Cho ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N.. Trên AB lấy điểm D sao cho DB = 3cm, từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E.. Từ A’ vẽ đường thẳng
Trang 1Chương III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Tóm tắt lý thuyết
1 Đoạn thẳng tỉ lệ : Cặp đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với cặp đoạn thẳng A’B’ và C’D’
' D ' C
' B ' A CD
AB
2 Một số tính chất của tỉ lệ thức:
' D ' C
' B ' A CD
AB
AB
CD '
B ' A ' D ' C
; AB ' B ' A CD ' D '
CD '
B ' A AB
; ' D ' C ' B ' A CD AB CD
'.
B ' A ' D ' C AB
' D ' C ' B ' A
' B ' A '
D ' C AB
AB C ' D '
' D ' C ' B ' A CD
CD AB '
D ' C ' B ' A CD
AB
' D ' C CD
' B ' A AB '
D ' C
' B ' A CD
AB
3 Định lý Ta-lét thuận và đảo:
AC ' CC AB '
B B CC ' ' AC ' BB '
AB AC ' AC AB ' AB BC //
a
AB C
4 Hệ quả của định lý Ta-lét
' C ' B AC ' AC AB ' AB BC
//
a
ABC
5 Tính chất đường phân giác trong tam giác :
AD là tia phân giác của
BÂC, AE là tia phân giác
của BÂx
EC
EB DC
DB AC
AB
6 Tam giác đồng dạng:
a Định nghĩa :
A’B’C’ ~ ABC
CA ' A ' C BC
' C ' B AB
' B ' A
' CÂ CÂ
; ' BÂ BÂ
; ' Â Â
(k là tỉ số đồng dạng)
b Tính chất :
Gọi h, h’, p, p’, S, S’ lần lượt là chiều cao, chu vi và diện tích của 2 tam giác ABC và A’B’C’
k h
' h
p
' p
; k 2
S
' S
7 Các trường hợp đồng dạng :
a Xét ABC và A’B’C’ có:
CA
' A ' C BC
' C ' B AB
' B '
A
b Xét ABC và A’B’C’ có:
( ) BÂ
' BÂ
( ) BC
' C ' B AB
' B ' A
A’B’C’ ~ ABC (c.g.c)
c Xét ABC và A’B’C’ có:
( ) BÂ
' BÂ
( ) '
 Â
A’B’C’ ~ ABC (g.g)
8 Các trường hợp đồng dạng của hai vuông :
Cho ABC và A’B’C’(Â = Â’ = 90 0 )
A
Trang 2
( ) BC
' C ' B AB
' B ' A )
c
( ) '
CÂ hoặcCÂ '
BÂ BÂ )
b
( ) AC
' C ' A AB
' B ' A )
a
A’B’C’ ~ ABC (c.g.c)
BÀI TẬP Bài 1 Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:
a AB = 9cm và CD = 27cm b EF = 36cm và 12dm c MN = 4,8m và RS = 96cm
Bài 2 Cho biết CDAB43 và CD = 12cm Tính độ dài của đoạn thẳng AB
Bài 3 Cho ABC, các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G.
c Kể tên 2 cặp đoạn thẳng tỷ lệ với AG và GD
Bài 4 Cho biết độ dài của đoạn thẳng AB gấp 12 lần độ dài của đoạn thẳng CD, đoạn thẳng
A’B’ gấp 5 lần độ dài của đoạn thẳng CD Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A’B’
Bài 5 Cho đoạn thẳng AB, M là một điểm trong đoạn AB Tính các tỉ số AMAB và BMAB nếu:
a MBMA 21 b MAMB 47 c MAMB mn (với m, n N*)
Bài 6 Đoạn thẳng AB gấp năm lần đoạn thẳng CD, đoạn thẳng A’B’ gấp bảy lần đoạn thẳng
CD
a Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A’B’
b Cho biết đoạn thẳng MN = 505cm và đoạn thẳng M’N’ = 707cm, hỏi hai đoạn thẳng
AB, A’B’ có tỉ lệ với hai đoạn thẳng MN và M’N’ hay không ?
