Số các ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN TIẾN SỐ CÁC ÁNH XẠ KHÔNG PHÂN RÃ ĐƯỢC TRÊN TẬP HỮU HẠN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN VĂN TIẾN

SỐ CÁC ÁNH XẠ KHÔNG PHÂN RÃ

ĐƯỢC TRÊN TẬP HỮU HẠN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2011

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn An Khương

Phản biện 1: TS Lê Hải TrungPhản biện 2: PGS TS Nguyễn Gia Định

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấmLuận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵngvào ngày 28 tháng 5 năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Chính vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài "Số ánh xạ không phân

rã được trên tập hữu hạn"nhằm nghiên cứu về số các ánh xạ trên các tậphữu hạn thỏa mãn tính chất mà chúng tôi gọi là "không phân rã được"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là đề xuất thêm phương pháp chứng minh mới, hoàntoàn bằng sơ cấp để tính số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là số ánh xạ không phân rã được

Phạm vi nghiên cứu là số ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc hiểu và sử lý tài liệu tham khảo đồng thời làm việc theo sự hướngdẫn của người hướng dẫn khoa học

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Hệ thống hóa các phương pháp tìm số ánh xạ không phân rã được trêntập hữu hạn

Đưa ra cách chứng minh mới cho việc tìm số ánh xạ không phân rã đượctrên tập hữu hạn

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn được chia làm bốn chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này chúng tôi giới thiệu những kiến thức và các kết quả cơbản về các quy tắc đếm, sử dụng quy tắc song ánh, phân hoạch tổ hợp đểgiải quyết các bài toán tổ hợp, đồng thời nêu khái niệm về xích và độ dàicủa xích

Chương 2: Các số tổ hợp cơ bản

Chương này chúng tôi nhắc lại các số tổ hợp cơ bản, đó là các số Hoán

vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, số Stirling loại một, số Stirling loại hai và số Bellcùng với số các ánh xạ đặc biệt trên tập hữu hạn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Quy tắc cộng

Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1, m2 cách chọn đối tượng a2, , mn

cách chọn đối tượng an, trong đó cách chọn đối tượng ai (1 ≤ i ≤ n) khôngphụ thuộc vào bất kì cách chọn đối tượng aj nào (1 ≤ j ≤ n, i 6= j) thì

sẽ có

n

P

k=1

mk cách chọn đối tượng a1, hoặc a2, , hoặc an.

Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển qui tắc này sang dạng sau:

Cho n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak| = mk và ∀i, j(1 ≤ i, j ≤ n)Ai ∩ Aj = ∅, khi i 6= j Khi đó số cách chọn a1, hoặc a2, , hoặc an sẽbằng số cách chọn các phần tử a ∈

Vậy sẽ có m1.m2 mn−1.mn cách chọn các đối tượng a1, rồi a2, , rồi

an

Chú ý 1 Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển quy tắc nhân sang dạngsau:

Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak| = mk Khi đó, Số cáchchọn (S) bộ gồm n phần tử (a1, a2, , an) với ai ∈ Ai(1 ≤ i ≤ n) sẽ là:

Định lý 1.2 [4] Cho hai tập hợp A, B hữu hạn

Nếu có một đơn ánh f: A −→ B thì |A| ≤ |B|

Nếu có một toàn ánh f: A −→ B thì |A| ≥ |B|

Nếu có một song ánh f: A −→ B thì |A| = |B|

Chú ý 2 Mỗi song ánh từ tập N = {1, 2, , n} vào chính nó được gọi

là một phép thế trên n phần tử Gọi Sn là tập hợp tất cả các phép thếtrên n phần tử Nếu α, β ∈ Sn thì ánh xạ hợp thành αβ xác định bởicông thức: αβ(i) = α(β(i)), (1 ≤ i ≤ n) cũng là một song ánh từ tập

Định nghĩa 1.1 [3] Giả sử x1, , xk là các phần tử đôi một khác nhautrong {1, 2, , n} Ta kí hiệu bởi (x1, x2, , xk) phép thế giữ nguyên cácphần tử khác x1, x2, , xk và tác động trên x1, , xk như sau:

x1 7→ x2, x2 7→ x3, , xk−1 7→ xk, xk 7→ x1.

