1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Lượng giác toàn tập : Lý thuyết và bài tập lượng giác có lời giải

169 409 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 169
Dung lượng 7,97 MB

Nội dung

Lượng giác toàn tập : Lý thuyết và bài tập lượng giác có lời giảiLượng giác toàn tập : Lý thuyết và bài tập lượng giác có lời giảiLượng giác toàn tập : Lý thuyết và bài tập lượng giác có lời giảiLượng giác toàn tập : Lý thuyết và bài tập lượng giác có lời giảiLượng giác toàn tập : Lý thuyết và bài tập lượng giác có lời giảiLượng giác toàn tập : Lý thuyết và bài tập lượng giác có lời giảiLượng giác toàn tập : Lý thuyết và bài tập lượng giác có lời giảiLượng giác toàn tập : Lý thuyết và bài tập lượng giác có lời giải

http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 điểm M De đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với ≤ β ≤ 2π Đặt α = β + k2π,k ∈ Z Ta đònh nghóa: Th sin α = OK cos α = OH sin α với cos α ≠ tgα = cos α cos α với sin α ≠ cot gα = sin α II Bảng giá trò lượng giác số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trò ( ) 0o sin α tgα cot gα ( ) π 45o 2 2 π 60o 3 2 π 90o || 3 ( ) iTh cosα π 30o || ( ) et u.N III Hệ thức 3 3 ( ) sin α + cos2 α = 1 π với α ≠ + kπ ( k ∈ Z ) + tg2α = cos α với α ≠ kπ ( k ∈ Z ) t + cot g2 = sin α IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a Đối nhau: α −α sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tg ( −α ) = −tg ( α ) cot g ( −α ) = − cot g ( α ) www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET b Bù nhau: α π − α sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α tg ( π − α ) = − tgα De cot g ( π − α ) = − cot gα c Sai π : α π + α sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = −cosα tg ( π + α ) = t gα Th cot g ( π + α ) = cot gα d Phụ nhau: α π −α π π : α + α 2 ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ + α ⎟ = − sin α ⎝2 ⎠ e.Sai ⎛π ⎞ tg ⎜ + α ⎟ = − cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ + α ⎟ = − tgα ⎝2 ⎠ et u.N iTh ⎛π ⎞ sin ⎜ − α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − α ⎟ = sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ − α ⎟ = cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ − α ⎟ = tgα ⎝2 ⎠ www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET f sin ( x + kπ ) = ( −1) sin x, k ∈ Z k cos ( x + kπ ) = ( −1) cos x, k ∈ Z k De tg ( x + kπ ) = tgx, k ∈ Z cot g ( x + kπ ) = cot gx V Công thức cộng sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cosa cos ( a ± b ) = cosa cos b ∓ sin asin b tga ± tgb ∓ tgatgb Th tg ( a ± b ) = VI Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cosa iTh cos2a = cos2 a − sin a = − 2sin a = cos2 a − 2tga tg2a = − tg2a cot g2a − cot g2a = cot ga VII Công thức nhân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a cos3a = cos3 a − 3cosa (1 − cos2a ) cos2 a = (1 + cos2a ) − cos2a tg2a = + cos2a sin a = IX Công thức chia đôi Đặt t = tg et u.N VIII Công thức hạ bậc: a (với a ≠ π + k2 π ) www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET 2t + t2 − t2 cosa = + t2 2t tga = − t2 sin a = De X Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b cosa − cos b = −2sin sin 2 a+b a−b sin a + sin b = cos sin 2 a+ b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin ( a ± b ) tga ± tgb = cosa cos b sin ( b ± a ) cot ga ± cot gb = sin a.sin b cosa + cos b = cos iTh Th XI Công thức biển đổi tích thành tổng ⎡ cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤⎦ 2⎣ −1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a + b ) − cos ( a − b ) ⎤⎦ ⎣ sin a.cos b = ⎡⎣sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ cosa.cos b = Ta có: et u.N Bài 1: Chứng minh sin a + cos4 a − = sin a + cos6 a − sin a + cos4 a − = ( sin a + cos2 a ) − 2sin a cos2 a − = −2sin a cos2 a Và: sin a + cos6 a − = ( sin a + cos2 a )( sin a − sin a cos2 a + cos4 a ) − = sin a + cos4 a − sin a cos2 a − = (1 − 2sin a cos2 a ) − sin a cos2 a − = −3sin a cos2 a www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET sin a + cos4 a − −2sin a cos2 a Do đó: = = sin a + cos6 a − −3sin a cos2 a De + cos x ⎡ (1 − cos x ) ⎤ Bài 2: Rút gọn biểu thức A = = ⎢1 + ⎥ sin x sin x ⎥⎦ ⎢⎣ π Tính giá trò A cos x = − < x < π 2 + cos x ⎛ sin x + − cos x + cos2 x ⎞ Ta có: A = ⎜ ⎟ sin x ⎝ sin x ⎠ + cos x (1 − cos x ) sin x sin x (1 − cos2 x ) 2sin x (với sin x ≠ ) ⇔A= = = 3 sin x sin x sin x Ta có: sin x = − cos2 x = − = 4 π Do: < x < π nên sin x > Vậy sin x = 2 4 Do A = = = sin x 3 ⇔A= iTh Th Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: a A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin x cot gx + + tgx − cot gx − a Ta có: et u.N b B = A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin2 x ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x ) + (1 − cos2 x ) cos2 x + (1 − cos2 x ) ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x + cos4 x ) + cos2 x − cos4 x + − 3cos2 x ⇔ A = (không phụ thuộc x) b Với điều kiện sin x.cosx ≠ 0,tgx ≠ Ta có: B = cot gx + + tgx − cot gx − www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET +1 2 + tgx tgx ⇔ B= + = + tgx − 1 − tgx − 1 − tgx tgx De ⇔ B= − (1 − tgx ) − tgx = = −1 (không phụ thuộc vào x) tgx − tgx − Bài 4: Chứng minh + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ cos2 b − sin c − cot g2 b cot g2 c = cot ga − ⎢1 − ⎥+ 2 2sin a ⎢ sin a ⎥ sin bsin c ⎣ ⎦ Th Ta có: cos2 b − sin c − cot g2 b.cot g2 c * 2 sin b.sin c cotg2 b = − − cot g2 b cot g2 c sin c sin b = cot g2 b + cot g2 c − + cot g b − cot g b cot g2 c = −1 (1) ( ) ( ) et u.N iTh + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ * ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ sin a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ = ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ − cos2 a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ − cosa ⎤ 1− = 2sin a ⎢⎣ + cosa ⎥⎦ + cosa cosa = = cot ga (2) 2sin a + cosa Lấy (1) + (2) ta điều phải chứng minh xong Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc nhọn Tìm giá trò nhỏ P = tgA.tgB.tgC Ta có: A + B = π − C Nên: tg ( A + B) = − tgC tgA + tgB = − tgC − tgA.tgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgA.tgB.tgC Vậy: P = tgA.tgB.tgC = tgA + tgB + tgC ⇔ www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta tgA + tgB + tgC ≥ 3 tgA.tgB.tgC ⇔ P ≥ 33 P ⇔ P2 ≥ De ⇔P≥3 ⎧ tgA = tgB = tgC π ⎪ Dấu “=” xảy ⇔ ⎨ π ⇔ A = B=C= ⎪⎩ < A,B,C < π Do đó: MinP = 3 ⇔ A = B = C = Th Bài : Tìm giá trò lớn nhỏ a/ y = sin x + cos4 2x b/ y = sin x − cos x iTh ⎛ − cos 2x ⎞ a/ Ta : y = ⎜ ⎟ + cos 2x ⎝ ⎠ Đặt t = cos 2x với −1 ≤ t ≤ y = (1 − t ) + t => y ' = − (1 − t ) + 4t 3 Ta : y ' = Ù (1 − t ) = 8t ⇔ − t = 2t ⇔t= ⎛1⎞ ⎝ 3⎠ 27 Do : Max y = Miny = x∈ 27 x∈ et u.N Ta y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜ ⎟ = b/ Do điều kiện : sin x ≥ cos x ≥ nên miền xác đònh π ⎡ ⎤ D = ⎢ k2π, + k2π ⎥ với k ∈ ⎣ ⎦ 2 Đặt t = cos x với ≤ t ≤ t = cos x = − sin x Nên sin x = − t4 Vậy y = − t − t D ' = [ 0,1] Thì y ' = −t (1 − t ) − < ∀t ∈ [ 0; 1) Nên y giảm [ 0, ] Vậy : max y = y ( ) = 1, y = y (1) = −1 x∈ D x∈ D www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET Bài 7: Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x − 2m sin x cos x Tìm giá trò m để y xác đònh với x De