Bài 7 Cho 5 điểm A, B, C, D, E, theo thứ tự trên một đường thẳng Biết AB = 6cm, BC = 9cm,
CD = 4cm và BCABDECD Tính AE
Bài 8 Cho ABC, B’ AB và C’ AC Cho biết: ABAB' ACAC' C/minh: BAB'B' CAC'C';
AC
' CC AB
'
BB
Bài 9 Cho ABC có AC = 8,5cm Lấy M, N lần lược thuộc AB và AC sao cho AM = 4cm và
AN = 5cm Biết MN // BC Tính độ dài đoạn thẳng BM
Bài 10 Cho DEF có DF = 24cm Lấy P, Q lần lược thuộc DE và DF sao cho EP = 10,5cm và
DQ = 9cm Biết PQ // EF Tính độ dài đoạn thẳng DP
Bài 11 Cho ABC, đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N Biết
AM = 17cm, BM = 10cm, CN = 9cm Tính độ dài đoạn thẳng AN
Bài 12 Cho PQR, đường thẳng song song với cạnh QR cắt PQ, PR lần lượt tại E và F Biết
PF = 20cm, FR = 15cm, EP = 16cm Tính độ dài đoạn thẳng PQ
Bài 13 Trên một đường thẳng, đặt 4 đoạn thẳng liên tiếp: AB = BC = 2CD = 4DE Tính các tỉ số:
BE
AB
; AEAC; ADAE ; BDAE
Trang 3Bài 14 Cho đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng d Trên d lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB và
điểm D nằm ngoài AB sao cho CACBDADB 35
a Tính ACAB; CBAB b) Cho AB = 24cm, Tính CA, DA
Bài 15 Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự trên một đường thẳng và ADABCDCB32
a Nếu BD = 1cm Tính CB, DA b Chứng minh: AC 3AB52AD
c Gọi O là trung điểm của BD Chứng minh: OB2 = OA OC
Bài 16 Cho ABC, có AB = 5cm, BC = 6,5cm Trên AB lấy điểm D sao cho DB = 3cm, từ D vẽ
đường thẳng song song với BC cắt AC tại E Tính DE
Bài 17 Cho OPQ, có PQ = 5,2cm Trên tia đối của tia OP lấy điểm N so cho ON = 2cm Từ N vẽ
đường thẳng song song với PQ cắt đường thẳng OQ tại M Tính độ dài đoạn thẳng OP khi
MN = 3cm
Bài 18 Cho ABC, có AB = 11cm, AC = 20cm và BC = 28cm Trên các cạnh AB, BC, CA lần
lượt lấy các điểm P, N, M sao cho AP = 3cm, BN = BC
4
1 , 3AM = MC C/m: BNMP là h.b.hành
Bài 19 Cho OAB vuông tại A, có OA = 6cm Trên tia đối của tia OA lấy điểm A’ sao cho
OA 2
1
'
OA Từ A’ vẽ đường thẳng vuông góc với AA’ tại A’, đường thẳng này cắt OB kéo dài tại B’ Tính OB và AB, biết A’B’ = 4,2cm
Bài 20 Cho góc xÔy Trên tia Ox lấy theo thứ tự 2 điểm A, B sao cho: OA = 2cm, AB = 3cm.
Trên tia Oy lấy điểm C với OC = 3cm Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D
a Tính độ dài đoạn thẳng CD
b Nếu OA = m, AB = n, OC = p Tính CD theo m, n, p
Bài 21 Gọi G là trọng tâm của ABC Từ G kẻ các đường thẳng song song với 2 cạnh AB và AC,
cắt BC lần lượt tại D và E
a So sánh các tỉ số BDBC và BCEC b So sánh 3 đoạn thẳng BD, DE, EC
Bài 22 Cho ABC có đường cao AH Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và
đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B’, C’ và H’
a Chứng minh: AHAH' BCBC'
b Cho AH’ = 31AH và diện tích ABC là 67,5cm2 Tính diện tích AB’C’
Bài 23 Cho ABC có AB = 7,5cm Trên AB lấy điểm D với: DADB 21
a Tính độ dài đoạn thẳng DA, DB
b Gọi DH, BK lần lượt là khoảng cách từ D, B đến cạnh AC Tính BKDH
c Cho biết AK = 4,5cm Tính HK
Bài 24 Cho ABC có BC = a Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH Qua I
và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC
a Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF theo a.
