Tam giác ABC có ba góc nhọn và có H là trực tâm.Gọi K, M, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH.. Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại A và C, hai đường chéo AC và BD cắ
Trang 1ÔN TẬP HÌNH HỌC 8 CHƯƠNG III ( CƠ BẢN)
1 Cho tam giác AEC, một đường thẳng song song với CE cắt AC, AE lần lượt ở B và D Cho AD = 3cm,
DE = 6cm, BC = 12cm Tính AC.
2 Cho tứ giác ABCD Qua điểm E trên cạnh AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G, qua G vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại H.
a) Chứng minh: HE // BD.
b) Chứng minh: EH.AD = AE.BD.
3 Cho tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB = 24cm, AM = 16cm, AN = 12cm ( M∈AB N, ∈AC) Tính độ dài các đoạn NC và BC.
4 Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
Chứng minh rằng: OA OD = OB OC.
5 Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Đường thẳng qua O
và song song với AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M, N Chứng minh: OM = ON.
6 Tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC.
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.
7 Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D Qua D kẻ DE // AB ( E thuộc AC ).
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b) Cho biết diện tích tam giác ABC là S, tính diện tích các tam giác ABD, ADE, DCE theo S.
8 Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm a) Tính độ dài các đoạn thẳng AD, DC.
b) Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E Tính EC.
9 Tam giácABC tại vuông A, AB = 12cm, AC = 16cm, đường phân giác của góc A cắt BC tại D.
a) Tính BC, BD và CD.
b) Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.
10 Cho tam giác ABC Kẻ phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở I và D Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N.
a) Tính AB và MN, biết MI = 12cm, BC = 20cm.
b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F
Chứng minh: BI IC = AI IE và CE = CF.
11 Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O Gọi P, Q, R theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC Chứng minh rằng tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC.
12 Tam giác ABC có ba góc nhọn và có H là trực tâm.Gọi K, M, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH Chứng minh rằng tam giác KMN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số 1
2
k=
Trang 213 Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm, trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN.
14 Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm và BD = 8cm
Chứng minh rằng ·BAD DBC= · và BC = 2AD.
15 Cho tam giác ABC có AB = 10cm, AC = 20cm Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD = 5cm
Chứng minh: ·ABD ACB= ·
16 Hình thang ABCD ( AB // CD) có AB = 2,5cm, AD = 3,5cm, BD = 5cm và ·DAB DBC= ·
a) Chứng minh: tam giác ADB đồng dạng tam giác BCD
c) Tính diện tích tam giác AMH.
19 Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại A và C, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ·BAO BDC= ·
a) Chứng minh: tam giác ABO đồng dạng với tam giác DCO
b) Chứng minh: tam giác BCO đồng dạng với tam giác ADO.
20 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 9cm.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BD a) Chứng minh: tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD;
b) Tính độ dài đoạn thẳng AH;
c) Tính diện tích tam giác AHB.
21 Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H Chứng minh: AH DH =BH EH =CH FH.
22 Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn AK và CM cắt nhau tại điểm P Biết rằng AP = 2PK và CP = 2PM Chứng minh: AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC.
23 Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD Từ C vẽ đường vuông góc CE với đường thẳng
AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD ( E, F thuộc phần kéo dài của các cạnh AB và AD).
Chứng minh: AB AE AD AF + =AC2
24 Tam giác ABC có hai đường cao là AD và BE (D BC E AC∈ , ∈ )
Chứng minh: tam giác DEC đồng dạng với tam giác ABC.
25 Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O Từ một điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E BC F∈ , ∈AB) Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N Chứng minh: FM = MN = NE.