Xét f (x) = sin x + cos4 x − 2m sin x cos x f ( x ) = ( sin x + cos2 x ) − m sin 2x − sin x cos2 x sin2 2x − m sin 2x Đặt : t = sin 2x với t ∈ [ −1, 1] f ( x) = − http://dethithu.net y xác đònh ∀x ⇔ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R t − mt ≥ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ 1− Th Do Δ ' = m2 + > ∀m nên g(t) nghiệm phân biệt t1, t2 Lúc t t1 t2 g(t) Do : yêu cầu toán + - ⇔ t1 ≤ −1 < ≤ t Cách khác : iTh ⎧⎪1g ( −1) ≤ ⎧−2m − ≤ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩2m − ≤ ⎪⎩1g (1) ≤ −1 ⎧ ⎪m ≥ 1 ⇔⎨ ⇔− ≤m≤ 2 ⎪m ≤ ⎪⎩ et u.N g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1, 1] ⇔ max g (t ) ≤ ⇔ max { g (−1), g (1)} ≤ t ∈[ −1,1 ] −1 ⎧ ⎪m ≥ ⇔ max {−2m − 1),− 2m + 1)} ≤ ⇔ ⎨ ⎪m ≤ ⎪⎩ ⇔− 1 ≤m≤ 2 http://dethithu.net π 3π 5π 7π + sin4 + sin4 + sin4 = 16 16 16 16 7π π ⎛π π ⎞ Ta : sin = sin ⎜ − ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ 3π 5π ⎛ π 5π ⎞ = cos ⎜ − sin ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ Bài : Chứng minh A = sin4 www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET Mặt khác : sin α + cos4 α = ( sin α + cos2 α ) − sin α cos2 α De = − 2sin2 α cos2 α = − sin2 2α π 7π 3π 5π + sin4 + sin4 + sin4 Do : A = sin4 16 16 16 16 π π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π = ⎜ sin + cos4 + cos4 ⎟ + ⎜ sin ⎟ 16 16 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ = ⎜ − sin ⎟ + ⎜ − sin ⎟ 8⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎛ π 3π ⎞ = − ⎜ sin + sin ⎟ 2⎝ 8 ⎠ 1⎛ π π⎞ ⎛ 3π π⎞ = cos ⎟ = − ⎜ sin + cos2 ⎟ ⎜ sin 2⎝ 8 8⎠ 8⎠ ⎝ = 2− = 2 http://dethithu.net Th Bài : Chứng minh : 16 sin 10o sin 30o sin 50o sin 70o = et u.N iTh A cos 10o = Ta : A = (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o o o cos 10 cos 10 ⎛1⎞ ⇔ A= sin 20o ) ⎜ ⎟ cos 40o cos 20o o ( cos 10 ⎝2⎠ sin 200 cos 20o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 sin 40o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 cos 10o o sin 80 = =1 ⇔ A= cos10o cos 10o Bài 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tg A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 A+B π C = − 2 A+B C = cot g Vậy : tg 2 A B tg + tg 2 = ⇔ A B C − tg tg tg 2 A B C A B ⎡ ⎤ ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = − tg tg 2⎦ 2 ⎣ Ta : www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET ⇔ tg A C B C A B tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 π π π π + 2tg + tg = cot g ( *) 16 32 32 π π π π − tg − 2tg − 4tg Ta : (*) ⇔ = cot g 32 32 16 2 cos a sin a cos a − sin a − = Mà : cot ga − tga = sin a cos a sin a cos a cos 2a = = cot g2a sin 2a Do : π π⎤ π π ⎡ (*) ⇔ ⎢ cot g − tg ⎥ − 2tg − 4tg = 32 32 ⎦ 16 ⎣ π π⎤ π ⎡ ⇔ ⎢ cot g − 2tg ⎥ − 4tg = 16 16 ⎦ ⎣ π π ⇔ cot g − 4tg = 8 π ⇔ cot g = (hiển nhiên đúng) Bài 11 : Chứng minh : + 4tg De iTh Th Bài :12 : Chứng minh : ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a/ cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 + + + = cot gx − cot g16x b/ sin 2x sin 4x sin 8x sin16x + = + = et u.N ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π a/ Ta : cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎡ 4π ⎞ ⎤ ⎡ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π = (1 + cos 2x ) + ⎢1 + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ + ⎢1 + cos ⎜ 2⎣ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎝ ⎠⎦ 1⎡ 4π ⎞ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π cos 2x + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ + cos ⎜ ⎢ 2⎣ ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎝ 1⎡ 4π ⎤ cos 2x + cos 2x cos ⎥ ⎢ 2⎣ 3⎦ 1⎡ ⎛ ⎞⎤ + ⎢ cos 2x + cos 2x ⎜ − ⎟ ⎥ 2⎣ ⎝ ⎠⎦ = cos