Ôn thi ĐH có Phân dang + Đê thi có lời giải

TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐIPhương pháp giải toán 1... Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b afx dx Phương pháp giải toán Bước 1.. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi

Chuyên đề

TÍCH PHÂN CÔNG THỨC

C x

C x

cos sin

C x xdx  

C x dx

C x dx

x  

  ax b C

a b ax

a dx

a dx b

C u

cos sin

C u udu  

C u du

C u du

b a

dxI

2 0

dxI

dxI

dxI

td

0 4

0

4

4p

Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f( x)- +2f(x)= cosx.

Tính tích phân

2 2

p

p -

Giải

Đặt

2 2

p

p -

p -

i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a a

Cách 1.

Bước 1 Đặt u=f(x), dv= g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và

vi phân du=u (x)dx/ không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân

b avdu

ò phải tính được.

Bước 2 Thay vào công thức (1) để tính kết quả.

Đặc biệt:

I =òx ln xdx.

Giải

dxdu

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b a

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

Cách 1.

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

2 1

Giải Cách 1.

b a

J = òmin f(x), g(x) dx, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x)=f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2

+ Nếu h(x)>0 thì max f(x), g(x){ } =f(x) và min f(x), g(x){ } =g(x).

+ Nếu h(x)<0 thì max f(x), g(x){ } =g(x) và min f(x), g(x){ } =f(x).

4

2 0

Giải

Đặt h(x)=(x2 +1) - (4x- 2) =x2- 4x+3 Bảng xét dấu

x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +

Đặt h(x)= 3x - (4- x) =3x + -x 4 Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 +

b a

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m£ f(x)£ M.

Bước 2 Lấy tích phân

b a

Ví dụ 16 Chứng minh

1

2 0

Ví dụ 17 Chứng minh

3 4

2 4

dx

p p

2 4

p p

2 4

dx

p p

dx

p p

2

xcotgxsin x

4 3x

dx

p p

4 Dạng 4 (tham khảo)

Để chứng minh

b a

Bước 1 Tìm hàm số g(x) sao cho

b b

a a

a a

ò

Ví dụ 19 Chứng minh

2 2

2007 0

2007 0

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y= f(x), x=a, x =b và trục hoành là

b a

S= ò f(x) dx.

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b af(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b af(x)- g(x) dx

= ò - Trong đó a b, là nghiệm nhỏ nhất

và lớn nhất của phương trình f(x)=g(x) (a£ a < b £ b) .

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f(x)=g(x).

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a b; ].

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx

b a

V = pòg (y)dy.

Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : x22 y22 1

a +b = quay quanh Oy.

2 a y

33b

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a

Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2, y2 = x

quay quanh Ox.

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x= f(y), x= g(y), y=c

và y =d (c<d, f(y)³ 0,g(y) ³ 0 y" Î [c; d )] quay quanh trục Oy là

d

c

V = pò f (y)- g (y) dy.

Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x= - y2 +5,

x= -3 y quay quanh Oy.

1 - 9

dx x



C=2

2 2 0

sin 2(1 cos )

16 -x dx

D=

e

dx e



3 2 2





2 2 1

11



2

2 0

x 

1 2

0 1

x dx x

10.Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.

a Tính diện tích hình phẳng D.

b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.

11.Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1

khi nó quay quanh:

ĐỀ CH NH TH ÍNH TH ỨC

I.Phần chung (7 điểm) :dành cho tất cả các thí sinh

Câu I(2 điểm) :Cho hàm sốy x 32mx2(m 3)x 4  có đồ thị là (Cm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 2

2) Cho E(1; 3) và đường thẳng () có phương trình x-y + 4 = 0 Tìm m để () cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A, B, C ( với xA = 0) sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4

Câu II (2 điểm):a.Giải phương trình: 32 2 sin 2 1 1 3

dxI

II Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)

Phần 1: Theo chương trình chuẩn

Câu VIa: ( 2 điểm)

1/.ChoABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x y  1 0 và phân giác trong CD:x y 1 0 Viết phương trình đường thẳng BC

2/ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d :

Câu VIIa:( 1 điểm)

Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau Tính xác suất để lấy được

5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm của hệ sau:

Phần 2: Theo chương trình nâng cao

Câu VIb:( 2 điểm)

1/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(-2;3), B(

) 0

2/.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6) Viết phương trình mặt

phẳng (P) qua A; cắt các trục tọa độ lần lượt tại I; J; K mà A là trực tâm của tam giác IJK

Câu VII:( 1 điểm)

Ib PT hoành độ giao điểm :x32mx2(m 3)x 4 x 4     (1)

0,25

Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A / (0;0;2a),, / 3

F di động trên AA / , tọa độ F(0;0;t) với t  [0;2a]

Vì C/E có độ dài không đổi nên d(F,C/E ) nhỏ nhất khi SΔFCEFC E / nhỏ nhất

/

1 , 2

F

A

A /

B /

B E

0,250,25

x y   và phân giác trong

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK  tọa độ của K  1;0.

Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH  HI=> HI lớn nhất khi A º I

Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến

) 3 1

;

; 2 1

H d

) 3

; 1

; 2 ( ( 0  



d AH u u

) 5

; 1

; 7 ( )

4

; 1

; 3

0,25

được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n là nghiệm

1

1 2

3 2

n

m n

m

P

A c

Vậy m = 10, n = 7 Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để lấy

được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:

0,25

VIb1 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(-2;3),B(

) 0

; 2 ( ),

9

4 4

-Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b Khi đó hoành độ là

1 b- và bán kính cũng bằng b Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng

nội tiếp VABC là:

VIb2 2/.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6) Viết phương trình

mặt phẳng (P) qua A; cắt các trục tọa độ lần lượt tại I; J; K mà A là trực tâm của

tam giác IJK

KL: 0,25

2 2 2

0,25

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C)

đến tiếp tuyến là lớn nhất

Câu II (2.0 điểm)

1.Tìm nghiệm của phương trình 2cos4x - ( - 2)cos2x = sin2x + biết x [ 0 ; ]

Câu IV (1.0 điểm)

Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx  2xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

A Theo chương trình nâng cao

Câu VIa (2.0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0

Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy

AD, N là

tâm hình vuông CC’D’D Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N

Câu VIIa (1.0 điểm)

B Theo chương trình chuẩn

Câu VIb (2.0 điểm)

1 Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64.Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm M là điểm bất kì trên

(E).Chứng tỏ rằng

tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu điểm F2 và tới đường thẳng x = 8

3 có giá trị không đổi

2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (Q):

x + 2y + 3z + 3 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với

A là tổ hợp, chỉnh hợp chập k của n

phần tử)

HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh số báo

danh

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)

-

1

y

2.(1.0đ) Giả sử M(x0 ; y0) thuộc (C) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ

tâm đối xứng đến tiếp tuyến là lớn nhất

2111

x x







0.25

+

-f(t) f'(t) x

2 0

+ Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x

+ Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4

Phương trình đã cho tương đương với

2(cos4x + cos2x) = (cos2x + 1) + sin2x

0.25

0log 4

x x

3 2

1log 42

2log 4

x  ,y =

3 2

B' Y

A

C P

M

N

Câu V

(1.0đ)

Qua B, C, D lần lượt dựng các đường thẳng

Song song với CD, BD, BC cắt nhau tại M, N, P

Ta có MN = 2BD, MP = 2CD, NP = 2BC

từ đó ta có các tam giác AMN, APM, ANP

vuông tại A Đặt x = AM, y = AN, AP = z ta có

Gọi A là giao điểm d1 và d2 ta có A(3 ;0)

Gọi B là giao điểm d1 với trục Oy ta có B(0 ; - 4)

Gọi C là giao điểm d2 với Oy ta có C(0 ;4)

x x

 

làm véc tơ pháp tuyếnVậy (P) có phương trình x - 2y + z - 2 = 0

Môn Toán (180 phút không kể phát đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

y x  mx m (1) , với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 1

2 Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

2 4

7 ) ( 3 )

( 4

y x x

y x y

x xy

Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = 2

3 0

sinxdx(sinx + cosx)





Câu IV (1 điểm) Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều

cạnh a, mặt bên ( SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lạ cùng tạo với đáy một góc

Câu V (1 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ( với n  2), ta có: ln2n > ln(n-1).ln(n+1)

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)

1 Theo chương trình Chuẩn

điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng

d x y  

Câu VII.a (1 điểm)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của  

18 5

2 Theo chương trình Nâng cao.

-Hết -ĐÁP ÁN MÔN TOÁN

( áp án- Thang i m g m 04 trang) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM điểm gồm 04 trang) ểm gồm 04 trang) ồm 04 trang)

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị  pt y ' 0 có ba nghiệm phân biệt

và y' đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó  m0 0.25

 Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

0; 1 ,  ; 2 1 ,  ; 2 1

.2

S  y  y x  x m m; AB AC  m4m BC, 2 m 0.25

3 2

12

1 ( 1 điểm) ĐK: cosx  0  sinx   1.

Ta có phương trình  sin4x + cos4x = ( 2 – sin22x)sin3x

 ( 2 – sin22x)(1 – 2 sin3x) = 0  sin3x = 1

 3sinx – 4sin3x = 1

2 Thay sinx =  1 vào đều không thỏa mãn 0.25

dx dx

tan

22

4

x dx

B

N



 ΔSHP vuông có: SH HP.tan  a 3tan

Toạ độ trung điểm I của AB là ;

t

t   Xét hàm số f(t) = 3 ( )2

55

t

t  nghịch biến trên R và f(t) = 1 Nên bất phương trình trở thành: f(t) > f(1) t < 1, ta được log x < 1

0.50

  Hệ số của x8 là 4 4

.2n n

MÔN TOÁN LỚP 12-LẦN 2 - NĂM HỌC 2009-2010

Thời gian làm bài : 180

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 07 điểm )

Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số yf x  x42m 2x2m2  5m5

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1

2/ Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

Câu II(2.0điểm) 1/ Giải hệ phương trình:

2 2

2 2

1212

2 2

2x x   x 

Câu III (1.0 điểm) Tìm x ( 0 ;) thoả mãn phương trình: cot x - 1 =

x x

x

x

2 sin 2

1 sin

Gọi M là trung điểm SA , chứng minh SA(MBC) TínhV SMBC

PHẦN RIÊNG CHO TỪNG CHƯƠNG TRÌNH ( 03 điểm )

(Thí sinh chỉ chọn một trong hai chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao để

làm bài.)