Trang 3BÀI TẬP TỔNG HỢP ( P/S: NGUỒN SƯU TẦM )
1 Cho tam giác ABCcân tại A có AB = AC = 100cm, BC = 120cm Hai đường cao AD, BE
cắt nhau tại H
a) Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH
b) Tình độ dài các đoạn: HD, AH, BH, EH
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6cm, AC = 8cm Đường cao AH, đường phân giác BD
a) Tình độ dài AD, DC
b) Gọi I là giao điểm của AH và BD C/m: AB.BI = BD.HB
c) C/m: Tam giác AID cân
3. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB < CD Đường cao BH chia cạnh CD thành 2 đoạn DH = 16cm, HC = 9cm Biết BD vuông góc BC
a) Tính đường chéo AC và BD của hình thang
c) Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích của tứ giác đó
6. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm, AD = 24cm, E là trung điểm của AB Tia DE cắt AC ở F, cắt CB ở G
a) Tính DE, DG, DF
b) C/m: FD2 = FE.FG
7. Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH
a) C/m: AH2 = HB.HC
b) Biết BH = 9cm, HC = 16cm Tính các cạnh của tam giác ABC
8. Cho tam giác ABC phân giác AD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C lên ADa) C/m: ∆ABE đồng dạng ACF∆ , ∆BDE đồng dạng CDF∆
c) BF.DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC
10 Cho tam giác vuông ABC (Aˆ =90), AB = 12cm, AC = 16cm Tia phân giác của góc A cắt BC tại D
a) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD
b) Tình độ dài cạnh BC của tam giác
Trang 4c) Tình độ dài đoạn thẳng BD và CD
d) Tính chiều cao AH của tam giác
11 Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 9cm, AC = 12cm, tia phân giác của góc A cắt
cạnh BC tại D Từ D kẻ DE vuông góc AC ( E thuộc AC )
a) Tính độ dài các đoạn : BD, CD, DE
b) Tính diện tích các tam giác ABD và ACD
12 Trên 1 cạnh của 1 góc đỉnh A đặt đoạn AE = 3cm và AC = 8cm, trên cạnh thứ hai đặt
các đoạn AD = 4cm và AF = 6cm
a) Tam giác ACD và AEF có đồng dạng không? Vì sao
b) Gọi I là giao điểm của CD và EF Tính tỉ số diện tích hai tam giác IDF và IEC
13 Cho tam giác ABC có đường cao AE, gọi H là trung điểm BC Từ H vẽ các đường
vuông góc HD và HK lần lượt xuống AB và AC
a) C/m: Tam giác EBA đồng dạng tam giác DBH
b) C/m: CA.KH = CH.EA
c) C/m:
KH
DH BA
a) Tam giác MAP đồng dạng tam giác DCP
b) Tam giác MAD đồng dạng tam giác DCQ
c) QC = 2BC
d) PD2 = PM.PQ
16 Cho tam giác ABC, đường cao AH = 12cm, HB = 5cm, HC = 9cm
a) Tính chu vi tam giác ABC
b) Gọi I là hình chiếu của H lên AB, K là hình chiếu của H lên AC C/m: AB.AI = AC.AK, tam giác AIK đồng dạng tam giác ACB
c) IC cắt BK tại O C/m: tam giác BOC đồng dạng tam giác IOK
d) C/m: BC.IK + BI.KC = BK.CI
17 Cho tam giác ABC có đường cao AH ( H nằm giữa B, C ) Từ H vẽ HM vuông góc AB;
HN vụông góc AC
a) Cho biết HA = 15cm, HC = 36cm, BC = 56cm Tính AB, AC
b) C/m: AB.AM = AC.AN và tam giác ABC đồng dạng tam giác ANM
c) C/m: AB.CM = AC.BN
d) C/m: tam giác ABN đồng dạng tam giác ACM và MN.BC + BM.CN = CM.BN
e) Cho A, H cố định; B, C di chuyển trên đường thẳng vuông góc với AH tại H sao cho H vẫn nằm giữa B và C C/m: trung trực của đoạn MN luôn đi qua 1 điểm cố định
Trang 518 Cho tam giác DEF Gọi A là trung điểm EF, B là trung điểm DF, các đường trung trực
của EF và DF cắt nhau tại O Đường cao DC và EI cắt nhau tại H:
a) C/m: tam giác FAB đồng dạng tam giác FED
OB
19 Cho tam giác ABC ( AB = AC ), trung tuyến AM, H là hình chiếu của M lên AC, F là
trung điểm MH, E là trung điểm BM C/m:
a) Tam giác ABM đồng dạng tam giác AMH
b) AB.AF = AM.AE
c) BH vuông góc AF
d) AE.EM = BH.HC
e) Tam giác ABE đồng dạng tam giác BCH
20 Cho tam giác MAQ cân tại M có MA = 15cm; AQ = 18cm
a) Tính độ dài đường cao MI ( I thuộc AQ)
b) Đường cao QN của tam giác MAQ cắt MI tại H C/m: tam giác QIH đồng dạng tam giác MIA; tam giác MAI đồng dạng tam giác QAN
b) Gọi S là 1 điểm bất kì nằm giữa MH Kẻ đường cao SA của tam giác SNP, SA cắt NH tại