a cos b sin b cos a − sin a cos b − = b/ Ta : cot ga − cot gb = sin a sin b sin a sin b = www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET π 3+ + sin C = 3 ⇔ sin A + sin C = A+C A−C ⇔ sin = cos 2 B A −C ⇔ cos cos = 2 ⎛ 3⎞ A−C ⇔ ⎜ = ⎟ cos 2 ⎝ ⎠ ⇔ sin A + sin De ⇔ cos Th π C−A = = cos 2 iTh Do C > A nê n ΔΑΒ C : π ⎧C − A π ⎧ ⎪ =6 ⎪C = ⎪ ⎪ 2π π ⎪ ⎪ ⇔ ⎨A = ⎨C + A = ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪B = ⎪B = ⎩ ⎩ Bà i 205: Tính góc ΔABC nế u ⎧⎪ b2 + c ≤ a ⎨ ⎪⎩sin A + sin B + sin C = + (1) ( 2) b2 + c − a 2bc 2 b + c ≤ a nê n cos A ≤ Do (1): π π A π ≤A cos ≤1 Do 2 A Nê n M ≤ cos2 A + sin − π Mặ t khác : ΔABC khô n g tù nê n < A ≤ ⇒ ≤ cos A ≤ Do : iTh Th Đặ t et u.N ⇒ cos2 A ≤ cos A A M ≤ cos A + sin − A⎞ A ⎛ ⇔ M ≤ ⎜ − sin ⎟ + sin − 2⎠ ⎝ A A ⇔ M ≤ −4 sin + sin − 2 2 A ⎛ ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ sin − ⎟ ≤ ⎝ ⎠ Do giả thiế t (*) ta M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ B−C ⎪ ⎪⎧ A = 90 =1 ⇔ ⎨ Vậy : ⎨cos ⎪⎩B = C = 45 ⎪ A ⎪ ⎪sin = ⎩ * Cá c h 2: ( *) ⇔ cos 2A + 2 cos B + 2 cos C − = www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET B+C B−C cos −2=0 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 sin cos −2=0 2 A⎞ A B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ − sin ⎟ + 2 sin cos −2=0 2⎠ 2 ⎝ ⇔ cos2 A + 2 cos De A B − C⎞ ⎛ ⎛ B − C⎞ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟=0 ⎟ − ⎜ − cos 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ iTh Th A B − C⎞ ⎛ B −C = (*) ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ sin − cos ⎟ − sin 2 ⎠ ⎝ Do ΔABC khô n g tù nên cos A ≥ cos A − < Vậy vế trái (*) luô n ≤ ⎧ ⎪cos A = ⎪ A B−C ⎪ Dấu “=” xả y ⇔ ⎨ sin = cos 2 ⎪ B−C ⎪ ⎪⎩sin = 0 ⎪⎧ A = 90 ⇔⎨ ⎪⎩B = C = 45 Bà i 207: Chứ n g minh ΔABC nhấ t gó c 60 sin A + sin B + sin C = (*) cos A + cos B + cos C Ta : (*) ⇔ sin A − cos A + sin B − cos B + sin C − cos C = ( ) ( ) ( ) et u.N π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ π⎞ A−B ⎛ A + B π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ A−B ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦ A−B ⎛C π⎞⎡ ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = ⎝ 6⎠⎣ ⎝ ⎠⎦ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⎛π A + B⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎝3 C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ = ∨ = − ∨ = − 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET Bà i 208: Cho ΔABC V = cos A + cos B + cos C – Chứn g minh: a/ Nế u V = ΔABC mộ t gó c vuô n g b/ Nế u V < ΔABC ba gó c nhọ n c/ Nế u V > ΔABC mộ t gó c tù De 1 (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B) + cos2 − 2 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C ⇔ V = cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos2 C Ta : V = ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C Th ⇔ V = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B iTh Do : a/ V = ⇔ cos A = ∨ cos B = ∨ cos C = ⇔ ΔABC ⊥ tạ i A hay ΔABC ⊥ tạ i B hay ΔABC ⊥ tạ i C b/ V < ⇔ cos A.cos B.cos C > ⇔ ΔABC ba gó c nhọ n ( tam giá c khô n g thể nhiề u góc tù nê n khô n g trườ n g hợp cos cù n g âm ) c/ V > ⇔ cos A.cos B.cos C < ⇔ cos A < ∨ cos B < ∨ cos C < ⇔ ΔABC góc tù II TAM GIÁC VUÔNG B a+c = b Chứ n g minh ΔABC vuô n g Cho ΔABC cotg Ta : cotg B a+c = b et u.N Bà i 209: B = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C ⇔ B 2R sin B sin B sin B A+C A−C cos sin cos = 2 ⇔ B B B sin sin cos 2 B B A−C B ⇔ cos2 = cos cos (do sin > 0) 2 2 cos www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET B A−C B = cos (do cos > 0) 2 B A−C B C−A = ∨ = 2 2 A = B+C∨C = A +B π π A = ∨C= 