Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:.. Suy ra bất đẳng thức trên đúng..[r]
(1)Lời mở đầu (1 x) x (1 x) x x 1 (Trích Đề số 35 ĐTN-Mathlinks) (2) Điều kiện: x 1 Đặt a x (a, b 0) a b 2 b x x 1 2 x 1 3 x 1 1 0 Ta có Bất phương trình tương đương: 2 Mà a b3 1 x 1 2 a a3 3a ; b3 b3 3b a b3 x 2 3(a b ) 3.2 2 2 Dấu xảy x 0 y x 1 x x xy y x( y 1) y ( x 1) y x 1 (Trích Đề số 34 ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: x 0; y 0 xy y x x 1 xy x y x 1 y x 1 Phương trình tương đương: x(y 1) x( y 1) Phương trình tương đương: Đặt a x( y 1) y x b y ( x 1) a b Với y ( x 1) y x a b a b Hệ phương trình tương đương : a x b y Với x y y x y ( x 1) a b a b (3) (3x 15) 2015 2016 (9 x) 2015 2016 15 ( x 4) 2016 2015 2016 ( x 4) 2015 (Trích Đề số 36 ĐTN-Mathlinks) Điều kiện xác định: x 5;3 f (t ) 2016 (15 t ) 2015 2016 (9 t ) 2015 Xét hàm số: f '(t ) Suy ra: , t 15;9 1 1 2015 2016 2016 ( t 15) (9 t ) 2016 , f '(t ) 0 t 3 … Suy hàm số f (t ) đồng biến trên ( 15; 3) ; nghịch biến trên ( 3; 9) Khi đó phương trình tương đương 2016 (3 x 15) 2015 2016 (9 3x) 2015 2016 15 ( x 4) 2015 2016 ( x 4) 2015 Với: x 5;1 , phương trình (1) tương đương x x x (thoả) Với: x 1;3 , phương trình (1) tương đương x x x (loại) (1) Vậy phương trình có nghiệm x 1 x x3 x x 2 2( x x 1) x x2 (Trích Đề số 32 ĐTN-Mathlinks) Phương trình tương đương 1 2x 2 x x 1 x x2 x2 x2 1 2 x2 2 x 4 x x x 1 x x 1 x x2 x x2 Giải cái cách quy đồng với bình phương x2 2 x x x 1 x x2 2 x2 x2 (1) 1 4 x x x 1 x x2 1 2 x x x 1 x x2 Cả cái (1) và (2) đúng vì (1) ( x 1)2 x ( x 1)2 0 ( x x 1)( x x 2) (2) ( x 1) ( x x x 2) 0 (2) (4) Từ (1) và (2) để dấu xảy khi x 1 Vậy nghiệm bất phương trình x 1 x x x 11 3x 2 x ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Điều kiện : Phương trình tương đương: x x x 11 x 2 x x x 2 x x 11 x x x 15 x x3 12 x 2(2 x 3) x 11 x x3 14 x x 10 2(2 x 3) x 11 x 0 11 x 11 x x 11 x 0 11 x 0 11 x 0 10 x x 2 Thay lại thấy thoả mãn x y2 1 x y y x x ( y 1) x x y 17 Điều kiện: x ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Phương trình tương đương: y2 x x y y x 0 x4 y 1 y x y 0 y x 0 Thay x 3 0 x 0 y x y x vào phương trình ta x3 x x x2 x ( x 1)3 ( x 1) Xét hàm số f (t ) t t x x x 1 x( x 3)( x 1) 0 x2 x 1 x2 6x 1 , t R f '(t ) 3t 1 Suy f ( x 1) f x x 1 (5) x 0 y x y 0 x 1 y 2 Vậy hệ phương trình trên có nghiệm ( x; y ) 0; ; 3;0 ; 1; (5 x 4) x x (6 x 1) x ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) x 2 Điều kiện: Phương trình tương đương: (5 x 4) x x (6 x 1) x 0 3x x x 3x 3x 2 x x x 0 3x x x 0 x x 2 x x x 0 3x x x Ta có: x 1 x 3x 2 x x x 25 13 Ta lại có: x 3x 2 x x x 0 x 2 x 2 x x x Suy x x x x 6 x Vậy phương trình có nghiệm x 1; x