Bài giảng Xác suất thống kê: Tập hợp giải tích tổ hợp cung cấp cho sinh viên những kiến thức về: Khái niệm về tập hợp, biểu diễn tập hợp, quan hệ giữa các tập hợp, các phép toán trên các tập hợp, quy tắc cộng, quy tắc nhân, tính chất của một nhóm, chỉnh hợp (arrangement), hoán vị (permutation),... Mời các bạn cùng tham khảo.
Outline TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP TẬP HỢP - GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp Giải tích tổ hợp Tập hợp Nguyễn Văn Thìn Giải tích tổ hợp BỘ MƠN THỐNG KÊ TỐN HỌC KHOA TỐN - TIN HỌC ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM Tháng năm 2016 Outline TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Tập hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp Giải tích tổ hợp TẬP HỢP Khái niệm tập hợp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Tập hợp khái niệm khơng có định nghĩa, tương tự khái niệm điểm, đường thẳng hình học Tập hợp hiểu tổng qt tựu tập số hữu hạn hay vơ hạn đối tượng Các đối tượng gọi phần tử tập hợp Biểu diễn tập hợp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Có hai cách biểu diễn tập hợp: Liệt kê phần tử Tập hợp Giải tích tổ hợp Ví dụ Tập hợp số tự nhiên nhỏ A = {0, 1, 2, 3, 4} Ta thường dùng chữ in hoa A, B, C , để kí hiệu tập hợp Nếu a phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A Ngược lại, a khơng thuộc A ta kí hiệu a ∈ /A Tập hợp số tự nhiên chẵn từ đến 100 B = {0, 2, 4, , 98, 100} Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng Kí hiệu ∅ Quan hệ tập hợp Biểu diễn tập hợp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Chỉ tính chất đặc trưng phần tử Khơng phải tập hợp liệt kê rõ ràng phần tử Tuy nhiên ta dùng tính chất đặc trưng để mơ tả nó, từ xác định phần tử có thuộc tập hợp hay khơng Ví dụ Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Tập hợp Cho tập hợp A B Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B, ta nói tập hợp A tập hợp B kí hiệu A ⊂ B B ⊃ A Ta viết A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) Tập hợp Tập hợp số thực lớn bé C = {x|x ∈ R < x < 1} Cho tập hợp A B Nếu phần tử A thuộc B ngược lại, phần tử B thuộc A ta nói hai tập hợp A B kí hiệu A = B Ta viết A = B ⇔ (A ⊂ B B ⊂ A) Các phép toán tập hợp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giao hai tập hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp Tập hợp Giao hai tập hợp A B cho tập hợp phần tử đồng thời thuộc hai tập hợp này, kí hiệu A ∩ B Ta viết x ∈A∩B ⇔ Giải tích tổ hợp x ∈A x ∈B Nguyễn Văn Thìn x ∈A x ∈B Các phép tốn tập hợp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Hiệu hai tập hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp Hợp hai tập hợp A B cho tập hợp phần tử thuộc hai tập hợp này, kí hiệu A∪B Ta viết x ∈A∪B ⇔ Các phép toán tập hợp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Hợp hai tập hợp Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Hiệu hai tập hợp A B cho tập hợp phần tử thuộc A mà khơng thuộc B, kí hiệu A \ B Ta viết A \ B = {x|x ∈ A x ∈ / B} Giải tích tổ hợp Bù tập hợp Xét tập hợp Ω, A tập Ω Khi đó, bù tập hợp A, kí hiệu A, tập hợp chứa phần tử thuộc Ω mà không thuộc A Ta viết A = {x|x ∈ Ω x ∈ / A} nói cách khác, A=Ω\A TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Các phép tốn tập hợp Các phép tốn tập hợp Tính chất Chứng minh (i) Tính giao hốn A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A (1) TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn (ii) Tính kết hợp Tập hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (2) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (3) Giải