+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x[r]
(1)đề cơng ôn tập toán CĐ1: c¸c d¹ng ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn 1, PT bËc nhÊt mét Èn: Lµ PT cã d¹ng ax +b = (a ≠0) b ax = -b x = - a Bài 1: Gi¶i c¸c PT sau a, 2x +5 = 28 - 3(5x +7 ) 2x + 15x = 28 -21-5 17 x = x= b, 4x + x −4 = - x +9 4x 30 + (3x - 4) = 8.30 - 6(7x +9) 120x +15 x -20 = 240 - 42x -54 93x = 206 17 x = 206 93 2, PT d¹ng tÝch: A(x).B(x) = A(x) = hoÆc B(x) = Bài : Gi¶i c¸c PT sau a, 3x(5 - 7x) = x=0;x= b, 4x -9 + 2x +3 = (2x +3)(2x -3) + 2x +3 =0 (2x +3)(2x - 2) = x+ 3=0 ¿ x −2=0 ¿ ¿ ¿ ¿ x x Bài 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + x − 13 x +6=0 Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm (nghiÖm thuéc íc cña 6) ta đợc: ( x 2)(2 x x 3) 0 x = x = x = -3 Bµi 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh x −2 x3 − x +8 x −12=0 Bµi 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh x −3 x −11 x +6=0 3, PT chøa Èn ë mẫu B1: Đặt ĐK ẩn ; Quy đồng khử mẫu B2: Biến đổi PT đa dạng ax +b = giải B3: §èi chiÕu §K vµ tr¶ lêi nghiÖm Bµi : Gi¶i c¸c Pt sau 2x 7x 4 x x a, ĐK: x ≠ ; x ≠ -3 2x + + 4(x - 2) = - 7x (2) 2x + + 4x - = - 7x 13x = b, 13 (TMĐK) x x 2x + = x+ 2( x −3) ( x+1)(x − 3) x §K: x ≠ -1 ; x ≠ x(x+1) + x(x -3) = 4x 2x2 - 6x = 2x(x -3) = x =0 (TMĐK) x =3 (lo¹i) 4, PT chøa dÊu GTT§ |2 x+7|− x+ 9=0 (1) Bài 7: Giải phương trình GV híng dÉn HS gi¶i theo hai c¸ch Cách 1: Më dÊu GTT§ 7 x 2x + +) Nếu 2x + x thì (1) 2x + - 3x + = -x = - 16 x = 16 (TMĐK) 7 x (2x + 7) +) Nếu 2x + < x < thì (1) - (2x + 7) - 3x + = - 2x - - 3x + = -5x = -2 x = (K0 TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = 16 Cỏch 2: Chuyển vế đặt ĐK vế phải giải 5, Ph¬ng tr×nh v« tØ: Bài 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh: √ x+ √ x −1+ √ x − √ x −1=2 PP: + §KX§: x −1 ≥ ⇔ x ≥ + Tạo bình phơng tổng hiệu biểu thức dới để đa ngoµi c¨n Do thiÕu lÇn tÝch nªn ta nh©n c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh víi √ + Xét xem biểu thức dới dơng hay không để đặt dấu gía trị tuyệt đối giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bµi 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh Bµi 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x2 − x+ 4+ √ x +2 x +1=3 √ x+2 √ x −3 − 2+ √ x −2 √ x −3 −2=3 6, BÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn §Þnh nghÜa: BPT bËc nhÊt mét Èn lµ BPT cã d¹ng ax+b > hoÆc ax+b < VD: a, 2x-5 < b, 27-3x > C¸ch gi¶i: Bµi 11: Gi¶i BPT sau a, 2x-5 < ⇔ 2x < ⇔ x < (3) b, 27-3x > Gi¶i BPT sau Bµi 12: ⇔ -3x > - 27 ⇔ x< 27 ⇔ x<9 x −5 2+5 x −4 x+ > Gi¶i: ⇔ ⇔ x −5 2+5 x −4 x+ > ⇔ 5(3x-5) - 4x.5.6 + 2.6 >(2+5x) 10 15x-25-120x+12 >20+50x ⇔ 15x-120x-50x > 20+25-12 -155x > 33 x < − 33 ⇔ 155 C® 2: toán liên quan đến rút gọn biểu thức I/ C¸c d¹ng to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa(tồn xác định), đề cha cã BT c¨n(díi dÊu c¨n) (tøc √ A ∃ ⇔ A 0) Ph¬ng ph¸p: ¸p dông BT ë mÉu kh¸c D¹ng 2: Rót gän biÓu thøc Ph¬ng ph¸p: - Xem thử tử và mẫu có phân tích thành nhân tử đợc không để rút gọn - Quy đồng trục thức mẫu * Lu ý: Thực phép biến đổi theo trình tự ngoặc trớc, nhân chia - cộng trừ sau Dạng 3: Tính giá trị biến để biểu thức >, =, < số Ph¬ng ph¸p: - Từ biểu thức đã đợc thu gọn và yêu cầu đề ta đợc BPT PT - Giải BPT PT tìm đợc giá trị biến - Đối chiếu giá trị biến với ĐK đầu bài để kết luận D¹ng 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc, biÕt gi¸ trÞ cña biÕn Ph¬ng ph¸p: - Biến đổi(Thu gọn) giá trị biến (nếu đợc) - Thay giá trị biến vào biểu thức đã thu gọn tìm đợc gtrị biểu thức Dạng 5: Tìm giá trị nguyên biến (hoặc không nguyên) để biểu thức nhận giá trÞ nguyªn Ph¬ng ph¸p: - Biến đổi biểu thức đã đợc thu gọn dạng: sè + biÓu thøc p(x) - NÕu biÓu thøc p(x) lµ ph©n th× Mẫu ph¶i lµ íc cña Tö D¹ng 6: T×m GTLN, GTNN cña biÓu thøc Phơng pháp: Có nhiều cách, tuỳ theo biểu thức đã thu gọn Nhng THCS thờng hay gÆp c¸c c¸ch sau: * Tìm GTLN: Biến đổi biểu thức dạng: - [p(x)]2 + a a (a 0) suy GTLN b»ng a (tøc lµ dÊu” = “ x¶y ra) * Tìm GTNN: Biến đổi biểu thức dạng: [p(x)]2 + a a (a 0) suy GTNN b»ng a (tøc lµ dÊu” = “ x¶y ra) II/ Bµi tËp cô thÓ: (4) 1 − Bµi 1: Cho biÓu thøc: M = ( )(1), §K: x > 0, x − √a 1+ √ a √a a/ Rót gän biÓu thøc M b/ TÝnh gi¸ trÞ cña M a = Bµi 2: Cho biÓu thøc: x+ x P = − x −√ x , §K: x > 0, x ≠ 1+ √ √ x −1 √ x+1 a/ Rót gän biÓu thøc P b/ Tìm tất các giá trị x để P < - Bµi 3: Cho biÓu thøc: M = x +1 −2 √ x + x + √ x √ x − √ x +1 a/ Tìm điều kiện x để biểu thức xác định và rút gọn biểu thức M b/ Tìm x để M < Bµi 4: Cho biÓu thøc: √x − : + P= ; x > 0, x ≠ √ x −1 x − √ x √ x +1 x − a/ Rót gän biÓu thøc P b/ Tìm tất các giá trị x để P > (P <0) c/ TÝnh gi¸ trÞ cña P x = + √ x Bµi 5: Cho biÓu thøc: A = √x− : √ x −1 + − √ x ; x > 0; √x √ x x +√ x a/ Rót gän biÓu thøc A b/ TÝnh gi¸ trÞ A biÕt x = 2+ √ c/ T×m x tho¶ m·n: A √ x=6 √ x −3 − √ x − Bµi 6: Cho biÓu thøc: ( ( ) ( ( )( ) ( ) ( x2√x+x −11 − √ x1−1 )(1 − x+x√+4x +1 ) P= ) ) ;x 0, x ≠ a) Rót gän biÓu thøc P b) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Bµi 7: Cho biÓu thøc: ( x −2 √ x+1 ) M = x √ x −1 − x √ x+1 : ; x > , x ≠ x −1 x −√ x x +√ x a) Rót gän biÓu thøc M b) Tìm giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên Bµi 8: Cho biÓu thøc: ( x2 x 2x+ x 1 x Q = x x 1 ) a) Rót gän biÓu thøc Q b) T×m x để Q = c) Tìm GTNN cña Q vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x Bµi 9: Cho biÓu thøc: (5) 2 x x : x x 1 x x M= ; x> , x≠ a) Rót gän biÓu thøc M b) Tìm giá trị x để M đạt max c) T×m GTNN cña P vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x Bµi 10: Cho biÓu thøc: x x 2 2 ; : x x x 1 x C= x , x≠ a) Rót gän biÓu thøc C b) T×m GTNN cña C vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x c§ 3: hÖ Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn I/ KiÕn thøc cÇn n¾m: + NÕu hÖ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: th× hÖ cã nghiÖm nhÊt cã v« sè nghiÖm v« nghiÖm + NÕu hÖ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: th× hÖ y = ax + b y' = a' x + b' ⇔ ⇔ ⇔ a a’ a = a ’, b = b ’ a = a ’, b b’ ax + by = c a'x + b'y = c' cã nghiÖm nhÊt ⇔ cã v« sè nghiÖm ⇔ v« nghiÖm ⇔ a a' a ' a a a' b ' b b ¿ ' b b b' ¿ + Gi¶i hÖ PT b»ng: - Phơng pháp hệ số ẩn đơn giản ( = ± 1) - Phơng pháp cộng đại số - Ph¬ng ph¸p đặt Èn phô ¿ c c' c ' c II/ Bµi tËp Bài 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ x y 2 1) x y 9 2) ¿ x − y =6 x + y =4 ¿{ ¿ 3) ¿ x+2 y=6 x − y=2 ¿{ ¿ (6) 4) ¿ x −3 y =1 − x+ y=2 ¿{ ¿ 5) 2 x y 5 5 x y 1 3 x y 7 6) x y 0 Bài 2: Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số 1) 4) ¿ x −11 y =−7 10 x+11 y =31 ¿{ ¿ ¿ x +2 y=−2 x −2 y=− ¿{ ¿ 2) 5) ¿ x + y=3 x − y =7 ¿{ ¿ ¿ −5 x +2 y=4 x − y =−7 ¿{ ¿ 3) 6) *D¹ng to¸n biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ¿ x+ y=8 x −3 y=0 ¿{ ¿ ¿ x −3 y=11 − x+ y=5 ¿{ ¿ x my 2 mx y 1 Bài 3: Cho hệ phương trình (I) a) Gi¶i hÖ m = b) Tìm số nguyờn m để hệ (I) cú nghiệm (x; y) mà x > và y < 2mx y 5 mx y 1 (II) Bài 4: Cho hệ phương trình a) Gi¶i hÖ m = b) Tìm m để hệ (II) có nghiệm nằm gúc phần tư thứ Bài 5: Giải và biện luận nghiệm hệ phương trình theo tham số m mx y 2m x my 6 m (III) Bài 6: Giải hệ phương trình: a) x xy y 19 x xy y b) xy x y 19 2 x y xy 84 Dạng toán liên quan đến hàm số I/ Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cÇn n¾m: C§ 4: +) Cã hai hµm sè c¬ b¶n: y = ax + b (d) (víi a 0, a: hÖ sè gãc); y = a’x + b’ (d’) y = ax (P) (víi a 0, a: hÖ sè gãc) +) TÝnh chÊt biÕn thiªn * y = a x + b đồng biến a > 0; nghịch biến a < + Với a > H/S đồng biến x > 0, nghịch biến x < * y = ax + Với a < H/S nghịch biến x < 0, nghịch biến x > +) Ví trớ tơng đối (d) và (d’) (7) * (d) // (d’) a = a’ ; b b’ * (d) C¾t (d’) a a’ * (d) (d’) a = a’ ; b = b’ * (d) (d’) a.a’ = -1 +) VÏ y = ax + b (d) (víi a 0, a: hÖ sè gãc) Ph¬ng ph¸p: - Xác định điểm đồ thị (thường cho x = y = b A(0; b) và cho x = y = a + b B(1; a + b) ) - Biểu diễn điểm đó trên hệ trục tọa độ Oxy và kẻ đờng thẳng qua hai điểm đó +) VÏ y = a x2 (P) (víi a 0, a: hÖ sè gãc) Ph¬ng ph¸p - LËp b¶ng gi¸ trÞ, Ýt nhÊt gi¸ trÞ cña biÕn x ngoµi gi¸ trÞ ta điểm tương ứng - Biểu diễn điểm đó trên hệ trục tọa độ Oxy - Kẻ đờng cong qua điểm đó(Kể gốc tọa độ) +) Vị trí tơng đối của: y = ax + b (d) (víi a 0, a: hÖ sè gãc) vµ y = ax2 (P) (víi a 0, a: hÖ sè gãc) - (P) c¾t (d) vµ chØ PT: ax2 = ax + b cã nghiÖm ph©n biÖt ( Δ > 0) - (P) tiÕp xóc (d) vµ chØ PT: ax2 = ax + b cã nghiÖm kÐp ( Δ = 0) - (P) kh«ng cã ®iÓm chung víi (d) vµ chØ PT: ax2 = ax + b v« nghiÖm ( Δ < 0) II/ Bµi tËp : Bài cho parabol (p): y = x2 và đờng thẳng (d): y = -x + a) Vẽ ( P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) đồ thị và kiểm tra lại phộp tớnh Bài 2: Định m để hai đồ thị hàm số y = x2 và y = 2x +m a) C¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt b) TiÕp xóc c) Kh«ng cã ®iÓm chung Bài 3: Cho hàm số y= kx + b có đồ thị là đờng thẳng (d) (k 0) Xác định các hệ số k và b để: a) (d) ®i qua hai diÓm A(0;- 3) vµ B ( -2; 5) b) (d) song song với đờng thẳng (d’) có phơng trình: y = 3x và qua điểm (2;-1) c) (d) vuông góc với đờng thẳng (d’) có phơng trình: y = 2x và qua điểm (2;-2) d) (d) cắt trục tung điểm C có tung độ và cắt trục hoành điểm D có hoành độ - Tính độ dài đoạn thẳng CD và diện tích tam giác OCD Bµi 4: Cho Parabol (P): y = - x2 a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M(0 ;1) và có hệ số góc là m b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt điểm phân biệt c) Chứng minh có hai đờng thẳng qua M và tiếp xúc với (P) Bài 5: Cho Parabol (P) y=− x và đờng thẳng (d): y=mx− 2m −1 a) VÏ (P) b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) c) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Bµi 6: Cho (P): y = ax2 vµ (D): y = (m - 1)x - (m - 1) (8) a) T×m a vµ m biÕt (P) ®i qua ®iÓm A(- 2; 4) vµ tiÕp xóc víi (D) b) Chứng minh (D) luôn qua điểm cố định với giá trị m c) Vẽ (P) và (D) tìm đợc câu a trên cùng hệ trục toạ độ Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ cho A(-2;2) và (d1): y = -2(x +1) a) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị là (P) và qua A b) ViÕt ph¬ng tr×nh (d2) qua A vµ vu«ng gãc víi (d1) c) Gọi A, B là giao điểm (P) và (d2), C là giao điểm (d1) với Oy Tìm toạ độ giao ®iÓm cña B vµ C vµ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bµi 8: Cho Parabol (P): y= x2 vµ M(1; - 2) a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và qua M b) Chøng minh r»ng (d) vµ Parabol (P) lu«n c¾t t¹i ®iÓm ph©n biÖt A vµ B víi mäi k c) Tìm k để F = x2AxB + xAx2B đạt giá trị nhỏ Tìm GTNN đó Bµi 9: Cho hµm sè (P): y=x vµ hµm sè(d): y = x + m a) T×m m cho (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) Bài10: Cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng ( d ) y = -2(x+1) a) §iÓm A cã thuéc ( d ) kh«ng ? V× ? b) Tìm a để hàm số (P): y=a x qua A c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d ) qua A và vuông góc với ( d ) Bài 11: Cho Parabol (P): y= x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m a) Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc Xác định toạ độ điểm chung đó b) Tìm m để (d) và (P) cắt điểm, điểm có hoành độ x=-1.Tìm điểm cßn l¹i c) Giả sử đờng thẳng cắt (P) điểm A và B Tìm tập hợp trung điểm I AB C§ 5: Toán liên quan đến phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (1) I/ Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n cÇn n¾m: 5.I.1) C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai khuyÕt (c) d¹ng: ax2+ bx = + Ph¬ng ph¸p: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, råi gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch + VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x x 0 (1) 3x = x( x 2) 0 x - = (1) x=0 x=2 Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = 5.I.2) C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai khuyÕt (b) d¹ng: ax2+ c = + Phơng pháp: Biến đổi dạng x 2=m⇔ x=± √m + VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 0 (2) (2) x 2 x Vậy phương trình có nghiệm x 5.I.3) C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = ( a 0) b»ng c«ng thøc nghiÖm: Ph¬ng ph¸p: 5.I.3.1 Dïng c«ng thøc nghiÖm TQ vµ Thu gän: (9) 5.I.3.2 Cách giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) P2 đặc biệt: a) NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = cã a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x1 = vµ x 2= c a b) NÕu ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = cã a - b + c = th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ : x1 = - vµ x 2= − c a 5.I.3.3 Dïng §Þnh lý Vi-et vµ hÖ qu¶: a §Þnh lý Vi Ðt: Nếu x1, x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0(a 0) thì b S = x + x2 = - a c P = x1x2 = a b Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = P thì hai số đó là nghiệm (nÕu cã) cña pt bËc hai: x2 – S x + P = ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN 5.I.3.4 ax2 + bx + c = (a0) Cho phương trình bậc hai: x1 Có hai nghiệm Suy ra: x1 x2 b b 2a ; (*) x2 b 2a b 2b b 2a 2a a )( b ) b 4ac c x1 x2 4a 4a 4a a b x1 x2 a - Tổng nghiệm là S : S= c x1 x2 a - Tích nghiệm là P : P= ( b Vậy đặt : Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c Đây chính là nội dung Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu số ứng dụng định lí này giải toán ỨNG DỤNG 1: NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH U1.1 Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = a + b + c = b) Nếu cho x = thì ta có (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = a b + c = Như với phương trình (*): +) Nếu có a + b + c = thì PT có nghiệm x1 1 và nghiệm còn lại là x2 c a c x2 x a +) Nếu có a - b + c = thì PT có nghiệm và nghiệm còn lại là (10) Vận dụng hệ thức trên ta có thể làm số ví dụ sau: Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm các phương trình sau: 2 1) x x 0 (1) 2) 3x x 11 0 (2) Ta thấy : c 3 a Phương trình (1) có dạng a b + c = nên có nghiệm x1 và c 11 x2 x a Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm và x2 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm các phương trình sau: 2 35 x 37 x 0 x 500 x 507 0 2 x 49 x 50 0 4321x 21x 4300 0 c x1 1; x2 a 35 Đáp án: c 50 x1 = -1; x2 = a c 507 x1 1; x2 a c 4300 x1 = -1; x2 = a 4321 U1.2 Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm còn lại và hệ số phương trình : Ví dụ: a) Phương trình x px 0 Có nghiệm 2, tìm p và nghiệm thứ hai b) Phương trình x x q 0 Có nghiệm 5, tìm q và nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x x q 0 , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q và hai nghiệm phương trình d) Tìm q và hai nghiệm phương trình : x qx 50 0 , biết phương trình có nghiệm và có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 2 vào phương trình ban đầu ta : p 0 p T x1 x2 5 suy x2 5 x1 x2 4; Vậy: b) Thay x1 5 và phương trình ban đầu ta 25 25 q 0 q 50 50 50 x2 10 x x 50 x Từ suy p Vậy: q 50 ; x2 10 (11) c) Vì vai trò x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 11 x1 x2 7 , ta giải hệ sau: x1 x2 7 Suy q x1 x2 18 x1 9 x2 d) Vì vai trò x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 2 x2 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 50 Suy x x22 50 x22 52 x2 5 Với x2 th ì x1 10 Với x2 5 th ì x1 10 Bài tập áp dụng: a) Tìm k để phương trình x2 + kx + = có hai nghiệm kém đơn vị b) Tìm m để phương trình x2 + 3x + m = có nghiệm x1 = 1, tìm nghiệm còn lại Đáp án: a) k = 5, k= -5 b) m = - 4; x2 = - ỨNG DỤNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI U2.1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1; x2 Ví dụ : Cho x1 3 ; x2 2 Hãy lập phương trình bậc hai nhận hai giá trị trên làm nghiệm S x1 x2 5 Theo hệ thức VI-ÉT ta có P x1 x2 6 Vậy x1; x2 là nghiệm phương trình có dạng: Bài tập áp dụng: x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = -104 x1 = vµ x2 = x Sx P 0 x x 0 Đáp án: x2 - 5x - 24 = x2 - 4ax + 3a2 = x2 + 68x - 3744 = x2 - 2x -1 = U2.2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: (12) Ví dụ: Cho phương trình : x x 0 có nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc có ẩn là y thoả mãn : y2 x1 y1 x2 x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có: 1 1 1 x x x1 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 P y1 y2 ( x2 )( x1 ) x1 x2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1 x2 2 S y1 y2 x2 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y Sy P 0 y2 9 y 0 y y 0 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x x 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 1 y2 x2 x2 và x1 2/ Cho phương trình : x x 0 có nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn 4 y thoả mãn y1 x1 và y2 x2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc các nghiệm phương trình đã cho) 2 3/ Cho phương trình bậc hai: x x m 0 có các nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 cho : a) y1 x1 và y2 x2 Đáp án: b) y1 2 x1 và y2 2 x2 y 0 1/ hay y y 0 2/ y 727 y 0 y2 3/ 2 a) y y m 0 2 b) y y (4m 3) 0 ỨNG DỤNG : TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S và Tích P thì hai số đó là hai nghiệm phương trình : x Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P ) Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = và tích P = ab = (13) Vì a + b = và ab = nên a, b là nghiệm phương trình : x 3x 0 giải phương trình trên ta x 1 và x2 Vậy a = 1; b = a = 4; b = Bài tập áp dụng: Tìm số a và b biết: S = và P=2 S = và P=6 S = và P = 20 Đáp án: a = 1; b = a = 2; b = Không tồn a và b a = 4; b = a = 5; b = Bài tập nâng cao: Tìm số a và b biết a + b = và a2 + b2 = 41 a b = và ab = 36 a2 + b2 = 61 và ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng hai số a và b, để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích a và b Từ 2 a b 9 a b 81 a 2ab b 81 ab 81 a b 20 x 4 x x 20 0 x2 5 Suy : a, b là nghiệm phương trình có dạng : Vậy: a = 4; b = a = 5; b = 2) Đã biết tích: ab = 36 đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đặt c = b ta có : a + c = và a.c = 36 x x x 36 0 x2 9 Suy a,c là nghiệm phương trình : Do đó a = thì c = nên b = a = thì c = nên b = Cách 2: Từ a b 2 2 a b 4ab a b a b 4ab 169 a b 13 a b 132 a b 13 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm phương trình : x x 13x 36 0 x2 Vậy a = thì b = *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm phương trình : x 4 x 13x 36 0 x2 9 Vậy a = thì b = 3) Đã biết ab = 30, đó cần tìm a + b: (14) a b 11 a b 2ab 61 2.30 121 11 a b 11 2 2 Từ: a2 + b2 = 61 a b *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm phương trình: x x 11x 30 0 x2 Vậy a = ; b = a = ; b = *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm phương trình : x 5 x 11x 30 0 x2 6 Vậy a = 5; b = a = 6; b = ỨNG DỤNG : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức U4.1 Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 x2 ) và x1 x2 2 2 a) x1 x2 ( x1 x1 x2 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 Ví dụ 1: x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 b) 2 x14 x24 ( x12 ) ( x22 ) x12 x22 x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 x12 x22 c) 1 x1 x2 x x2 x1 x2 d) x1 x2 ? Ví dụ 2: x x x x x x x x x x 4x x 2 2 Ta biết Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 2 x1 x2 3 x1 x2 4 x1 x2 6 6 x x Bài tập áp dụng ( x1 x2 x1 x2 =…….) x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 =…… ) (= 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 (= (= =…… ) ( x ) ( x ) x x22 x14 x12 x22 x24 3 5 2 7 = …… ) 1 x1 x2 x x x x x x U4.2 Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính (15) x x Đáp số: 34 1 x x2 x1 x2 x x1 34 Đáp số: 15 x1 x2 2 8 Đáp số: 15 Đáp số: 46 b) Cho phương trình : x 72 x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x1 x2 9 Đáp số: 2 x1 x2 Đáp số: 65 c) Cho phương trình : x 14 x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x x2 1 14 Đáp số: 29 2 x1 x2 Đáp số: 138 d) Cho phương trình : x 3x 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x 1 x2 2 x x Đáp số: x1 x2 x x2 Đáp số: Đáp số: x1 x x2 x1 5 Đáp số: e) Cho phương trình x 3x 0 có nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính Q x12 10 x1 x2 x22 x1 x23 x13 x2 x12 10 x1 x2 x22 6( x1 x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 Q 3 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80 HD: ỨNG DỤNG : TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, ta làm theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và ' 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa hệ thức liên hệ các nghiệm x1 và x2 (16) m 1 x 2mx m 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : có nghiệm x1; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Bài giải: Để phương trình trên có nghiệm x1 và x2 thì : m 0 m 1 m 1 ' 5m 0 0 m (m 1)(m 4) 0 m 1 m Theo hệ thức VI- ÉT ta có : 2m x x m m x x m x x (1) m x x 1 (2) m Nhân vào hai vế pt (1) với số và pt (2) với số ta được: 3( x1 x2 ) 3(2 m 1) 2 x x 2(1 ) m 3 x1 x2 6 m (1') x x 2 (2 ') m Cộng (1') và (2') theo vế ta có: 3x1+ 3x2 + 2x1.x2 = x x x1 x2 0 hay x x x1 x2 0 Vậy hệ thức liên hệ x1; x2 không phụ thuộc vào m là m 1 x 2mx m 0 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm phương trình : Chứng minh A 3 x x x x không phụ thuộc giá trị m biểu thức Để phương trình trên có nghiệm x1 và x2 thì : m 0 ' 0 m 1 m (m 1)(m 4) 0 m 1 5m 0 m 1 m Theo hệ thức VI- ÉT ta có : 2m x1 x2 m x x m m thay vào A ta có: A 3 x1 x2 x1 x2 3 Vậy A = với m 1 và 2m m 6m 2m 8(m 1) 8 0 m m m m m Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m (17) Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng các vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Hoặc từ hệ thức VI-ÉT ta biến đổi để triệt tiêu tham số, từ đó ta có biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham sốchúng Bài tập áp dụng: 1) Cho phương trình : x m x 2m 1 0 có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1; x2 độc lập m 2 m 2m 1 m 4m m Hướng dẫn: Dễ thấy m đó phương trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có: x1 x2 m (1) x1.x2 2m (2) với giá trị m x1 x2 (1') x1 x2 (2 ') m Cách 1: Từ (1') và (2') ta có: x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 Cách 2: Nhân vào hai vế pt (1) với số lấy pt (1) trừ cho pt (2) theo vế ta được: 2( x1 x2 ) x1 x2 5 Vậy hệ thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m là 2) Cho phương trình : x 4m 1 x m 0 2( x1 x2 ) x1.x2 5 Tìm hệ thức liên hệ x1 và x2 cho chúng không phụ thuộc vào m 2 Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1) 4.2(m 4) 16m 33 đó phương trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có: x1 x2 (4m 1) x1.x2 2(m 4) (1) 4m ( x1 x2 ) (1') (2) (2 ') 4m 2 x1 x2 16 Từ (1') và (2') ta có: ( x1 x2 ) 2 x1 x2 16 x1 x2 ( x1 x2 ) 17 0 (18) Với bài này chúng ta có thể làm cách trên cách nhân vào pt (2) với số cộng hai pt theo vế ta có hệ thức cần tìm ỨNG DỤNG : TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO Đối với các bài toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và 0, ' 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm mx m x m 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 và x2 là : m 0 ' m 21 9(m 3)m 0 m 0 m 0 ' 9 m 1 0 m m 0 2 ' 9 m 2m 1 9m 27 0 6(m 1) x1 x2 m x x 9(m 3) m Theo hệ th ức VI- ÉT ta có: và từ giả thiết: x1 x2 x1 x2 