Sách Toán Cao Cấp 2021 Thầy Phùng Duy Quang

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG TS PHÙNG DUY QUANG TOÁN CAO CẤP ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà nội, 2021 LỜI NĨI ĐẦU Cuốn sách “Tốn cao cấp ứng dụng phân tích kinh tế” biên soạn tương ứng chương trình Tốn cao cấp chương trình đào tạo ngành Kinh tế, Tài Ngân hàng, Quản trị Kinh doanh, Kinh tế quốc tế, Thương mại quốc tế trường Đại học Ngoại thương Hà nội Với mục đích rèn luyện tư suy luận tri thức toán học cao cấp trang bị lý thuyết, kỹ giải toán cơng cụ tốn học cao cấp tiếp cận tập Nhằm mục đích đổi việc giảng dạy học tập toán cao cấp sinh viên Đại học Ngoại thương Hà nội theo phương thức đào tạo tín chỉ, sách biên soạn tinh thần hỗ trợ giúp đỡ bạn sinh viên học tập tốt mơn Tốn cao cấp Với mục đích ngồi khái niệm tốn học, chúng tơi cố gắng trình bày kết tốn học, ý nghĩa định lý để người đọc hiểu vận dụng kết vào giải tập tốn cao cấp Bên cạnh sách mạnh dạn đưa vào khối lượng tương đối lớn ví dụ với phương pháp giải tốn, kết với ví dụ áp dụng tốn sở toán kinh tế để người đọc thấy mạch ứng dụng toán học cao cấp lĩnh vực kinh tế Với mục đích trên, ngồi lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo; sách kết cấu sau: Chương Ma trận định thức Chương Không gian véc tơ Chương Hệ phương trình tuyến tính ứng dụng Chương Phép tính vi phân, tích phân hàm biến số ứng dụng Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến ứng dụng Cuốn sách lần mắt bạn đọc nên khơng thể tránh sai sót Mọi góp ý xin gửi TS Phùng Duy Quang, Trưởng mơn Tốn- -Khoa Cơ bản, Trường Đại học Ngoại thương, địa email: quangpd@ftu.edu.vn Trân trọng giới thiệu bạn đọc Hà nội, ngày 22 tháng 06 năm 2021 Chủ biên TS Phùng Duy Quang Trưởng mơn Tốn Trường Đại học Ngoại thương MỤC LỤC Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC §1 Ma trận phép toán ma trận §2 Định thức ma trận vuông 12 §3 Ma trận nghịch đảo 24 §4 Hạng ma trận 31 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉCTƠ 36 §1 Khái niệm khơng gian véc tơ 36 §2 Mối quan hệ tuyến tính vectơ 39 §3 Hạng hệ vectơ, sở số chiều không gian vectơ 44 §4 Khơng gian vectơ 52 §5 Khơng gian Euclide thực 56 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 59 §1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 59 §2 Phương pháp giải hệ phương trình 63 §3 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 72 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 86 §1 Hàm biến số 86 § Giới hạn dãy số 91 § Giới hạn hàm số 98 §4 Hàm số biến số liên tục 102 §5 Đạo hàm vi phân hàm biến số .105 §6 Ứng dụng đạo hàm phân tích kinh tế 112 §7 Tích phân hàm biến số 120 §8 Ứng dụng tích phân phân tích kinh tế 148 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 151 § Giới hạn liên tục 151 §2 Đạo hàm riêng vi phân hàm nhiều biến .159 §3 Ứng dụng đạo hàm riêng phân tích kinh tế .165 §4 Cực trị hàm nhiều biến 176 § Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến phân tích kinh tế 185 TÀI LIỆU THAM KHẢO 196 Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC §1 Ma trận phép toán ma trận Các khái niệm Cho m, n số nguyên dương Định nghĩa Ma trận bảng số xếp theo dịng