2 ΔABC vuô ng tạ i A hay ΔABC vuô ng tạ i C ⇔ cos ⇔ ⇔ De ⇔ ⇔ Bà i 210: Chứ n g minh ΔABC vuô n g A nế u b c a + = cos B cos C sin B sin C Th Ta : ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ iTh ⇔ b c a + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A = cos B.cos C sin B sin C cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) cos B cos C − sin B sin C = ⇔ cos ( B + C ) = π ⇔ ΔABC vuô ng tạ i A ⇔ B+C= Ta : et u.N Bà i 211: Cho ΔABC : A B C A B C cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 Chứ n g minh ΔABC vuô n g A B C A B C cos cos = + sin sin sin 2 2 2 C 1⎡ A+B A − B⎤ C 1⎡ A+B A − B⎤ ⇔ ⎢ cos + cos − cos cos = − ⎢ cos sin ⎥ ⎥ 2⎣ 2 ⎦ 2 2⎣ 2 ⎦ (*) ⇔ cos C A − B⎤ C C A − B⎤ C ⎡ ⎡ ⇔ ⎢sin + cos cos = − ⎢sin − cos sin ⎥ ⎥ 2 ⎦ 2 ⎦ ⎣ ⎣ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = − sin + cos = − sin + cos sin 2 2 2 2 www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET C C A−B C C A−B C cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2 C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤ ⇔ cos ⎢sin − cos ⎥ = cos sin − cos ⎥ ⎢ 2⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⇔ sin De C C⎤ ⎡ C A − B⎤ ⎡ ⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0 2⎦ ⎣ 2 ⎥⎦ ⎣ C C C A−B ⇔ sin = cos ∨ cos = cos 2 2 C C A−B C B−A ⇔ tg = ∨ = ∨ = 2 2 C π ⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C π π π ⇔C= ∨A= ∨B= 2 Bà i 212: Chứ n g minh ΔABC vuô n g nế u : 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) = 15 Th Do bấ t đẳ n g thứ c Bunhiacố p ki ta : cos B + sin B ≤ + 16 cos2 B + sin2 B = 15 Bà i 213: et u.N iTh sin C + cos C ≤ 36 + 64 sin C + cos2 C = 10 3(cos B + sin C) + 4(sin B + cos C) ≤ 15 ⎧ cos B sin B ⎧ ⎪ = ⎪ tgB = Dấu “=” xả y ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = ⎩⎪ ⎩⎪ ⇔ tgB = cotgC π ⇔ B+C= ⇔ ΔABC vuôn g tạ i A nê n : Cho ΔABC : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B Chứ n g minh ΔABC vuô n g Ta : sin 2A + sin 2B = sin A.sin B ⇔ sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)] ⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B) ⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin C) cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C cos(A − B) ⇔ cos C = hay − (1 + sin C) = cos C cos(A − B) ⇔ cos C = ( Do sin C > nên −(1 + sin C) < −1 Mà cos C.cos(A − B) ≥ −1 Vậy (*) vô nghiệ m ) (*) www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET Do ΔABC vuôn g tạ i C III TAM GIÁC CÂN Bà i 214:Chứ n g minh nế u ΔABC tgA + tgB = cotg De tam giá c câ n Ta : tgA + tgB = cotg C C C sin(A + B) ⇔ = C cos A.cos B sin C cos sin C ⇔ = C cos A.cos B sin C C C sin cos cos 2 = ⇔ C cos A cos B sin C C ⎛ ⎞ ⇔ sin = cos A.cos B ⎜ cos > ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 ⇔ (1 − cos C ) = ⎡⎣ cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤⎦ 2 ⇔ − cos C = − cos C + cos ( A − B ) cos iTh Th ⇔ cos ( A − B ) = et u.N ⇔A=B ⇔ ΔABC câ n tạ i C Bà i 215: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : A B B A sin cos3 = sin cos3 2 2 Ta : sin A B B A cos3 = sin cos3 2 2 A⎞ B⎞ ⎛ ⎛ ⎜ sin ⎟ ⎜ sin ⎟ ⇔⎜ =⎜ A⎟ B⎟ B A ⎜ cos ⎟ cos ⎜ cos ⎟ cos2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ A B (do cos > cos > ) 2 www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET A⎛ B⎛ A⎞ B⎞ ⎜ + tg ⎟ = tg ⎜ + tg ⎟ 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠ A B A B ⇔ tg − tg + tg − tg = 2 2 B⎞⎡ A B A B⎤ ⎛ A ⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg + tg + tg tg ⎥ = (*) ⎠⎣ 2 2⎦ ⎝ A B A B A B ⇔ tg = tg ( + tg + tg + tg tg > ) 2 2 2 ⇔ A=B ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ tg