Suy ra: 6(m 1) 9( m 3) 6(m 1) 9( m 3) 6m 9m 27 m m 3m 21 m 7 (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = thì phương trình đã cho có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x 2m 1 x m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 x1 x2 0 Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 là : ' (2m 1) 4( m2 2) 0 4m 4m 4m 0 (19) 4m 0 m x1 x2 2m Theo hệ thức VI-ÉT ta có: x1 x2 m Suy ra: và từ giả thiết x1 x2 x1 x2 0 3(m 2) 5(2m 1) 0 3m 10m 0 m 2 3m 10m 0 m 4 (TM ) ( KTM ) Vậy với m = thì phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 x1 x2 0 Bài tập áp dụng Cho phương trình : mx m x m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 0 Cho phương trình : x m 1 x 5m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 3x2 1 Cho phương trình : 3x 3m x 3m 1 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 6 Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có điều khác biệt so với bài tập Ví dụ và ví dụ chỗ: + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m + Còn bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn vậy, đó vấn đề đặt đây là làm nào để từ biểu thức đã cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1 x2 từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày Ví dụ và ví dụ 16 m 0; m 15 BT1: - ĐKX Đ: (m 4) x x m (1) m x x m -Theo VI-ÉT: (20) x1 x2 3x2 2( x1 x2 )2 9 x1 x2 - Từ x1 x2 0 Suy ra: 2( x1 x2 ) 3 x1 (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m 127m 128 0 m1 1; m2 128 BT2: - ĐKXĐ: m 22m 25 0 11 96 m 11 96 x1 x2 1 m (1) x x m - Theo VI-ÉT: x1 1 3( x1 x2 ) x1 x2 3( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) 1 x2 4( x1 x2 ) - Từ : x1 3x2 1 Suy ra: x1 x2 7( x1 x2 ) 12( x1 x2 ) (2) m 0 12m(m 1) 0 m 1 (thoả mãn ĐKXĐ) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 2 BT3: - Vì (3m 2) 4.3(3m 1) 9m 24m 16 (3m 4) 0 với số thực m nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt 3m x1 x2 (1) x x (3m 1) - Theo VI-ÉT: - Từ giả thiết: 3x1 x2 6 Suy ra: 8 x1 5( x1 x2 ) 8 x2 3( x1 x2 ) 64 x1 x2 5( x1 x2 ) 3( x1 x2 ) 64 x1 x2 15( x1 x2 )2 12( x1 x2 ) 36 (2) m 0 m(45m 96) 0 m 32 15 - Thế (1) vào (2) ta phương trình: ỨNG DỤNG 7: (thoả mãn) XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax bx c 0 (a 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có Cho phương trình: nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm … ⇔ a PT (1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm d¬ng ⇔ b PT (1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm ©m ⇔ c PT (1) cã nghiÖm cïng dÊu 0 S > 0 S < 0 P > (21) (nÕu nghiªm ph©n biÖt th× bá dÊu =) 0 S P > ⇔ d PT (1) cã hai nghiÖm d¬ng (nÕu nghiªm ph©n biÖt th× bá dÊu =) ⇔ e PT (1) có hai nghiệm âm 0 S P > (nÕu nghiªm ph©n biÖt th× bá dÊu =) ⇔ f PT (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu P<0 ⇔ g PT (1) có nghiệm đối 0 S = ⇔ h PT (1) có nghiệm nghịch đảo 0 P = Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: x 3m 1 x m m 0 có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu thì P0 P m2 m 0 P (m 3)( m 2) m Vậy với m thì phương trình có nghiệm trái dấu Bài tập tham khảo: mx m x m 0 3mx 2m 1 x m 0 m 1 x x m 0 có nghiệm cùng dấu có nghiệm âm có ít nghiệm không âm ỨNG DỤNG 8: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta luôn phân tích được: Am C k B (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là số) Thì ta thấy : C m (vì A 0 ) C m A 0 (*) (22) C k (vì B 0 ) max C k B 0 x 2m 1 x m 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : Gọi x1 và x2 là các nghiệm phương trình Tìm m để : A x12 x22 x1 x2 có giá trị nhỏ x1 x2 (2m 1) Bài giải: Theo VI-ÉT: x1 x2 m A x12 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Theo đề bài : 2m 1 8m 4m 12m (2m 3) Suy ra: A 2m 0 hay m 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x mx m 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức sau: B x1 x2 x x22 x1 x2 1 x1 x2 m Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : x1 x2 m x1 x2 x1 x2 2(m 1) 2m B 2 x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 ) m2 m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B sau: B m m 2m 1 m 1 m2 2 0 m 1 1 m 1 m2 2 0 B 1 m 2 Vì Vậy max B=1 m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 m 2m m m 4m m m 2 2 2 B 2 m 2 m 2 m2 2 (23) m 2 0 Vì B m 2 2 m 2 0 B m 2 Vậy Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn là m và B là tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với m B 2m Bm2 2m B 0 m 2 (Với m là ẩn, B là tham số) (**) Ta có: 1 B(2 B 1) 1 B B Để phương trình (**) luôn có nghiệm với m thì B B 0 B B 0 B 1 B 1 0 hay 2 B 0 B 0 2 B 0 B 0 B B 1 B B 1 2 B 1 Vậy: max B=1 m = B m 2 Bài tập áp dụng Cho phương trình : trị nhỏ x 4m 1 x m 0 .Tìm m để biểu thức A x1 x2 có giá 2 Cho phương trình x 2(m 1) x m 0 Tìm m cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều 2 kiện x1 x2 10 2 Cho phương trình : x 2(m 4) x m 0 Xác định m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) A x1 x2 3x1 x2 đạt giá trị lớn 2 b) B x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ 2 Cho phương trình : x (m 1) x m m 0 Với giá trị nào m, biểu thức C x12 x22 dạt giá trị nhỏ 2 Cho phương trình x (m 1) m 0 Xác định m để biểu thức E x1 x2 đạt giá trị nhỏ II/ Bµi tËp : Bµi 1: Cho phương trình: 5x2 + 2x – 2m – = a) Giải phương trình m = (24) b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó? Bµi 2: Cho phương trình: x2 + mx + = a)Tìm m để phương trình có nghiệm? b) Tìm m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại? Bµi 3: Cho phương trình: x2 – 2(k – 1)x + k – = a) Giải phương trình k = b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với k Bµi 4: Cho phương trình: x2 – 2x + m = Tìm m biết phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại Bµi 