theo cột Một ma trận có m dòng n cột gọi ma trận cấp m  n Khi cho ma trận ta viết bảng số bên dấu ngoặc tròn ngoặc vng Ma trận cấp m  n có dạng tổng quát sau:  a 11   a 21   a  m1 a 12 a 22 a m2 a 1n   a n    a mn   a 11 a  21   a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n  a n    a mn  Viết tắt A = (aij)n xn A = [aij]n xn 2    A ma trận cấp x với 6  Ví dụ Cho ma trận A   a11 = ; a12 = ; a13 = - ; a21 = ; a22 = ; a23 = Định nghĩa  Hai ma trận coi chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đôi  Ma trận chuyển vị A AT : AT = [aji]n xn  Ma trận đối ma trận A ma trận – A = [- aij]n x n 1  3 Ví dụ Cho ma trận A  4  1 Xác định AT, - A 2  Giải :   3 2 1   Ta có A    ;  A   1      0 T  Ma trận không cấp m x n ma trận mà phần tử :   [0]m x n Ví dụ Các ma trận khơng cấp 2x2 2x3 0  0 0  2x   ;    x 0 0  0     Khi n = người ta gọi ma trận A ma trận cột, m = người ta gọi ma trận A ma trận dịng  a 11  Ví dụ Ma trận cột A    , ma trận dòng A  a 11 a m1    a n1   Ma trận vuông cấp n ma trận có số dịng số cột n Một ma trận có số dịng số cột n gọi ma trận vng cấp n Khi phần từ a11, a22, … , ann gọi phần tử thuộc đường chéo chính, cịn phần tử an1, a n 12 , … , a1n gọi phần tử thuộc đường chéo phụ Ví dụ Cho ma trận vuông cấp 1, cấp 2, cấp 1   3 A  1; B   ; B    4      1 1 3  Ma trận tam giác ma trận vuông có phần tử nằm phía đường chéo +) Ma trận A = [aij]n x n gọi ma trận tam giác aij = với i > j: a 11 0  A    0  a 12 a 22 0 a 1n 1 a n 1 a n 1 n 1 a 1n  a n    a n 1 n  a nn  +) Ma trận A = [aij]n x n gọi ma trận tam giác aij = với i < j:  a 11 a  21 A    a n 11  a n1  a 22 a n 1 a n 1 n 1 a n2 a n n 1      a nn  Ví dụ Cho ví dụ ma trận vng cấp 3, ma trận tam giác trên, tam giác cấp Giải: 1  5 1  5 1 0     A  2   ; B  0  ; C  2  0 1 0  1 6   Ma trận chéo cấp n ma trận vuông cấp n mà có tất phần tử nằm ngồi đường chéo  Ma trận chéo cấp n có tất phần tử thuộc đường chéo gọi ma trận đơn vị cấp n: 1 0  E n    0  0 0 0       Tập ma trận cấp m x n trường số thực R, ký hiệu: Matm x n(R)  Tập ma trận vuông cấp n trường số thực R, ký hiệu: Mat n(R)  2 2     Ví dụ Cho ma trận A   B    6   m  a) Tìm AT – A b) Tìm m để AT = B Giải:  6    a) Ta có A   7 A      1   1 T   6       m   m  1 b) A  B   7      m  T Phép toán ma trận a) Phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số Định nghĩa Cho hai ma trận cấp m  n: A  a ij mn ; B  b ij mn Tổng hai ma trận A B ma trận cấp m  n, kí hiệu A + B xác định sau: A  B  a ij  b ii mn Tích ma trận A với số  ma trận cấp m  n, kí hiệu  A xác định sau: A  .a ij mn Hiệu A trừ B: A – B = A + (-B) Từ định nghĩa ta suy tính chất phép tốn tuyến tính Tính chất Cho A, B, C ma trận cấp m  n,  ;  số ta ln có: 1) A + B = B + A 2) (A + B) +C = A + (B + C) 3) A + = A 4) A + (-A) = 5) 1.A = A 6)  (A + B) =  A +  B 7) (  +  )A =  A +  A 8) (   )A =  (  B) 1     2 ;B     Khi 0  1 2  Ví dụ Cho ma trận A   1     2    14  2A  3B  2.  (3).    