Nó được gọi là một xích với độ dài k trên tập nền {x1, x2, , xk}

động giống như (x1, , xk) trên các phần tử x1, x2, , xk (α có thể tácđộng không tầm thường trên các phần tử x1, , xk)

Định lý 1.3 [3] Mọi phép thế α ∈ Sn đều là tích của tất cả các xíchkhác nhau của nó Các tập nền của các xích này là các tập con rời nhaucủa tập {1, 2, , n}

Nhận xét 1.1 Khi viết một phép thế của Sn như là tích của các xích rờirạc, tức là xích với tập nền rời nhau, thì thứ tự của các xích ở trong tích làkhông quan trọng

Chương 2

CÁC SỐ TỔ HỢP CƠ BẢN

2.1.1 Chỉnh hợp lặp

Định nghĩa 2.1 Cho tập hữu hạn X gồm n phần tử Mỗi dãy có độ dài

k các phần tử của tập X, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và đượcsắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k

Định lý 2.2 [4] Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn thì Pn = n!

2.1.3 Hoán vị lặp

Định nghĩa 2.3 Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất mộtlần được gọi là hoán vị lặp

Định lý 2.3 [4] Số hoán vị lặp của n phần tử thuộc k loại, mà các phần

tử loại i (1 ≤ i ≤ k) xuất hiện ni lần được kí hiệu là P (n1, n2, , nk)

m (m không nhất thiết phải nhỏ hơn n ) của n phần tử thuộc A là một

bộ gồm m phần tử, mà mỗi phần tử này là một trong những phần tử của

Cho các số nguyên dương n1, n2, , nk thỏa: n1 + n2 + + nk = r

Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S1, S2, , Sk} có

|S1| = n1, |S2| = n2, , |Sk| = nk được kí hiệu là C(n; n1, n2, , nk).Định lý 2.5 [2]

n1!n2! nk!(n − r)! = P (n1, n2, , nk, n − r).

Định lý 2.6 [2] Số phân hoạch không thứ tự của tập X gồm: p1 tập

có n1 phần tử, p2 tập có n2 phần tử, , pk tập có nk phần tử được tínhtheo công thức:

b) X

1≤k≤n

Dựa vào các kết quả trên, chúng ta tính được số các Stirling loại một

sn,k với một số giá trị đầu tiên được nêu trong Bảng 2.1

2.2.2 Số Stirling loại hai và số Bell

Định nghĩa 2.8 (7) Số tất cả các phân hoạch của tập hợp A gồm n

phần tử thành k khối gọi là số Stirling loại hai, kí hiệu là Sn,k.

Ta qui ước S0,0 = 1, S0,k = 0 nếu k > 0 và Sn,0 = 0 nếu n > 0

Từ định nghĩa này ta dễ dàng nhận thấy Sn,k = 0 nếu k > n và

Sn,1 = Sn,n = 1

Định lý 2.8 [9] Với n, k là các số nguyên dương và k ≤ n ta có:

Sn+1,k = kSn,k + Sn,k−1.

Chú ý 3 Từ Sn,1 = Sn,n = 1 và từ công thức truy hồi của Sn,k ta thấy

Sn,k có những tính chất giống như đối với công thức tổ hợp Cnk nên ta cũngxây dựng được tam giác để tìm giá trị Sn,k như sau:

S1,1

Định nghĩa 2.9 Số tất cả các phân hoạch của tập hợp A lực lượng n

được gọi là số Bell thứ n Kí hiệu Bn

Chú ý 4 Ngoài những cách hiểu đã nói trên, chúng ta có thể lập luậnnhư sau:

Số tất cả các đơn ánh f : N −→ M, với n ≤ m là n!Cmn, với Cmn là sốtất cả các tập con n phần tử của tập M

Mệnh đề 2.8 [9] Cho tập hợp N = {1, 2, , n} và tập hợp M =

Khi đó số tất cả các toàn ánh f : N −→ M là Sn,m.m!

Chương 3

DÃY NHỊ THỨC

Định nghĩa 3.1 [1] Một dãy các đa thức một biến thực Pn(t)n≥0 với

Định lý 3.1 [1] Dãy các đa thức {Pn(t)}n≥0, t ∈ R là dãy nhị thứckhi và chỉ khi tồn tại một dãy số thực {ak}k≥1 sao cho:

Định nghĩa 3.2 [1]Cho trước dãy số thực{ak}k≥1 Giả sử rằng {Pn(t)}n≥0

là dãy các đa thức thoả mãn các điều kiện i), ii) trong định lí 3.1 Ta gọi

{Pn(t)}n≥0 là dãy nhị thức sinh bởi dãy {ak}k≥1 đã cho

Các số λn,k được gọi là các hệ số của dãy nhị thức.