b Tính SMNFE, biết a = 15cm và SABC = 270cm2
Trang 4Bài 25 Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD Dùng
định lý Talét để chứng minh:
a 2 đoạn thẳng DE và BG chia AC thành 3 đoạn bằng nhau
b AG và AF chia BD thành 2 đoạn bằng nhau
Bài 26 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Một đường thẳng song song với 2 đáy, cắt cạnh bên
AD ở M và cắt cạnh BC ở N Biết MADM CNNBmn Chứng minh: MN mABm nnCD
Bài 27 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Gọi
M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC Cho biết MD = 3MO, đáy lứn CD = 5,6cm.
a Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.
b So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.
Bài 28 Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD
theo thứ tự là N và M Chứng minh:
Bài 29 Cho ABC Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E.
a Chứng minh: BDCE ACAB
b Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB Gọi M là giao điểm của DF và
BC Chứng minh: DMMF ACAB
Bài 30 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng qua A lần lượt cắt BD ở I, BC ở J và CD ở
K
a So sánh IDIB và IKIA b Chứng minh: IA2 = IJ IK c Chứng minh:
BC
BJ DK
DC
Bài 31 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có các đường chéo cắt nhau tại O.
a Chứng minh: OA OD = OB OC
b Kẻ một đường thẳng bất kỳ qua O cắt AB ở M, CD ở N Biết MAMB mn Tính NDNC Áp dụng để chứng minh định lý: “ Trong một hình thang, đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của một đáy thì đi qua trung điểm của đáy kia”
c Qua O, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q
Chứng minh: O là trung điểm của đường thẳng PQ
Bài 32 Cho tứ giác ABCD Qua E AD kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G Qua G kẻ
đường thẳng song song với CB cắt AB ở H Chứng minh:
a HE // BD b AE BH = AH DE
Bài 33 Cho ABC Điểm D thuộc cạnh BC Qua D kẻ các đường thẳng song song với AC, AB cắt
AB, AC lần lượt tại E và F
AC
AF AB
AE
b Xác định điểm D trên BC để EF // BC
c Nếu DCDB 21, chứng minh: EF song song với trung tuyến BM
Bài 34 Cho tứ giác ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H
sao cho: AE = 2EB, BF = 21 FC, CG = 2CD, DH = 21 HA Chứng minh: EFGH là hình bình hành
Trang 5Bài 35 Cho hình thang ABCD (AB // CD) M là trung điểm của CD Gọi I là giao điểm của AM
và BD, K là giao điểm của BM và AC
a Chứng minh: IK // AB
b Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự tại E và F Chứng minh: EI = IK = KF
Bài 36 Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ tia Ax cắt BD ở I, BC ở J và cắt tia DC ở K
Chứng minh: IA2 = IJ IK và KD BJ không đổi
Bài 37 Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC ở M,
AB ở N Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB ở F Qua N kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC ở P Chứng minh: MP // AB và 3 đường thẳng MP, CF và DB đồng qui
Bài 38 Cho ABC (AC > AB) Lấy các điểm D, E tùy ý thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao
cho BD = CE Gọi K là giao điểm của các đường thẳng DE và BC Chứng minh: tỉ số KE
KD
không phụ thuộc vào cách chọn các điểm D và E
Bài 39 Cho ABC, trung tuyến AM Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC Đường thẳng qua I và
song song với AC cắt AB ở K, đường thẳng qua I và song song với AB cắt AM, AC lần lượt ở D và E Chứng minh: DE = BK
Bài 40 Cho ABC cân tại A có BC = 8cm, tia phân giác của góc B cắt đường cao AH ở K Biết
5
3 AH
AK
Tính độ dài AB
Bài 41 Cho ABC vuông tại A, CÂ = 300, kẻ phân giác BD Tính DADC
Bài 42 Cho ABC cân tại A, phân giác BD Biết BC = 10cm, AB = 15cm.
a Tính AD, DC.
b Phân giác ngoài của BÂ cắt AC ở E Tính EC.
