Một lưu ý quan trọng khi giải PT lượng giác

MỘT VÀI LƯU Ý QUAN TRỌNG – CẦN THIẾT VÀ LÝ THÚ TRONG VIỆC KIỂM SOÁT ĐIỀU KIỆN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC * Đặt vấn đề: 1) Tại sao mọi góc (cung) lượng giác đều có số đo dạng 2x k α π = + 2) Góc 4x π = có biểu diễn trên đường tròn lượng giác không ? 3) Tập hợp 4x k π = có biểu diễn trên đường tròn lượng giác không ? 4) Sự chia tập hợp 2 .x k m π α = + thành các tập con ? 5) Sự chia tập hợp . A x k m π α = + thành các tập con ? 6) Giải thử phương trình tan tan 3 5 x x = 1. Xét x β = thì tồn tại số nguyên k sao cho 2 ( 1)2k k π β π ≤ < + và đặt 2k α β π = − thì 2x k β α π = = + trong đó 0 2 α π ≤ < . Vậy bất kỳ góc lượng giác nào cũng có số đo dạng 2x k α π = + với k là số nguyên và 0 2 α π ≤ < . 2. Xét 1 điểm trên đường tròn lượng giác, ứng với một cung có số đo 2x k α π = + (k là số nguyên nào đó). 3. Đảo lại một cung (góc) có số đo 2x k α π = + được biểu diễn bởi 1 điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác. 4. Lưu ý: giá trị 4x π = có dạng 0 2(2 )x π = + được biểu diễn bởi 1 điểm trên đường tròn lượng giác. Xét tập hợp 4x k π = có chứa giá trị 4 π (khi k=1) nhưng 4x k π = không thể biểu diễn trên đường tròn lượng giác vì 2 4 1 2 x k k π π = =    ÷   chỉ là “nửa điểm” của đường tròn lượng giác. Vậy không phải mọi “công thức lượng giác” đều biểu diễn bằng điểm trên đường tròn lượng giác! 5. Khi k thay đổi, 2x k α π = + là một tập hợp các giá trị (các số đo) của những góc (cung) lượng giác mà chúng được biểu diễn trên đường tròn lượng giác chỉ bởi 1 điểm. 6. Ta biết rằng:  sin( 2 ) sinx k x π + =  cos( 2 ) cosx k x π + =  tan( 2 ) tanx k x π + =  cot( 2 ) cotx k x π + = Ngoài ra với tan và cot ta còn có:  tan( ) tanx k x π + =  cot( ) cotx k x π + = 7. Xét một góc có số đo .2x t α π = + (với t là số hữu tỉ) thì k t m = (k,m là số nguyên, m dương) 2 .x k m π α = + 8. Xét công thức 2 .x k m π α = + , ta có k=r.m+i với i lấy m giá trị 0;1;… m−1 2 2 ( ) ( . ) .2x i r m i i r m m π π α α π = + + = + + 9. Mỗi x(i) được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác nên 2 .x k m π α = + được biểu diễn bởi m điểm trên đường tròn lượng giác. 10. Nói cách khác tập hợp 2 .x k m π α = + gồm m tập hợp 2 ( ) .2x i i r m π α π = + + hợp lại. 11. Nắm chắc quy tắc trên chúng ta có thể giải quyết nhiều bài toán tế nhị khi phải so sánh giá trị ẩn x tìm thấy với điều kiện ban đầu của x. Sau đây là một vài ví dụ. 12. Giải tan5 tan3x x= HD: tan5 tan3x x= 3 2 5 3 x k x x m π π π  ≠ +  ⇔   = +  6 3 2 x k x m π π π  ≠ +   ⇔   =   Xét 2 6 3 6 6 k k π π π π + = + gồm 6 tập hợp giá trị 2 6 n π π + , 2 2 n π π + , 5 2 6 n π π + , 7 2 6 n π π + , 3 2 2 n π π + , 11 2 6 n π π + Xét 2 x m π = gồm 4 tập giá trị 2n π , 2 2 n π π + , 2n π π + , 3 2 2 n π π + Vậy ta chỉ nhận 2x n π = và 2x n π π = + hay hợp chúng lại là x n π = . 13. Khái quát hơn Xét công thức . A x k m π α = + , ta có k=r.m+i với i lấy m giá trị 0;1;…m−1 ( ) ( . ) . A A x i r m i i r A m m π π α α π = + + = + + 14. Tập hợp . A x k m π α = + gồm m tập hợp ( ) . A x i i r A m π α π = + + hợp lại. 15. Ví dụ sau đây sẽ giúp ta có cách nhìn rộng hơn về việc kiểm soát điều kiện của phương trình. 16. Giải tan tan 5 3 x x = HD: tan tan 5 3 x x = 3 2 3 5 x k x x m π π π  ≠ +   ⇔   = +   3 3 2 15 2 x k x m π π π  ≠ +   ⇔   =   Chúng ta chọn bội chung của 3 π và 15 π là 15 π để “chia nhỏ” các tập giá trị của điều kiện và giá trị tìm thấy. 3 3 15 3 2 2 5 k k π π π π + = + gồm 5 tập giá trị là 3 15 2 m π π + , 9 15 2 m π π + , 15 15 2 m π π + 21 15 2 m π π + , 27 15 2 m π π + 15 2 m π gồm 2 tập giá trị là 15m π và 15 15 2 m π π + Ta chỉ nhận nghiệm 15x m π = Giải cách khác: tan tan 5 3 x x = Đặt 15 x t = ta được tan5 tan 3t t= Như bài trước ta giải được t n π = 15 15 x n x n π π ⇔ = ⇔ = Bài tương tự: 1) tan cot 5 x x π +   =  ÷   2) 2 cot cot 0 3 x x π +   + =  ÷   3) (1 2sin x)(1 sin x) 3 (1 2sin x)cosx − + = + 4) 3 sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos4x sin x) + + = + 5) 1 1 2 2(sin cos ) 0 sin cos x x x x + + + = 6) .cossin 0 242 222 =−       − x xtg x π 7) 1 1 sin2 sin 2cotg2 2sin sin 2 x x x x x + − − = 8) .sinsin cos cot xx tgx x gx 2 2 1 1 2 1 2 −+ + =− . MỘT VÀI LƯU Ý QUAN TRỌNG – CẦN THIẾT VÀ LÝ THÚ TRONG VIỆC KIỂM SOÁT ĐIỀU KIỆN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC * Đặt vấn đề: 1) Tại sao mọi góc (cung) lượng. tròn lượng giác. Vậy không phải mọi “công thức lượng giác đều biểu diễn bằng điểm trên đường tròn lượng giác! 5. Khi k thay đổi, 2x k α π = + là một tập