KỸ NĂNG GIẢI PT LƯỢNG GIÁC

MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH 1, Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác : công thức biến tích thành tổng, tổng thành tích , công thức hạ bậc ,… Bài 1. Giải phương trình : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin 6x sin x sin 5x sin 2x sin 4x sin 3x 0 7x 5x x 3x 7x 3x 2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cosx+1 0 2 2 2 2 2 2 k2 7x x sin 0 7 2 3x k2 cos 0 x ;k Z 2 3 3 2cosx+1 0 2 x k2 3 ⇔ + + + + + =     ⇔ + + = ⇔ =  ÷       π   = =     π π   ⇔ = ⇔ = + ∈     = π   = ± + π     *Lưu ý : Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau Bài 2 . Giải phương trình : 3 3 2 3 2 cos3xcos x sin3xsin x 8 − − = (2) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 cos x cos4x cos2x sin x cos2x cos4x 2 2 8 2 3 2 2 3 2 cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x cos4x cos 2x 4 4 2 k 4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x k Z 2 16 2 − ⇔ + − − = − − ⇔ + + − = ⇔ + = π π ⇔ + + = − ⇔ = ⇔ = ± + ∈ *Lưu ý : Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng công thức nhân 3 Bài 3 . Giải phương trình : 2 2 2cos 2x 3cos4x 4cos x 1 4 π   − + = −  ÷   (3) Giải ( ) ( ) 2 2 3 1 cos 4x 3cos4x 4cos x 1 sin 4x 3cos4x 2 2cos x 1 2 x k 1 3 12 sin 4x cos4x cos2x cos 4x cos2x ,k Z k 2 2 6 x 36 3 π   ⇔ + − + = − ⇔ + = −  ÷   π  = + π  π   ⇔ + = ⇔ − = ⇔ ∈   ÷ π π    = +   2,Phương trình sử dụng một số biến đổi khác Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử chung nhanh nhất , sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin x 1 cos x 1 cos x , cos x 1 sin x 1 sin x cos2x cos x sin x cos x sin x 1 cos 2x sin 2x 2cos x(sin x cos x) 1 sin 2x sin x cos x 1 cos2x sin 2x 2sin x(sin x cos x) 1 sin 2x sin x cos x sin x cos x 1 tan x cos x 2 sin x ⊕ = − + = − + = − + + + = + ⊕ + = + − + = + − = − + ⊕ + = ⊕ sin x cos x 4 π   + = +  ÷   Bài 4 . Giải phương trình : 2sin x(1 cos2x) sin 2x 1 2cos x+ + = + (4) Giải Cách 1 : ( ) ( ) ( ) 2 4 2sin x2cos x 2sin x cos x 1 2cos x 2cos x 1 2sin x cos x 1 0⇔ + = + ⇔ + − = 1 cos x 2 sin 2x 1  = −  ⇔  =  phần còn lại dành cho bạn đọc Cách 2 : ( ) 4 2sin xcos2x (1 sin 2x) 2(cos x sin x) 0⇔ − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 cosx sin x 0⇔ − + − − − − = ( ) ( ) 2 cos x sin x 2sin x cosx 2sin x cos x sin x 2 0⇔ − + − + − = ( ) ( ) 2 cos x sin x 2sin x cosx 2cos x cos x sin x 0⇔ − − − + = phần còn lại dành cho bạn đọc Bài 5 .Giải phương trình : cos2x 3sin 2x 5sin x 3cos x 3 + + − = (5) Giải ( ) 2 5 (6sin x cos x 3cos x) (2sin x 5sin x 2) 0 3cos x(2sin x 1) (2sin x 1)(sin x 2) 0 (2sin x 1)(3cos x sin x 2) 0 ⇔ − − − + = ⇔ − − − − = ⇔ − − + = Phương trình này tương đương với 2 phương trình cơ bản ( dành cho bạn đọc ) II. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Với loại phương trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm , điều quan trọng nhất của dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại nghiệm. Ngoài ra , ta cũng gặp nhiều phương trình chứa tan , cot . Khi đó , có thể sử dụng một số công thức ( ) ( ) ( ) ( ) sin a b sin b a tan a tan b cota cotb= cosa cos b cosa cosb cos a b cos a b tan a cot b tana-cotb= cosasin b cosasin b 2 tan a cot a c sin 2a ± ± ⊕ ± = ⊕ ± − − + ⊕ + = ⊕ ⊕ + = ⊕ ( ) ( ) ot a tan a 2cot 2a cos a b cos a b 1 tan a tan b 1 tana tan b cosacosb cosa cos b − = − − + ⊕ + = ⊕ − = Cần lưu ý các điều kiện xác định của từng công thức Bài 6 . Giải phương trình : 2cos 4x cot x tan x sin 2x = + (6) Giải . 