Dãy hợp thành của môđun

Trờng đại học vinh Khoa Toán ------ Nguyễn Thị Hằng dãy hợp thành của môđun Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán học Vinh 2010 Trờng đại học vinh Khoa Toán ------ Nguyễn Thị hằng dãy hợp thành của môđun Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán học Cán bộ hớng dẫn khóa luận: TS. Đào Thị Thanh Hà Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hằng Lớp: 47B - Toán Vinh 2010 2 MỤC LỤC Lời nói đầu .1 Chương I: Các khái niệm cơ bản .3 1.1 Định nghĩa và ví dụ .3 1.2 Môđun con, môđun đơn, môđun thương .4 1.3 Đồng cấu môđun 5 1.4 Dãy khớp, môđun Noether, môđun Artin 7 Chương II: Dãy hợp thành của môđun .8 2.1 Định nghĩa và ví dụ .8 2.2 Độ dài của dãy hợp thành 10 2.3 Định lý Jordan-Holder .15 Kết luận .23 Tài liệu tham khảo .24 3 4 LỜI MỞ ĐẦU Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại, lý thuyết môđun đã có bước phát triển mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng quan trọng. Chúng ta sẽ thấy rằng, điều kiện hữu hạn của môđun trên vành giao hoán sẽ cho chúng ta thông tin về cấu trúc môđun. Khái niệm độ dài của môđun là khái niệm tổng quát của khái niệm chiều không gian véctơ. Có thể nói độ dài của môđun chính là số đo độ lớn của môđun đó. Một dãy hợp thành có thể không tồn tại, và ngay cả khi tồn tại vẫn có thể là không duy nhất. Tuy nhiên định lý Jordan-Holder khẳng định rằng, một môđun có độ dài hữu hạn hay nói cách khác, có dãy hợp thành thì dãy hợp thành của nó sẽ xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia làm hai chương. Chương I: Chương về kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến phần nội dung chính của khóa luận. Cụ thể, chúng tôi tóm tắt các khái niệm, ký hiệu và tính chất cơ bản về môđun. Chương II: Dãy hợp thành của môđun. Ở đây chúng tôi trình bày các khái niệm, chứng minh chi tiết các tính chất về dãy hợp thành của môđun, đặc biệt là định lý về độ dài của dãy hợp thành, định lý về đẳng cấu của dãy hợp thành. Khi đó, ứng dụng các kết quả đã đạt được về dãy hợp thành có mối liên hệ giữa độ dài của môđun và số chiều của một không gian hữu hạn chiều. Khóa luận được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Đào Thị Thanh Hà. Nhân dịp này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường Đại 1 học Vinh, đặc biệt là TS. Đào Thị Thanh Hà đã tạo điều kiện và giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo trong quá trình thực hiện khóa luận. Do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc để khóa luận hoàn thiện hơn. Vinh, ngày 5 tháng 5 năm 2010 Tác giả 2 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa và ví dụ 1.1.1 Định nghĩa. Cho R là một vành. Một tập M được gọi là một R–môđun trái, hay còn gọi môđun trái trên vành R, nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) M là một nhóm Abel cộng. (ii) Tồn tại một ánh xạ xmmx MMR ),( →× gọi là phép nhân vô hướng sao cho các tính chất sau được thỏa mãn đối với các phần tử tùy ý Ryx ∈ , và Mmmm ∈ 21 ,, : (+) Kết hợp: (xy)m = x(ym) ; (+) Phân phối: x(m 1 + m 2 ) = xm 1 + xm 2 và (x +y)m = xm + ym ; (+) Unitar: 1m = m. Nếu R là một trường thì một R–môđun được gọi là không gian vectơ trên trường đó. Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R–môđun phải bằng cách xét phép nhân với vô hướng ở bên phải. Tuy nhiên để cho đơn giản ta chỉ xét R–môđun trái trong suốt khóa luận này và gọi tắt là R–môđun. 