Số các ánh xạ không phân rã được trên tập hữu hạn

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN VĂN TIẾN SỐ CÁC ÁNH XẠ KHÔNG PHÂN RÃ ĐƯỢC TRÊN TẬP HỮU HẠN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn An Khương Phản biện 1: TS Lê Hải Trung Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Gia Định Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tổ hợp lĩnh vực quan trọng toán học nói chung toán rời rạc nói riêng Các toán tổ hợp có nội dung phong phú, nghiên cứu ứng dụng rộng rãi thực tế đời sống nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt xác suất thống kê Hiện nay, kiến thức tổ hợp đưa vào chương trình giảng dạy lớp 11 Trong kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng toán tổ hợp hay đề cập thường thuộc loại khó Đối với toán tổ hợp phức tạp việc áp dụng kiến thức để giải gặp nhiều khó khăn, nên cần có phương pháp sắc bén Chính lí trên, chọn đề tài "Số ánh xạ không phân rã tập hữu hạn"nhằm nghiên cứu số ánh xạ tập hữu hạn thỏa mãn tính chất mà gọi "không phân rã được" Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài đề xuất thêm phương pháp chứng minh mới, hoàn toàn sơ cấp để tính số ánh xạ không phân rã tập hữu hạn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu số ánh xạ không phân rã Phạm vi nghiên cứu số ánh xạ không phân rã tập hữu hạn Footer Page of 126 Header Page of 126 Phương pháp nghiên cứu Đọc hiểu sử lý tài liệu tham khảo đồng thời làm việc theo hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Hệ thống hóa phương pháp tìm số ánh xạ không phân rã tập hữu hạn Đưa cách chứng minh cho việc tìm số ánh xạ không phân rã tập hữu hạn Cấu trúc luận văn Luận văn chia làm bốn chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong phần giới thiệu kiến thức kết quy tắc đếm, sử dụng quy tắc song ánh, phân hoạch tổ hợp để giải toán tổ hợp, đồng thời nêu khái niệm xích độ dài xích Chương 2: Các số tổ hợp Chương nhắc lại số tổ hợp bản, số Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, số Stirling loại một, số Stirling loại hai số Bell với số ánh xạ đặc biệt tập hữu hạn Chương 3: Dãy nhị thức Trong chương luận văn giới thiệu sơ lược dãy nhị thức Pn (t)n≥0 Chương 4: Ánh xạ không phân rã Đây chương quan trọng luận văn đưa số khái niệm ánh xạ không phân rã từ tập [n] vào Đặc biệt đưa cách chứng minh để tìm số ánh xạ không phân rã tập hữu hạn Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Quy tắc cộng, quy tắc nhân Quy tắc cộng Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 , m2 cách chọn đối tượng a2 , , mn cách chọn đối tượng an , cách chọn đối tượng (1 ≤ i ≤ n) không phụ thuộc vào cách chọn đối tượng aj (1 ≤ j ≤ n, i = j) n mk cách chọn đối tượng a1, a2, , an có k=1 Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển qui tắc sang dạng sau: Cho n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk ∀i, j(1 ≤ i, j ≤ n)Ai ∩ Aj = ∅, i = j Khi số cách chọn a1, a2, , an n số cách chọn phần tử a ∈ Ak | k=1 1.1.2 n n |Ak | Ak | = k=1 k=1 Quy tắc nhân Cho n đối tượng a1 , a2 , , an Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 ứng với cách chọn a1 ta có m2 cách chọn đối tượng a2 , sau với cách chọn a1 , a2 ta có m3 cách chọn đối tượng a3 , Cuối với cách chọn a1 , a2 , , an−1 ta có mn cách chọn đối tượng an Vậy có m1 m2 .mn−1 mn cách chọn đối tượng a1 , a2 , , an Chú ý Để vận dụng có hiệu quả, ta chuyển quy tắc nhân sang dạng sau: Footer Page of 126 Header Page of 126 Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk Khi đó, Số cách chọn (S) gồm n phần tử (a1 , a2 , , an ) với ∈ Ai (1 ≤ i ≤ n) là: n S = |A1.A2 An| = m1.m2 mn = mk k=1 1.2 Nguyên lý bù trừ Định lý 1.1 [4] Cho n≥2 tập hợp hữu hạn A1 , , An Khi ta có : |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An| = n |Ai| − i=1 |Ai ∩ Ak | + 1≤i