De Bà i 216: Th Chứ n g minh ΔABC cân nế u : cos2 A + cos2 B = ( cotg A + cotg 2B ) (*) 2 sin A + sin B Ta : cos2 A + cos2 B ⎛ 1 ⎞ = ⎜ + − 2⎟ 2 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ 2 cos A + cos B 1⎛ 1 ⎞ ⇔ +1 = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ 1⎛ 1 ⎞ ⇔ = ⎜ + ⎟ 2 sin A + sin B ⎝ sin A sin B ⎠ (*) ⇔ iTh ⇔ sin A sin B = ( sin A + sin B ) ⇔ = ( sin A − sin2 B ) Ta : a + b = tg C ( atgA + btgB) et u.N ⇔ sin A = sin B Vậy ΔABC câ n tạ i C Bà i 217: Chứ n g minh ΔABC cân nế u : C a + b = tg ( atgA + btgB ) (*) C = atgA + btgB C⎤ C⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 2⎦ 2⎦ ⎣ ⎣ A + B⎤ A + B⎤ ⎡ ⎡ =0 ⇔ a ⎢ tgA − tg + b ⎢ tgB − tg ⎥ ⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎣ A−B B−A a sin b sin 2 ⇔ + =0 A+B A+B cos A cos cos B cos 2 ⇔ ( a + b ) cotg www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET A−B a b = hay − =0 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ sin De IV NHẬN DẠN G TAM GIÁ C Bà i 218: Cho ΔABC thỏa : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chứ n g minh ΔABC vuô n g hay câ n Do đònh hà m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B Nê n ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin A − sin B ) (*) Th ⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin A − sin B 1 (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 ⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ] ⇔ sin ( A − B ) = − ⎡⎣sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤⎦ ⇔ sin ( A − B ) = iTh ⇔ sin ( A − B ) ⎡⎣1 − sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π vậ y ΔABC vuô n g hay câ n C ⇔ A = B∨ A+B = Các h c sin A cos B − sin B cos A = sin2 A − sin2 B et u.N ⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin cos ) (2 cos sin ) 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = ∨ sin ( A + B ) = π Bà i 219 ΔABC tam giác ( a + b2 ) sin ( A − B ) = ( a − b2 ) sin ( A + B) (*) ⇔ A = B∨ A+B = Ta : (*) ⇔ ( 4R sin A + 4R sin B ) sin ( A − B ) = 4R ( sin A − sin B ) sin ( A + B ) ⇔ sin A ⎡⎣sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎤⎦ + sin B ⎡⎣sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤⎦ = ⇔ sin A cos A sin ( −B ) + sin B sin A cos B = www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET De ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = (do sin A > sin B > ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = Vậy ΔABC câ n tạ i C hay ΔABC vuô n g tạ i C Bà i 220: ΔABC tam giá c nế u : ⎧a sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ (2) ⎩sin 2A + sin 2B = sin A sin B Th Ta : (1) ⇔ 4R2 sin2 A sin 2B + 4R2 sin2 B sin 2A = 16R2 sin A sin2 B cos A ⇔ sin A sin 2B + sin B sin 2A = sin A sin2 B cos A ⇔ sin2 A sin B cos B + sin A cos A sin B = sin A sin B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = ⇔ sin ( A − B ) = iTh ⇔A=B Thay vào (2) ta sin 2A = 2sin2 A ⇔ sin A cos A = sin2 A ⇔ cos A = sin A ( sin A > 0) ⇔ tgA = Bà i 221: et u.N π Do ΔABC vuôn g cân tạ i C V TAM GIÁ C ĐỀ U ⇔A= Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : bc = R ⎡⎣ ( b + c ) − a ⎤⎦ (*) Ta : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) = R ⎡⎣2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤⎦ ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin ( B + C ) ⇔ sin B sin C = ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 3 sin C⎥ + sin C ⎢1 − cos B − sin B⎥ = ⇔ sin B ⎢1 − cos C − 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ π ⎞⎤ ⎡ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = (1) ⎠⎦ ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎣ www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET De π⎞ ⎛ Do sin B > − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ sin C > − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 3⎠ ⎝ Nê n vế trá i (1) luô n ≥ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪cos ⎜ C − ⎟ = ⎝ ⎠ Do đó, (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = ⎜ ⎟ ⎪⎩ 3⎠ ⎝ π ⇔C=B= ⇔ ΔABC 3 ⎧ ⎪sin B sin C = Bà i 222: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u ⎨ 3 ⎪a = a − b − c a−b−c ⎩⎪ Th (1) (2) Ta : (2) ⇔ a − a b − a 2c = a − b3 − c3 ⇔ a ( b + c ) = b3 + c iTh ⇔ a ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c ) ⇔ a = b2 − bc + c2 ⇔ b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − bc (do đl hà m cosin) ⇔ 2bc cos A = bc π ⇔A= Ta : (1) ⇔ sin B sin C = ⇔ ⎡⎣cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤⎦ = ⇔ cos A = Vậy từ (1), (2) ta ΔABC đề u et u.N ⇔ ⎡⎣ cos ( B − C ) + cos A ⎤⎦ = π⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⇔ cos ( B − C ) + ⎜ ⎟ = ⎜ (1 ) ta A = ⎟ 3⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⇔ cos ( B − C ) = ⇔ B = C Bà i 223: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C Ta : sin 2A + sin 2B = sin ( A + B ) cos ( A − B ) = sin C cos ( A − B ) ≤ sin C (1) Dấu “=” xả y khi: Tương tự : cos ( A − B ) = sin 2A + sin 2C ≤ sin B (2) www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET Dấu “=” xả y khi: cos ( A − C ) = Tương tự : sin 2B + sin 2C ≤ sin A Dấu “=” xả y khi: cos ( B − C ) = (3) Từ (1) (2) (3) ta : ( sin 2A + sin 2B + sin 2C) ≤ ( sinC + sin B + sin A ) De ⎧cos ( A − B ) = ⎪ Dấu “=” xả y ⇔ ⎨cos ( A − C ) = ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = ⇔ ΔABC đề u Bà i 224: Th Cho ΔABC : 1 1 (*) + + = 2 sin 2A sin 2B sin C cos A cos B cos C Chứ n g minh ΔABC đề u Ta : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C = ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) cos A cos B cos C = sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C ) iTh Mà : sin A sin B sin C = ⎡⎣ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ sin ( A + B ) = ⎡⎣ cos ( A − B ) + cos C ⎤⎦ sin C = sin C cos C + cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin 2C + sin 2A + sin 2B Do , vớ i điề u kiệ n ΔABC khô n g vuôn g ta (*) ⇔ sin2 2B sin2 2C + sin 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B = sin 2A sin 2B sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) et u.N = sin2 2A sin 2B sin 2C + sin2 2B sin 2A sin 2C + sin2 2C sin 2A sin 2B 1 2 ⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C ) 2 + ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔⎨ ⇔ A = B = C ⇔ ABC đề u ⎩sin 2B = sin 2C Bà i 225: Chứ n g minh ΔABC đề u : a cos A + b cos B + c cos C 2p = (*) a sin B + b sin C + c sin A 9R www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET Ta : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) De = R ⎡⎣2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C cos C ⎤⎦ = 2R sin C ⎡⎣cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤⎦ = 4R sin C sin A sin B Cá c h 1: a sin B + b sin C + c sin A = 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) ≥ 2R sin2 A sin B sin2 C ( bđt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C ≤ sin A sin B sin C (1) a sin B + b sin C + c sin A 2p a + b + c = = ( sin A + sin B + sin C ) Mà vế phải : 9R 9R 23 sin A sin B sin C (2) ≥ Từ (1) (2) ta ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC đề u 4R sin A sin B sin C a+b+c = Cá c h 2: Ta : (*) ⇔ a sin B + b sin C + c sin A 9R ⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c ⇔ 9R ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ca