Ta sẽ tìm công thức truy hồi để tính các hệ số của dãy nhị thức theo dãy

Cho hàm số f có khai triển thành chuỗi lũy thừa hội tụ trong miền [0, R)

Dựa vào định lí 3.1 ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 3.2 [1] Giả sử {Pn(t)}n≥0 là dãy nhị thức sinh bởi hàm số

Bài toán phân tích các song ánh trên tập hữu hạn thành các vòng xíchđộc lập đã được mở rộng lên thành việc xét bài toán tương tự cho ánh xạtuỳ ý trên tập hữu hạn Tuy kết quả này đã được các nhà toán học trướcđây đưa ra (Leo Katz (1954) và Martin D Kruskal (1954) ), nhưng đây làvấn đề hết sức thú vị trong tổ hợp nên chúng tôi xét thấy việc đưa thêm racách chứng minh mới cho kết quả này là vấn đề có ý nghĩa.

Việc mô tả số Stirling loại một không dấu cn,k về mặt thống kê theonghĩa đếm số tất cả các song ánh được phân tích thành k vòng xích độc lậptrên tập n phần tử có thể coi là rất đầy đủ và có mặt trong nhiều tài liệu

cơ bản Tuy nhiên các kết quả tương tự khi xét tập tất cả các ánh xạ trêntập n phần tử gặp nhiều khó khăn, mặc dù ta có thể mô tả về mặt cấu trúcthông qua công cụ đồ thị và mảnh tổ hợp Chúng tôi giới thiệu một kết quảmới nhận được chỉ bằng phương pháp sơ cấp chúng tôi đã chứng minh được

Việc chứng minh quy nạp cho đẳng thức này chính là phần mới và cũng

là phần cơ bản nhất của luận văn này

Định nghĩa 4.1 Một ánh xạ f từ tập N = {1, 2, , n} vào chính nóđược gọi là ánh xạ phân rã được nếu tồn tại một tập con thật sự và không

Định nghĩa 4.2 Một ánh xạ f từ tập N = {1, 2, , n} vào chính nóđược gọi là ánh xạ không phân rã được nếu nó không phải là ánh xạ phân

rã được

Định nghĩa 4.3 Một ánh xạ f từ tập N = {1, 2, , n} vào chính nóđược gọi là một ánh xạ có k thành phần không phân rã được nếu nó tồntại một phân hoạch N = N1 ∪ N2 ∪ ∪ Nk, Ni 6= ∅, Ni ∩ Nj =

trên mỗi tập con Ni Như vậy ta có thể phân tích một ánh xạ f từ tập

tương tự như khi phân tích một song ánh từ tập N vào chính nó thành cácvòng xích

Kết quả cơ bản này đã được chứng minh trong bài báo ”Componentsunder a random mapping function" của nhà toán học Martin D Kruskal vàbài báo "Probability of a random mapping function" của nhà toán học LeoKatz bằng công cụ toán tử và các lập luận tổ hợp cơ bản đã đưa ra cáchchứng minh vào năm 1954 Ngoài hai cách chứng minh trên, ở đây tôi đưa

ra hai phương pháp chứng minh hoàn toàn bằng sơ cấp, đó là phương pháp

quy nạp và thiết lập công thức truy hồi để tính số các ánh xạ không phân

rã được trên tập hữu hạn

4.3.1 Phương pháp quy nạp

Nhận xét 4.1 Một ánh xạ f từ tập N = {1, 2, , n} vào chính nó đượcgọi là ánh xạ không phân rã được nếu nó thoả mãn một trong các điều kiệnsau đây:

i) Tồn tại duy nhất k0 ∈ N sao cho f (k0) = k0

ii) Tồn tại một tập con K thật sự và không rỗng của N sao cho khi hạn chếcủa f trên K thì f là một hoán vị vòng quanh

iii) f là một hoán vị vòng quanh trên N

Từ nhận xét trên ta thấy để xây dựng một ánh xạ không phân rã đượctrên tập hữu hạn N ta phải xây dựng một hoán vị vòng quanh trên tập K

cho liên kết với hoán vị vòng quanh đó

Do vậy, ta có mệnh đề đếm số tất cả các ánh xạ không phân rã được từ

Mệnh đề 4.1 Gọi αn là số tất cả các ánh xạ không phân rã được từ

Chứng minh Để đếm số tất cả các ánh xạ không phân rã được từ tập

Trước hết ta tạo một hoán vị vòng quanh trên tập K với |K| = k,

Tiếp theo chọn k phần tử trong n phần tử ta có số cách chọn là Cnk.Xét dãy các tập hợp I1, I2, , Il , (1 ≤ l ≤ n − k) , |Ij| = ij sao cho

n−k−i 1, , số cách phân phối

n−k−i 1 − −il−1.Nên số cách phân phối n − k phần tử vào l tập hợp I1, I2, , Il là

