Bài tập lượng giác có lời giải (LTDDH)

Dấu đẳng thức xảy ra khi:... Đại Học Y Dược TP... Xác định a để hai phương trình sau tương đương 79.. Đại Học Y Dược TP... Hãy giải phương trình * trong trường hợp đó.. Đại Học Quốc Gia

2 x 2

x 1

x 2 x x

cos ) sin (cos

sin cos

sin sin

cos cos

0 x x

0 x x

x

2

sin cos sin

cos sin

cos sin

cos )

sin )(cos

sin

(cos

Z)(k cos

sincos

xx

x

2 2

3 sin 2 x  cos 2 x  cos 2 x

1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x

(cos 4x cos 2x) (1 cos 6x) 0

0 x x x 4 0 x x

x 2 0 x 2

x x

cos

cos



3

k 6

x 2

k 4 x k

2 x 0 x 0

x 0

2 x 2

x 1

x 2 x x

coscos

xk4x

2

m4

x1

1x

x 2

x 2 4 x x

2 x 1

6 x

8

13 x

6 sin cos

x 2 8

13 x

13 x x x

x x

x 2

8 x x

2 8

13 x 4

1 x 2 2

1 1

x ( sin 2 sin 2 ) cos 2 cos ( sin 2 ) cos 2

2 2x 0x

2 13 x 2 1

2

8 2x 0x

2 13 x 2 2

8cos2sinx 20 cos cos ( cos 2 ) cos coscos 2 cos

(loại) cos

cos

2

1 x 2 0

k 4 x

t4t

tgx 3 x 2 x

x k2

x tg

x 2 x

x 2

cho trình phương của

vế hai Chia trình phương mãn

thỏa không





Z) (k )

)(

( ) (

)

4 x 1 tgx 0 1 x tg 3 1 tgx x

tg 1 tgx

4 x x 2 1 x

x x 0

3 x 2 x 1

x 2

cos)

sin)(cos

0xx

x 4 1

x 4 x

3 2 x 2

x 2

4 sin x cos x 1 vo ânghieäm 4 2

0 3 x 4 4 x 4



2

k x k x 0

4

1  2  4  4  

 sin sin sin  sin   cos    k  (k  Z)

2 x 0 x 1

( cos

) cos (

0x5

2x2

0x5

1x

1x0

1x6x

2 2

4

cos

sincos

sincos

coscos

)

x 2 x 1

x 2 x 2 x 2 x 1

x x

1

2 (  cos 2 ) cos 2   cos 2  cos 2  cos 2  cos 4   cos 2  cos 2



2

k 4 x k 2 x 0

x

C2 tg x 2 2 tg x tg x tg x 2 2 tg x

x tg

1

x tg

cos            

6 x 2 3

x 3 2

2 1 3 3 0 x 5 x 1

3 x 2 1

3 x 4

0 x x

6 x

cos

cos )

cos (

cos cos

cos cos

1 x

8

1 x

2 x 2 8 8 8

1 x 8

1 x 4

1 x

24 2 ( 1  sin x )  5 (sin x  cos x )  3  0 2 (sin x cos x ) 2 5 (sin x cos x ) 3 0

3 2sin x cosx 1 sin x cosx 2 (loại) sin x sin

12 x x

cos

) (cos cos

cos

) (cos cos

1 x 0

1 x

1



cos cos

] cos

0 1 x x

31 2 cos x2 12 7 cosx 1 2 0

cosx cos x

(loại)

cos cos

2 1 x 0

1 x 2 x

sin x sin x

sin

) (sin sin

sin

)

2 x 1 x 0

1 x 0

1 x 2 x

sin xsin x

sin

2

k x 0 x 0

x x

6 gx tgx

2 2 gx

Z) (k )

( )

4

x 4 tg 1 tgx 0 1 tgx 0

1 tgx 2 x tg 2 tgx

1

tgx

) sin( sin

sin cos

sin cos

sin sin

cos cos

sin

)

(

6 2

1 x 1

x 2 x x 4 x x

4 x

x x

C2 : Đặt t  tgx  cot gx  t 2  ( tgx  cot gx ) 2  tg 2 x  cot g 2 x  2 tgx cot gx tg 2 x g 2 x 2





4 2 x g

sin

cos cos

x x

0 6 gx tgx

5 2 gx

)

sin cos

sin cos

sin sin

cos cos

sin

)