5: Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – = a) Giải phương trình m = - b) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với m Bµi 6: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 4mx + 4m - = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -2 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -3 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - c) Với giá trị nào m thì phơng trình đã cho vô nghiệm Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh x2-2(m+1)x +m- 4=0 (1) ( m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m=2 b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm trái dấu d) Chøng minh r»ng biÓu thøc M =x1(1-x2)+(1-x1) x2 kh«ng phô thuéc vµo m Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh: x2- mx + 2m - = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh: x2- 2(m- 1)x + m2- 3m = Tìm m để phơng trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm còn lại Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai (m - 2)x2- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = - b) Khi ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm cßn l¹i Bµi 12: Cho ph¬ng tr×nh x2- (m- 1)x – m 2+m-2 =0 (1) (m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m=-1 b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho S = x12 +x22 đạt giá trị nhỏ Bµi 13: Cho ph¬ng tr×nh x2 - (m +2)x +m+1 = (1) (m lµ tham sè) a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm đối Bµi 14: Cho ph¬ng tr×nh x2- (m +1)x +m =0 (1) (m lµ tham sè) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm víi mäi m b) Gi¶ sö (1) cã nghiÖm x1;x2 tÝnh S =x12 +x22 theo m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho x12 +x22 =5 Bµi 15: Cho ph¬ng tr×nh x2 –2(m-1)x –m2-3m+4=0 (1) (m lµ tham sè) a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm là x1;x2 cho 1 + =1 x1 x2 b) LËp mét biÓu thøc gi÷a x1 vµ x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m - (25) C§ 6: Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh I/ KiÕn thøc cÇn n¾m: * Bíc 1: + LËp PT hoÆc hÖ ph¬ng tr×nh - Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn - Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết - LËp PT hoÆc HPT * Bíc 2: Gi¶i PT hoÆc HPT * Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời Cần đọc kỹ bài toán, có kỷ dịch từ ngôn ngữ sang ký hiệu toán học D¹ng 1: To¸n cã néi dung h×nh häc Bài 1: Một HCN có đờng chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích HCN đó Bµi 2: Mét khu vên hcn cã chu vi 280m Ngêi ta lµm mét lèi ®i xung quanh vên (thuéc đất vờn) rộng 2m, diện tích còn lại là 4256m2 Tính các kích thớc vờn (réng x = 60m, dµi = 80m) Bài 3: Một hỡnh chữ nhật có chu vi 90m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm chiều dài 15m thì ta đợc hỡnh chữ nhật có diện tích diện tích hỡnh chữ nhật ban đầu Tính các cạnh hỡnh chữ nhật đã cho (réng x=15m, dµi =30m) Bµi 4: Mét ruộng hình chữ nhật NÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 2m vµ chiÒu réng 3m th× diÖn tÝch t¨ng 100m2 NÕu cïng gi¶m chiÒu dµi vµ chiÒu réng 2m th× diÖn tÝch gi¶m 68m2 Tính kích thước rộng đó (Kq:22m;14m) Bài 5: Một ruộng hình tam giác có diện tích 180m Tính chiều dài cạnh đáy ruộng, biết tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm 1m thì diện tích không đổi (cạnh đáy x=36m) Bµi 6: Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi lµ 30m, c¹nh huyÒn lµ 13m TÝnh c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c Kq: 5m và 12m Dạng 2: Toán chuyển động Bài 1: Một ô tô từ A đến B dài 120 km thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm dự định 12 phút Tính vận tốc dự định Cả quãng đờng AB S (km) 120 Nửa quãng đờng đầu Nửa quãng đờng sau 60 60 v (km/h) x (®k: x>0) Kq: Vận tốc dự định t (h) 120/x 50km/h Bài 2: Một ôtô từ A đến B dài 250 km với vận tốc dự định Thực tế xe hết quãng đờng với vận tốc tăng thêm 10km/h so với vận tốc dự định nên đến B giảm đợc 50phút Tính vận tốc dự định Kq: Vận tốc dự định 50km/h Bµi 3: Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A đến B lóc 7h s¸ng víi vËn tèc trung b×nh lµ 30km/h Sau đợc nửa quãng đờng người đó nghỉ 20 phút tiếp nửa quãng đờng sau với vận tốc trung bình 25 km/h Tính SAB , biết ngời đó đến B lúc 12 50 phút x x 5 ; SAB = 150Km Kq: 30 25 (26) Bài 4: Một ô tô từ A đến B thời gian dự định, với vận tốc trung bình là 35km/h thì đến B chậm giờ, với vận tốc trung bình là 50km/h thì đến B sớm Tính SAB và thời gian dự định ban đầu ? S (km) Quãng đờng AB Thay đổi Thay đổi v (km/h) x (®k: x>0) x x t (A->B) 35 50 x -2= 35 x 50 +1 Kq: giê ; 350 km Bµi 5: Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ bÕn A Sau 5h 20 phót, mét chiÕc ca n« còng khëi hµnh tõ bÕn A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch A 20km TÝnh vËn tèc cña thuyÒn, biÕt vËn tèc cña ca n« lín h¬n vËn tèc cña thuyÒn 12km/h S (km) ThuyÒn Ca n« 20 20 v (km/h) x (®k: x>0) x+12 20 20 5 x x 12 t (A->B) Kq: km/h; 15km/h Bµi 6: Hai chiÕc ca n« cïng khëi hµnh tõ bÕn A vµ B c¸ch 85 km vµ ®i ngîc chiÒu vµ gÆp sau giê 40 phót VËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ngîc dßng lµ 9km/h TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n«, biÕt vËn tèc cña dßng lµ 3km/h Ca n« Ca n« VËn tèc riªng x y Kq: V xu«i dßng x+3 V ngîc dßng y-3 5 ( x 3) ( y 3) 85 3 x y 9 ; t (h) 5/3 5/3 S (km) x = 30km/h; y = 21km/h Bài 7: Một ngời xe máy và ngời xe đạp cùng từ A đến B dài 57km Ngời xe máy sau đến B nghỉ 20 phút quay A gặp ngời xe đạp cách B 24 km Tính vận tốc ngời Biết vận tốc ngời xe máy lớn vận tốc ngời xe đạp là 36km/h Xe đạp Xe m¸y S (km) 57-24=33 57+24=81 x v (km/h) (®k: x>0) t (A->gÆp nhau) 33/ x Bài 8: Một ngời đixe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình là 9km/h Khi từ B A ngời đó chọn đờng khác để nhng dài đờng lúc là km và với vận tèc lµ 12 