A/ Phần đề bài theo chương trình chuẩn

Câu VI.a: (2.0điểm)

1, Trong mặt phẳng toạ độ Oxy choABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x y  1 0 và phân giác trong CD:x y 1 0 Viết phương trình đường thẳng BC.

B/ Phần đề bài theo chương trình nâng cao

Câu VI.b: (2 điểm)

1, Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C

và D

2, Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15

a) Tính S = a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15

b) Tìm hệ số a10.

Câu VII.b: (1.0 điểm) Cho hàm số y =  



2 2 2 1

x (C) và d1: y = x + m, d2: y

= x + 3.

Tìm tất cả các giá trị của m để (C) cắt d1 tại 2 điểm phân biệt A,B

đối xứng nhau qua d2.

******* Hết *******

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II

MÔN TOÁN L ỚP 12- 2009-2010 P 12- 2009-2010

y'  0  x 0 ;x  1 ;x  1

x -∞ -1 0 1 +∞

y’ - 0 + 0 - 0 +

y +∞ 1 +∞

0 0 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  1 ; 0 và 1 ;  , nghịch biến

Trên mỗi khoảng   ; 1 và 0 ; 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x   1 ;y CT  0, đạt cực đại tại x 0 ;y CD  1

3 ,

9

4

; 3

3

2

U

* Giao điểm với các trục toạ độ: A(0; 1), B(-1;0) và C(1; 0)

* Hàm số là chẵn trên R nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng

Tỡm cỏc giỏ trị của m để (C) cú cỏc điểm cực đại, cực tiểu tạo

u v

v v

Sau đú hợp cỏc kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trỡnh ban đầu là S  5;3 , 5; 4    0.25

2 Giải bất phương trỡnh : log log 3 5 (log 2 3 )

4 2

2 2

x x x

Bất phơng trình đã cho tơng đơng với

) 1 ( ) 3 (log 5 3 log

2 2

2 x x   x

đặt t = log2x, BPT (1) 2 2 3 5 ( 3 ) ( 3 )( 1 ) 5 ( 3 )

1 ( 3 1

2 2

x t t t t t t

2

1 0

Câu III T×m x ( 0 ;) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh:

x

x

2 sin 2

1 sin tan

x x x

x x

Khi đó pt cossinx xsinx coscosx2x.cossinx xsin2x sinxcosx

cos sin sin

cos sin cos

 cosx sinx sinx( 1  sin 2x)

 (cos sin )(sin cos sin 2 1 ) 0

 (cosx sinx)(sin 2x cos 2x 3 )  0

 cosx sinx0  tanx = 1 ( )

Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA , do hai tam gi¸c SAB vµ SAC lµ hai tam

Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN  BC Tương

N

16 a 3 2

3 a 4

a a AM BN AB AM AN

MN

2 2

2 2

2 2 2

PHẦN RIấNG CHO MỖI CHƯƠNG TRèNH 3.00

Phần lời giải bài theo chương trỡnh Chuẩn

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy choABC cú đỉnh A(1;2), đường trung

tuyến BM: 2x y  1 0 v phõn giỏc trong CD: à phõn giỏc trong CD: x y 1 0 Viết phương trỡnh đường thẳng BC.

1

Điểm C CD x y :   1 0  C t ;1 t Suy ra trung điểm M của AC là

Từ A(1;2), kẻ AKCD x y:  1 0 tại I (điểm KBC).

Suy ra AK:x1  y 2  0 x y  1 0 Tọa độ điểm I thỏa hệ: 1 0 0;1

Theo gt ta cã

34

i k

1 Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0),

B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng

2x y  2 0 .

 :  ; 

I d y x  I t t I là trung điểm của AC và

i k

Cho hàm số y =  



2 2 2 1

x (C) và d1: y = x + m, d2: y = x + 3

Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để (C) cắt d1 tại 2 điểm phõn biệt A,B

đối xứng nhau qua d2.

Khi đó(C) cắt (d1)tại A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) ( Với x1, x2 là hai nghiệm của (1) )

* d1 d2 theo giả thiết  Để A, B đối xứng nhau qua dể A, B đối xứng nhau qua d2  P là trung điểm của AB Thì P thuộc d2 Mà P( 1 2 ; 1 2 

Chỳ ý : - Học sinh làm cỏch khỏc đỳng cho điểm tối đa từng phần

- Cú gỡ chưa đỳng xin cỏc thầy cụ sửa dựm – Xin cảm ơn

Người ra đề :

= = = = = == = = Hết = = = = = = = =