tích tổ hợp (iii) Tính phân phối A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) (4) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) (5) Ta chứng minh (1), (2), (4) (6) Các đẳng thức lại sinh viên làm tương tự (i) A ∪ B = {x|x ∈ A x ∈ B} = {x|x ∈ B x ∈ A} = B ∪ A Trường hợp “giao” sinh viên làm tương tự (ii) (A ∪ B) ∪ C = {x|x ∈ A ∪ B x ∈ C } = {x|x ∈ A x ∈ B x ∈ C } = {x|x ∈ A x ∈ B ∪ C } = A ∪ (B ∪ C ) (iii) Đầu tiên, ta chứng minh vế trái (4) tập vế phải (4) Thật vậy, lấy x ∈ vế trái (4) = A ∩ (B ∪ C ), tức x ∈ A x ∈ B ∪ C Nếu x ∈ B x ∈ A nên x ∈ A ∩ B, tức x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) Nếu x ∈ C x ∈ A nên x ∈ A ∩ C , tức x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) (iv) Công thức De Morgan A∪B = A∩B (6) A∩B = A∪B (7) Do x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) = vế phải (4) Các phép toán tập hợp Các phép toán tập hợp Chứng minh (tt) TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp (iii) Tiếp theo, ta chứng minh vế phải (4) tập vế trái (4) Thật vậy, lấy x ∈ vế phải (4) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ), tức x ∈ A ∩ B x ∈ A ∩ C Nếu x ∈ A ∩ B x ∈ A x ∈ B Suy x ∈ A x ∈ B ∪ C , tức x ∈ A ∩ (B ∪ C ) Nếu x ∈ A ∩ C x ∈ A x ∈ C Suy x ∈ A x ∈ B ∪ C , tức x ∈ A ∩ (B ∪ C ) Do đó, x ∈ A ∩ (B ∪ C ) = vế trái (4) TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Lưu ý Vì lí tính kết hợp nên để đơn giản người ta thường viết A ∪ B ∪ C A ∩ B ∩ C mà khơng có dấu ngặc đơn Để chứng minh đẳng thức tập hợp phức tạp dạng A = B, ta nên chứng minh theo hai bước: A ⊂ B B ⊂ A Ví dụ Kiểm chứng hệ thức sau: (iv) A ∪ B = {x|x ∈ / A ∪ B} = {x|x ∈ / A x ∈ / B} = {x|x ∈ A x ∈ B} = A ∩ B (A \ B) \ C = (A \ C ) \ (B \ C ) Các phép toán tập hợp Các phép toán tập hợp Gợi ý TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Lấy x ∈ (A \ B) \ C , theo định nghĩa ta có Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn x ∈ A \ B x ∈ /C Bây ngược lại, ta lấy x ∈ (A \ C ) \ (B \ C ), theo định nghĩa ta có x ∈ A \ C x ∈ / B \C Tập hợp tức Giải tích tổ hợp x ∈ A, x ∈ / B x ∈ /C tức x ∈ A, x ∈ / C x ∈ /B suy x ∈ A \ C x ∈ / B \C hay x ∈ (A \ B) \ C tức x ∈ (A \ C ) \ (B \ C ) Do đó, (A \ C ) \ (B \ C ) ⊂ (A \ B) \ C Do đó, (A \ B) \ C ⊂ (A \ C ) \ (B \ C ) (8) Từ (8) (9) ta có hệ thức cần chứng minh Outline TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Tập hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp Giải tích tổ hợp GIẢI TÍCH TỔ HỢP (9) Quy tắc cộng TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Giả sử để chọn đối tượng ta chọn n đối tượng khác nhau, x1 , , xn , xi có mi cách chọn với i = 1, , n Khi ta có m1 + m2 + + mn cách chọn đối tượng Ví dụ Quy tắc nhân TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Trong lớp học có 26 sinh viên nam 24 sinh viên nữ Để chọn sinh viên làm lớp trưởng ta chọn đối tượng khác nam nữ, để chọn sinh viên nam ta có 26 cách, sinh viên nữ ta có 24 cách Như vậy, theo quy tắc cộng, ta có 26 + 24 = 50 cách chọn sinh viên làm lớp trưởng cách hồn thành cơng việc Quy tắc nhân TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Ví dụ Giả sử từ A đến C ta bắt buộc phải qua B Có đường khác từ A đến B có đường khác từ B đến C Vậy có n = 3.2 = cách khác để từ A đến C Giải tích tổ hợp Tính chất nhóm TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Trên kệ sách có sách tiếng Anh khác nhau, sách tiếng Pháp khác 10 sách tiếng Đức khác Hỏi có cách chọn (a) sách, thứ tiếng (b) sách (c) sách theo thứ tiếng Nhóm có thứ tự Khi đổi vị trí phần tử khác nhóm ta nhận nhóm khác Tập hợp Giải