Bài 43 Cho ABC cân, có BA = BC = a, AC = b Đườmg phân giác góc A cắt BC tại M, đường
phân giác góc C cắt BA tại N
Bài 44 Cho ABC, đường phân giác của góc  cắt BC tại D Biết AB = 4,5cm, AC = 7,2cm,
BD = 3,5cm Tính CD
Bài 45 Cho MNP, đường phân giác của góc PÂ cắt MN tại Q Biết PM = 6,2cm, PN = 8,7cm,
MN = 12,5cm Tính QN
Bài 46 Cho ABC, p/giác góc  cắt BC tại E Biết AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Tính EB,
EC
Bài 47 Cho ABC có các đường phân giác AD, BE và CF Chứng minh: 1
FB
FA EA
EC DC
DB
Bài 48 Cho ABC, trung tuyến AM Đường phân giác của AMÂB cắt AB ở D, đường phân giác
của AMÂC cắt AC ở E
a Chứng minh: DE // BC.
b Gọi I là giao điểm của AM và DE Chứng minh: DI = IE.
Bài 49 Cho ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC tại D.
Qua D kẻ DE // AB (E AC)
a Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b Cho biết diện tích ABC là S, tính diện tích ABD, ADE và DCE
Trang 6Bài 50 Cho ABC vuông tại A có AB = 21cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt BC tại D.
Qua D kẻ DE // AB (E AC)
a Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b Tính diện tích ABD và ACD
Bài 51 Cho ABC cân tại A, phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm.
a Tính AD, DC.
b Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E Tính EC
Bài 52 Cho ABC có Â = 900, AB = 12cm, AC = 16cm Đường phân giác góc A cắt BC tại D
a Tính BC, BD, CD.
b Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.
Bài 53 Cho ABC vuông tại A, AB = a, AC = b, (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD
(M và D thuộc BC)
a Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b.
b Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết
a = 4,15cm và b = 7m,25cm
Bài 54 Cho ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác
Chứng minh: SS mn
ACD
ABD
Bài 55 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và
BC theo thứ tự tại E và F Chứng minh:
a EDAE FCBF b ADAE BCBF c DADE CBCF
Bài 56 Cho hình bình hành ABCD Vẽ một đường thẳng cắt AB ở E, AD ở F, AC ở G
Chứng minh: AEABADAF AGAC
Bài 57 a Cho ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD Tính diện tích ADM,
biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích của ABC là S
b Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích
ABC
Bài 58 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD, DÂ = 600 Phân giác của DÂ cắt AC tại I, chia AC
theo tỉ số 114 và cắt AB tại M Biết MA – MB = 6cm Tính AB, CD
Bài 59 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Đường
thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F
Chứng minh: OE = OF
Bài 60 Cho ABC, I là trung điểm của BC Đường phân giác của góc AIÂB cắt AB ở M và phân
giác của góc AIÂC cắt cạnh AC ở N
a Chứng minh: MN // BC.
b ABC phải thỏa điều kiện gì để MN = AI ?
c Với điều kiện nào thì tứ giác AMIN là hình vuông ?
Bài 61 Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho: AMAB ANAC Gọi
I là trung điểm của BC, AI cắt MN ở K Chứng minh: K là trung điểm của MN
Áp dụng chứng minh: Trong một hình thang có 2 cạnh bên không song song, giao điểm
của các đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm của 2 đường chéo và trung điểm của 2 đáy cùng nằm trên một đường thẳng
Trang 7Bài 62 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy một điểm M và trên cạnh CD lấy một điểm
N sao cho DN = BM Chứng minh: MN, DB, AC đồng qui
Bài 63 Cho ABC, lấy M AB, N AC sao cho: AMMB 32 và ANNC 32
a Hai đường thẳng MN và BC có song song với nhau không ? Vì sao ?
