Giải phương trình: (tan x cot 2x − 1) sin4x +π
2
= −1
2 (sin
4x+ cos4x)
Giải:
Đk: sin x 6= 0, cos x 6= 0
(1) ⇔
cos 2x cos 2x + 1− 1
(2 cos22x − 1) =−1
4 (cos
22x + 1)
⇔ cos32x − 7 cos22x + cos 2x + 5 = 0
⇔ (cos 2x − 1)(cos 2x − 5 cos 2x − 6) = 0
⇔ cos 2x = 0 ∨ cos 2x = 3 −√
14 ∨ cos 2x = 3 +√
14 (loại)
⇒ x = kπ ∨ x= ±arccos(3 −
√ 14)
2 + kπ
5 Giải phương trình: 32 cos6 x+π
4 − sin 6x = 1
Giải:
PT ⇔ 4(1 + cos(2x +π
2))3− (3 sin 2x − 4 sin32x) = 1
⇔ 4(1 − sin 2x)3− (3 sin 2x − 4 sin32x) = 1
⇔ 12 sin22x − 15 sin 2x + 3 = 0
⇔ sin 2x = 1 ∨ sin 2x = 1
4
6 Giải phương trình: cos2x= cos4x
3
Giải:
PT ⇔ 1 + cos 2x
2 = cos
4x
3 ⇔ 1 + cos 3 2x
3
= 2 cos 2 2x
3
Trang 2
vn
⇔ 1 + 4 cos32x
3 − 3 cos2x
3 = 4cos
22x
3 − 2 ⇔ 4 cos32x
3 − 4cos22x
3 − 3 cos2x
3 + 3 = 0
⇔
cos2x
3 − 1
cos2x
3 −
√ 3 2
!
4 cos2x
3 + 2
√ 3
= 0
⇔
cos2x
3 = 1 ⇒ x = k3π (k ∈ Z) cos2x
3 =
√ 3
2 ⇒ x = ±π
4+ k3π (k ∈ Z) cos2x
3 = −
√ 3
2 ⇒ x = ±5π
4 + k3π (k ∈ Z)
7 Giải phương trình: sin 3x + sin x =√
3(cos x − 1)
Giải:
Đặt x +π
6 = t ⇒ 3x = 3t −
π
2 Phương trình tương đương với
⇔ sin 3x =√3 cos x − sin x −√
3 ⇔ sin(3t −π
2) = 2 cost −
√
3 ⇔ − cos 3t + 2 cost +√
3 = 0
⇔ 4 cos3t− cost +√3 = 0 ⇔ cost −
√ 3 2
!
4 cos2x+ 2√
3 cos x + 2 = 0 ⇔ cost =
√ 3 2
⇔ t = ±π
6 + 2kπ ⇔" x = 2kπ
x= −π
3+ 2kπ
8 Giải phương trình: cos2x− 4 cos x − 2x sin x + x2+ 3 = 0
Giải:
cos2x− 4 cos x − 2x sin x + x2+ 3 = 0 ⇔ 2(cos x − 1)2+ (sin x − x)2= 0 ⇔
sin x = x cos x = 1
⇔ x = 0
9 Giải phương trình: tan2x− 2 +√2 − tan x = 0
Giải:
ĐK: tan x ≤ 2 PT ⇔ (tan x −√
2 − tan x)(tan x +√
2 − tan x − 1) = 0 ⇔
"
tan x =√
2 − tan x tan x +√
2 − tan x − 1 = 0 + Với tan x =√
2 − tan x ≥ ta có pt ban đầu tương đương:
tan2x+ tan x − 2 = 0 ⇔
"
tan x = 1 tan x = −2 ⇔ tan x = 1 ⇔ x =π
4+ kπ + Với tan x +√
2 − tan x − 1 = 0 (∗) ta có pt ban đầu tương đương:
tan2x− tan x − 1 = 0 ⇔ tan x =1 ±
√ 5 2 Thử lại vào (∗) ta nhận nghiệm tan x = 1 −
√ 5
2 ⇔ x = arctan 1 −
√ 5 2
! + kπ
KL: PT đã cho có nghiệm x =π
4+ kπ; x= arctan 1 −
√ 5 2
! + kπ (k ∈ Z)
10 Giải phương trình: r 2 cos x
3 +
r 2 − 2 cos x
3 =
2
3sin x +
1
2 sin x
Giải:
Có cos x ≥ 0 và 1 − cos x ≥ 0
Vậy nên V T =r 2
3
√ cos x +√
1 − cos x
Cauchy
≤ r 2
3
r 1 2
cos x +1
2+ (1 − cos x) +
1 2
=r 4 3
Vì V P = V T =r 2
3
√ cos x +√