B Kẻ đường thẳng vuông góc với SN tại S, nó cắt PQ tại I C/m: PB vuông góc SN
c) C/m: SBPI là hình bình hành
d) Giả sử S là trung điểm MH C/m: 2BN.PI = SH.MQ
23 Cho tam giác ABC có AB = 6; AC = 8, BC = 10 Kẻ đường cao AH, phân giác BD.
a) C/m: tam giác ABC vuông, tính AH
b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E, đường này cắt tia đối của tia AB tại F C/m: EF.FC = FA.FB
c) C/m: AH//FD
d) Tính AF và AE
24 Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), AH là đường cao Trên tia AH lấy D sao
cho HA = HD Gọi E là điểm đối xứng với B qua H Từ E vẽ EF vuông góc AC ( F thuộc AC )
a) C/m: Tứ giác ABDE là hình thoi
Trang 6b) C/m: D, E, F thẳng hàng và tam giác AHF cân
c) C/m: DF.AB = AH.DA
d) Gọi I là giao điểm của AE và HF; CI cắt AB tại M và cắt AD tại N C/m:
AN
AD AI
AE AM
AB
=+
25 Cho tam giác ABC có AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm Kẻ đường cao AH
a) C/m: tam giác ABC vuông Tính đường cao AH
b) C/m: tam giác AHB đồng dạng CAB Tính BH
c) Đường phân giác của góc A cắt BC tại D Tính BD, CD
d) Tính diện tích tam giác AHD
26 Cho tam giác ABC vuông tại A, 2 đường phân giác BD và CE của các góc B và C cắt
nhau ở I
a) C/m: A DˆI = A IˆE
b) C/m: AI2 = AD.AE
c) Kẻ đường cao AH Cho biết AB = 20cm; AH = 12cm Tính HB, HC, IK ( IK vuông góc
BC và K thuộc BC ) Tính SABC, SIBC
27 Cho tam giác ABC vuông ở A M là trung điểm AC Kẻ MD vuông góc BC ( D thuộc
BC )
a) C/m: AB2 = BD2 – CD2
b) E là giao điểm của AB và MD C/m: EA.EB = EM.ED
c) C/m: EA.EB + DB.DC = DE2
28 Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 8cm, AB = 15cm Từ D kẻ đường vuông góc với
đường chéo AC và cắt AC tại M, cắt AB tại N
a) C/m: tam giác AMN đồng dạng tam giác CMD
b) Tình độ dài đoạn thẳng AC và DM
c) Tình diện tích tam giác DNC
29 Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 9cm Trên tia đối của tia AC lấy
điểm D sao cho AD = 16cm Nối B với D và kẻ đường cao AH của tam giác ADBa) Tính BC và BD
b) C/m: tam giác AHB đồng dạng tam giác DAB
c) C/m: BD vuông góc
BC-d) Tính diện tích tứ giác BHAC
30 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 18cm, AC = 24cm
a) Tính BC, AH, CH
b) Gọi M là trung điểm BC Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt AC tại H, AB tại E C/m: tam giác ABC đồng dạng tam giác MBE Tính EC
c) BH cắt BC tại K C/m: tam giác BEK đồng dạng tam giác CEA
31 Cho tam giác ABC có AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm với CD là phân giác
a) C/m: tam giác ABC vuông và tính độ dài CD
b) Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của C và D qua A Tứ giác CDEF là hình gì? Vì sao?c) Gọi M là trung điểm của CD, đường thẳng EM cắt đường thẳng FC tại N C/m: tam giác EDM đồng dạng tam giác NFE; CD2 = MD.NF
d) Tính tỉ số diện tích tam giác CMN và diện tích tứ giác CDEF
Trang 732 Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao; AB = 3cm, AC = 4cm
a) Tính BC, AH
b) C/m: tam giác HAB đồng dạng tam giác HCA
c) E là trung điểm AC, D là điểm đối xứng của B qua E Đường thẳng qua E song song với
BC cắt CD tại F Tính CF
d) Tia AF cắt đường thẳng BC tại P C/m: C là trung điểm BP
33 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 9cm Gọi H là chân đường vuông góc