0  1       11 1 3 Ví dụ Cho ma trận B    Tìm ma trận C cho 3B – 2(B + C) = 2E 5 3 Giải: 1 3 1 0  / / 2   5 3 0   / /  Phương trình cho  C  B  E   b) Phép nhân ma trận với ma trận Cho hai ma trận :  a 11 a A =  21   a m1 a 12 a 22 a m2 a 1n  a n  ;   a mn   b11 b 21 B=    b n1 b12 b 22 b n2 b1p  b p    b np  Trong đó, ma trận A có số cột số dịng ma trận B Định nghĩa Tích ma trận A với ma trận B ma trận cấp m  p, kí hiệu AB xác định sau:  c11 c AB =  21   c m1 c12 c 22 c m2 c1n  c n    c mn  n c ij  a i1b1 j  a i b j   a in b nj   a ik b kj ; i  1,2, , m; j  1,2, , p  k 1 Chú ý  Tích AB tồn số cột ma trận đứng trước số dòng ma trận đứng sau  Cỡ ma trận AB: Ma trận AB có số dịng số dòng ma trận đứng trước số cột số cột ma trận đứng sau  Các phần tử AB tính theo quy tắc: Phần tử cij tích vơ hướng dịng thứ i ma trận đứng trước cột thứ j ma trận đứng sau 1 2 0 4 B     Tính A.B B.A 3  1 2 Ví dụ 10 Cho hai ma trận A   Giải : 1 2 0 4 1.0  2.1 1.1  2.3 1.4  2.2 2  .    3  1 2 3.0  1.1 3.1  1.3 3.4  1.2  1 14 Ta có A.B   Nhưng số cột B khác số dịng A nên khơng tồn tích BA 1  1   0   Ví dụ 11 Cho ma trận A    ; B  2  1  Tính A.B, BA    3  Giải: 1  1  1   0  3 Ta có A.B   2  1       0 3  1      Cịn B.A khơng tồn Các tính chất phép nhân ma trận Tính chất Giả sử phép nhân ma trận thực 1) (AB)C = A(BC) 2) A(B+C) = AB+AC; (B+C)D =BD +CD 3)  (AB) = (  A)B = A(  B) 4) AE = A; EB =B Đặc biệt , với ma trận vuông A: AE = EA = A T 5)  AB   BT A T Chú ý Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn Nếu A.B   chưa A   B   0  0 0 ;B     0 0 1 0 Ví dụ 12 Cho ma trận A   1 0 0 0 ; B.A     AB  BA 0 0 0  Khi A.B   1 0 0  1 0 0 0 0 0 , ta có A.B   ;B   .   0  0  0  0  0  Ví dụ 13 Cho A   c) Luỹ thừa ma trận vuông: Cho A ma trận vuông cấp n Ta xác định A0 = E; An = An -1 A ( n số nguyên dương) a b   Chứng minh rằng, ma trận A thoả mãn phương trình c d  Ví dụ 14 Cho A   X  (a  d )X  (ad  bc)   Giải: a b  a b  a b  1 0   (a  d ).  (ad  bc).     c d  c d  c d  0  Ta có A  (a  d)A  (ad  bc)E    0 0  a  bc (a  d )b  a (a  d ) b(a  d ) ad  bc      (đpcm)   ad  bc 0 0 (a  d )c bc  d  c(a  d ) d(a  d )  =  1 1 n  Tính A , A , , A (n số tự nhiên)   Ví dụ 15 Cho ma trận A   Giải: 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 Ta có A    0 1  0  ; A  0  0 1  0 1 ; ; tương tự ta dự           1 n   0  đoán A n   Dễ dàng chứng minh quy nạp công thức An Định nghĩa Phép biến đổi sơ cấp ma trận A = [aij]m x n phép biến đổi có dạng i) đổi chỗ dòng (cột) cho nhau: d i  d j (c i  c j ) 10 Vậy hàm f đạt cực tiểu có điều kiện (5; 5) fmin = f(5; 5) = 50 Ví dụ Tìm điểm cực trị hàm số f(x, y) = -x2 -2y2 với điều kiện 3x -2y = -22 Giải: Bước Tìm cực đại hàm số f(x, y) = -x2 -2y2 với điều kiện 3x - 2y = -22 Bước Hàm số Lagrange là: L = - x2 -2y2 + (-22 – 3x +2y) Bước Giải hệ phương trình: L' x   x  3  x  6  '   L y    y  2    y  Ta có, điểm dừng M o (-6; 2; 4)  ' 3x  y  22     L   Bước Kiểm tra điều kiện đủ g1  g 'x  3; g  g 'y  2 ; L''x  2;L''xy   L''yx ;L''y2  4 Ta có  2  H   2     2 4  Khi det(H)  2 2 2  44  0 4 Hay det(H)  nên Mo(-6,2) điểm cực đại có điều kiện hàm số Bước Kết luận Vậy hàm f đạt cực đại có điều kiện Mo(-6, 2) fmax = f(-6; 2) = -44 b)Hàm n biến số Bước 1: Lập hàm số Lagrange L(x1, x2, …, xn) = f(x1, x2, …, xn) +  [b - g(x1, x2, …, xn)] (3) Biến  gọi nhân tử Lagrange Bước 2: Tìm điểm Mo(x 10 , x 02 , , x 0n ) mà hàm số (1) có cực trị với