Số các ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN TIẾN SỐ CÁC ÁNH XẠ KHÔNG PHÂN RÃ ĐƯỢC TRÊN TẬP HỮU HẠN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn An Khương Phản biện 1: TS. Lê Hải Trung Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Gia Định Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 5 năm 2011. Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng. - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tổ hợp là một lĩnh vực quan trọng của toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng. Các bài toán tổ hợp có nội dung phong phú, được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong thực tế đời sống và trên nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt là xác suất thống kê. Hiện nay, kiến thức cơ bản về tổ hợp đã được đưa vào chương trình giảng dạy ở lớp 11. Trong những kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng thì các bài toán tổ hợp hay được đề cập và thường thuộc loại khó. Đối với những bài toán tổ hợp phức tạp việc áp dụng các kiến thức cơ bản để giải sẽ gặp nhiều khó khăn, nên cần có những phương pháp sắc bén hơn. Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài "Số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn"nhằm nghiên cứu về số các ánh xạ trên các tập hữu hạn thỏa mãn tính chất mà chúng tôi gọi là "không phân rã được". 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là đề xuất thêm phương pháp chứng minh mới, hoàn toàn bằng sơ cấp để tính số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là số ánh xạ không phân rã được. Phạm vi nghiên cứu là số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn. 2 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc hiểu và sử lý tài liệu tham khảo đồng thời làm việc theo sự hướng dẫn của người hướng dẫn khoa học. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Hệ thống hóa các phương pháp tìm số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn. Đưa ra cách chứng minh mới cho việc tìm số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn được chia làm bốn chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong phần này chúng tôi giới thiệu những kiến thức và các kết quả cơ bản về các quy tắc đếm, sử dụng quy tắc song ánh, phân hoạch tổ hợp để giải quyết các bài toán tổ hợp, đồng thời nêu khái niệm về xích và độ dài của xích. Chương 2: Các số tổ hợp cơ bản. Chương này chúng tôi nhắc lại các số tổ hợp cơ bản, đó là các số Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, số Stirling loại một, số Stirling loại hai và số Bell cùng với số các ánh xạ đặc biệt trên tập hữu hạn. Chương 3: Dãy nhị thức. Trong chương này luận văn giới thiệu sơ lược về dãy nhị thức P n (t) n≥0 . Chương 4: Ánh xạ không phân rã được. Đây là chương cơ bản và quan trọng nhất của luận văn chúng tôi đưa ra một số khái niệm mới như ánh xạ không phân rã được từ tập [n] vào chính nó. Đặc biệt chúng tôi đưa ra cách chứng minh mới để tìm số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quy tắc cộng, quy tắc nhân 1.1.1 Quy tắc cộng Nếu có m 1 cách chọn đối tượng a 1 , m 2 cách chọn đối tượng a 2 , ., m n cách chọn đối tượng a n , trong đó cách chọn đối tượng a i (1 ≤ i ≤ n) không phụ thuộc vào bất kì cách chọn đối tượng a j nào (1 ≤ j ≤ n, i = j) thì sẽ có n  k=1 m k cách chọn đối tượng a 1 , hoặc a 2 , ., hoặc a n . Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển qui tắc này sang dạng sau: Cho n tập hợp A k (1 ≤ k ≤ n) với |A k | = m k và ∀i, j(1 ≤ i, j ≤ n)A i ∩ A j = ∅, khi i = j. Khi đó số cách chọn a 1 , hoặc a 2 , ., hoặc a n sẽ bằng số cách chọn các phần tử a ∈ n  k=1 A k và | n  k=1 A k | = n  k=1 |A k |. 1.1.2 Quy tắc nhân Cho n đối tượng a 1 , a 2 , ., a n . Nếu có m 1 cách chọn đối tượng a 1 và ứng với mỗi cách chọn a 1 ta có m 2 cách chọn đối tượng a 2 , sau đó với mỗi cách chọn a 1 , a 2 ta có m 3 cách chọn đối tượng a 3 , . Cuối cùng với mỗi cách chọn a 1 , a 2 , ., a n−1 ta có m n cách chọn đối tượng a n . Vậy sẽ có m 1 .m 2 .m n−1 .m n cách chọn các đối tượng a 1 , rồi a 2 , ., rồi a n . Chú ý 1. Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển quy tắc nhân sang dạng sau: 4 Giả sử có n tập hợp A k (1 ≤ k ≤ n) với |A k | = m k . Khi đó, Số cách chọn (S) bộ gồm n phần tử (a 1 , a 2 , ., a n ) với a i ∈ A i (1 ≤ i ≤ n) sẽ là: S = |A 1 .A 2 .A n | = m 1 .m 2 .m n = n  k=1 m k 1.2 Nguyên lý bù trừ Định lý 1.1. [4] Cho n≥2 tập hợp hữu hạn A 1 , ., A n . Khi đó ta có : |A 1 ∪ A 2 ∪ . ∪ A n | = n  i=1 |A i | −  1≤i<k≤n |A i ∩ A k | +  1≤i<j<k≤n |A i ∩ A j ∩ A k | + . +  1≤i 1 <i 2 < .<i k ≤n (−1) k+1 |A i 1 ∩ A i 2 . ∩ A i k | + . + (−1) n+1 |A 1 ∩ A 2 ∩ . ∩ A n |. (∗) 1.3 Quy tắc song ánh Định lý 1.2. [4] Cho hai tập hợp A, B hữu hạn Nếu có một đơn ánh f: A −→ B thì |A| ≤ |B|. Nếu có một toàn ánh f: A −→ B thì |A| ≥ |B|. Nếu có một song ánh f: A −→ B thì |A| = |B|. 1.4 Độ dài của xích Chú ý 2. Mỗi song ánh từ tập N = {1, 2, ., n} vào chính nó được gọi là một phép thế trên n phần tử. Gọi S n là tập hợp tất cả các phép thế trên n phần tử. Nếu α, β ∈ S n thì ánh xạ hợp thành αβ xác định bởi công thức: αβ(i) = α(β(i)), (1 ≤ i ≤ n) cũng là một song ánh từ tập N = {1, 2, ., n} vào chính nó, tức αβ ∈ S n 5 Định nghĩa 1.1. [3] Giả sử x 1 , ., x k là các phần tử đôi một khác nhau trong {1, 2, ., n}. Ta kí hiệu bởi (x 1 , x 2 , ., x k ) phép thế giữ nguyên các phần tử khác x 1 , x 2 , ., x k và tác động trên x 1 , ., x k như sau: x 1 → x 2 , x 2 → x 3 , ., x k−1 → x k , x k → x 1 . Nó được gọi là một xích với độ dài k trên tập nền {x 1 , x 2 , ., x k }. Với (x 1 , ., x k ) được gọi là một xích của phép thế α ∈ S n nếu α tác động giống như (x 1 , ., x k ) trên các phần tử x 1 , x 2 , ., x k (α có thể tác động không tầm thường trên các phần tử x 1 , ., x k ). Định lý 1.3. [3] Mọi phép thế α ∈ S n đều là tích của tất cả các xích khác nhau của nó. Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhau của tập {1, 2, ., n}. Nhận xét 1.1. Khi viết một phép thế của S n như là tích của các xích rời rạc, tức là xích với tập nền rời nhau, thì thứ tự của các xích ở trong tích là không quan trọng. 6 Chương 2 CÁC SỐ TỔ HỢP CƠ BẢN 2.1 Cấu hình tổ hợp 2.1.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 2.1. Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử. Mỗi dãy có độ dài k các phần tử của tập X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử thuộc tập X. Định lý 2.1. [4] Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, kí hiệu là A k n , thì A k n = n k 2.1.2 Hoán vị Định nghĩa 2.2. Cho một tập hợp gồm n (n ≥ 1) phần tử . Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó ( mỗi phần tử có mặt đúng một lần) được gọi là một hoán vị của n phần tử đã cho. Định lý 2.2. [4] Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là P n thì P n = n! 2.1.3 Hoán vị lặp Định nghĩa 2.3. Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hoán vị lặp. Định lý 2.3. [4] Số hoán vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất hiện n i lần được kí hiệu là P (n 1 , n 2 , ., n k ) 7 và được tính bằng công thức: P (n 1 , n 2 , ., n k ) = n! n 1 !n 2 ! .n k ! , n = n 1 + n 2 + . + n k . 2.1.4 Tổ hợp lặp Định nghĩa 2.4. Cho tập hợp A = {a 1 , a 2 , ., a n }. Một tổ hợp lặp chập m (m không nhất thiết phải nhỏ hơn n ) của n phần tử thuộc A là một bộ gồm m phần tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của A. Định lý 2.4. Ta sử dụng C m n để kí hiệu số tổ hợp lặp chập m của n phần tử. Khi đó: C m n = C m n+m−1 2.1.5 Phân hoạch thứ tự tổ hợp Định nghĩa 2.5. Giả sử X là một tập hợp gồm n phần tử. Khi đó ta có phân hoạch của tập X thành k khối là một họ tùy ý π = {B 1 , B 2 , ., B k } mà B 1 ∪ B 2 ∪ .B k = X, B i ∩ B j = ∅ với mọi 1 ≤ i < j ≤ k và B i = ∅ với mọi 1 ≤ i ≤ k. Các tập con B 1 , ., B k được gọi là các khối của phân hoạch π. Định nghĩa 2.6. Giả sử X là một tập hợp gồm n phần tử khác nhau, r ≤ n và S ⊂ X có r phần tử. Một phân hoạch {S 1 , S 2 , ., S k } có thứ tự S gọi là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X. Nếu r = n thì gọi là phân hoạch thứ tự của X. Cho các số nguyên dương n 1 , n 2 , ., n k thỏa: n 1 + n 2 + . + n k = r. Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S 1 , S 2 , ., S k } có |S 1 | = n 1 , |S 2 | = n 2 , ., |S k | = n k được kí hiệu là C(n; n 1 , n 2 , ., n k ). Định lý 2.5. [2] C(n; n 1 , n 2 , ., n k ) = n! n 1 !n 2 ! .n k !(n − r)! = P (n 1 , n 2 , ., n k , n − r). 8 Định lý 2.6. [2] Số phân hoạch không thứ tự của tập X gồm: p 1 tập có n 1 phần tử, p 2 tập có n 2 phần tử, ., p k tập có n k phần tử được tính theo công thức: C(n; n 1 , ., n 1 , n 2 , ., n 2 , ., n k , ., n k ) p 1 !p 2 ! .p k ! = n! p 1 !(n 1 !) p 1 p 2 !(n 2 !) p 2 .p k !(n k !) p k . (trong C(n; n 1 , ., n 1 , n 2 , ., n 2 , ., n k , ., n k ) số n 1 lặp lại p 1 lần, số n 2 lặp lại p 2 lần, ., số n k lặp lại p k lần) 2.2 Các số Stirling loại một, số Stirling loại hai và số Bell 2.2.1 Số Stirling loại một Định nghĩa 2.7. Số song ánh trên tập n phần tử được tách thành k vòng xích được gọi là số Stirling loại một không dấu, kí hiệu là c n,k . Số s n,k = (−1) n−k c n,k . được gọi là số Stirling loại một. Từ định nghĩa ta rút ra được c n,k = 0, ∀k > n. Định lý 2.7. [8] Với n là số nguyên không âm cố định, ta có: x (n) = n  k=0 c n,k x k (2.1) với x (n) = x(x + 1) .(x + n − 1), x (0) := 1. Mệnh đề 2.1. Ta có: n  k=0 s n,k x k = x (n) . Thay x = 1 u vào Mệnh đề 2.1 và Định lí 2.7 ta được mệnh đề sau. Mệnh đề 2.2. [6] Ta có: a)  1≤k≤n s n,k u n−k = (1 − u)(1 − 2u) .(1 − (n − 1)u).