kẻ từ A xuống BD
a) C/m: tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD
b) Tính độ dài đoạn AH
c) Tính diện tích tam giác AHB
d) AH cắt đường thẳng BC tại K, cắt DC tại I C/m: AH2 = HI.HK]
34 Cho tam giác ABD vuông góc ở B có AB = 6cm, AD = 10cm
a) Tính độ dài các đoạn AE, ED
b) Trên cạnh AD lấy điểm C sao cho AC = AB Kẻ CF vuông góc AB tại F C/m: AB2 = AD.AF
c) So sánh 2 tam giác FCB và EBC rồi C/m: BC là phân giác của góc EBD
d) Gọi M là trung điểm của BC Tính tỉ số:
ABD
AMD
S S
35 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 20cm, AD = 15cm
a) Tính độ dài đường chéo BD
b) Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 5cm CM cắt BD tại P và đường thẳng AB tại
Q Tính tỉ số diện tích 2 tam giác PDM và PBC
c) Gọi N là trung điểm của cạnh AB C/m: 2 tam giác AMN và DMC đồng dạng
d) C/m: MA là tia phân giác của góc QMN
36 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, AD = 9cm Từ A kẻ đường thẳng vuông góc
với đường chéo BD, đường thẳng này cắt BD tại E và cắt DC tại K
a) Tính độ dài đường chéo BD
b) C/m: tam giác DEK đồng dạng tam giác DCB, từ đó suy ra DE.DB = DK.DC
37 Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao là AD, BE, CF cắt nhau tại H C/m:
38 Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AH, BK, CI cắt nhau tại M C/m:
a) Tam giác AIK đồng dạng tam giác ACB
b) Tam giác MIK đồng dạng tam giác MBC
c) A IˆK = A MˆK,A KˆI =A MˆI
Trang 8d) AK.IM + AI.KM = AM.IK
d) Tính
HD
AD
40 Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 9cm, AC = 12cm Đường phân giác của góc B
cắt AC tại D Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A, C trên BD
a) Tính tỉ số
CN AM
b) C/m:
DN
DM BN
EH
=d) Tính độ dài các đoạn BD, EH, CN
41 Cho tam giác ABC Biết AB = 12, AC = 16, BC = 20, AH là đường cao.
• Tính diện tích tam giác MHE
42 Cho tam giác ABC đường cao AE, H là trung điểm BC Từ H vẽ các đường vuông góc
HD và HK lần lượt vuông góc với AB, AC C/m:
a) Tam giác EBA đồng dạng tam giác DBH
b) C/m: CA.KH = CH.EA
c) C/m:
KH
DH BA
CA=
d) C/m: AE.BC = AB.DH + AC.KH
43 Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH
Trang 9e) C/m: tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB
f) Gọi AI là trung tuyến tam giác ABC C/m: AI vuông góc MN
44 Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H C/m:
a) HA.HD = HB.HE = HC.HF
b) AF.AB = AH.AD = AE.AC
c) BH.BE + CH.CF = BC2
d) Tam giác FHE đồng dạng tam giác BHC
e) DA là phân giác của góc EDF
45 Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm
a) C/m: tam giác ABC vuông Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC C/m: AE.AB = AF.AC
c) Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt EF tại N Tính NF
d) C/m: AE.AF = AN.AH Tính SAME, SANF
46 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, trung
tuyến AM
a) C/m: tam giác AFE đồng dạng tam giác ABC
b) Qua đỉnh A kẻ các đường thẳng song song với BE và CF Các đường này lần lượt cắt HF
và BE tại P và Q C/m: các tam giác QHA và PAH đồng dạng với tam giác ABC
c) Gọi I là giao điểm của AD và PQ C/m: tam giác AIQ đồng dạng tam giác CMA
d) C/m: AM vuông góc PQ
47 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH Gọi E, F lần lượt là trung điểm của