1 − cos x > 0 ⇒ sin x > 0 Vậy nên V P =2sin x + 1
Cauchy
≥ r 4
Trang 3vn
Vì V P ≥r 4
3 ≥ V T nên đẳng thức xảy ra ⇔
cos x =1
2 sin x =
√ 3 2
⇔ x =π
3+ 2kπ
11 Giải phương trình: cos5x+ sin5x+ sin 2x + cos 2x = 1 +√
2
Giải:
Có:
sin5x≤ | sin5x| ≤ sin2x
cos5x≤ | cos5x| ≤ cos2x
⇒ sin5x+ cos5x≤ 1 Lại có: sin 2x + cos 2x =√
2sin(2x +π
4)
≤√2, Nên V T ≤√
2 + 1 = V P Đẳng thức xảy ra ⇔
sin5x= sin2x cos5x= cos2x sin2x +π
4
= 1
⇔ x ∈ Ø
12 Giải phương trình: cos
x−11π 5
+ cos 11π
10 −x 2
+ sin
x
2− π 10
= 0
Giải:
Đặt t = x
2− π
10 Lúc đó pt đã cho trở thành: cos(2t − 2π) + cos(π − t) + sint = 0
⇔ cos 2t − cost + sint = 0 ⇔ (cost − sint) (cost + sint − 1) = 0 ⇔ cost − sint = 0 ∨ cost + sint = 1 +Với cost − sint = 0 ⇔ tant = 1 ⇔ t = π
4+ kπ ⇒ x = 7π
10+ k2π, k ∈ Z +Với cost + sint = 1 ⇔ sint+π
4
=
√ 2
2 ⇔ t = k2π ∨t =π
2+ k2π ⇒ x =π
5+ k4π ∨ x = 6π
5 + k4π, k ∈ Z
13 Giải phương trình: sin 5x
2 −π 4
− cosx
2−π 4
=√
2 cos3x 2
Giải:
PT ⇔ sin 5x
2 −π
4
− sinx
2+
π 4
=√
2 cos3x
2 ⇔ 2 cos3x
2 sin
x−π 4
=√
2 cos3x 2
⇔
cos3x
2 = 0
sinx−π
4
= √1 2
⇔
3x
2 =
π
2+ kπ
x−π
4 =
π
4+ k2π
x−π
4 =
3π
4 + k2π
⇔
x= π
3+ k
2π 3
x= π
2+ k2π
x= π + k2π
(k ∈ Z)
14 Giải phương trình: sin
10x+ cos10x
4 =
sin6x+ cos6x
4 cos22x + sin22x
Giải:
V P= sin
6x+ cos6x
4 sin22x + cos22x =
1 − 3 sin2xcos2x
4 − 3 sin22x =
1 4
Ta có : cos10x≤ cos2x; sin10x≤ sin2x; ⇒ V T ≤ 1
4 ⇔ V P = V T (
cos10x= cos2x
sin10x= sin2x ⇔
( cos x = 0 ∨ cos x = ±1 sin x = 0 ∨ sin x = ±1 ⇔ cos x = 0; sin x = 0 ⇔ sin 2x = 0 ⇔ x = kπ
2
15 Giải phương trình: cos
2x.(cos x − 1) sin x + cos x = 2(1 + sin x)
Giải:
Điều kiện : sin x + cos x 6= 0 PT ⇔ (1 − sin x)(1 + sin x)(cos x − 1)
sin x + cos x = 2(1 + sin x)
⇔ (1 + sin x) cos x − sin x cos x + sin x − 1
sin x + cos x − 2
= 0
?) sin x = −1 ⇒ x =−π
2 + k2π (k ∈ Z)
Trang 4vn
?) cos x − sin x cos x + sin x − 1
sin x + cos x − 2 = 0 ⇔ sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0
Đặt sin x + cos x = t, điều kiện |t| ≤√
2; sin x cos x =t
2− 1
2 ⇒ t + 1 +t
2− 1
2 = 0 ⇔ t
2+ 2t + 1 = 0
⇒ t = −1 ⇔ sin x + cos x = −1 ⇔ cos(x −π
4) = −√2
2 = cos
3π
4 ⇒ x = k2π, x= π
2+ k2π
So với điều kiện sin x + cos x 6= 0, vậy phương trình đã cho có nghiệm :x = k2π, x= π
2+ k2π
16 Giải phương trình: tan2x− tan2x sin3x+ cos3x− 1 = 0
