Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.. Hướng dẫn làm bài:.[r]
(1)Giải tập SBT Toán 12 3 Bài 1.20 trang 19 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a) f(x) = -3x2 + 4x – đoạn [0; 1]
b) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – đoạn [-4; 3]
c) f(x)= đoạn [-4; 4]
d) f(x) = |x2 – 3x + 2| đoạn [-10; 10]
e) f(x)=1/sinx đoạn [π/3;5π/6] g) f(x)=2sinx+sin2x đoạn [0;3π/2]
Hướng dẫn làm bài:
a) f(x) = -3x2 + 4x – đoạn [0; 1]
f′(x)=−6x+4,f′(x)=0<=>x=2/3
f(2/3)=−20/3,f(0)=−8;f(1)=−7
Vậy min[0;1]f(x)=−8;max[0;1]f(x)=−20/3
b) f(x) = x3 + 3x2 – 9x – đoạn [-4; 3]
f′(x)=3x2+6x−9
f′(x)=0 [x=1;x=−3⇔
Hàm số đạt cực đại x = -3, đạt cực tiểu x = fCĐ = f(-3) = 20; fCT = f(1)
= -12; f(-4) = 13 ; f(3) = 20
Vậy min[−4;3]f(x)=−12;max[−4;3]f(x)=20
c) f(x)= đoạn [-4; 4]
f′(x)= ; f′(x)>0 khoảng (-4; 0) f’(x) < khoảng (0; 4)
(2)Mặt khác, ta có f(-4) = f(4) = Vậy min[−4;4]f(x)=3;max[−4;4]f(x)=5
d) f(x)=|x2−3x+2| đoạn [-10; 10]
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số g(x) = x2 – 3x + 2.
Ta có:
g′(x)=2x−3;g′(x)=0<=>x=3/2 Bảng biến thiên:
Vì
f(x)={g(x),x2−3x+2≥0;−g(x),x2−3x+2<0
nên ta có đồ thị f(x) sau:
Từ đồ thị suy ra: min[−10;10]f(x)=f(1)=f(2)=0;max[−10;10]f(x)=f(−10)=132
e) f(x)=1/sinx đoạn [π/3;5π/6]
f′(x)=−cosx/sin2x,f′(x)<0 nên f’(x) > (π/2;5π/6] nên hàm số đạt cực tiểu
(3)Mặt khác, f(π/3)=2/√3,f(5π/6)=2 Vậy min[π/3;5π/6]f(x)=1;max[π/3;5π/6]f(x)=2
g) f(x)=2sinx+sin2xf đoạn [0;3π/2] f′(x)=2cosx+2cos2x=4cosx/2cos3x/2
f′(x)=0 [cosx/2=0cos3x/2=0 [x=π;x=π/3⇔ ⇒ Ta có: f(0)=0,f(π/3)=3√3/2,f(π)=0,f(3π/2)=−2 Từ ta có: min[0;3π/2]f(x)=−2;max[0;3π/2]f(x)=3√3/2
Bài 1.21 trang 20 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau:
a) y=x/4+x2 khoảng (−∞;+∞)(−∞;+∞);
b) y=1/cosx khoảng (π/2;3π/2)
c) y=1/1+x4 khoảng (−∞;+∞)
d) y=1/sinx (0;π) Hướng dẫn làm bài:
a) y=x/4+x2 khoảng (−∞;+∞)
y′=4−x2/(4+x2)2
y′=0 [x=−2;x=2⇒
Từ ta có minRf(x)=−1/4;maxRf(x)=1/4min
(4)Bảng biến thiên:
Hàm số khơng có giá trị nhỏ Giá trị lớn hàm số là: max(π/2;3π/2)y=y(π)=−1
c) y=1/1+x4 khoảng (−∞;+∞)
y′=−4x3/(1+x4)2;y′=0<=>x=0
Bảng biến thiên:
Hàm số khơng có giá trị nhỏ Giá trị lớn là: maxRy=y(0)=1
d) y=1/sinx khoảng (0;π) y′=−cosx/sin2x,y′=0<=>x=π/2
Bảng biến thiên:
Hàm số khơng có giá trị lớn Giá trị nhỏ hàm số là: min(0;π)y=y(π/2)=1
(5)Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f(x)=2x−1/x−3 đoạn [0; 2]
