TRUNG TM K NNG LM TON TH.S PHNG QUYT THNG Quy trình giải phơng trình lợng giác thi đại học BI DNG TCH / GHẫP PT CHNH TC PT C BN CT 1: CT 2: pt ng c p CT 3: d ng i x ng, t ng - tớch DNG TCH: A, B: pt chớnh tc hoc pt c bn DNG GHẫP: A, B: pt chớnh t c ho c pt c b n HP NGHIM CB 1: ; CB 2: CB 3: ; CB 4: KT LUN = + 2 2 360 Dấu (+) hoặc (-) Góc ban đầu (rad) Số điểm nghiệm TRUNG TM K NNG LM TON TH.S PHNG QUYT THNG Quy tắc hợp nghiệm phơng trình lợng giác Số điểm Công thức Hình dạng Hình ảnh Lu ý n= 1 Dạng biểu diễn: Có góc ở tâm =360 O 1 điểm nghiệm, có dạng Hình tròn 1. Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lợng giác : - Trong công thức trên, ta chỉ cần biết góc và số điểm nghiệm mà thôi. Bạn chỉ cần nhớ số điểm nghiệm tạo ra hình gì để xác định nghiệm đó trên vòng tròn lợng giác. - Hình ảnh bên cạnh chỉ mang tính chất minh họa để bạn hiểu hơn chứ không yêu cầu bạn nhớ . Chúng ta có thể suy luận ra nó bằng cách làm đầy trớc nhé. Khi đó sẽ xuất hiện là bao nhiêu để cho bạn biết số điểm cần thể hiện trên vòng tròn lợng giác. Còn nhớ đợc hình thì càng tốt ! - Chiều (+) của vòng tròn lợng giác là ngợc chiều kim đồng hồ nhé! VD: = 4 += + 2 = 4 ;n=2 2. Hợp nghiệm: Nghiệm chỉ có thể hợp lại khi các điểm thể hiện trên cùng một vòng tròn lợng giác tạo thành đa giác giác đều (nh hình vẽ minh họa). Tức là các góc ở tâm đều bằng nhau. VD: = = + , ta đợc 4 điểm sau khi nối lại thành hình vuông nên ta có thể hợp nghiệm lại đợc thành: = 2 4 = ở đây, góc ban đầu trùng với điểm gốc A nên =0 n= 2 Dạng biểu diễn: = Có góc ở tâm =180 O 2 điểm nghiệm chia hình tròn thành nửa hình tròn n= 3 Dạng biểu diễn: Có góc ở tâm =120 O 3 điểm nghiệm chia hình tròn thành tam giác đều n= 4 Dạng biểu diễn: = Có góc ở tâm = 90 O 4 điểm nghiệm chia hình tròn thành Hình vuông n= 5 Dạng biểu diễn: Có góc ở tâm = 72 O 5 điểm nghiệm chia hình tròn thành ngũ giác đều n= 6 Dạng biểu diễn: = Có góc ở tâm = 60 O 6 điểm nghiệm chia hình tròn thành lục giác đều TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG CÔNG TH Ứ C LƯ Ợ NG GIÁC C Ầ N NH Ớ 1. Công thức lượng giác cơ bản nên nhớ ∎sin +cos =1∎. =1;đ:≠ 2 ,∈ ∎tan +1= 1 cos ;đ:≠0∎ +1= 1 sin ;đ:≠0 2. Giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt Cung đ ố i nhau Cung bù nhau Cung hơn kém nhau Cung ph ụ nhau ∎ sin ( − ) = − ∎ cos ( − ) = ∎ sin ( − ) = ∎ cos ( − ) = − ∎ sin ( + ) = − ∎ cos ( + ) = − ∎ sin 2 − = ∎ cos 2 − = Các cung khác ∎sin + 2 =−sin + 2 − =−sin − 2 =+sin 2 − = ∎cos + 2 =−cos + 2 − =−cos − 2 =−sin 2 − =− ∎sin+ 3 4 =−sin+ 3 4 −=−sin − 4 =− 1 √ 2 ( − ) = + 4 ∎cos+ 3 4 =−cos+ 3 4 −=−cos − 4 =− 1 √ 2 ( + ) =− + 4 ∎sinx+cosx=√ + =√ − ∎sinx−cosx=√ − =√ + Giá trị lượng giác đặc biệt ∎sin0= π 2 =0∎sin π 6 = π 3 = 1 2 ∎sin π 4 = π 4 = √ 2 2 ∎sin π 3 = π 6 = √ 3 2 ∎sin π 2 =0=1∎tan0= π 2 =0 ∎tan π 6 = π 3 = 1 √ 3 ∎tan π 4 = π 4 =1∎tan π 3 = π 6 =√3 3. Công thức lượng giác TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG Công th ứ c c ộ ng ∎ sin ( a + b ) = sina . cosb + sinb . cosa ∎sin ( a−b ) =sina.cosb−sinb.cosa ∎cos ( a+b ) =cosa.cosb−sina.sinb ∎cos ( a−b ) =cosa.cosb+sina.sinb ∎tan ( a+b ) = + 1−. ∎tan ( a−b ) = − 1 + . Công th ứ c nhân đôi, nhân ba ∎ sin2a = 2 . sina . cosa ∎cos2a=cos −sin =2cos −1 =1−2sin ∎tan2a= 2 1−tan ∎sin3a=3sina−4sin ∎sin3a=−3cosa+4cos ∎ tan 3a = 3−tan 1 − 3 tan Công th ứ c h ạ b ậ c ∎cos = 1 + cos2a 2 ∎sin = 1−cos2a 2 ∎tan = 1−cos2a 1+cos2a ∎sin = 3sina−sin3a 4 ∎ cos = 3cosa+cos3a 4 Công th ứ c bi ế n t ổ ng thành tích (a>b) ∎ a + b = 2 . + 2 . − 2 ∎a−b=−2. + 2 . − 2 ∎a+b=2. + 2 . − 2 ∎ a − b = 2 . + 2 . − 2 Công th ứ c bi ế n t ích thành t ổ ng (a>b) ∎ a . b = 1 2 . [ ( + ) + ( − ) ] ∎a.b=− 1 2 . [ ( + ) −(−) ] ∎a.b= 1 2 . [ ( + ) +(−) ] ∎a.b= 1 2 . [ ( + ) −(−) ] 3. Các biến đổi hay dùng (sử dụng hằng đẳng thức) H ằ ng đ ẳ ng th ứ c đáng nh ớ (a>b) ố 1 : ( + ) = a + 2ab + b ố2: ( − ) =a −2ab+b ố3: −b =(a+b)(a−b) ố4: ( + ) =a +3a b+3ab +b =a + +3(+) ố5: ( − ) =a −3a b+3ab −b = − −3(−) ố6: +b = ( a+b )( a −+ ) = ( + ) −3 ( + ) ố7: −b = ( a−b )( a ++ ) = ( − ) +3 ( − ) Công th ứ c bi ế n t ích thành t ổ ng (a>b) ∎ sin + cos = ( sinx + cosx ) ( 1 − sinxcosx ) ( Đ ố , ) = ( sinx+cosx ) −3sinxcosx ( sinx+cosx ) ∎sin −cos = ( sinx−cosx )( 1+sinxcosx ) ( Đố, ) = ( sinx−cosx ) +3sinxcosx(sinx−cosx) ∎sin +cos =1−2 ( sinx.cosx ) =1− 1 2 sin 2 ∎sin −cos =− ( cos −sin )( cos +sin ) =−cos2x ( Đố ) ∎sin +cos =1. ( sin +cos −sin cos ) =1−3 ( sinx.cosx ) =1− 3 4 sin 2 ( Đố ) ∎sin −cos =−cos2x. ( sin +cos +sin cos ) =−cos2x [ 1− ( sinx.cosx ) ] =−cos2x1− 1 4 sin 2 ( Đố ) ∎sin3x−cos3x= TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG Bµi tËp ph¬ng tr×nh