Bai tap hinh 9 chuong 3

ÔN TẬP CHƯƠNG III I Tóm tắt lý thuyết II Bài tập 1A Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB M điẻm cung nhỏ AC (M khác A, C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB a) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp b) Chứng minh  ACM   ACK c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C d) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d ao cho hai điểm P, C nằm nưanr mặt phẳng bờ AB AP.MB  R Chứng minh đường thẳng PB qua MA trung điểm đoạn thẳng HK Hướng Dẫn:   HKB   900 a) Chứng minh HCB  (CBKH nội tiếp) b)  ACK  HBK   sđ  Lại có:  ACM  HBK AM  ACM   ACK c) Chứng minh được: MCA = ECB (c.g.c)  MC = CE  = 450   CAB   sđ CB Ta có: CMB  MCE vuông cân C d) Gọi PB  HK  I PB Chứng minh HKB đồng dạng với AMB (g.g) HK MA AP AP.BK    HK  KB MB R R Mặt khác: BIK  BPA (g.g) (ĐPCM)  1B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M, AM cắt (O) điểm thứ hai D Gọi E trung diểm củ đoạn AD, EC cắt (O) điẻm thứ hai F Chứng minh: Trang b) MB2 = MA.MB; a) Tứ giác OEBM tứ giác nội tiếp;   MOC ; c) BFC Hướng Dẫn: d) BF song song AM   OEM   900 a) OBM  Tứ giác OEBM nội tiếp b) Chứng minh được: ABM  BDM (g.g)  MB  MA.MD c) OBC cân O có OM vừa trung trực vừa phân giác 1  BOC  sđ BC 2   MOC   BFC    sđ BC Mà BFC   OCM   900  Tứ giác EOCM nội tiếp d) OEM   MOC   MOC   BFC  mà góc vị trí đồng vị  FB / / AM  MEC 2A Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi đường tròn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO) a) Chứng minh MA MB = ME.MF b) Gọi H hình chiêu vng góc điểm c lên đuờng thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường trịn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳng MS KC vng góc d) Gọi p Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS T trung điểm KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng Hướng Dẫn: Trang a) HS tự chứng minh b) MH.MO = MA.MB (=MC2)  MAH  MOB (c.g c)   MBO   MHA   MBO AHO  MHA AHO  1800  AHOB nội tiếp c) MK2 = ME.MF = MC2  MK = MC MKS  MCS (ch  cgv)  SK  SC  MS đường trung trực KC  MS KC trung CK d) Gọi MS  KC  I MI MS  ME.MF ( MC )  EISF nội tiếp đường tròn tâm P  PI = PS (1) MI.MS = MA.MB(=MC2)  EISF nội tiếp đường tròn tâm P  PI = PS (1) MI.MS = MA.MB (=MC2)  AISB nội tiếp đường tròn tâm Q  QI = QS (2) Mà IT = TS = TK (do IKS vuông I) (3) Từ (1), (2) (3)  P, T, Q thuộc đường trung trực IS  P, T, Q thẳng hàng 2B Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF cắt H Gọi E' điểm đối xứng H qua AC, F' điểm đối xứng H qua AB Chứng minh: a) Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn (O); b) Năm điểm A, F', B, C, E' thuộc đường tròn; c) AO EF vng góc nhau; d) Khi A chạy (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi Hướng Dẫn: Trang  ' a) CHE' cân C  CE ' H  CHE  ' BHF' cân B  BF ' H  BHF '  BHF ' (đối đỉnh) Mà  CHE    CE ' H  BF 'H  Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn tâm (O) '  BE  '  CAB  b) Có BFC ' C  CHE Vậy A, F', E' chắn BC góc  điểm B, F', A, E', C thuộc đường tròn tâm (O) c) AF' = AE' (=AH)  AO trung trực EF  AO  E'F' HE'F' có EF đường trung bình  EF//E'F'  AO  FE d)  AFH   AEH  900  AFHE nội tieps đường trịn đường kính AH Trong (O): Kẻ đường kính AD, lấy I trung điểm BC  OI  AH , BC cố định  OI không đổi  Độ dài AH không đổi  Bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF khơng đổi III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC Lấy điểm A tia đối tia CB Kẻ tiếp tuyến AF nửa đường tròn (O) (vói F tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx nửa đường tròn D R Cho biết AF = 4R a) Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp Xác định tâm I đường trịn ngoại tiếp tứ giác  b) Tính cơsin góc DAB c) Kẻ OM  BC (M  AD) Chứng minh BD DM   DM AM d) Tính diện tích phần hình tứ giác OBDM bên ngồi nửa đường trịn (O) theo R Hướng Dẫn: a) Chứng minh DBOF nội tiếp đường tròn tâm I trung điểm DO 5R   AF   cos DAB AO DM OB c) AMO  ADB ( g g )   AM OA   ODB   ODM   DM  OM mà MOD b) OA  OF  AF  BD DM AD  DM DB DB AD Xét vế trái   1   DM AM AM DM OM AM   8R  R  OM  AO.tan DAB   5R d) DB  AB tan DAB 4  Trang  SOMDB  13R R2 SOMDB ngoai  SOMDB  S(O ,R )  (13  2 ) Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, nội tiếp đường trịn tâm o đường kính AM = 2R a) Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành b) Gọi N điểm đối xứng M qua AB Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp đường tròn c) Gọi E điểm đối xứng M qua AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng d) Giả sử AB = R Tính diện tích phần chung đường trịn (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN Hướng Dẫn: a) BH  AC CM  AC  BH//CM Tương tự  CH//BM  BHCM hình bình hành b) Chứng minh BNHC hình bình hành  NH//BC  AH  NH  AHM = 900 Mà  ABN  90  Tứ giác AHBN nội tiếp c) Tương tự ý b, ta có: BHEC hình bình hành Vậy NH HE//BC  N, H, E thẳng hàng d)  ABN  900  AN đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác AHBN  AN  AM  R  S AnB  , AB  R  AmB  120 S AOB  R2 S ABM  S  S atatAOB  S AOB  AmB  S can tim  S   AmB R2 (4  3) 12 R2 (4  3) Trang  = 45°, góc B C nhọn Đường trịn đường kính BC cắt AB Cho tam giác ABC có BAC AC tai D E Gọi H giao điểm CD BE a) Chứng minh AE = BE b) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác c) Chứng minh OE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE  đường tròn (O) theo a d) Cho BC = 2a Tính diện tích viên phân cung DE Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) AEH vuông nên ta có: KE  KA  AH  AKE cân K   KEA   KAE   OEC  EOC cân O  OCE H trực tâm  AH  BC   HAC   ACO   900 Có  AEK  OEC (K tâm ngoại tiếp)  OE  KE d) HS tự làm Cho đường tròn (O) dây BC cố định không qua O Trên tia đối tia BC lấy điểm A Vẽ tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N tiếp điểm) MN cắt đưòng AO BC H K Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: AH.AO = AB.AC = AM b) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp c) Vẽ dây MP song song với BC Chứng minh N, I, P thẳng hàng d) Khi A di động tia đôi tia BC, chứng minh trọng tâm tam giác MBC chạy đường tròn cố định Hướng Dẫn: a, b, c HS tự làm d) Gợi ý: G'OI mà IG ' 1   G ' thuộc ( G '; R ) IO 3 Trang Cho đường tròn (O) điểm M nằm (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đển (O) (A, B tiếp điểm) Qua M kẻ cát tuyên MNP (MN < MP) đến (O) Gọi K trung điểm NP a) Chứng minh điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOA qua K b) Chứng minh tia KM phân giác góc  AKB c) Gọi Q giao điểm thứ hai BK với (O) Chứng minh AQ song song NP d) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh: MA2 = MH.MO = MN.MP e) Chứng minh bốn điểm N, H, O, P thuộc đường tròn g) Gọi E giao điểm AB KO Chứng minh: AB2 = 4.HE.HF (F giao điểm AB NP) h) Chứng minh KEMH tứ giác nội tiếp Từ chứng tỏ OK.OE khơng đổi i) Gọi I giao điểm đoạn thẳng MO với (O) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB k) Chứng minh KE KE phân giác phân giác ngồi góc  AKB Từ suy AE.BE = AE.BE l) Chứng minh cát tuyến MNP quay quanh M trọng tâm G tam giác NAP chạy đường tròn cố định m) Giả sử MO = R Tính diện tích hình quạt giới hạn hai bán kính OA, OB cung nhỏ AB Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) HS tự chứng minh e) HS tự chứng minh g) OHE  FHM  OH HE  HF HM  OH.HM = HE.HF MAO vuông A, AH  MO  OH HM  AH  AB  AB  HE.HF   MKE   900  Tứ giác KEMK nội tiếp h) MHE  OK.OE=OH.OM = OB2 = R2   IA   MBI  i) Do IB ABI  BI phân giác  ABM Trang Mà IM phân giác  AMB  I tâm đường tròn nội tiếp ABM k) Xét đường tròn qua điểm M, B, O, K, A có MA = MA   MA   MKB   MKA   MB  , mà KE  KM  KM phân giác góc BKA  KE phân giác  KA AE AE AF    KB BE BE BF  AE.BF = AF.BE 1) HS tham khảo 4B, Tứ giác nội tiếp Kết luận: G thuộc đường tròn J' bán kính AJ ' JO với trung điểm OM J' thỏa mãn  AJ m) Học sinh tự giải Trang ... hành  NH//BC  AH  NH  AHM = 90 0 Mà  ABN  90  Tứ giác AHBN nội tiếp c) Tương tự ý b, ta có: BHEC hình bình hành Vậy NH HE//BC  N, H, E thẳng hàng d)  ABN  90 0  AN đường kính đường trịn...  8R  R  OM  AO.tan DAB   5R d) DB  AB tan DAB 4  Trang  SOMDB  13R R2 SOMDB ngoai  SOMDB  S(O ,R )  ( 13  2 ) Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, nội tiếp đường trịn tâm o đường... (=MC2)  AISB nội tiếp đường tròn tâm Q  QI = QS (2) Mà IT = TS = TK (do IKS vuông I) (3) Từ (1), (2) (3)  P, T, Q thuộc đường trung trực IS  P, T, Q thẳng hàng 2B Cho tam giác ABC có hai đường