a) HS tự chứng minh.. Tính góc BCD.. Tia phân giác của góc BAC cắt BC và BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN tại H, cắt CD tại E. Điểm D di chuyển trên MP. Gọi[r]
Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC BÀI GĨC CĨ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN I.Tóm tắt lý thuyết Ví dụ Trong Hình 1, góc BIC nằm bên đường trịn (O) gọi góc có đỉnh hên đường trịn Ví dụ Trong Hình 2, 3, góc đỉnh I có đặc điểm chung là: đỉnh nằm bên ngồi đường trịn, cạnh có điếm chung với đường trịn Mỗi góc gọi góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Định lí Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Minh họa: + sđBAE + s đBAD sđBE sđCD sđBD sđCE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Định lí Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Minh họa: sđCAE sđEmC sđBnD Lưu ý: + Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn (O) AD tiếp tuyến (O) , qua A vẽ cát , thì: CAD tuyến cắt đường tròn BC sđCmD sđBnD + Với Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn (O) AB, AC tiếp tuyến (O) , ( A, B tiếp điểm) thì: BAC sđBmC sđBnC II Các dạng tập Dạng Chứng minh hai góc hai đoạn thẳng Phương pháp giải: Sử dụng hai định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Bài 1: Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến MC C cát tuyên MAB (A nằm M B) A,B,C (O) Gọi D điểm cung AB khơng chứa C, CD cắt AB I Chứng minh: a) MCD BID ; Hướng Dẫn: b) MI = MC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC a) MCD BID sdCD b) Sử dụng kết câu a) Bài 2: Cho đường tròn (O) điểm P nằm (O) Kẻ cát tuyến PAB tiếp tuyến PT với A,B,T (O) Đường phân giác góc ATB cắt AB D Chứng minh PT = PD Hướng Dẫn: HS tự làm Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc B C cắt I cắt (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh: a) Các tam giác AMN, EAI DAI tam giác cân; b) Tứ giác AMIN hình thoi Hướng Dẫn: a) AMN ANM sd ED Suy AMN cân A Kéo dài AI cắt đường tròn (o) K Chứng minh tương tự, ta có AIE DIA cân E D b) Xét AMN cân A có AI phân giác Suy AI MN F MF = FN Tương tự với EAI cân E, ta có: AF = IF Vậy tứ giác AMIN hình hình hành Mà AI MN ĐPCM Bài 4: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F Dây EF cắt AB, AC M N Chứng minh: a) DI = DB; b) AM = AN; Hướng Dẫn: HS tự làm Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song vuông góc Chứng minh đẳng thức cho trước Phương pháp giải: Áp dụng hai định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn để có góc nhau, cạnh Từ đó, ta suy điều cần chứng minh Bài 1: Từ điểm P (O), vẽ tiếp tuyến PA với đ/tròn cát tuyến PBC với P, B,C (O) a) Biết PC = 25cm; PB = 49cm Đường kính (O) 50cm Tính PO b) Đường phân giác góc A cắt PB I cắt (O) D Chứng minh DB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AIB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Hướng Dẫn: a) Chứng minh PA2 = PC.PB PA2 = PO2 = OA2 tính PO b) Chứng minh DBC DAB CAB ĐPCM Bài 2: Cho (O) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đường kính AB lấy điểm E cho AE = R Vẽ dây CF qua E Tiếp tuyên đường tròn F cắt CD M, vẽ dây Aỉ cắt CD N Chứng minh: a) Tia CF tia phân giác góc BCD; b) MF AC song song; c) MN, OD, OM độ dài cạnh tam giác vuông Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh b) Chứng minh AFM CAF ( ACF ) MF / / AC c) Chứng minh: MFN MNF MNF cân M MN MF Mặt khác: OD = OF = R Ta có MF tiếp