AH và BH Cho AB = 15cm, AC = 20cm
a) Tính BC, AH, HC
b) C/m: tam giác BFA đồng dạng tam giác AEC
c) C/m: AF vuông góc CE và tính EN ( N là giao điểm EF và AC)
d) Tình diện tích tam giác AEF
e) C/m: + + =1
CI
EI FN
EN AH
EH
( I là giao điểm của EC và AF)
48 Cho tam giác ABC có AB = 20cm, AC = 25cm, BC = 15cm Trên AB lấy điểm D, trên
AC lấy điểm E sao cho AD = 10cm, AE = 8cm Đường thẳng đi qua B song song với
49 Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 16cm Gọi D, E là 2 điểm lần lượt trên các cạnh
AB, AC sao cho BD = 2cm, CE = 13cm C/m:
a) Tam giác AEB đồng dạng tam giác ADC
b) A EˆD= A BˆC
c) AE.AC = AD.AB
50 Cho tam giác ABC đều, O là trung điểm BC Gọi M, N là các điểm lần lượt trên các
cạnh AB, AC sao cho M OˆN =60 C/m:
Trang 10a) Tam giác OBM đồng dạng tam giác NCO
b) Tam giác OBM đồng dạng tam giác NOM suy ra MO là tia phân giác của góc BMN
51 Cho hình bình hành ABCD, điểm F trên cạnh BC Tia AF cắt BD và DC lần lượt ở E, G.
a) C/m: Tam giác BEF đồng dạng tam giác DEA, tam giác DGE đồng dạng tam giác BAEb) C/m: AE2 = EF.EG
c) Tích BF.BG không đổi khi F thay đổi trên BC
52 Cho tam giác nhọn ABC, 2 đường cao BD, CE C/m:
a) AE.AB = AD.AC
b) A DˆE =A BˆC;A EˆD= A CˆB
c) Biết Aˆ =60,S ABC =120cm2 Tính SADE
53 Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 8cm, AC = 15cm Đường cao AH
c) Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác đó
55 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm, AD = 24cm E là trung điểm AB Tia DE cắt
c) C/m: tam giác HAK đồng dạng tam giác HCD Tính AK, HK
57 Cho tam giác vuông ABC ( Aˆ =90), AB = 21cm, AC = 28cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D song song với AB cắt AC tại E
a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB; DC và DE
b) Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD
58 Tam giác cân BAC có BA = BC = a, AC = b Đường phân giác góc A cắt BC tại M,
đường phân giác góc C cắt BA tại N
a) C/m: MN//AC
b) Tính MN theo a, b
59 Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM, tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB
ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E
a) C/m: DE//BC
b) DE cắt AM tại I C/m: I là trung điểm DE
60 Cho tam giác ABC và D là 1 điểm thuộc cạnh AB Từ D vẽ DE//BC ( E thuộc BC)
a) C/m: AB.DE = BC.AD
Trang 11b) Gọi AN là đường phân giác của tam giác ADE C/m:
AC
AB NE
c) Đường thẳng AN cắt BC tại M, cho biết DE = 10cm và 3MB = 2MC Tính DN
61 Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH và phân giác BD cắt nhau tại M Cho
biết AB = 10cm, BC = 12cm
a) Tính các tỉ số:
MH
MA DC
CD m C BC K BC
c) C/m: tam giác ABH đồng dạng tam giác DCK và tam giác MHC đồng dạng tam giác BDK
62 Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 21cm Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD =
7cm, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 5cm
a) C/m: tam giác ABE đồng dạng tam giác ACD
b) Gọi O là giao điểm của BE và CD C/m: OB.OE = OC.OD
c) Qua điểm E vẽ đường thẳng song song với AB cắt CD ở K C/m: OE2 = OK.OC
63 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, chiều cao AH = 12cm, HB = 5cm, HC = 9cm