tích tổ hợp Ví dụ Giả sử để hồn thành cơng việc phải thực k giai đoạn Giai đoạn thứ có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện, , giai đoạn thứ k có nk cách thực Khi ta có n = n1 n2 nk Nhóm khơng có thứ tự Khi đổi vị trí phần tử khác nhóm ta khơng nhận nhóm khác Nhóm có lặp Các phần tử nhóm có mặt nhiều lần nhóm Nhóm khơng lặp Các phần tử nhóm có mặt lần nhóm Chỉnh hợp (Arrangement) TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Ví dụ Từ số 0, 1, 2, 3, lập số có chữ số (a) có lặp (b) khơng lặp Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp Giải tích tổ hợp Định nghĩa Chỉnh hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm có thứ tự, khơng lặp gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Gọi Akn số chỉnh hợp chập k n phần tử Khi đó, Akn = n.(n − 1) (n − k + 1) = Chỉnh hợp (Arrangement) TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Hốn vị (Permutation) TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Ví dụ Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự Hỏi có cách chọn lớp trưởng lớp phó? Giải tích tổ hợp Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Gợi ý 10 n! (n − k)! Định nghĩa 11 Hoán vị n phần tử nhóm có thứ tự khơng lặp có đủ n phần tử cho Số hoán vị n phần tử Pn = n! Một cách chọn lớp trưởng lớp phó nhóm có hai phần tử có thứ tự khơng lặp Nên có Quy ước 0! = A212 = 12.11 = 132 cách chọn thỏa yêu cầu Nhận xét 12 Hoán vị trường hợp đặc biệt chỉnh hợp Hốn vị TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Ví dụ 13 Chỉnh hợp lặp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Mỗi cách xếp học sinh ngồi vào bàn có chỗ ngồi hốn vị phần tử Do số cách xếp P4 = 4! = 24 cách Nguyễn Văn Thìn Ví dụ 14 Giải tích tổ hợp Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi phần tử có mặt nhóm khơng q lần Nếu bỏ điều kiện này, ta có chỉnh hợp lặp Tập hợp Định nghĩa 16 Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử chọn từ n phần tử cho, phần tử có mặt lần nhóm Một người có 10 sách đặt kệ Trong đó, có sách tốn, sách hóa, sách lịch sử, sách ngoại ngữ Người muốn xếp sách cho sách chủ đề phải xếp kế cận Hỏi người có cách xếp? Gọi Akn số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử Khi đó, Akn = nk Chỉnh hợp lặp Tổ hợp (Combination) TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn Nguyễn Văn Thìn Tập hợp Giải tích tổ hợp Ví dụ 17 Từ số tập hợp A = {1, 2, 3}, ta lập A53 = 35 số có chữ số Nhận xét 18 Vì phần tử xuất nhiều lần chỉnh hợp lặp nên k lớn n Tập hợp Giải tích tổ hợp Định nghĩa 19 Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm khơng phân biệt thứ tự, không lặp gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Gọi Cnk số tổ hợp chập k n phần tử Khi đó, n! Cnk = k!(n − k)! Ví dụ 20 Mỗi đề thi gồm câu hỏi lấy từ 25 câu hỏi cho trước, ta lập 25! C25 = = 2300 3!22! đề thi đề thi nhóm có câu hỏi khơng phân biệt thứ tự khơng lặp Nhị thức Newton Tính chất tổ hợp TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nguyễn Văn Thìn TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Cơng thức nhị thức Newton n (a + b)n = Nguyễn Văn Thìn Quy ước 0! = Tập hợp Tập hợp Giải tích tổ hợp Giải tích tổ hợp Cnk an−k bk k=0 Các hệ số nhị thức Newton xác định từ tam giác Pascal Cnk = Cnn−k k−1 k Cnk = Cn−1 + Cn−1 Nhị thức Newton TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Nhị thức Newton TẬP HỢP GIẢI TÍCH TỔ HỢP Ví dụ 21 Dùng khai triển nhị thức Newton chứng minh rằng: Nguyễn Văn Thìn Cnr Tập hợp = 0≤r =2k≤n Giải tích tổ hợp Cnr Nguyễn Văn Thìn n−1 Hơn nữa, ta tiếp tục lấy a = b = 1, đó, =2 n Tập hợp 0