b Cho biết chu vi và diện tích ABC lần lượt P và S Tính chu vi và diện tích AMN Bài 64 Tỉ số các cạnh bé nhất của hai tam giác đồng dạng là 52 Tính chu vi của hai tam giác
đó, biết hiệu hai chu vi của chúng bằng 42dm
Bài 65 Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho: DCDB 21 Kẻ DE // AC, DF // AB
(EAB,FAC)
a Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng Đối với mỗi cặp, hãy viết các góc bằng nhau
và các tỉ số tương ứng
b Tính chu vi BED, biết rằng hiệu chu vi của hai DFC và BED là 30cm.
Bài 66 Cho ABC có AB = 16,2cm; BC = 24,3cm; AC = 32,7cm Tính độ dài các cạnh của
A’B’C’, biết rằng A’B’C’ đồng dạng với ABC và:
a A’B’ lớn hơn AB là 10,8cm.
b A’B’ bé hơn AB là 5,4cm
Bài 67 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = 2AB Gọi E là trung điểm của DC Chứng
minh rằng 3 tam gíac ADE, ABE và BEC đồng dạng với nhau
Bài 68 Cho ABC và A’B’C’ Biết AB = 6cm, BC = 12cm, CA = 9cm, A’B’ = 4cm, B’C’ =
8cm, C’A’= 6cm
a ABC và A’B’C’ có đồng dạng với nhau không ?
b Tính tỉ số chu vi của hai
Bài 69 Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không ?
a 4cm, 5cm, 6cm và 8cm, 10cm, 12cm.
b 3cm, 4cm, 6cm và 9cm, 15cm, 18cm.
c 1dm, 2dm, 2dm và 1dm, 1dm, 0,5dm.
Bài 70 Cho ABC (Â = 900) có AB = 6cm, AC = 8cm và A’B’C’ (Â’ = 900) có A’B’ = 9cm,
B’C’ =15cm Hỏi hai tam giác vuông đó có đồng dạng hay không ? Vì sao ?
Bài 71 Cho ABC có G là trọng tâm Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của GA, GB, GC.
Chứng minh: PQR và ABC đồng dạng
Bài 72 Cho ABC có H là trực tâm Gọi K, M, N lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC.
Chứng minh: KMN và ABC đồng dạng với tỉ số đồng dạng k = 21
Bài 73 Cho ABC, điểm O nằm trong Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của OA, OB, OC
a Chứng minh: DEF và ABC đồng dạng.
b Tính chu vi của DEF, biết rằng chu vi của ABC bằng 543cm.
Bài 74 Cho ABC có độ dài các cạnh là AB = 3cm, BC = 7cm, CA = 5cm A’B’C’đồng dạng
với ABC và có chu vi bằng 55cm Hãy tính độ dài các cạnh của A’B’C’ (làm tròn số đến chữ số thập phân thứ hai)
Bài 75 Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là 1715 và hiệu độ dài hai cạnh tương ứng của
chúng là 12,5cm Tính hai cạnh đó
Trang 8Bài 76 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC = AE Qua E vẽ
đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N
a Tìm đồng dạng với ADC và tìm tỉ số đồng dạng.
b Điểm E ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của MN ?
Bài 77 Cho ABC Dựng đồng dạng với đó, biết tỉ số đồng dạng k = 32 Có thể dựng được
bao nhiêu như thế ?
Bài 78 Cho ABC có AB = 12cm, Ac = 15cm, BC = 18cm Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM =
10cm, trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN = 8cm Tính độ dài đoạn thẳng MN
Bài 79 Cho ABC có AC = 12cm, BC = 16cm Điểm D BC sao cho: ADÂC = BÂC Tính DC Bài 80 Hình thang ABCD có AB // CD, Â = CBÂD Chứng minh: BD2 = AB CD
Bài 81 Cho ABC có 3 đường cao AD, BE, CF với H là trực tâm Chứng minh:
a AHE đồng dạng với BHD b HA HD = HB HE = HC HF
Bài 82 Cho ABC có Â = 2BÂ Tính AB, biết AC = 9cm, BC = 12cm.