a) Tính chu vi tam giác ABC
b) Gọi I là hình chiếu của H lên AB, K là hình chiếu của H lên AC C/m: AB.AI = AC.AK
và tam giác AIK đồng dạng tam giác ACB
c) IC cắt BK tại O C/m: tam giác BOC đồng dạng tam giác IOK
d) C/m: tam giác ABK đồng dạng tam giác ACI và BC.IK + BI.KC = BK.CI
64 Cho tam giác ABC ( AB = AC) đường cao BD và CE Đường vuông góc với AC tại C
65 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB<AC) các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) C/m: tam giác ACD đồng dạng tam giác BCE
b) C/m: HB.HE = HC.HF
c) Cho biết AD = 12cm, BD = 50cm, CD = 9cm Tính AB, HC
d) C/m: tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC
66 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm, đường cao
AH, trung tuyến AM
a) C/m: tam giác ABC vuông và tính độ dài AH
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H đến các cạnh AB và AC C/m: AE.AB = AF.ACc) AM cắt EF tại N Tính NF
d) Đường thẳng vuông góc với EF tại E và F cắt BC tại I và K Tính diện tích tứ giác EFKI
67 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, phân giác BM cắt AH tại N Biết AB =
20cm; AC = 15cm
a) Tính BC, AH
Trang 12b) C/m: AB2 = BH.BC
c) C/m: MA.NA = NH.MC
d) Tính SANB
e) C/m: tam giác AMN cân Tính SAMN
68 Cho tam giác vuông tại A có AH là đường cao (AB<AC)
a) C/m: tam giác AHB đồng dạng tam giác ABC
e) Tính diện tích tam giác MHE
71 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
a) C/m: AB2 = BH.BC và AC2 = CH.HB
b) C/m: AB2 + AC2 = BC2 ( không dùng định lý Pytago)
c) C/m: AH2 = BH.CH
d) Kẻ HM vuông góc AB; HN vuông góc AC C/m: AM.AB = AN.AC
e) C/m: tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB
f) Gọi AI là trung tuyến tam giác ABC C/m: AI vuông góc MN
72 Cho tam giác ABC đường cao AE, H là trung điểm BC Từ H vẽ HD vuông góc AB và
CA=
d) C/m: AE.BC = AB.DH + AC.KH
73 Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH ( AB<AC)
a) C/m: Tam giác AHB đồng dạng tam giác BAC
Trang 1374 Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm
a) C/m: tam giác ABC vuông Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC C/m: AE.AB = AF.AC
c) Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt EF tại N Tính NF C/m: AE.AF = AN.AH
d) Tính diện tích tam giác ANF, tam giác AME
EN AH
EH
( I là trung điểm EC và AF)
76 Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H C/m:
a) HA.HD = HB.HE = HC.HF
b) AF.AB = AH.AD = AE.AC
c) BH.BE + CH.CF = BC2
d) Tam giác FHE đồng dạng tam giác BHC
e) DA là phân giác của góc EDF
77 Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB, BC lấy điểm P, Q sao cho BP = BQ Kẻ BH
e) C/m: tam giác AMN cân Tính SAMN
f) Kẻ AI vuông góc BM C/m: tam giác BHI đồng dạng tam giác BMC
79 Cho tam giác ABC đường cao AH Từ H kẻ HD vuông góc AB, HE vuông góc AC
a) C/m: tam giác ADH đồng dạng tam giác AHB
e) Tính SADE
Trang 14f) C/m: DA.DB + EA.EC = DH2 + EH2
g) C/m: AE.DH + AD.EH = AH.DE
80 Cho tam giác ABC có Bˆ =90, AD là phân giác Từ C kẻ đường vuông góc với AD tại
E và cắt AB tại F
a) C/m: tam giác DAC đồng dạng tam giác DBE
b) C/m: tam giác FEB đồng dạng tam giác FAC
c) Cho biết AD = FC Tính số đo các góc tam giác ACF
d) C/m: AC.BE + EC.BA = AE.BC