điều kiện ràng buộc (2) cách áp dụng điều kiện cần sau Định lý Giả sử hàm số f(x1, x2, …, xn) g(x1, x2, …, xn) có đạo hàm riêng liên tục lân cận điểm Mo (x 10 , x 02 , , x 0n ) điểm có 182 đạo hàm riêng g(x1, x2, …, xn) khác không Nếu hàm số (1) với điều kiện (2), đạt cực trị điểm Mo(x 10 , x 02 , , x 0n ), tồn giá trị  = 0 cho M o ( x 10 , x 02 , , x 0n , 0) nghiệm hệ phương trình: g(x1, x , , x n ) = b  f g  L  x = x -  x = 0, i = 1, n  i i i (4) Bước 3: Kiểm tra xem điểm Mo có điểm cực trị hay không cách dựa vào điều kiện đủ sau đây: Định lý  L(M ) i) Nếu d L( M o ) =  dxidxj > 0, với dx1, dx2, …, dxn không đồng thời i, j1 x i x j n 0, Mo điểm cực tiểu f(x1, x2, …, xn)  L(M ) ii) Nếu d L( M o ) =  dxidxj < 0, với dx1, dx2, …, dxn không đồng thời i, j1 x i x j n 0, Mo điểm cực đại f(x1, x2, …, xn) (1) iii)Nếu dx 1(1) , dx (1) , …, dx n không đồng thời không cho  L(M ) (1) (1) (2) d L( M o ) =  dx i dx j >0 dx 1(2) , dx (2) , …, dx n không đồng thời  x  x i, j1 i j n  L(M ) (2) (2) không cho d L( M o ) =  dx i dx j < điểm Mo khơng điểm cực trị i, j1 x i x j n của f(x1, x2, …, xn) Chú ý 2: Nếu M o ( x 10 , x 02 , , x 0n , 0) điểm cực trị hàm f Gọi fmax (fmin) giá trị cực đại (cực tiểu) hàm f tương ứng Mo Ta có f max f  o (  o ) b b Điều kiện đủ cực trị có điều kiện cịn cho dạng định thức ma trận sau: 183   '  g x1  Lập ma trận: H   g'x   ' g xn   '  g x1  Ký hiệu: H k   g'x   ' g x k g'x1 g'x2 L11 L12 L 21 L 22 L n1 L n2 g'x1 g'x2 L11 L12 L 21 L 22 L k1 Lk2 g'xn   L1n   L 2n    L nn  g'xk   L1k   L 2k  (k  1, n)   L kk  2L (M o ) Lưu ý: ta xét định thức Hk (k=2,3, ,n), Hn = H Trong L ij  x i x j Định lý Nếu điểm M o ( x 10 , x 02 , , x 0n , 0) thỏa mãn: i) (1) k det(Hk) > với k  2,3, , n Mo điểm cực đại có điều kiện hàm f ii) det(Hk) < với k  2,3, , n Mo điểm cực tiểu có điều kiện hàm f 184 § Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến phân tích kinh tế Ứng dụng cực trị khơng điều kiện Ví dụ Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm   Q12  3Q 22  7Q 32  300Q  1200Q  4Q1Q  20 Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa Giải: Bước Giải hệ phương trình  'Q  2Q1  4Q  Q1  400  '   Q  50  Q  6Q  300   ' Q  200   Q  14Q  4Q1  1200  12 Vậy hàm số có điểm dừng M(400; 50; 200) Bước Kiểm tra điều kiện đủ a 11   'Q' Q  2; a 22   'Q' Q  6; a 33   'Q' Q  14 1 2 3 a 12  a 21   'Q' Q  0; a 13  a 31   'Q' Q  4; a 23  a 32   'Q' Q  21 3   2  Xét ma trận H   6  ta có  14  det(H1 )  2   k det(H )  12   (1) det(H k )  0; k  1,3 det(H )  72   Nên M điểm cực đại hàm số  Bước Kết luận Doanh nghiệp cần bán mặt hàng với số lượng Q1  400; Q  50; Q  200 thu lợi nhuận tối đa 127520 Ví dụ Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm sau: Q1 = 1300-p1; Q2 = 675 -0,5p2 Với hàm chi phí kết hợp TC = Q12  3Q1Q  Q 22 Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 giá bán tương ứng để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa? 185 Giải: Bước Lập hàm lợi nhuận Từ hàm cầu ta suy ra: p1  1300  Q1 ; p  1350  2Q Hàm lợi nhuận doanh nghiệp:   p1Q1  p Q  TC =  2Q12  3Q 22  1300Q1  1350Q  3Q1Q Bài tốn đưa tìm cực đại hàm  'Q1  4Q1  3Q  1300; Q'  6Q  3Q1  1350 ''Q2  4; ''Q1Q2  