ÔN TẬP CHƯƠNG III I Tóm tắt lý thuyết II Bài tập 1A Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB M điẻm cung nhỏ AC (M khác A, C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB a) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ACM ACK c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C d) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d ao cho hai điểm P, C nằm nưanr mặt phẳng bờ AB AP.MB R Chứng minh đường thẳng PB qua MA trung điểm đoạn thẳng HK Hướng Dẫn: HKB 900 a) Chứng minh HCB (CBKH nội tiếp) b) ACK HBK sđ Lại có: ACM HBK AM ACM ACK c) Chứng minh được: MCA = ECB (c.g.c) MC = CE = 450 CAB sđ CB Ta có: CMB MCE vuông cân C d) Gọi PB HK I PB Chứng minh HKB đồng dạng với AMB (g.g) HK MA AP AP.BK HK KB MB R R Mặt khác: BIK BPA (g.g) (ĐPCM) 1B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M, AM cắt (O) điểm thứ hai D Gọi E trung diểm củ đoạn AD, EC cắt (O) điẻm thứ hai F Chứng minh: Trang b) MB2 = MA.MB; a) Tứ giác OEBM tứ giác nội tiếp; MOC ; c) BFC Hướng Dẫn: d) BF song song AM OEM 900 a) OBM Tứ giác OEBM nội tiếp b) Chứng minh được: ABM BDM (g.g) MB MA.MD c) OBC cân O có OM vừa trung trực vừa phân giác 1 BOC sđ BC 2 MOC BFC sđ BC Mà BFC OCM 900 Tứ giác EOCM nội tiếp d) OEM MOC MOC BFC mà góc vị trí đồng vị FB / / AM MEC 2A Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi đường tròn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO) a) Chứng minh MA MB = ME.MF b) Gọi H hình chiêu vng góc điểm c lên đuờng thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường trịn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳng MS KC vng góc d) Gọi p Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS T trung điểm KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng Hướng Dẫn: Trang a) HS tự chứng minh b) MH.MO = MA.MB (=MC2) MAH MOB (c.g c) MBO MHA MBO AHO MHA AHO 1800 AHOB nội tiếp c) MK2 = ME.MF = MC2 MK = MC MKS MCS (ch cgv) SK SC MS đường trung trực KC MS KC trung CK d) Gọi MS KC I MI MS ME.MF ( MC ) EISF nội tiếp đường tròn tâm P PI = PS (1) MI.MS = MA.MB(=MC2) EISF nội tiếp đường tròn tâm P PI = PS (1) MI.MS = MA.MB (=MC2) AISB nội tiếp đường tròn tâm Q QI = QS (2) Mà IT = TS = TK (do IKS vuông I) (3) Từ (1), (2) (3) P, T, Q thuộc đường trung trực IS P, T, Q thẳng hàng 2B Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF cắt H Gọi E' điểm đối xứng H qua AC, F' điểm đối xứng H qua AB Chứng minh: a) Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn (O); b) Năm điểm A, F', B, C, E' thuộc đường tròn; c) AO EF vng góc nhau; d) Khi A chạy (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi Hướng Dẫn: Trang ' a) CHE' cân C CE ' H CHE ' BHF' cân B BF ' H BHF ' BHF ' (đối đỉnh) Mà CHE CE ' H BF 'H Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn tâm (O) ' BE ' CAB b) Có BFC ' C CHE Vậy A, F', E' chắn BC góc điểm B, F', A, E', C thuộc đường tròn tâm (O) c) AF' = AE' (=AH) AO trung trực EF AO E'F' HE'F' có EF đường trung bình EF//E'F' AO FE d) AFH AEH 900 AFHE nội tieps đường trịn đường kính AH Trong (O): Kẻ đường kính AD, lấy I trung điểm BC OI AH , BC cố định OI không đổi Độ dài AH không đổi Bán kính đường trịn ngoại tiếp AEF khơng đổi III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC Lấy điểm A tia đối tia CB Kẻ tiếp tuyến AF nửa đường tròn (O) (vói F tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx nửa đường tròn D R Cho biết AF = 4R a) Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp Xác định tâm I đường trịn ngoại tiếp tứ giác b) Tính cơsin góc DAB c) Kẻ OM BC (M AD) Chứng minh BD DM DM AM d) Tính diện tích phần hình tứ giác OBDM bên ngồi nửa đường trịn (O) theo R Hướng Dẫn: a) Chứng minh DBOF nội tiếp đường tròn tâm I trung điểm DO 5R AF cos DAB AO DM OB c) AMO ADB ( g g ) AM OA ODB ODM DM OM mà MOD b) OA OF AF BD DM AD DM DB DB AD Xét vế trái 1 DM AM AM DM OM AM 8R R OM AO.tan DAB 5R d) DB AB tan DAB 4 Trang SOMDB 13R R2 SOMDB ngoai SOMDB S(O ,R ) (13 2 ) Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, nội tiếp đường trịn