Bài 83 Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2cm, BD = 4cm, CD = 8cm Chứng minh:
Bài 84 Cho ABC có AB = 10cm, AC = 20cm Trên cạnh AC, đặt đoạn thẳng AD = 5cm
Chứng minh: ABÂD = ACÂB
Bài 85 Trên một cạnh của xÔy (xÔy 1800), lấy các điểm A và B sao cho OA = 5cm, AB =
11cm Trên cạnh thứ hai lấy các điểm C và D sao cho OC = 8cm và OD = 10cm
a Chứng minh: OCB và OAD đồng dạng.
b Gọi giao điểm của các cạnh AD và BC là I Chứng minh: IAB và ICD có các góc
bằng nhau từng đôi một
Bài 86 Chứng minh rằng nếu ABC đồng dạng với A’B’C’ theo tỉ số k thì:
a Tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k
b Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k.
c Tỉ số của hai đường cao tương ứng của hai tam giác đó cũng bằng k.
Bài 87 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; DÂB = DBÂC Tính độ
dài BD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 88 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm; DÂB = DBÂC
a Chứng minh: ADB và BCD đồng dạng.
b Tính độ dài các cạnh BC, CD.
c Sau hki tính hãy vẽ lại hình chính xác bằng thướt và compa.
Bài 89 Trên đoạn thẳng AC = 27cm lấy điểm B sao cho AB = 15cm Từ A và C vẽ hai tia Ax và
Cy cùng vuông góc với AB và nằm cùng phía với nhau Lấy E Ax, D Cy sao cho AE
= 10cm, ABÂE = BDÂC
a Chứng minh: BDE vuông.
b Tính CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
c So sánh diện tích BDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB và BCD
Bài 90 Cho ABC có AB = 3cm, AC = 2cm Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD =
3,5cm Từ D kẽ đường thẳng song song với AB cắt AC kéo dài tại E Tính BC, CE biết
DE = 6cm
Trang 9Bài 91 Cho ABC có AB = 8cm, AC = 16cm, D AB, E AC sao cho: BD = 2cm, CE = 13cm.
Chứng minh: a AED đồng dạng với ABC b AB CD = AC BE
Bài 92 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD.
a Chứng minh: OA OD = OB OC
b Đường thẳng qua O và vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K C/m:
CD
AB OK
OH
Bài 93 ABC có AB = 21 BC, M là trung điểm của BC, D là trung điểm của BM C/m: AD = 21
AC
Bài 94 Cho ABC vuông tại A, đường cao AD và phân giác BE cắt nhau tại F C/minh:
EC
EA FA
FD
Bài 95 Cho ABC có AB = 24cm, Ac = 28cm Tia phân giác của  cắt cạnh BC tại D Gọi M, N
theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD
a Tính tỉ số: BMCN b Chứng minh: AMAN DMDN
Bài 96 Cho hình bình hành ABCD có độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 7cm Trên cạnh AB lấy
một điểm E sao cho AE = 8cm Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F
a Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng với nhau và chứng minh
b Tính độ dài các đoạn thẳng EF và BF, biết DE = 10cm.
Bài 97 Cho tứ giác ABCD, có Â = CÂ = 900, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, BÂO =
BDÂO
a Chứng minh: ABO và DCO đồng dạng.
b Chứng minh: BCO và ADO đồng dạng.
Bài 98 Cho ABC vuông tại A, AC = 9cm, BC = 24cm Đường trung trực của BC cắt các đường
thẳng AC tại D, BC tại M Tính CD
Bài 99 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9cm Gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ A xuống BD
a Chứng minh: AHB và BCD đồng dạng.
b Tính AH và SAHB
Bài 100 Cho ABC vuông tại A, AC = 4cm, BC = 6cm Kẻ tia Cx BC (Cx và A khác phía so với
đường thẳng BC) Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm Chứng minh: BD // AC
Bài 101 Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao, M là trung điểm của BC, gọi N là hình chiếu
của M trên AC
a Hãy tìm và chứng minh các cặp đồng dạng với nhau.