km/h nªn thêi gian vÒ Ýt h¬n lóc ®i lµ 20 phót TÝnh SAB lóc ®i (Gọi độ dài qũãng đờng AB là (x >0) Kq: SAB =30km) D¹ng 3: To¸n cã néi dung sè häc- phÇn tr¨m Bài 1: Cho số gồm chữ số Tìm số đó biết tổng chữ số nó nhỏ số đó lần và thêm 25 vào tích chữ số đó đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số đã cho Có thể chọn ẩn Kq:só đó là 54 Bài 2: Cho số gồm chữ số Tìm số đó biết :Khi chia số đó cho tổng chữ số nó thì đợc thơng là và d 11.Khi chia số đó cho tích chữ số nó thì đợc thơng lµ vµ d 5, Có thể chọn ẩn Kq: só đó là 95 Bµi 3: T×m sè biÕt r»ng tæng cña chóng lµ 17 vµ tæng lËp ph¬ng cña chóng b»ng 1241 Có thể chọn ẩn Kq: só đó là và (27) Bµi 4: T×m sè tù nhiªn biÕt r»ng hiÖu cña chóng lµ 1275 vµ nÕu lÊy sè lín chia cho sè nhỏ thì đợc thơng là và d 125 (sè lín x; sè nhá y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125) Bài 5: Cho số tự nhiên có chữ số Nếu đổi chỗ chữ số thì đợc số lớn số đã cho là 36 Tổng số đã cho và số là 110 Tìm số đã cho ( số đó là 37) Bài 6: Dân số khu phố năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời Hỏi trung bình hàng năm dân số khu phố đó tăng bao nhiêu % (Gäi sè% d©n sè hµng n¨m khu phè t¨ng lµ x % Kq:4% Bµi 7: Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biÕt tØ lÖ häc sinh tiªn tiÕn 9A thÊp h¬n 9B lµ 10%.TÝnh tØ lÖ häc sinh tiªn tiÕn cña mçi líp ,vµ mçi líp cã bao nhiªu häc sinh Gäi x % lµ tØ lÖ häc sinh tiªn tiÕn cña líp 9A -> 9B lµ (x+10)% ta cã pt: 4400/x +4500/x =105 Kq:80 % vµ 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs D¹ng 4: To¸n cã néi dung c«ng viÖc - n¨ng xuÊt; ph©n chia s¾p xÕp Bµi 1: Hai c«ng nh©n nÕu cïng lµm chung th× hoµn thµnh c«ng viÖc ngµy NÕu lµm riªng th× ngêi thø nhÊt lµm hoµn thµnh c«ng viÖc Ýt h¬n ngêi thø hai lµ ngµy Hái nÕu lµm riªng th× mçi ngêi lµm hoµn thµnh c«ng viÖc bao nhiªu ngµy ? Bµi 2: c«ng nh©n lµm chung1 c«ng viÖc th× hoµn thµnh ngµy Khi lµm ngêi thứ làm nửa công việc, sau đó ngời thứ hai làm tiếp nửa còn lại thì toàn c«ng viÖc hoµn thµnh ngµy Hái nÕu lµm riªng th× mçi ngêi lµm hoµn thµnh c«ng viÖc bao nhiªu ngµy ? Mét m×nh ng T1 lµm x(ngµy) xong -> 1/2 c.v lµ x/2 (ng) Tg ng T2 lµm cv 9- x/2(ng) -> c¶ cv lµ 2(9-x/2)=18-x (ng) Ph¬ng tr: 1/x -1/18-x =1/4 Bài 3: Một phân xởng theo kế hoạch phải dệt 3000 thảm.Trong ngày đầu họ đã thực đợc đúng kế hoạch, ngày còn lại họ đã dệt vợt mức ngày 10 tấm, nên đã hoàn thành kế hoạch trớc kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xởng phải dệt bao nhiêu tấm? KÕ ho¹ch ngµy ®Çu Nh÷ng ngµy cßn l¹i Sè th¶m 3000 8x 3000-8x Sè th¶m dÖt /ngµy x x x+10 Sç ngµy dÖt 3000/x (3000 - 8x): (x+10) 3000/x = (3000 - 8x): (x+10) + Bài 3: Một tổ sản xuất dự định sản xuất 360 máy nông nhgiệp Khi làm tổ chức quản lí tốt nên ngày họ đã làm đợc nhiều dự định máy; Vì tổ đã hoàn thành trớc thời hạn ngày Hỏi số máy dự định sản xuất ngày là bao nhiêu? Dự định Thùc tÕ Sè m¸y /ngµy x x+1 Sè m¸y 360 360 Sè tÊn hµng /1xe 360/x 360/ (x+1) Bài 4: Một đoàn xe vận tải dự định chở 180 hàng từ cảng nhà kho Khi bắt đầu chở thì đợc bổ xung thêm xe nữa, nên xe chở ít 0,5 hàng Hỏi đoàn xe lóc ®Çu cã bao nhiªu chiÕc ? Lóc ®Çu Lóc sau Sè xe x x+2 Sè hµng(tÊn) 180 180 Sè tÊn hµng /1xe 180/x 180/ (x+2) (28) Bµi 5: Mét ®oµn xe chë 30 tÊn hµng tõ c¶ng vÒ nhµ kho Khi s¾p b¾t ®Çu chë th× mét xe bị hỏng , nên xe phải chở thêm hàng và đoàn còn chở vợt mức dự định 10 tÊn Hái ®oµn xe lóc ®Çu cã bao nhiªu chiÕc ? Lóc ®Çu Lóc sau Sè xe x x-1 Sè hµng(tÊn) 180 180+10=190 Sè tÊn hµng /1xe 180/x 190/ (x-1) Bài 6: Trong phòng có 70 ngời dự họp đợc xếp ngồi trên các dãy ghế Nếu bớt dãy thì dãy còn lại phải xếp thêm ngời thì đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phòng họp có dãy ghế và dãy xếp đợc bao nhiêu ngời? Bµi 7: Trong 1buæi liªn hoan v¨n nghÖ, phßng häp chØ cã 320 chç ngåi, nhng sè ngêi tới dự hôm đó có tới 420 ngời Do đó phải thu xếp để dãy ghế thêm đợc ngời ngồi và phải đặt thêm dãy ghế đủ Hỏi lúc đầu phòng có bao nhiêu ghế? Lóc ®Çu Lóc sau Sè d·y x x+1 Sè ngêi 320 420 Sè ngêi /1d·y 320/x 420/ (x+1) Bài 8; đội công nhân làm chung công việc d định xong 12 ngày Họ làm chung với ngày thì đội nghỉ đội làm tiếp với suất tăng gấp đôi nên đội đã hoàn thành phần việc còn lại ngày rỡi Hỏi làm mình thì đội phải lµm bao l©u th× xong c«ng viÖc trªn? *** C¸c bµi tËp h×nh häc ®iÓn h×nh *************&************* Bài 1: Cho (o) đờng kính AB =2R trên OA lấy điểm bất kì kẻ đờng thẳng d vuông gãc AB t¹i I C¾t (O) t¹i hai ®iÓm M; N trªn IM lÊy mét ®iÓm E (E kh¸c M; I) nèi AE c¾t (O) t¹i K, BK c¾t d t¹i D a) CMR : IE ID = MI2 b) Gọi B’ là điểm đối xứng củaB qua I CMR tứ giác B’AED nội tiếp c) CMR : AE.AK + BI BA =4R2 d) Tìm vị trí I để chu vi tam giác MIO lớn Bài 2: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB =2R C là trung điểm AO, đờng thẳng Cx vuông góc với AB C, Cx cắt nửa đờng tròn I, K là điểm bất kì trên CI (K khác C, I ).Tia AK c¾t (O) t¹i M, c¾t Cx t¹i N Tia BM c¾t Cx t¹i D a) CMR: điểm A, C, M, D cùng nằm trên đờng tròn b) CMR: tam gi¸c MNK c©n c) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABD K lµ trung ®iÓm CI d) CMR: K di động trên CI thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên đờng thẳng cố định Bài 3: Cho nửa đờng tròn đờng kính BC, điểm A di động trên nửa đờng tròn kẻ AH vuông góc với BC H Đờng tròn tâm I đờng kính AH cắt nửa đờng tròn tâm O ®iÓm thø lµ G c¾t AB, AC t¹i D vµ E a) CMR: Tø gi¸c BDEC néi tiÕp b) C¸c tiÕp tuyÕn t¹i D, E cña (I) lÇn lît c¾t BC t¹i M, N CMR: M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BH, CH c) CMR: DE AO Từ đó suy AG, DE, BC đồng quy d) Tìm vị trí A để SDENM lớn (29) Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R M di động trên (O) vẽ (E) tiếp xúc (O) M, tiếp xúc với đờng kính AB tại N, đờng tròn này giao với MA, MB C, D a) CMR : CD//AB b) MN