lîng gi¸c 1 3 tan + 3 ( + 1 ) − 4 √ 2 sin − 7 4 = 1 GỢI Ý ∎ + 1 = + ∎ − 7 4 = + 4 ∎ 1 = + 1 ∎ 3 − 4 = 0 + + 1 = 0 2 3 cot + 3 ( + 1 ) − 4 √ 2 sin − 15 4 = 1 GỢI Ý ∎ + 1 = + ∎ 1 = + 1 ∎ + 15 4 = + 4 ∎ 3 − 4 = 0 + + 1 = 0 3 4 sin 2 − √ 3 2 = 1 + 2 cos − 3 4 GỢI Ý ∎ 2 − 3 4 = 1 + 2 − 3 2 = 1 − 2 ∎4 2 = 2 ( 1 − ) ∎ ℎ ươ ì ℎ ạ ℎ é = 4 2 cos + √ 3 2 + 3 2 cos . sin + 3 = 3 ( tan + 1 ) GỢI Ý ∎ tan + 1 = 1 cos ∎ √ 3 2 + 2 + 4 = 3 sin + 3 ∎≠0∎2cos =2+1 ∎√32+2=2cos 3 −2 =2 2cos 6 − −1 ∎sin + 3 =sin 2 − 6 − = 6 − ∎ ℎ ươ ì ℎ ạ ậ 2 ớ = 6 − 5 + 3 = 1 + √ 2 sin 2 + 4 ∎+3=22.∎√2 2+ 4 =2+2 ∎ 1 + 2 = 2 cos ∎ 2 = 2 ; 2 = cos − sin ∎ ạ í ℎ : 2 ( + ) ( − − 1 ) = 0 6 √ 3 2 − 2 + 4 = 3 + √ 3 GỢI Ý ∎ ươ ự à ố 4 . á ợ ý à 4 ∎ Đư ề ℎ ươ ì ℎ ạ ậ 2 ớ = 6 − 7 2 + 3 − 3 2 2 − 1 = ( 1 + ) GỢI Ý ∎ 1 + = + ∎ 2 = ( + ) ( − ) ∎ − = 3 − 4 sin − ( 4 cos − 3 ) TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG = 3 ( + ) − 4 ( sin + cos ) = ( + ) [ 3 − 4 ( 1 − ) ] = ( + ) ( − ) 8 ( 2 − 1 ) = 3 + 2 − 1 G Ợ I Ý 9 sin + cos 2 = 1 2 ( + ) GỢI Ý ∎ + = 1 − 2 = 1 − 1 2 2 ∎+= 1 . = 2 2 ∎ Đư ề ℎ ươ ì ℎ ậ 2 ớ ẩ = 2 10 ( 1 + + 2 ) sin + 4 1 + = 1 √ 2 GỢI Ý ∎ + 4 = 1 √ 2 ( + ) ∎ + 1 = + ∎ Đư ề ℎ ươ ì ℎ í ℎ ó ạ : ( + 2 ) = 0 11 1 + 1 sin − 3 2 = 4 sin 7 4 − GỢI Ý ∎ − 3 2 = − − 3 2 + = − − 2 = + sin 2 − = ∎ 7 4 − = 7 4 − − 2 = sin − − 4 = − sin + 4 = − ( + ) 12 ( 1 + sin ) + ( 1 + cos ) = 1 + 2 GỢI Ý ∎ 1 + 2 = 1 + 2 . = ( + ) ∎ Đư ề ℎ ươ ì ℎ í ℎ ó ℎ â ử ℎ à ( + ) 13 2 ( sin + cos ) − √ 2 − 2 = 0 GỢI Ý ∎ + = ( + ) − 3 ( + ) . . =1−3 =1− 3 4 2 ∎= 1 2 2 ∎ Đư ề ℎ ươ ì ℎ ậ 2 ớ ẩ = 2 , ℎ ú ý đ ề ệ ở ẫ TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG 2 cos 4 − − 2 − 4 − 2 + 2 = 0 ∎ 2 4 − = 1 + cos 2 − 2 = 1 + 2 ∎ Đ ế đâ ấ á í ℎ ℎ + đ ể đ á ℎ ệ đư ợ ℎ ệ = 0 , ℎĩ à ó ℎ â ử ℎ à − 1 = 0 . TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG . TH.S PHNG QUYT THNG Quy trình giải phơng trình lợng giác thi đại học BI DNG TCH / GHẫP PT CHNH TC PT C BN CT 1: CT 2: pt ng c p . Dấu (+) hoặc (-) Góc ban đầu (rad) Số điểm nghiệm TRUNG TM K NNG LM TON TH.S PHNG QUYT THNG Quy tắc hợp nghiệm phơng trình lợng giác Số điểm Công thức Hình dạng Hình. lợng giác. Còn nhớ đợc hình thì càng tốt ! - Chiều (+) của vòng tròn lợng giác là ngợc chiều kim đồng hồ nhé! VD: = 4 += + 2 = 4 ;n=2 2. Hợp nghiệm: Nghiệm chỉ có thể hợp lại