tuyến nên OFM vng ĐPCM Bài 3: Cho tam giác ABC phân giác AD Vẽ đường tròn (O) qua A, D tiếp xúc với BC D Đường tròn cắt AB, AC E F Chứng minh: a) EF song song BC; b) AD2 = AE.AC; c) AE.AC = AB.AF Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) ADE ACD (g-g) AD2 = AE.AC c) Tương tự: ADF ABD AD2 = AB.AF ĐPCM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác góc A B cắt I cắt đường tròn theo thứ tự D E Chứng minh: a) Tam giác BDI tam giác cân; b) DE đường trung trực IC; c) IF BC song song, F giao điểm DE AC Hướng Dẫn: a) BID sđ DE DBE BID cân D b) Chứng minh tương tự: IEC cân E, DIC cân D EI = EC DI = DC DE trung trực CI c) F DE nên FI = FC FIC FCI ICB IF / / BC III Bài tập tự luyện Bài 1: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai cát tuyến PAB PCD (A nằm P B, C nằm P D), đường thẳng AD BC cắt Q a) Cho biết P = 60° AQC = 80° Tính góc BCD b) Chứng minh PA.PB = PC.PD Hướng Dẫn: 2 a) Ta có: BPD (sđ BD - sđ AC ), AQC (sđ BD + sđ AC ) BPD AQC = sđ BD = 1400 BCD 700 b) HS tự chứng minh Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Bài 2: Từ điểm A bên (O), vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD Tia phân giác góc BAC cắt BC BD M N Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN H, cắt CD E Chứng minh: a) Tam giác BMN cân; Hướng Dẫn: b) FD2 = FE.FB a) HS tự chứng minh BMN cân B b) EDF DBF ( g.g ) DF EF BF DF DF EF BF Bài 3: Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O) Điểm D di chuyển MP Gọi E giao điểm MP ND, gọi F giao điểm MD NP Chứng minh MFN MND Hướng Dẫn: HS tự chứng minh Bài 4: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B C Gọi M, N P theo thứ tự điểm cua cung AB, BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh: a) Tam giác BNI cân; b) AE.BN = EB.AN; c) EI song song BC; d) AN AB BN BD Hướng Dẫn: a) HS tự chưng minh b) M AB NE phân giác BNA BN EB (tính chất đường phân giác) BN.AE = NA.BE AN EA c) Chứng tinh tương tự 4B d) Chứng minh ABN DBN ĐPCM Bài 5: Từ điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MCB với A,B,C (O) Phân giác góc BAC cắt BC D, cắt (O) N Chứng minh: a) MA = MD; b) Cho cát tuyến MCB quay quanh M ln cắt đ/trịn Chứng minh MB.MC khơng đổi c) NB2 = NA.ND Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chun đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC HS tự chứng minh Bài 6: Tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O), điểm I, K, H điểm cung MN, NP, PM Gọi J giao điểm IK MN, G giao điểm HK MP Chứng minh JG song song với NP Hướng Dẫn: MG MK (1) GP KP MJ MK KJ đường phân giác MKN (2) JN KN KG đường phân giác MKP Chứng minh được: KN = KP (3) Từ (1); (2); (3) MG MJ ĐPCM GP JN Bài 7: Trên đường tròn O cho điểm A, B,C , D theo thứ tự Gọi A1, B1,C 1, D1 điểm cung AB, BC ,CD DA Chứng minh đường thẳng AC B1D1 1 vng góc với Hướng Dẫn: Gọi I giao điểm AC B1D1 ; 1 , , , theo thứ tự số đo cung AB, BC ,CD, DA Khi 3600 Xét góc A1IB1 góc có đỉnh nằm đường trịn O Ta có A1IB1 sđA1BB1 sđC 1DD1 sđA1B sđBB1 sđC 1D 900 B1D1 (đpcm) Nghĩa AC 1 sđDD1 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Bài 8: Cho bốn điểm A, D,C , B theo thứ tự nằm đường trịn tâm O đường kính AB 2R (C D nằm phía so với AB ) Gọi E F theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B đường thẳng CD Tia AD cắt tia BC I Biết AE BF R a) Tính số đo AIB b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K Gọi giao điểm KA, KB với