81 Cho tam giác ABC cân tại A có AB = 20cm, BC = 10cm Phân giác BD và đường cao
AH cắt nhau tại I
a) Tính AD, DC
b) C/m: IA.DC = 2DA.IH
c) Tính độ dài BD
d) Qua A kẻ AE vuông góc BD tại E C/m: tam giác AIB đồng dạng tam giác EIH
e) C/m: AE.BH + AB.EH = AH.BE
f) AE cắt BC tại K C/m: KI vuông góc AB và AI.AH + BI.BE = AB2
82 Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, BC = 8, AD là đường phân giác của góc BAC
Trên tia AD lấy điểm E sao cho D EˆB= A CˆB
a) Tính BD, CD
b) C/m: tam giác DAC đồng dạng tam giác DEB
c) C/m: tam giác ABD đồng dạng tam giác AEC
d) C/m: AD2 = AB.AC – DB.DC
e) C/m: EC2 = ED.EA
f) C/m: AE2 > AB.AC
g) C/m: EB =EC
h) C/m: AB.EC + AC.BE = AE.BC
83 Cho tam giác ABC vuông tại A có Cˆ =30và AD là trung tuyến Phân giác góc ADB cắt
AB tại M, phân giác góc ADC cắt AC tại N
a) C/m: AMDN là hình chữ nhật và MN//BC
b) Kẻ phân giác của góc ABC cắt AC tại E Tính tỉ số
AC AE
c) C/m: + =1
AC
AN AB
AM
d) C/m: AD, MN, BE đồng qui tại 1 điểm
84 Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao Biết AB = 15cm, AC = 20cm
Trang 15b) C/m: tam giác ABH đồng dạng tam giác CAD Tính AH
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AH và BH C/m: HN.CD = HB.MN
P/S: BÀI TẬP SOẠN THEO SÁCH NÂNG CAO VÀ PHẤT TRIỂN TOÁN 8 TẬP 2 CỦA THẦY VŨ
HỮU BÌNH NGUỒN: THẦY TRẦN THANH HƯNG- THCS VÕ TRỨ- TUY AN – PHÚ YÊN.
ĐỊNH LÍ TA- LÉT TRONG TAM GIÁC
Trang 16Bài 1:(VD32/79) Cho tam giác ABC (AC > AB) Lấy các điểm D, E tuy ý theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE, BC Cmr: tỉ số
KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E.
Bài 2:( 172/81) Hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AB, CD của một hình thang cắt nhau tại O Đường thẳng đi qua O và ss với BC cắt các đường thẳng AC, BD theo thứ tự ở M, N Cmr: OM
= ON.
Bài 3: ( 174/81) Cho hình thang ABCD (AB // CD) Một đường thẳng d //AB và cắt hai cạnh bên
AD, BC thứ tự ở M, N và cắt hai đường chéo BD, AC theo thứ tự ở H, K
a Cmr : MH = NK
b Hãy nêu cách dựng đường thẳng d sao cho MH = HK = KN
Bài 4: ( 171/81) Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ một đường thẳng
song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ở E và F Tính độ dài EF, biết rằng DE = 10.
Bài 5: ( 173/81) Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB =a; CD=b Qua giao điểm O của hai đường
chéo kẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD, BC theo thứ tự ở E và G CMR: 1 1 1 1
OE =OG = +a b
K
E D
C B
Trang 17Bài 6: (175/81)Tam giác ABC có AB < AC, AC = 45 Hình chiếu của AC và AB trên BC theo thứ tự
là 27 và 15 Đường trung trực của BC cắt AC ở N Tính độ dài CN.
Bài 7: (176/81)Cho hình bình hành ABCD (AB // CD) Điểm G chia trong cạnh CD theo tỉ số 1:2,
điểm K chia trong cạnh BC theo tỉ số 3:2 Tính độ dài ba đoạn thẳng do AG, AK định ra trên BD, biết BD = 16.
Bài 8: (177/81)Cho tam giác ABC có góc A bằng 120 độ, AB = 3; AC = 6
a Tính độ dài đường phân giác AD
b Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn 1 1 1
AD = AB+ AC Tính số đo góc BAC.
Bài 9(178) : Cho tam giác ABC chứng minh rằng nếu một
đường thẳng cắt cạnh AB ở D, BC ở K và cắt tia đối tia CA ở E
sao cho BD = CE thì tỉ số KE
KD không đổi.