b Biết BH = 4cm, CH = 9cm, tính diện tích AMH
Bài 102 ABC và DEF có Â = DÂ, BÂ = Ê, AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm Tính độ dài các
cạnh AC, DF, EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm
Bài 103 Cho hình bình hành ABCD Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD
Chứng minh: ADE và CBF đồng dạng
Bài 104 Cho ABC (Â = 900), đường cao AH = 8cm, BC = 20cm Gọi D là hình chiếu của H trên
AC
a Hỏi trong hình đã cho có bao nhiêu đồng dạng ? Viết các tỉ lệ thức giữa các cạnh
tương ứng của chúng
b Gọi E là hình chiếu của H trên AB Tính diện tích ADE.
Trang 10Bài 105 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Tính chu vi và diện tích ABC nếu biết HB =
25cm và HC = 36cm
Bài 106 Cho một tam giác vuông trong đó cạnh huyền dài 20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm.
Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền
Bài 107 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Chứng minh:
a AH2 = HB HC b AB2 = BH BC
c AC2 = CH CB d AH BC = AB AC
e BC2 = AC2 + AB2 (Định lý Pi-ta-go)
Bài 108 Cho ABC có các đường cao BD và CE.
a Chứng minh: ABD đồng dạng với ACE.
b Chứng minh: ADE đồng dạng với ABC.
c Tính AÊD biết ACÂB = 480
Bài 109 Tứ giác ABCD có AB = 3cm, BC = 10cm, CD = 12cm, AD = 5cm, đường chéo BD = 6cm.
Chứng minh: a ABD và BDC đồng dạng b ABCD là hình thang
Bài 110 Cho ABC cân tại A, O là trung điểm của BC D AB, E AC sao cho OB2 = BD CE
a Chứng minh: OBD và ECO đồng dạng, góc DÔE có số đo không đổi.
b Chứng minh: 3 tam giác EOD, OBD và ECO đồng dạng.
c Chứng minh: DO là tia phân giác của BDÂE, EO lài tia phân giác của CÊD.
d Chứng minh: khi D, E di động (vẫn thỏa OB2 = BD CE) thì khoảng cách từ O đến DE không đổi và chu vi ADE < 2AB
Bài 111 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi I là giao điểm của AC và BD Đường thẳng qua I
và song song với 2 đáy cắt BC ở J, AD ở K
a Chứng minh: IJ1 AB1 CD1 Suy ra I là trung điểm của KJ
b Cho AB = m, CD = n tính tỉ số
AIB
ABCD
S
S
theo m và n
c Bây giờ cho ABCD là hình thang cân Chứng minh: AC2 = AB CD + AD2
Bài 112 Cho ABC, M và N lần lượt trung điểm của BC, CA Gọi H là trực tâm , G là trọng tâm,
O là giao điểm của các đường trungtrực của các cạnh BC, AC Chứng minh:
a ABH và MNO đồng dạng, AHG và MOG đồng dạng.
b H, G, O thẳng hàng
Bài 113 Cho hình bình hành ABCD có BÂ tù Từ C kẻ các đường CE, CF vuông góc với AB, AD.
Chứng minh: AB AE + AD AF = AC2
(Đề thi vô địch Toán Hungari – 1918)
Bài 114 Trên các cạnh BC, CA, AB của ABC, ta lấy các điểm tương ứng P, Q, R Chứng minh
rằng điều kiện cần và đủ để AP, BQ và CR đồng qui là có hệ thức 1
RB
RA QA
QC PC
PB
(Đ.lý Ceva)
Bài 115 Hãy áp dụng định lý Ceva để Chứng minh trong một tam giác:
a Ba đường cao đồng qui.
b Ba đường phân giác đồng qui.
c Ba đường trung tuyến đồng qui.
Bài 116 Trên các đường thẳng qua các cạnh BC, CA, AB của ABC, ta lấy các điểm tương ứng P,
Q, R (không trùng với các đỉnh và ít nhất một điểm nằm ngoài tam giác) C/m rằng: điều