DC M N Tìm giá trị lớn MN K di động cung nhỏ CD Hướng Dẫn: a) Kẻ OH CD H CD , Ta thấy OH đường trung bình hình thang ABFE , AE BF Từ tam giác OCD đều, Suy OH Suy sđCOD sđKCD R 600 Ta thấy AIB có đỉnh nằm ngồi đường trịn O 1 sđAmB sđKCD 1800 600 600 2 NFB b) Ta thấy AEM Suy EM NF AE BF (không đổi) Do MN lớn EM NF nhỏ Theo trên, EM NF không đổi Nên sđAIB Nên EM NF nhỏ EM FN AE.BF Vậy giá trị lớn MN EF AE.BF Bài 9: Trong tam giác ABC , đường phân giác BAC cắt cạnh BC D Giả sử T đường tròn tiếp xúc với BC D qua điểm A Gọi M giao điểm thứ hai T AC , P giao điểm thứ hai T BM , E giao điểm AP BC a) Chứng minh EAB b) Chứng minh hệ thức BE MBC EP.EA Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC a) Gọi N giao điểm thứ hai AB với đường tròn T Do AD phân giác BAC Nên sđDM Ta có MBC sđDN MBD sđDM sđDP sđDN sđDP sđNP NAP EAB (đpcm) b) Từ kết câu a, EAB (g.g), EAB Từ EBP BE EA Suy EP BE Hay BE EP.EA (đpcm) Bài 10: Trên đường tròn O ta lấy điểm A,C 1, B, A1,C , B1 theo thứ tự Ta thấy EBP a) Chứng minh đường thẳng AA1, BB1,CC đường phân giác tam giác ABC chúng đường cao A1B1C b) CHứng minh đường thẳng AA1, BB1,CC đường cao tam giác ABC chúng đường phân giác tam giác A1B1C Hướng Dẫn: a)Ta chứng minh AA1 B1C Thật vậy, gọi M giao điểm AA1 B1C , đó: AMB1 sđAB1 sđA1BC 1 sđAB1 sđA1B Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! sđBC Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC ABC CAB BCA 900 (đpcm) ;CC A1B1 Chứng minh tương tự ta có BB1 AC 1 ABB1 A1AB BCC b)Gọi M giao điểm BB1 AC sđAC 1B sđAC Lại có BM 2A sđAC 1B B1C Ta có BM1A Vì BM 1A BM 2A BCA BCA AC C (1) 1 B1C 1C (2) 900 , A Nên từ (1) (2) suy AC 1 B1C 1C B Tức CC chứa đường phân giác AC 1 Chứng minh tương tự, ta thu AA1 chứa đường phân giác B1AC , BB1 chứa 1 đường phân giác A1B1C Bài 11: Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Vẽ phân giác AD góc A (D ≠ (O)) Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC Nối BE cắt AD AC I K, nối DE cắt AC J Chứng minh rằng: a) ∠BID = ∠AJE b) AI.JK = IK.EJ Hướng Dẫn: a) Ta có ∠BID góc có đỉnh nằm bên đường trịn (O) chắn hai cung BD cung AE BID sđBD sđAE ∠AJE góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung CD AE AJE sđCD sđAE Mà AD phân giác góc A nên BD CD Suy ∠BID = ∠ẠJE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC b) Xét ΔAIK ΔEJK có: +) ∠AKI = ∠EKJ (đối đỉnh) +) ∠IAK = ∠KEJ (hai góc nội tiếp chắn hai cung BD cung CD ) Do ΔAIK ∼ ΔEJK (g.g) => AI/EJ = IK/JK => AI.JK = IK.EJ Bài 12:Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A, B cho O ≠ (O') Lấy điểm M thuộc đường tròn (O’), M đường tròn (O) Tia AM BM cắt đường tròn (O) C D Chứng minh rằng: a) AB CD (Cung nhỏ đường tròn (O)) b) Tứ giác ABCD hình thang cân Hướng dẫn: a) Vì ∠AMB góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung AB CD nên: AMB sđAB sđCD Mặt khác: ∠AMB = ∠AOB (hai góc nội tiếp (O’) chắn cung AB lớn) ∠AOB = sđ AB (góc tâm đường tròn (O)) sđAB sđCD sđAB sđAB sđCD AB CD b) Trong đường tròn (O): 1 DAC sđCD ; ACB sđAB 2 Mà AB CD => DAC ACB Vì hai góc vị trí so le trong, suy AD // BC (1) Theo câu a), ta có: ∠ADC = ∠DAB (2 góc chắn cung nhau) (2) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Từ (1) (2) suy tứ giác ABCD hình thang cân Bài 13: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm I chuyển động cung nhỏ BC AB cắt CI M, AC cắt BI N Chứng minh rằng: a) BC2 = BM.CN b) ∠AIN có số đo khơng đổi