tâm o đường kính AM = 2R a) Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành b) Gọi N điểm đối xứng M qua AB Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp đường tròn c) Gọi E điểm đối xứng M qua AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng d) Giả sử AB = R Tính diện tích phần chung đường trịn (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN Hướng Dẫn: a) BH AC CM AC BH//CM Tương tự CH//BM BHCM hình bình hành b) Chứng minh BNHC hình bình hành NH//BC AH NH AHM = 900 Mà ABN 90 Tứ giác AHBN nội tiếp c) Tương tự ý b, ta có: BHEC hình bình hành Vậy NH HE//BC N, H, E thẳng hàng d) ABN 900 AN đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác AHBN AN AM R S AnB , AB R AmB 120 S AOB R2 S ABM S S atatAOB S AOB AmB S can tim S AmB R2 (4 3) 12 R2 (4 3) Trang = 45°, góc B C nhọn Đường trịn đường kính BC cắt AB Cho tam giác ABC có BAC AC tai D E Gọi H giao điểm CD BE a) Chứng minh AE = BE b) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác c) Chứng minh OE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đường tròn (O) theo a d) Cho BC = 2a Tính diện tích viên phân cung DE Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) AEH vuông nên ta có: KE KA AH AKE cân K KEA KAE OEC EOC cân O OCE H trực tâm AH BC HAC ACO 900 Có AEK OEC (K tâm ngoại tiếp) OE KE d) HS tự làm Cho đường tròn (O) dây BC cố định không qua O Trên tia đối tia BC lấy điểm A Vẽ tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N tiếp điểm) MN cắt đưòng AO BC H K Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: AH.AO = AB.AC = AM b) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp c) Vẽ dây MP song song với BC Chứng minh N, I, P thẳng hàng d) Khi A di động tia đôi tia BC, chứng minh trọng tâm tam giác MBC chạy đường tròn cố định Hướng Dẫn: a, b, c HS tự làm d) Gợi ý: G'OI mà IG ' 1 G ' thuộc ( G '; R ) IO 3 Trang Cho đường tròn (O) điểm M nằm (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đển (O) (A, B tiếp điểm) Qua M kẻ cát tuyên MNP (MN < MP) đến (O) Gọi K trung điểm NP a) Chứng minh điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOA qua K b) Chứng minh tia KM phân giác góc AKB c) Gọi Q giao điểm thứ hai BK với (O) Chứng minh AQ song song NP d) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh: MA2 = MH.MO = MN.MP e) Chứng minh bốn điểm N, H, O, P thuộc đường tròn g) Gọi E giao điểm AB KO Chứng minh: AB2 = 4.HE.HF (F giao điểm AB NP) h) Chứng minh KEMH tứ giác nội tiếp Từ chứng tỏ OK.OE khơng đổi i) Gọi I giao điểm đoạn thẳng MO với (O) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB k) Chứng minh KE KE phân giác phân giác ngồi góc AKB Từ suy AE.BE = AE.BE l) Chứng minh cát tuyến MNP quay quanh M trọng tâm G tam giác NAP chạy đường tròn cố định m) Giả sử MO = R Tính diện tích hình quạt giới hạn hai bán kính OA, OB cung nhỏ AB Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) HS tự chứng minh e) HS tự chứng minh g) OHE FHM OH HE HF HM OH.HM = HE.HF MAO vuông A, AH MO OH HM AH AB AB HE.HF MKE 900 Tứ giác KEMK nội tiếp h) MHE OK.OE=OH.OM = OB2 = R2 IA MBI i) Do IB ABI BI phân giác ABM Trang Mà IM phân giác AMB I tâm đường tròn nội tiếp ABM k) Xét đường tròn qua điểm M, B, O, K, A có MA = MA MA MKB MKA MB , mà KE KM KM phân giác góc BKA KE phân giác KA AE AE AF KB BE BE BF AE.BF = AF.BE 1) HS tham khảo 4B, Tứ giác nội tiếp Kết luận: G thuộc đường tròn J' bán kính AJ ' JO với trung điểm OM J' thỏa mãn AJ m) Học sinh tự giải Trang ... hành NH//BC AH NH AHM = 90 0 Mà ABN 90 Tứ giác AHBN nội tiếp c) Tương tự ý b, ta có: BHEC hình bình hành Vậy NH HE//BC N, H, E thẳng hàng d) ABN 90 0 AN đường kính đường trịn... 8R R OM AO.tan DAB 5R d) DB AB tan DAB 4 Trang SOMDB 13R R2 SOMDB ngoai SOMDB S(O ,R ) ( 13 2 ) Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, nội tiếp đường trịn tâm o đường... (=MC2) AISB nội tiếp đường tròn tâm Q QI = QS (2) Mà IT = TS = TK (do IKS vuông I) (3) Từ (1), (2) (3) P, T, Q thuộc đường trung trực IS P, T, Q thẳng hàng 2B Cho tam giác ABC có hai đường