(

6 2

1 x 1

x 2 x x 4 x x

4 x

x x

x x

01gxtgx

4xg3xtg1301gxtgx

4xg3x

4 2 gx tgx

3 0 2 gx tgx

4 x g x

4 gx tgx

4 2 x g

x 2

t       2  sin 2  cos 2   sin cos  sin  

sin

cos cos

x x

0 4 gx tgx

5 x tg 2 x g 1

5 2 gx tgx

2 0 4 gx tgx

5 x g x

5 gx tgx

sin

5

1 x x

x 5 x x

2 2

5 x

x x

x 2

sin x cosx2(sin x cosx)

cosx sinx

     2(sin x cosx)sin x cosx 1 

đặt t sin x cosx 2 cos x

(sin x cosx)(1 sin x cosx) 2sin x cosx sin x cosx

2

t 1đặt t sin x cosx 2 cos x sin x cosx

Phương trình trở thành :

VT (cos4x cos2x)  (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 VP 5 sin3x 4  

Vậy phương trình tương đương với hệ :

VT (cos4x cos2x)  (2sin3xsin x) sin 3xsin x 4 VP 5 sin3x 4  

Vậy phương trình tương đương với hệ :

44.sin x cosx  2(2 sin3x)

VT sin x cosx 2 sin x 2

sin x sin x sin x sin x

    Vì cosx 1  cos x cos x13  2 ; sin x 1  sin x sin x14  2

Vậysin x sin x 113  14  Dấu đẳng thức xảy ra khi:

VT sin x cosx 2 cos x 2

2

VP  (  sin )  (  ) 

Vậy (1) 2 cos x 4 2 cos x 4 1 cos x 4 1 (1)

2 sin3x 1 sin3x 1 (2)2(2 sin3x) 2

Vậy phương trình vô nghiệm

47.(cos 4 x  cos 2 x ) 2  5  sin x

4 x x 4

x x 2

2

4 3 1 x 1 x 1

xx 14

x

thế vào (2) ta có : sin x  3  4   1 thỏa mãn

Khi sin       k 2  (k  Z)

2 x 1

x

thế vào (2) ta có : sin x   3  4  1   1 không thỏa

Vậy nghiệm của phương trình là :    k 2   (k Z)

2 x

48 . 5  sin 2 x  sin x  2 cos x (1)

5 x 5

4 1 x 2

Dấu bằng xảy ra  tgx 12

2

x 1

49. 3 sin x  cos x  3 sin x  cos x  4 (1)

2 x 2

1 x 2

3 x 2

1 x 2

50.cos 2 x cos x  1

2 x x

1 x x

 (cos cos ) cos cos (*)

Vì cos 3  x 1 và cos x  1 nên (*)     

(k cos

x2 2 0 02

x xx 1

x xx 0 1

59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999

cosx cos2x cos3x cos4x 0    

sin x cos 2x cos 3x  

1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x (cos2x cos4x) (1 cos6x) 0

63 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999

Bình phương 2 vế ta được cos2x 1  sin 2x 0  xk2

64 Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000

sin t cost 1 sin 2t 2 (voânghieäm) 2 4

70 Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh khối D năm 2000

72 Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000

sin2x 4(cosx sin x) m   

a) Giải phương trình trên khi m 4

b) Với giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm?

Giải a) Khi m 4 , phương trình có dạng :

sin2x 4(cosx sin x) 4    (1 sin2x) 4(cosx sin x) 3 0    

b) sin2x 4(cosx sin x) m    (cosx sin x) 2  4(cosx sin x) m 1 0 (*)   

Đặt : t cosx sin x   2 cos x 4  t  2

  (*) t2  4t m 1 0  Nếu   / 5 m 0  m 5  phương trình vô nghiệm

Nếu   / 5 m 0  m 5  phương trình có hai nghiệm

72 Đại Học Văn Hóa Hà Nội khối D năm 2001

2

sinx 1 2sin x 2cosx(1 sin x) 0

sinx 1sinx 1

                Trong đó  là góc có sin  2 21

73 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997

76 Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998

Điều kiện :sin2x 0 ; sin3x 0 ; cos2x 0  

cos2x cos3x sin 2x cos3x2(cot g2x cot g3x) tg2x cot g3x 2

sin 2x sin3x cos2x sin3x

2sin x cosx 2sin x(cos2x cos x) 0 sin x 0 (loại)

sin 2xsin3x sin3x cos2x sin2xsin3x cos2x



sin 2x 0

Vậy phương trình vô nghiệm

77 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 1997

Xác định a để hai phương trình sau tương đương

79 Đại Học Y Dược TP Hồ Chí Minh khối B năm 2001

Xác định a để phương trình sau có nghiệm : sin x cos x a sin 2x6  6 

Đặt : t sin 2x  0 t 1  (*) 3t2 4at 4 0 

Với t 0 ta co ùf(0) 4 0  phương trình (1) luôn có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

1 cos6x 1 cos6x 1 cos10x 1 cos12x

81 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối D

Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình :cos3x 4cos2x 3cosx 4 0    

Vậy nghiệm của phương trình là:x x 3 x 5 x 7

82 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2002 khối A

Tìm x thuộc đoạn x0;2nghiệm đúng phương trình :