Hướng Dẫn: a) Vì ΔABC nên: sđAB sđBC sđAC 120o Ta có: ∠ANB góc có đỉnh ngồi đường trịn (O) nên: ANB 1 sđAB sđCI 60o sđCI 2 Lại có: BCI sđBI (góc nội tiếp (O) chắn cung BI) 1 sđBC sđCI 60o sđCI 2 Suy ∠ANB = ∠BCI (1) Tương tự ta có: ∠AMC = ∠CBI (2) Từ (1) (2) suy ra: ΔBCM ∼ ΔCNB (g-g) => BC/NC = BM/BC => BC2 = BM.NC b) Ta có: ∠AIB = ∠ACB = 60o => ∠AIN = 180o - ∠AIB = 120o không đổi Bài 14: Qua điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD với đường tròn (C nằm A D) Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác ∠BAC, BM cắt CD I Chứng minh rằng: a) BM tia phân giác b) MD2 = MI.MB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Hướng Dẫn: Giả sử tia phân giác ∠BAC cắt BC E, cắt BD E cắt đường tròn (O) K a) Ta có: A1 sđBN sđBK A2 sđDN sđCK Mà ∠A1 = ∠A2 (gt) => sđBN sđBK sđDN sđCK sđBN sđCK sđDN sđBK ⇔ ∠BEF = ∠BFE => ΔBEF cân B Mà BM đường cao ΔBEF Suy BM tia phân giác ∠CBD b) Vì BM phân giác ∠CBD CM MD MDC MBD Do đó: ΔMDI ∼ ΔMBD (g.g) => MD2 = MI.MB Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB AC lấy điểm I K cho AI AK Dây IK cắt cạnh AB, AC D E a) Chứng minh ADK ACB b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện tứ giác DECB hình thang cân Hướng Dẫn: a) ADK sd AK sd BI AB sd C 2 b) C B Bài 16: Cho đường tròn (O) dây AB Vẽ đường kính CD vng góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N Các đường thẳng CN DN cắt đường thẳng AB E F Tiếp tuyến đường tròn (O) N cắt đường thẳng AB I Chứng minh rằng: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC a) Các tam giác INE INF tam giác cân b) AI AE AF Hướng Dẫn: a) INE sdCN E b) AI AE IE , AI AF IF đpcm Bài 17: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc B góc C cắt I cắt đường tròn (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN tam giác cân b) Các tam giác EAI DAI tam giác cân c) Tứ giác AMIN hình thoi Hướng Dẫn: a) DA DC, EA EB, FB FC AMN ANM b) DAI DIA DA = DI c) Chứng minh NI // AM, MI // AN, AM = AN đpcm Bài 18: Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai tiếp tuyến MB, MC Vẽ đường kính BD Hai đường thẳng CD MB cắt A Chứng minh M trung điểm AB Hướng Dẫn: A sd CD MAC MA = MC = MB Bài 19: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC ADE (B nằm A C; D nằm A E) Cho biết A 500 , sdBD 400 Chứng minh CD BE Hướng Dẫn: A sdCE sd BD sdCE sd BD sdCE 1400 Gọi H = CD BE CHE 900 2 Bài 20: Cho điểm A, B, C D theo thứ tự đường tròn (O) cho số đo cung sau: sd AB 400 , sdCD 1200 Gọi I giao điểm AC BD M giao điểm DA CB kéo dài Tính góc CID AMB Hướng Dẫn: Bài 21: Cho đường tròn (O) Từ điểm M (O), ta vẽ cát tuyến MAC MBD cho CMD 400 Gọi E giao điểm AD BC Biết góc AEB 700 , tính số đo cung AB CD Hướng Dẫn: Bài 22: Cho đường tròn (O) điểm M (O) Vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC qua O (B nằm M C) Đường trịn đường kính MB cắt MA E Chứng minh: sd AnC sdBmA sdBkE với AnC , BmA BkE cung góc AMC Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 ... Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Từ (1) (2) suy tứ giác ABCD hình thang cân Bài 13: Cho ΔABC nội tiếp... ACD (g-g) AD2 = AE.AC c) Tương tự: ADF ABD AD2 = AB.AF ĐPCM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC Bài 4:... NA.ND Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Blogtailieu.com Chia sẻ tài liệu giáo án, chuyên đề miễn phí DẠY THÊM – HÌNH HỌC HS tự chứng minh Bài 6: Tam giác MNP nội tiếp đường tròn