là phân giác AMB và đờng thẳng MN qua K cố định c) CMR: KN.KM không đổi d) Gọi giao điểm CN, CM với KB, KA lần lợt C’ và D’ Tìm vị trí E để chu vi tam gi¸c NC’D’ lµ nhá nhÊt Bài 5: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB; C, D thuộc nửa đờng tròn đó, AC và AD cắt tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn E và F a) CMR: Tø gi¸c CDEF néi tiÕp b) Gọi I là trung điểm BF Chứng minh DI là tiếp tuyến nửa đờng tròn c) Gi¶ sö CD c¾t Bx t¹i G, ph©n gi¸c cña CGE c¾t AE, AF lÇn lît t¹i M, N Chøng minh AMN c©n AB , H lµ ®iÓm chÝnh Bài 6: Cho nửa đờng trßn t©m O đờng kÝnh AB M thuéc cung gi÷a cña cung AM , BH c¾t AM t¹i I vµ c¾t tiÕp tuyÕn Ax t¹i K AH c¾t BM t¹i E a) ABE lµ tam gi¸c g×? b) Xác định vị trí tơng đối KE với (B;BA) c) §êng trßn ngo¹i tiÕp BIE c¾t (B;BA) t¹i ®iÓm thø lµ N Chøng minh M di động thì MN luôn qua điểm cố định d) Tìm vị trí M để MK Ax e) Với vị trí M tìm đợc Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác EHQ tiếp xúc với (O), ( Q lµ giao cña BM vµ Ax) Bµi 7: Cho tam gi¸c ABC víi ba gãc nhän néi tiÕp (O) Tia ph©n gi¸c cña gãc B cắt đờng tròn D.Tia phân giác góc C cắt đờng tròn E, hai phân giác này c¾t ë t¹i F Gäi I, K theo thø tù lµ giao cña d©y DE víi c¸c c¹nh AB, AC a) CMR: EBF c©n b) CMR : Tø gi¸c DKFC néi tiÕp vµ FK// AB c) Tø gi¸c AIKF lµ h×nh g× ? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác là hình thoi, đồng thời có diện tích gÊp lÇn diÖn tÝch tø gi¸c AIFK Bµi 8: Cho ABC néi tiÕp (O), tia ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t BC t¹i I c¾t (O) t¹i P KÎ đờng kính PQ, các tia phân giác góc ABC và ACB cắt AQ thứ tự E và F CMR: a) PC2 = PI.PA b) Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên đờng tròn Bài 9: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) các đờng cao AM, BN, CE đồng quy H Kẻ đờng kính AD a) CMR: H là tâm đờng tròn nội tiếp MNE b) CMR: BNM CBD c) §êng th¼ng d ®i qua A song song EN c¾t BC t¹i K CMR: KA2 = KB.KC d) BC c¾t HD t¹i I.CMR: IH = ID Bµi 10: Cho ABC néi tiÕp (O;R) H, G lÇn lît lµ trùc t©m, träng t©m cña ABC I, K lµ trung ®iÓm cña BC, CA CMR: a) HAB ~ OIK b) AH = 2OI c) H, G, O th¼ng hµng d) Gäi AH c¾t BC t¹i M, c¾t (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ D, cã E, F lµ h×nh chiÕu cña D trªn AB, AC Chøng minh EF ®i qua M (30) Bài 11: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, C trên cung AB Kẻ CH AB I, K là tâm đờng tròn ngọai tiếp CAH, BCH, đờng thẳng IK cắt CA, CB M, N a) CMR: CM = CN b) Xác định vị trí C để tứ giác ABNM nội tiếp c) Kẻ CD MN CMR: C di động trên AB thì CD luôn qua điểm cố định d) Tìm vị trí C để diện tích CMN lớn 2 e) CMR: R1 R2 R3 Trong đó R1; R2 ; R3 lần lợt là bán kính đờng tròn nội tiếp ABC; CHA; CHB Bài 12: Cho (O;R) đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C; D, điểm M tuỳ ý trên d kẻ tiếp tuyÕn MA, MB, I lµ trung ®iÓm cña CD a) CMR: điểm M, I, A, O, B cùng nằm trên đờng tròn b) Gäi H lµ trùc t©m cña MAB Tø gi¸c OAHB lµ h×nh g×? c) Khi M di động trên d CMR: AB luôn qua điểm cố định d) đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E, K CMR: EC = EK Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đờng tròn Từ A kẻ tiếp tuyến AB; AC và cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N nằm trên đờng tròn và AM < AN) Gọi E là trung điểm dây MN I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với đờng tròn CMR: a) Bốn diểm A, O, E, C cùng nằm trên đờng tròn b) AOC BIC c) BI//MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích AIN lớn Bµi 14: Tõ mét ®iÓm M ngoµi (O;R), vÏ hai tiÕp tuyÕn MA, MB (A, B lµ c¸c tiÕp diÓm) Mét êng th¼ng qua M c¾t (O) t¹i Cvµ D Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD Gäi E, E, K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña AB víi MO, MD, IO CMR: a) OE.OM = OI.OK = R2 b) Tø gi¸c BOIA néi tiÕp c) Khi CAD CBD CMR: DEC 2 DBC d) Cho MO = 2R, CD = R TÝnh S KAM Bµi 15: Tõ mét ®iÓm M ngoµi (O;R), vÏ hai tiÕp tuyÕn MA, MB (A, B lµ c¸c tiÕp diÓm) Gọi I là trung điểm MA và K là giao điểm BI với đờng tròn Tia MK cắt (O;R) t¹i C CMR: a) MIK ~ BIM b) BC // MA c) Gäi H lµ trùc t©m cña MAB CMR : Kho¶ng c¸ch HA kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M d) Xác định vị trí M để tứ giác AMBC là hình bình hành Bµi 16: Cho (O) vµ (O’) c¾t t¹i A, B c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A cña (O), (O’) c¾t (O’), (O) lần lợt E; F Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp EFA CMR: a) Tø gi¸c OAO’I lµ h×nh b×nh hµnh vµ OO’// BI b) OBIO’ néi tiÕp c) KÐo dµi AB vÒ phÝa B mét ®o¹n CB =AB CMR tø gi¸c AECF néi tiÕp Bài 17: Cho (O;R) và dây cung AB Từ P tựy ý trên AB vẽ các đờng tròn (C; r) và (D;R’), qua P và tiếp xúc (O) theo thứ tự A, B Hai đờng tròn (C); (D) cắt N Chøng minh: a) Tứ giác OCPD là hình bình hành từ đó suy R = r +R’ (31) b) PNO 90 c) P di động trên AB thì N trên đờng nào? d) NP luôn qua điểm cố định P di động trên AB e) Xác định vị trí P để tích PN.PK lớn Tính giá trị đó Bài 18: Cho đờng tròn (O;R) và (O’;R’) cắt hai điểm A; B Kẻ tiếp tuyến chung hai đờng tròn (tiếp điểm là D và E ), DE cắt tia AB M CMR: a) MDB ~ MAD b) M lµ trung ®iÓm cña DE c) Gọi N là điểm đối xứng B qua M CMR: Tứ giác ADNE nội tiếp d) Qua D kẻ đờng thẳng // với AE, qua E kẻ đờng thẳng // AD Hai đờng thẳng này c¾t t¹i S CM: SB R1 R2 Bài 19: Cho (O) đờng kính AB =2R Vẽ dây AD = R, BC = R , kẻ AM, AN vuông gãc víi CD CMR: a) M, N n»m ngoµi (O) b) DN = CM c) TÝnh MN theo R S S ABD S ABC d) ABMN Bµi 20: Cho ABC néi tiÕp (O) cã AC >AB Gäi D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung nhá BC P là giao điểm AB và CD Tiếp tuyến đờng tròn C cắt tiếp tuyến D và AD E vµ Q Chøng minh : a) Tø gi¸c PACQ néi tiÕp b) DE//PQ 1 c) NÕu F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC th× : CE CQ CF (32)