Giải:
PT ⇔ tan2x(1 − sin3x) + (cos3x− 1) = 0 ⇔ sin2x(1 − sin3x) + cos2x(cos3x− 1) = 0
⇔ (1 − cos x)(1 + cos x)(1 − sin x)(1 + sin x + sin2x) − (1 − cos x)(1 − sin x)(1 + sin x)(1 + cos x + cos2x) = 0
⇔ (1 − cos x)(1 − sin x)(sin2x− cos2x+ sin2x cos x − sin x.cos2x) = 0
⇔ (1 − cos x)(1 − sin x)(sin x − cos x)(sin x + cos x + sin x cos x) = 0
Với cos x = 1 ⇒ x = k2π
Với sin x = 1 ⇒ x = π
2 + k2π Với sin x = cos x ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π
4+ kπ Với sin x + cos x + sin x cos x = 0; Đặt sin x + cos x = t, điều kiện |t| ≤√
2 sin x cos x =t
2− 1
2 ⇔ t2+ 2t − 1 = 0 Khi t = −1 +√
2 ⇔ sin x + cos x = −1 +√
2 ⇔ cos(x −π
4) =
−1 +√2 2
⇒ x =π
4± arccos −1 +
√ 2 2
! + k2π Khi t = −1 −√
2 (loại)
So với điều kiện cos x 6= 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm :
x= k2π, x = π
2+ k2π, x = π
4 + kπ, x =π
4± arccos −1 +
√ 2 2
! + k2π (k ∈ Z)
17 Giải phương trình: tan2x+ 9 cot2x+2 cos 2x + 4
sin 2x = 14 (1)
Giải:
Đk: tan x 6= 0
(1) ⇔ tan2x+ 9
tan2x+ (tan x + cot x)(2 cos2x+ 1) = 14
⇔ tan2x+ 9
tan2x+ tan2x+ 1
tan x
tan2x+ 3 tan2x+ 1
= 14
⇔ tan4x+ tan3x− 14 tan2x+ 3 tan x + 9 = 0
⇔ (tan x − 1)(tan x − 3)(tan2x+ 5 tan x + 3) = 0
⇔ tan x = 1 ∨ tan x = 3 ∨ tan x = −5 −√13
2 ∨ tan x =
√
13 − 5 2
18 Giải phương trình: 6 cos
32x + 2 sin32x
3 cos 2x − sin 2x = cos 4x
Giải:
Điều kiện: 3 cos 2x − sin 2x 6= 0;
Đặt t = 2x; Phương trình tương đương:
6 cos3t+ 2 sin3t
3 cost − sint = cos 2t
⇔ 6 cos3t+ 2 sin3t= (3 cost − sint) cos 2t Xét cost = 0, phương trình vô nghiệm
Trang 5vn
Xét cost 6= 0, chia 2 vế cho cos3t 6= 0
6 + 2 tan3t= (3 − tant) 1 − tan2x
⇔ tan3t+ 3 tan2t+ tant + 3 = 0
⇔ (tant + 3) (tan2t+ 1) = 0
Vì (tan2t+ 1) > 0 ∀t
nên phương trình tương đương: tant + 3 = 0 ⇔ t = arctan(−3) + kπ ⇔ x = 12arctan(−3) + kπ
2
Thử lại thấy đúng điều kiện, vậy phương trình có 1 họ nghiệm là x =12arctan(−3) + kπ
2
19 Giải phương trình: 4 sin3x− 4 =√3 cos 3x
Giải:
20 Giải phương trình: 4 sin3x− 3 cos3x− 3 sin x − sin2 cos x = 0
Giải:
Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình
Với cos x 6= 0, chia cả 2 vế cho cos3xta được:
4 tan3x+ 3 − 3 tan x(1 + tan2x) − tan2x= 0
⇔ tan3x− tan2x− 3 tan x + 3 = 0
⇔ tan x =√3 ∨ tan x = −√
3 ∨ tan x = 1
⇔ x =π
3+ kπ ∨ x= π
4+ kπ