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008, lần 2) Hướng dẫn làm bài:
TXĐ: D =R\{3}
f′(x)=−5/(x−3)2<0, x D f(x) nghịch biến khoảng (−∞;3),∀ ∈
(3;+∞)
Ta thấy [0;2] (−∞;3)⊂
Vì vậy: min[0;2]f(x)=f(2)=−3;max[0;2]f(x)=f(0)=1/3
Bài 1.23 trang 20 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f(x)=x+9/x đoạn [2; 4]
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008) Hướng dẫn làm bài:
TXĐ: D = R\{0}
f′(x)=1−9/x2=x2−9/x2
f′(x)=0<=>x=±3
Hàm số nghịch biến khoảng (-3; 0), (0; 3) đồng biến khoảng (−∞;3),(3;+∞)
Bảng biến thiên:
Ta có: [2;4] (0;+∞);f(2)=6,5;f(3)=6;f(4)=6,25⊂
Suy ra: min[2;4]f(x)=f(3)=6;max[2;4]f(x)=f(2)=6,5
(6)Tìm giá trị m để phương trình: x3 – 3x2 – m = có ba nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn làm bài:
Đặt f(x) = x3 – 3x2 (C1)
y = m (C2)
Phương trình x3 – 3x2 – m = có ba nghiệm phân biệt (C1) và
(C2) có ba giao điểm Ta có:
f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)=0 [x=0;x=2⇔
Bảng biến thiên:
Suy (C1),(C2) cắt điểm -4 < m <
Kết luận: Phương trình x3 – 3x2 – m = có ba nghiệm phân biệt với giá
trị m thỏa mãn điều kiện: -4 < m <
Bài 1.25 trang 20 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng hai số dương cho tích chúng lớn
Hướng dẫn làm bài:
Cho m > Đặt x số thứ nhất, < x < m, số thứ hai m – x Xét tích P(x) = x(m – x)
Ta có: P’(x) = - 2x + m
(7)Từ ta có giá trị lớn tích hai số là: max(0;m)P(x)=P(m/2)=m2/4
Bài 1.26 trang 20 Sách tập (SBT) Giải tích 12 Tìm hai số có hiệu 13 cho tích chúng bé
Hướng dẫn làm bài:
Gọi hai số phải tìm x, ta có số x + 13
Xét tích:
p(x)=x(x+13)=x2+13x
p′(x)=2x+13;p′(x)=0<=>x=−13/2
Bảng biến thiên:
Vậy tích hai số bé số −13/2 số 13/2 Bài 1.27 trang 20 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 6t2 – t3 Tính thời điểm t (giây) tại
đó vận tốc v (m/s) chuyển động đạt giá trị lớn Hướng dẫn làm bài:
s=6t2−t3,t>0
Vận tốc chuyển động v = s’ , tức v = 12t – 3t2
(8)v’ = t = 2⇔
Hàm số v đồng biến khoảng (0;2) nghịch biến khoảng (2;+∞)
Vận tốc đạt giá trị lớn t = Khi max(0;+∞)V=VCD=v(2)=12(m/s)
Bài 1.28 trang 20 Sách tập (SBT) Giải tích 12
Hãy tìm tam giác vng có diện tích lớn tổng cạnh góc vng cạnh huyền số a (a > 0)
Hướng dẫn làm bài:
Kí hiệu cạnh góc vng AB x, 0<x<a/2
Khi đó, cạnh huyền BC = a – x, cạnh góc vng là:
AC= =
Hay AC=
Diện tích tam giác ABC là:
S(x)=1/2x
S′(x)=1/2 −1/2 =
(9)Tam giác có diện tích lớn AB=a/3;BC=2a/3