3  ''Q2Q1 ; ''Q2  6 Bước Giải hệ phương trình  'Q   4Q1  1300  3Q  Q1  250 M(250; 100)    '  Q   6Q  1350  3Q1  Q  100 Bước Kiểm tra điều kiện đủ M a 11   'Q' Q  4; a 22   'Q' Q  6; a 12  a 21   'Q' Q  3 1 Xét ma trận D  4 3 3 6 2  15  a11 = - < nên M điểm cực đại hàm số  Bước Kết luận Doanh nghiệp cần bán hàng với mức sản lượng cho sản phẩm giá tương ứng là: Q1 = 250; p1 = 1050 Q2 = 100; p2 = 1150 Thì thu lợi nhuận tối đa (250,100)  230000 Ví dụ Một cơng ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai sở với hàm chi phí tương ứng: TC1  128  0,2Q12 ; TC  156  0,1Q22 (Q1, Q2 lượng sản xuất sở 1, 2) Hàm cầu ngược sản phẩm cơng ty có dạng: P = 600 – 0,1Q; Q = Q1 + Q2 Q0, L > 0) Giả sử giá thuê đơn vị vốn USD, giá thuê đơn vị lao động USD giá đơn vị hàng hóa USD Xác định mức sử dụng vốn, lao động để lợi nhuận doanh nghiệp tối đa Giải: Bước Ta có hàm lợi nhuận doanh nghiệp là:   TR  TC  2(K ,5  L0 ,5 )  6K  4L 187 Bài toán đưa tìm cực trị khơng có điều kiện hàm  : Tính đạo hàm riêng cấp 1, 2:  'K  K 0 ,5  6;  'L  L0 ,5  ' '  'K'  0,5K 1, ;  'KL   'LK  0;  'L'  0,5L1,5 2 Bước Tìm điểm dừng ' K 0 ,5   K   0 ,5  ' L  L   K  6 0   1 36 Hay M o  ;   40  36 16  L   16 Bước Kiểm tra điều kiện đủ: ' a 11   'K'  0,5.6 ; a 22   'L'  0,5.4 ; a 12  a 21   'KL 0 2 Xét ma trận D   0,5.6 0  0,5.4  0.5 2.6 3.4  a11 < nên M điểm cực đại hàm số  Bước Kết luận: Mức sử dụng vốn lao động để lợi nhuận doanh nghiệp tối đa là: K 1 ;L  36 16 Ứng dụng cực trị có điều kiện Ví dụ Cho hàm lợi ích tiêu dùng hàng hóa: U  x , y , (x số đơn vị hàng hóa 1, y số đơn vị hàng hóa 2; x>0, y>0) Giả sử giá mặt hàng tương ứng 2USD, 3USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130USD Hãy xác định lượng cầu mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa Giải: Bước Tìm cực đại hàm số U  x 0, y , với điều kiện 2x + 3y = 130 Bước Lập hàm Lagrange: L = x 0, y 0,  (130  x  3y) L' x  0, 4x 0,6 y0,6  2;L' y  0,6x 0,4 y 0,4  3 ; L'  130  2x  3y L''x  0,24x 1,6 y0,6 ;L''xy  0,24x 0,6 y 0,4  L''yx ;L''y2  0,24x 0,4 y 1,4 Bước Giải hệ phương trình: 188  0,6 0,6  x y   (1)  L x    x  40  '  0,4 0,4 10  L y    x y   (2)   y  60  '   0,6 L  2x  3y  130 (3)        5 2 ' Bước Kiểm tra điều kiện đủ g1  g 'x  2; g  g 'y  L''x  0,24x 1,6 y0,6  L11  0,24.401,6.600,6  L''y2  0,24x 0,4 y 1,4  L 22  0,24.400,4.601,4  L''xy  0,24x 0,6 y 0,4  L12  L 21  0,24.400,6.600,4  0 Xét ma trận H   L11  L 21 Ta có H  L11 L 21  L12  , L 22  L L12  0.( 1)11 11 L 21 L 22 L12 L 22  2.( 1)1 L12 L 22  3.( 1)13 L11 L 21 =-2(2L22-L12) +3(2L21-3L11)=-4L22 +8L12-9L11>0 nên det(H) > Vì vậy, M(40; 60) điểm cực đại hàm số Bước Kết luận Người tiêu dùng cần mua mặt hàng với số lượng tương ứng 40 60 để thu lợi ích tối đa U(40 60) = 40 0, 4.60 0, Ví dụ Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q  K 0, L0 ,3 (Q – sản lượng, K – vốn, L – lao động) a) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất b) Giả sử giá thuê tư 4USD, giá thuê lao động 3USD doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 1050USD Hãy cho biết danh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa Giải: 189 a) Hàm Q  K 0, L0 ,3 hàm bậc k = 0,3 + 0,4 = 0,7