1 sin x sin x. 1 cosx 0 sin x 1 cosx 0 sin x (1 cosx)(1 sin x) 0

85 Đề thi chung của Bộ giáo dục – đào tạo năm 2004 khối D

(2 cosx 1)(2sin x cosx) 2sin x cosx sin x

2cosx 1 0 cosx 1/ 2(2cosx 1)(2sin x cosx) sin x(2 cosx 1)

86 Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D

3cosx cos2x cos3x 1 2sin xsin2x    

Cho phương trình :4 cos xsin x sin x cosx sin 4x m (*)5  5  2  Biết x  là một nghiệm của (*) Hãy giải phương trình (*) trong trường hợp đó

Giải

4sin x cosx(cos x sin x) sin 4x m    2sin2x cos2x sin 4x m   sin 4x sin 4x m 0 (1)  

Vì x  là nghiệm của phương trình (*) nên x  cũng là nghiệm của phương trình (1)

Nghĩa là :sin 4x sin 4  0 vậy từ (1) m 0

90 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối D

Tìm các giá trị m để phương trình sau có nghiệm

Cho phương trình :4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4  4  6  6  2 

Lập bảng xét dấu đạo hàm trên đoạn 0;1 ta có : f(0) 0 ; f(1) 1  

Vậy phương trình có nghiệm khi :  169 m 1

91 Đại Học Luật TP Hồ Chí Minh năm 1997 khối A

Cho phương trình :cos4x cos 3x asin x  2  2

a) Giải phương trình trên khi a 1

b) Xác định tham số a để phương trình đã cho có nghiệm x trên khoảng 0;12  

Giải a) cos4x cos 3x asin x 2  2  2 cos 2x 12  1 cos6x 2  a1 cos2x 2 

Lập bảng xét dấu đạo hàm trên khoảng 3 ;1

2

  ta thấy phương trình có nghiệm khi 0 a 1 

92 Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D

94 Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1996

Tìm nghiệm của phương trình :sin x cos x cos2x (1)4  4 

thỏa mãn bất phương trình : 1 2

2

1 2

sin2xsin x cos2x cosx

8cosx cos2xsin x 1cos2xsin x

(thỏa mãn điều kiện )4cos2xsin2x 1 2sin 4x 1 sin 4x 1/ 2

103 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996

a)3(cot gx cosx) 2(tgx sin x)     5

b)3(cot gx cosx) 5(tgx sin x) 2 (*)    

Điều kiệnsin x 0cosx 0

104 Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998

tgx cot gx 2(sin 2x cos2x)   

Điều kiện :cosx 0sin x 0  sin 2x 0





sin x sin x sin x cosx 1 (*)    

Điều kiện :sin x 0

cosx sin2x sin 4x  

Điều kiện :sin 4x 0

1 cosx cos2x cos4x cos8x

16

 (*)

Xét sinx = 0 thì phương trình không thỏa

Vậy (*)  sin x cosx cos2x cos4x cos8x 1 sin x







a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Giải phương trình khi m 18

Lập bảng xét dấu trên khoảng (–1;1) ta có : f(–1)= –1 ; f(1) = 1 ; f(0) = 

Vậy phương trình có nghiệm khi : 8m8m 1 1 mm 1/ 8 1/ 8

b) Vậy khi m18 thì phương trình vô nghiệm

108 Đại Học Kinh Tế năm 1995

109 Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995

4sin 2x 3cos2x 3(4sin x 1)   

4 cosx 3sin x 6 (vô ngghiệm vì a b 25 c 36)

Điều kiện :cosx 0 sin x 0sin 2x 0    sin 2x 0  xk2





112 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1997

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m4  4  6  6  2 

1 2tgx cot g2x 2sin 2x

4sin x cos2x 2(1 cos 2x) 1 0 2(1 cos2x) cos2x 3 cos 2x 0

115 Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 1998

cos4x 6sin x cosx 1  

sin x cos 2x cos 3x  

1 cos2x 1 cos4x 1 cos6x cos2x cos4x 1 cos6x 0

119 Đại Học Mỏ Địa Chất năm 1995: sin 5x 1

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

120 Đại Học Ngoại Thương Hà Nội năm 1995

123 Đại Học Ngoại Thương TP Hồ Chí Minh năm 1997

9sin x 6cosx 3sin2x cos2x 8    

sin x 1

2sin x 6 cosx 7 (vô nghiệm) 2

124 Đại Học Sư Phạm Hà Nội năm 1997

5cosx cos2x 2sin x 0   

sin x 05cosx cos2x 2sin x

5cosx (2cos 1) 4sin x

cosx 3 (loại) cosx 1/ 25cosx (2cos 1) 4(1 cos x) 2cos x 5cosx 3 0

(cosx sin x)(cosx sin x) cosx sin x

cos4x sin x sin 7x cos2x   