Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau Chúng ta đã biết mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này [r]
(1)Lí thuyết Ở lớp 9, chúng ta đã biết các tỉ số lượng giác: sin, côsin, tang, côtang góc nhọn α và kí hiệu là sinα,cosα,tanα và cotα Ở bài này, chúng ta thấy rằng, các tỉ số lượng giác đó không áp dụng cho các góc nhọn (0° < α < 90°) mà nó còn mở rộng để áp dụng cho các góc tù (90° < α < 180°) Vậy thì, các tỉ số lượng giác góc nhọn và các tỉ số lượng giác góc tù có gì giống và khác nhau? Hoạt động Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b, BC = a và góc nhọn Tính sinα,cosα,tanα và cotα Hình 2.2 Trên hình 2.2 có hệ tọa độ Oxy và nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1, nằm phía trên trục hoành Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị Nếu cho trước góc nhọn α thì ta có thể xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho (2) Hoạt động Giả sử (xM;yM) là tọa độ điểm M (hình 2.2) Hãy chứng tỏ rằng: Bây chúng ta mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho góc α bất kì (0° đến 180°) Ta có định nghĩa sau đây: Định nghĩa Với góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho Giả sử điểm M có tọa độ (xM;yM) Khi đó: Tung độ yM điểm M gọi là sin góc α, kí hiệu là sinα Hoành độ xM điểm M gọi là côsin góc α, kí hiệu là cosα Tỉ số (với xM ≠ 0) gọi là tang góc α, kí hiệu là tanα Tỉ số (với yM ≠ 0) gọi là côtang góc α, kí hiệu là cotα Các số sinα,cosα,tanα và cotα gọi là các giá trị lượng giác góc α (3) Như vậy, VÍ DỤ Tìm các giá trị lượng giác góc 135° Lời giải Ta lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho Khi đó hiển nhiên Từ đó suy tọa độ điểm M là: Vậy (4) Hoạt động Xác định tọa độ điểm M hình 2.2, từ đó tìm các giá trị lượng giác góc α khi: a) α = 0°; b) α = 90°; c) α = 180° Giá trị lượng giác số góc đặc biệt Bằng cách tính trên, ta có thể tính các giá trị lượng giác số góc đặc biệt mà ta cần ghi nhớ: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° và 180° (Các giá trị lượng giác này có thể tìm thấy bảng số máy tính bỏ túi) Kết cho bảng đây Góc sin cos tan cot -1 0 -1 Trong bảng, kí hiệu " " để giá trị lượng giác không xác định Dấu các giá trị lượng giác (5) Chúng ta đã biết, các tỉ số lượng giác góc nhọn luôn dương Tuy nhiên, điều đó không còn đúng cho trường hợp góc tù Tại lại vậy? Xét hình 2.2, điểm M di chuyển trên nửa đường tròn thì dễ thấy rằng: hay hay Từ đó, ta có bảng sau đây dấu các tỉ số lượng giác: Như vậy, sin góc tù luôn dương còn côsin, tang, côtang góc tù luôn âm (6) Hoạt động Điền dấu "x" vào ô vuông thích hợp a) Đúng Sai b) Đúng Sai c) Đúng Sai d) Đúng Sai e) Đúng Sai Giá trị lượng giác hai góc bù Chúng ta đã biết mối quan hệ các tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ thì sin góc này côsin góc kia, tang góc này côtang góc Liệu có quan hệ tương tự, cho các giá trị lượng giác hai góc bù nhau? Hoạt động Lấy hai điểm M và M' trên nửa đường tròn đơn vị cho MM' // Ox a) Tính tổng số đo hai góc và (7) b) Hãy cho biết các cặp giá trị lượng giác nào hai góc α và α' và đối nhau? Từ đó ta suy các tính chất sau đây: Nếu hai góc bù thì sin chúng nhau, côsin, tang và côtang chúng đối nhau; nghĩa là: Ví dụ đây minh họa cách sử dụng mối quan hệ trên (của hai góc bù nhau) để tính giá trị lượng giác các góc lớn 90° VÍ DỤ Tìm các giá trị lượng giác góc Lời giải Vì góc bù với góc nên: (8) Cách khác: ta viết Sử dụng máy tính bỏ túi Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác góc biết số đo góc và ngược lại, tính số đo góc biết giá trị lượng giác góc đó Chẳng hạn máy CASIO fx500MS, ta có thể thực sau: Tính giá trị lượng giác Sau mở máy, ấn phím MODE nhiều lần để màn hình lên dòng chữ ứng với các số sau đây: Deg Rad Gra Sau đó ấn phím để xác định đơn vị đó góc là "độ" và tính giá trị lượng giác góc Ví dụ: Tính sin 60°52'41 Giải Ấn liên tếp các phím sau đây: (9) sin 63 o''' 52 o''' 41 o''' = Ta kết là: sin 60°52'41'' ≈ 0,897859012 Để tính cos α và tan α ta làm trên, thay việc ấn phím sin phím cos hay tan Tính số đo góc Sau mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc x biết các giá trị lượng giác góc đó, ta làm ví dụ sau: Ví dụ: Tìm x biết sin x = 0,3502 Giải Ta ấn liên tếp các phím sau đây: SHIF si 0.350 SHIF o'' = T n T ' và kết là: x ≈ 20°29'58'' Muốn tìm x biết cos x, tan x ta làm tương tự trên, thay phím sin phím cos hay tan (10) BÀI TẬP Xác định dấu các giá trị lượng giác góc khi: a) b) Góc là góc tù hay góc nhọn để: a) và khác dấu b) c) và khác dấu d) e) có giá trị âm Tìm góc f) và cùng dấu có giá trị âm có giá trị dương thỏa mãn: a) b) c) d) e) f) g) h) Xác định vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trường hợp sau đây ( là số đo góc ): a) b) c) (11) So sánh các cặp số sau đây: a) và b) và và c) và d) e) và f) Tính giá trị các biểu thức sau: a) b) d) c) e) f) h) g) i) l) 30° k) 45°; 60° x 60°; 45°; m) x 30°; 45°; 60°; 90°; 145° Chứng minh với góc Cho góc x, với x 0°; (0° ≤ ≤ 180°) ta có Tính giá trị biểu thức: (12) Chứng minh rằng: a) sin105° = sin75°; b) cos170° = -cos10°; cos122° = -cos58° Sử dụng máy tính, hãy tính các giá trị lượng giác sau, theo giá trị lượng giác các góc bé 90°: a) b) c) d) e) f) 10 Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin A = sin(B + C); b) cosA = -cos(B + C) 11 Cho AOB là tam giác cân O có OA = a và có đường cao OH và AK Giả sử Tính AK và OK theo a và (13)