Bài 10: (179) : Cho tam giác ABC, điểm D chia trong cạnh BA
theo tỉ số 1:2 , điểm E chia trong cạnh AC theo tỉ số 2:5 Gọi F là giao điểm của các đường thẳng ED
và BC Tính tỉ số FB: FC
Bài 11(180) Cho tam giác ABC; điểm D chia trong BC theo tỉ số 1:2, điểm O chia trong AD theo tỉ số 3:2 Gọi K là giao điểm của BO và AC Tính tỉ số AK: KC.
Trang 18D E
E
M I
B A
N K
Bài 12( 181): Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC Đường
thẳng qua I và song song với AC cắt AB ở K Đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự ở D,E Chứng minh rằng DE =BK.
Bài 13( 182): Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của CD,CB O là giao điểm của AE và
DF ; OA = 4OE; 2
3
OD= OF Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Bài 13( 183) Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường
thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K CMR: IA KB
ID= KC
Bài 14( 184): Qua M thuộc cạnh BC của tam giác ABC vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh
kia Chúng cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự ở H, K CMR:
Trang 19M K
AB + AC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cạnh BC.
b Xét trường hợp tương tự khi M chạy trên đường thẳng BC nhưng không thuộc đoạn thẳng
Trang 20KH
2 6
M
BA
E
Bài 16(186): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM Lấy điểm D trên cạnh BC
sao cho BD =2DC CMR: BM vuông góc với AD.
Bài 17(187): Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy điểm D, E trên cạnh BC sao cho BD=DE=EC Biết
AD =10; AE = 15 Tính độ dài BC.
Bài 18(188) :
Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD và ACF lần
lượt vuông cân tại B và C Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và
BF CMR
a AH =AK ; b 2
.
AH =BH CK
Bài 19(189): Tứ giác ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của CD,CB Biết rằng AM và AN cắt
đường chéo BD thành ba đoạn bằng nhau CMR: ABCD là hình bình hành
Bài 20(190): Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao
cho BE = 2 Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF=3 Gọi M là giao điểm của AE và BF Tính góc AMC.
Trang 21EA
H
B A
A
Bài 21(191): Cho tam giác ABC, một đường thẳng cắt các cạnh BC, AC theo thứ tự ở D và E và cắt
cạnh BA ở F Vẽ hình bình hành BDEH Đường thẳng qua F và song song với BC cắt AH ở I CMR
FI = DC.
Bài 22(192): Cho tam giác ABC, đường phân giác AD và đường trung tuyến AM Qua điểm I thuộc
AD vẽ IH vuông góc với AB, IK vuông góc với AC.
Gọi N là giao điểm của HK và AM CMR : NI vuông góc với BC.
Bài 23(193): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H
Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở P
và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC CMR:
HM vuông góc với PQ.
Trang 22N M
K I
B A
E C
K G D
B A
Bài 24(194): Hình Chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC Gọi E là một
điểm bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC CMR: MN là tia phân giác của góc KNE.
Bài 25(195): Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC sao
thứ tự ở E, F CMR: 2
.
AE =EB EF
c Khi đường thẳng thay đổi nhưng vẫn đi qua A
thì tích BK.DG có giá trị không đổi
Bài 27(197): Cho tam giác ABC đều, các điểm D,E theo thứ tự
thuộc các cạnh AC, AB sao cho AD =BE Gọi M là một điểm bất
kì thuộc cạnh BC Vẽ MH // BD, MK //CE (H ∈ AC; K ∈ AB).
CMR: Khi M chuyển động trên cạnh BC thì tổng MH + MK có
giá trị không đổi.
C
N
M
F E
D
B A
K
D H
E A
Trang 23E
D
F C B
A
Bài 28(198): Cho tam giác đều ABC, trọng tâm G, M là một điểm bất kì bên trong tam giác Đường
thẳng MG cắt các đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự ở A/ ,B ,C / / CMR:
Bài 31(201): Cho hình bình hành ABCD, M là trung điểm của BC Điểm N trên cạnh CD sao cho CN =2 ND Gọi giao điểm của
Q
P
N D
M C B A