2 ĐK : sin x 0 k cos x 0 sin 2x 0 x ,k Z 2 sin 2x 0 ≠  π  ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈   ≠  ( ) x l 2cos4x 2cos 2x 2cos4x 6 cot x tan x cos4x cos2x ,l Z l sin 2x sin 2x sin 2x x 3 = π   ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈ π  =  Kiểm tra điều kiện ta được x l ,l Z 3 π = ± + π ∈ Bài 7 . Giải phương trình : ( ) ( ) 3 2 2 4cos x 2cos x 2sin x 1 sin 2x 2 sin x cos x 0 2sin x 1 + − − − + = − (7) Giải . ĐK : 2 k 2sin x 1 0 cos2x 0 x ,k Z 4 2 π π − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 4cos x sin x cos x 2cos x sin x cos x 2 sin x cos x 0 x m 4 2 sin x cos x cos x 1 2cos x 1 0 x m2 ,m Z 2 x m2 3 ⇔ + − + − + = π  = − + π   ⇔ + − + = ⇔ = π ∈   π = ± + π   Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm m2 x ,m Z 3 π = ∈ Bài 8. Giải phương trình : 2 3tan 3x cot 2x 2 tan x sin 4x + = + (8) Giải ĐK : cos3x 0 k x sin2x 0 6 3 ,k Z cos x 0 k x 4 sin 4x 0 ≠  π π  ≠ +   ≠   ⇔ ∈   ≠ π   ≠    ≠  (*) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2sin 2x cos x 2 8 2 tan3x tan x tan3x cot 2x sin 4x cos3x cos x cos3x sin 2x sin 4x 4sin 4xsin x 2cos2x cosx 2cos3x 4sin 4xsin x cos3x cos x 2cos3x 4sin 4xsin x cos3x cos x 8sin 2xcos2xsin x 2sin 2x sin x do (*) cos2x ⇔ − + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = 1 1 1 x arccos m ,m Z 4 2 4 −   − ⇔ = ± + π ∈  ÷   nghiệm này thoả mãn ĐK BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3 2 3 1,cos3x cos2x cos x 1 0 2, 2 2sin x cos x 1 12 3,(1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x 1 1 4,sin 2x sin x 2cot 2x sin 2x 2sin x 5,sin 2x cos2x 3sin x cos x 2 0 x 6,tan x cos x cos x sin x 1 tan x tan 2 7,2 2cos x 3cos x si 4 + − − = π   − =  ÷   − + = + + − − = + + − − =   + − = +  ÷   π   − − −  ÷   ( ) 3 3 2 2 2 n x 0 2 cosx sin x 1 8, tan x cot 2x cot x 1 1 9,cos xcos 2xcos3x sin x sin 2xsin 3x 2 10,sin x cos x cos2x tan x tan x 4 4 11,tan x tan 2x sin 3xcos 2x x 7 12,sin x cos 4x sin 2x 4sin 4 2 2 x x 13,sin sin x cos sin 2 2 = − = + − + = π π     − = + −  ÷  ÷     + = − π   − = − −  ÷   − ( ) 2 2 2 3 3 2 x x 1 2cos 4 2 14,2sin x cot x 2sin 2x 1 sin 3x 15,sin x cos3x sin x sin 3x cos x sin xsin 3x 3sin 4x π   + = −  ÷   + = + + + = 4 . MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH 1, Phương trình sử dụng các công thức biến đổi lượng giác : công thức biến tích thành tổng,. trình này khi giải rất dễ dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm , điều quan trọng nhất của dạng này là đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện xác định.Thông thường ta hay dùng đường tròn lượng giác để loại. ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau Bài 2 . Giải phương trình : 3 3 2 3 2 cos3xcos x sin3xsin x 8 − − = (2) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 cos