Chứng minh Để chứng minh (1) trước hết ta cần chứng minh rằng

X

(i 1 , ,i l ):

l

P j=1

Thay kết quả này vào đẳng thức (*) ta được:

4.3.2 Thiết lập công thức truy hồi

Định lý 4.2 [5] Gọi αn là số tất cả các ánh xạ không phân rã được

với |Ij| = ij, j = 1, k, 1 ≤ k ≤ n, và dễ thấy rằng dãy trên dừng tại k

khi và chỉ khi Ik+1 = ∅ Ta có hai khả năng sau:

a) Không tồn tại một tập con thật sự S nào của N sao cho hạn chế của

f trên S là một ánh xạ không phân rã được từ tập S vào chính nó

Gọi số các khả năng của f thuộc loại này là an+1,1

Khi đó dãy các tập I1, I2, , Ik với 1 ≤ k ≤ n thoả

k

P

j=1

ij = n

Để tạo một ánh xạ không phân rã được trên tập N ∪ {n + 1} vào chính

nó, trước hết ta phân phối n phần tử của tập N vàok tập hợp I1, I2, , Ik,

b) Tồn tại một tập con thật sự S của N sao cho hạn chế của f trên S

là một ánh xạ không phân rã được từ tập S vào chính nó

Gọi số các khả năng của f thuộc loại này là an+1,2

Dễ thấy rằng một ánh xạ không phân rã được từ tập N vào chính nókhông thể được tạo nên từ hai ánh xạ không phân rã được trên hai tâpcon thật sự của N có giao khác rỗng Giả sử tập N \ S gồm m phần tử,

Để tạo một ánh xạ không phân rã được trên tập N ∪ {n + 1} vào chính

nó ta tiến hành theo các bước sau:

Phân phối nphần tử của tập N vàol tập hợpI1, I2, , Il, có Ci1

Hệ quả 4.3.1 Hệ số λn,k của dãy nhị thức Pn(t), n = 0, 1, 2,

sinh bởi dãy αk, k = 1, 2, các ánh xạ không phân rã được từ tập

phân rã được từ tập N = {1, 2, , n} vào chính nó, với λ = α

Nhận xét 4.2 Số tất cả các ánh xạ không phân rã được từ tập N =

ánh xạ không phân rã được{αk}k≥1 khit = 1 TứcPn(1) =

Dựa vào các định lí, mệnh đề và hệ quả trên ta có thể tính truy hồi cho

số ánh xạ gồm k thành phần không phân rã được αn,k, k = 1, 2, , n từ

thức {Pn(t)}n≥0 của dãy {αk}k≥1 các ánh xạ khôn phân rã được từ tập

Mệnh đề 4.3 Nếu f là ánh xạ không phân rã từ tập [n] vào chính nóthì tập hợp các ảnh cuối của f thuộc một vòng xích duy nhất

2) Luận văn giới thiệu lại các khái niệm về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp,

số Stirling loại một, số Stirling loại một không dấu, số Stirling loại hai và

số Bell Đồng thời luận văn nêu lại cách tính số các ánh xạ, đơn ánh, toànánh và song ánh

3) Chúng tôi trình bày sơ lược lại các kết quả đã có về dãy nhị thức.4) Điều đáng lưu ý trong luận văn này là chúng tôi đã đưa ra một sốkhái niệm mới như ánh xạ phân rã được, ánh xạ không phân rã được trêntập hữu hạn Đặc biệt việc đưa ra cách chứng minh quy nạp để tìm số ánh

xạ không phân rã được từ tập [n] vào chính nó chính là phần mới và là cơbản nhất của luận văn này

Kết quả luận văn là cơ sở trong việc tiếp tục nghiên cứu để tìm ra côngthức truy hồi cho số tất cả các đồ thị liên thông có n đỉnh