a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ 2R ⇔ 9abc = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Do vế trá i : iTh Th Do bấ t đẳ n g thức Cauchy ta a + b + c ≥ abc et u.N ab + bc + ca ≥ a b2c2 Do : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Dấu = xảy ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC đề u Bà i 226: Chứ n g minh ΔABC đề u A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 Ta : cot gA + cot gB = ≥ sin ( A + B ) sin A sin B sin C = sin C sin A sin B ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (do bđt Cauchy) www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET C C C cos sin 2 = = C A + B A − B A − B sin cos cos cos 2 2 C ≥ 2tg (1) B Tương tự : cot gA + cot gC ≥ 2tg (2) A cot gB + cot gC ≥ 2tg (3) Từ (1) (2) (3) ta B C⎞ ⎛ A ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ ⎜ tg + tg + tg ⎟ 2⎠ ⎝ Do dấu “=” tạ i (*) xả y A−B A−C B−C ⎧ =1 = cos = cos ⎪cos ⇔⎨ 2 ⎪⎩sin A = sin B = sin C sin De Th ⇔A=B=C ⇔ ΔABC iTh BÀI TẬP Tính gó c ΔABC biết : a/ cos A = sin B + sin C − b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = ⎧⎪ A, B nhọn b/ ⎨ 2 ⎪⎩sin A + sin B = sin C et u.N c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = Tính góc C ΔABC biế t : a/ (1 + cot gA ) (1 + cot gB ) = 2π π ,A = ) π (ĐS: A = B = C = ) (ĐS: B = C = ⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < Cho ΔABC : ⎨ ⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = Chứ n g minh Δ mộ t gó c 36 Biế t sin2 A + sin2 B + sin2 C = m Chứ n g minh a/ m = ΔABC vuôn g b/ m > ΔABC nhọn c/ m < ΔABC tù Chứ n g minh ΔABC vuôn g nế u : b+c a/ cos B + cos C = a b c a + = b/ cos B cos C sin B sin C www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan http://dethithu.net - Chia sẻ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ƠN THI cập nhật ngày.Truy cập tải ngay! DETHITHU.NET De c/ sin A + sin B + sin C = − cos A + cos B + cos C ( b − c ) = ⎡⎣1 − cos ( B − C )⎤⎦ d/ b2 − cos 2B Chứ n g minh ΔABC cân nế u : + cos B 2a + c a/ = sin B a − c2 sin A + sin B + sin C A B = cot g cot g b/ sin A + sin B − sin C 2 c/ tgA + 2tgB = tgA.tg B C C⎞ ⎛ ⎞ ⎛ d/ a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ C B e/ ( p − b ) cot g = ptg 2 C f/ a + b = tg ( atgA + btgB ) ΔABC Δ nế u : A+B a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg b/ c = c cos 2B + b sin 2B c/ sin 3A + sin 3B + sin 3C = d/ 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) iTh Th Chứ n g minh ΔABC đề u nế u a/ ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b/ 3S = 2R ( sin A + sin B + sin C ) c/ sin A + sin B + sin C = sin A sin B sin C 9R d/ ma + m b + mc = vớ i ma , m b , mc đườ n g trung tuyế n et u.N www.DETHITHU.NET Tham gia nhóm Facebook: ƠN THI ĐH TỐN - ANH để học: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan ... 4tg = 16 16 ⎦ ⎣ π π ⇔ cot g − 4tg = 8 π ⇔ cot g = (hiển nhiên đúng) Bài 11 : Chứng minh : + 4tg De iTh Th Bài :1 2 : Chứng minh : ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a/ cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1... cos sin =1 ⇔ sin cos 2 2 A+B+C π = ⇔ sin = ( hiển nhiên đúng) ⇔ sin 2 Ta có : Ta có : et u.N iTh Th Bài 24 : Chứng minh : tg A B C + cos A + cos B + cos C + tg + tg = ( *) 2 sin A + sin B + sin... xong Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc nhọn Tìm giá trò nhỏ P = tgA.tgB.tgC Ta c : A + B = π − C Nên: tg ( A + B) = − tgC tgA + tgB = − tgC − tgA.tgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgA.tgB.tgC Vậy: P =

Ngày đăng: 07/03/2017, 23:22

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w