1.1.2 Ví dụ. a) Một vành R luôn có thể xem là một môđun trên chính nó với phép nhân với vô hướng chính là phép nhân của vành. b) Mọi nhóm Abel G đều có thể xem là môđun trên vành các số nguyên ¢ . Với a ∈ G và n ∈ ¢ tùy ý, phép nhân với vô hướng được xác định là: ¢ GG →×     lann aaanaan − +++= ),( 3 c) Giả sử R là vành giao hoán với đơn vị và [ ] { } RaaaX ij nn ij ∈== × | là tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử trên R. Trên X ta xác định hai phép toán: (i) Phép cộng: XXX →× ( ) nnij cbaba × =+ ][,  , với ijijij bac += (ii) Phép nhân với vô hướng: XXR →× ( ) nnij daa × = ][, λλ  , với ij d = ij a λ Khi đó X trở thành môđun trên vành R và được gọi là một môđun các ma trận cỡ nn × trên R. 4) Giả sử R là vành giao hoán với đơn vị. Khi đó [ ] ( )       ∈== ∑ = n i i i i RaxaxfxR 0 \ cùng với phép cộng đa thức thông thường và phép nhân cho bởi ( ) ∑ = = n i i i xaxf 0 λλ là một môđun và được gọi là môđun các đa thức ẩn x với hệ số thực. 1.2 Môđun con, môđun đơn, môđun thương 1.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R–môđun và N là tập con khác rỗng của M. Khi đó N được gọi là R–môđun con (hay gọi tắt là môđun con) của R–môđun M nếu N cũng là một R–môđun với các phép toán của M hạn chế trên N. 1.2.2 Tiêu chuẩn môđun con. Cho M là một R–môđun và N là tập con khác rỗng của M. Khi đó ba điều kiện sau đây tương đương: (i) N là môđun con của M. (ii) NyxNyx ∈∀∈+ ,, và RaNxNax ∈∀∈∀∈ ,, . (iii) RbaNyxNbyax ∈∀∈∀∈+ ,,,, . 1.2.3 Định nghĩa. Môđun con N của môđun M được gọi là môđun con cực đại nếu N ≠ M và không tồn tại môđun P sao cho P M ⊂ và P ⊃ N. 1.2.4 Định nghĩa. Cho M là một R–môđun. Khi đó M được gọi là môđun đơn nếu M ≠ 0 và M chỉ có duy nhất hai môđun con là 0 và chính M. 4 1.2.5 Định nghĩa. Cho M là R–môđun và N là môđun con của M. Khi đó N là nhóm con chuẩu tắc của nhóm cộng abel M. Do đó tồn tại nhóm thương M}x\N{x ∈+= N M và ( ) + , N M là nhóm abel. Xét phép nhân với vô hướng trên R: N M N M R →× ( ) Nrxxrxr += , . Khi đó N M là một R–môđun với phép cộng và phép nhân với vô hướng nói trên. Môđun này được gọi là môđun thương của M theo môđun N. 1.2.6 Mệnh đề. Cho M là R–môđun và G là môđun con của M. Khi đó (i) Nếu ' G là môđun con của M mà GG ⊇ ' thì G G ' là môđun con của G M . (ii) Mỗi môđun con của G M có dạng G G " của đúng một môđun con " G của M mà GG ⊇ " . (iii) Cho 21 ,GG là môđun con của M mà chứa G. Khi đó 21 GG ⊆ nếu và chỉ nếu G G G G 21 ⊆ . 1.3 Đồng cấu môđun 1.3.1 Định nghĩa. Cho M và N là hai R–môđun. Một ánh xạ NMf → : được gọi là đồng cấu môđun hay còn gọi là R–đồng cấu, nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đối với mọi phần tử x, y M∈ và r R ∈ : f(x+y) = f(x)+f(y) f(rx) =rf(x). 5 Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh. Hai môđun M và N đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một ánh xạ đẳng cấu f: M → N Kí hiệu là M ≅ N. 1.3.2 Định lý. Giả sử f : M N → là một đồng cấu từ môđun M đến môđun N , p : M Kerf M → là toàn cấu chính tắc từ môđun M đến môđun thương của M trên Kerf. Khi đó có một đồng cấu duy nhất sao cho tam giác: M f N p f Kerf M là giao hoán. 1.3.3 Hệ quả. Giả sử f : M → N là đồng cấu từ môđun M đến môđun N. Khi đó f Kerf M Im ≅ . 1.3.4 Định lý. Giả sử N và P là hai môđun con của R–môđun M. Khi đó ( ) PN P N PN ∩ ≅ + . 1.3.5 Định lý. Giả sử N và P là hai môđun con của R–môđun M, và N là môđun con của P. Khi đó N P N M P M = . 1.3.6 Mệnh đề. Cho một R–môđun M. Ký hiệu M S là tập hợp tất cả các môđun con của M. Cho f : ' MM → là một toàn cấu của R–môđun. Khi đó ánh xạ { } ' :: M M SKerfGSG →⊇∈ θ G )(Gf là song ánh và ' ''1'1 ),()( M SGGfG ∈∀= −− θ . 6