x 2 x ( x 1)( x 2) 25 13 (Đề thi thử ĐH Vinh 2014) Điều kiện: x Nhận thấy x thoả mãn phương trình Xét x , phương trình tương đương x 1 x x3 x x 12 4( x 3) 4( x 3) ( x 3)( x x 4) x 1 2x 4 ( x 3) ( x 1) 0 2x x 1 (Vô lí) (6) Vì x nên Hay 4 3 x 1 2x x 0; x Suy 4 ( x 1) x 1 2x Do đó phương trình tương đương: x 0 x 3 Vậy phương trình có nghiệm x ; x 3 y x x y 2( x y ) 1 2 y (1) x x 1 3 y x (2) Điều kiện: x; y ; x, y 0 ; (Trích Đề số 15 ĐTN-Mathlinks) x 0 y Nhận thấy x y không là nghiệm hệ phương trình Xét x; y y x 2( x y ) y 2 x2 x2 y 2 Phương trình hệ tương đương với: t t 2 t t 2 t 4 0 f (t ) f '(t ) t 2 t 2 (t 2)3 t Xét hàm số , Suy f (t ) đồng biến VP (*) PTVN VT (*) x y f ( y ) f ( x ) TH1: VP (*) PTVN VT (*) x y f ( y ) f ( x ) TH2: VP(*) 0 VT (*) 0 (thoả mãn hệ phương trình) TH3: x y f ( y) f ( x) Thay x y vào phương trình 2: 1 2 x x x 1 3 x x Điều kiện: x (7) x x3 x x x x x x3 x x x x3 x x3 x x x3 2 x x x x2 2x ( x x 2) 2x 2x x x 0 0 x x x x2 ( x 1)( x x 2) 0 x 1 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) x2 y2 y x y x x2 1 y (1) x 3x y (2) (Trích Đề số 16 ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: y 0 y Phương trình tương đương: 2 x2 1 y 2 1 x 1 y x xy y x xy y x 1 y 1 0 2 2 1 y 1 x 1 y 1 x 2 2 2 x x y y x y x2 y2 0 ( x y ) 0 2 2 1 y 1 x 1 y 1 x ( x y ) x x y y 0 ( x y )2 ( x y 1) 0 x y Thay x2 y2 vào phương trình 2, ta có x3 3x x x3 3x x ( x 2)( x 1) x2 x2 ( x 2) ( x 1)2 0 x 1 x2 1 ( x 2) ( x 1) x2 x x 3 0 x 2 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (2; 2); (2; 2) (8) 10 x x x3 x x (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015) x x x x 0 x 0 Điều kiện: Bất phương trình tương đương: x 0 Khi đó: x x 0;3x 0 Hơn hai biểu thức không đồng thời TH1: Vì Suy TH2: ( x x 4) 3x x( x x 4) ( x x 4) 3x 4 x( x x 4) x 0 thoả mãn bất phương trình đã cho x Khi đó x x 0 Đặt a x x 0; b x Bất phương trình trở thành: a 3b2 4ab (a b)(a 3b) b a 3b x x 17 65 x x 2x x x 2 x x 17 65 S ; x 0 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là (9) 11 x x x x ( x 1)2 x (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015) Điều kiện: x 0 x 2 Phương trình đã cho tương đương : x Ta có: Suy x2 x x x x ( x x)2 4 x x 4, x x 2, với với (1) x 2; 2 x 2; 2 (2) Dấu “=” (2) xảy x 0; x 2 t 1; 2 x 2; 2 Đặt t x x Điều kiện với Khi đó VP (1) chính là f (t ) t 2t 2, t 1;2 t 0 f '(t ) 3t 4t 0 t 4 22 f ( 1) 1, f (0) 2, f , f (2) 2 27 Hơn nữa, ta lại có t 1; 2 Suy f (t) 2 với Do đó: x x ( x x) 2 với x 2; 2 Dấu “=” xảy (3) x 0; x 2 Từ (2) và (3) chúng ta có nghiệm phương trình (1) là x 0; x 2 Vậy phương trình trên có nghiệm 12 2 2 x 30 xy 5( x y ) xy 50 y 2 2 x y 51 Điều kiện: xy 0 Hệ phương trình tương đương: x 0; x 2 ( Trích Đề thi thử ĐH Hồng Quang 2015) (3) (10) 2 2 x 30 xy 50 y 5( x y ) xy 2( x y ) 10 xy 5( x y ) xy 2 2 x y 51 2 x y 51 Do xy 0 không thoả mãn, từ phương trình (1) suy x y lại có xy nên x 0; y x 5y xy (1) xy x y 2 x y 51(2) Hệ phương trình x 5y t 2, x y 2 xy ) xy Đặt (vì theo BĐT Cosi t t 2 x y 2 xy t Phương trình (1) trở thành suy x 5 y Thế x 5 y vào (2) ta được: x 5; y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (5;1) ( x 1)( y 1)( xy 4) 20 (1) 2 x y xy 12 x y 24 xy (2) 13 (Trích Đề số 30 ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: x; y 0 20 ( x 1)( y 1)( xy 4) ( xy 4) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: Từ phương trình hệ, ta có: x y 20 xy Từ phương trình ta có: x y xy 12 xy xy 12 Đặt t xy ( t 0 ) x y 24 xy x y 24 xy 40 ( x 1)(y 1) 40 xy x y x y (11) t 24t 40 (t 4) t 12 144(t 4) 40 t 12 t 24t 13t 12 5 t 24t 144t 288t 144 0 (t 1)2 0 t 1 xy 1 x y 2 xy 1 Với xy 1 , ta có hệ phương trình x 1 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) y2 y y x xy x x xy (1) 8( x y ) 5 xy (2) ( Đặng Thành Nam) 14 Điều kiện: x, y 8( x y ) Phương trình hệ tương đương: y 8x Thay 8x2 8 y x y y x x 8x 1 5 y 8 x xy xy xy vào phương trình 1, ta có : xy y xy x xy 1 8 y x xy x xy x x y 0 ( x y ) 0 y x TH1: x y ,phương trình hệ tương đương: x y x y 1 (12) 5 16 x x 0 (4 x 1)(4 x x 1) 0 x 1 x 4 y 4 ( x 0) 17 17 x y 16 x x y 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM TH2: 1 4 xy x y 2 8( x y ) 4( x y ) 2( x y ) ( x y ) 8( x y ) Cộng vế trên bất đẳng thức, ta có Vậy hệ phương trình trên có nghiệm x y 1 1 5 x y xy Dấu “=” xảy 1 17 17 ( x; y ) ; ; ; 4 (1) x y 1 xy x y 1 12 xy (1) 2 (2) x y y y 3x x xy 0 (2) 15 1 x 1; y 1 Điều kiện: x y 0 1 y 0 xy 0 x y 1 xy x y 1 12 xy PTVN Nế u x 1;0 y 1 xy 1(*) Suy Từ Đặt Do Từ PT (1) 12 xy xy xy xy t xy t 0;1 12t (2t 1)(t 1)2 (t 1)(2t 5t 1) 0 t 0;1 2t 5t t 1 xy 1(**) (*) và (**) x y 1 Vậy hệ phương trình ( x; y ) (1;1) (13) x y x y y 2( x y ) x y 3 x y 16 x y 0 x y y Điều kiện: (1) (2) (Trích Đề số 39 Mathlinks- ĐTN) y 0 x y 0 PT (1) x y 2 ( x 1) y x y y 1 PT (2) 3( x y 2) ( x y 2) y x y 0 Đặt t x y2 (3) ( t 0 ) PT(3) 3t 2(t y 2)t 0 3t 2t 4t 1 4t (t 1)2 (2t 1) 0 y Dấu “bằng” xảy x2 1 y y 1 t 1 x2 1 y x 0 y 1 y 1 x y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (0;1) 1 17 x 1 x x 1 x x x (*) (Huỳnh Kim Kha) Điều kiện: x 0 Xét x 0 không là nghiệm phương trình Xét x Phương trình tương đương x x 1 x x 1 x x x2 x x x Suy x x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 2x2 2x 1 x 1 x 1 x x (1 x) x (điều kiện x 1 ) 2x2 2x 1 x (14) x x (1 x) ( x 1) x ( x x 1) 0 x 0 3 x x Vậy phương trình có nghiệm x 3 x xy 2 x y 3 x( x 1) y 3x y y x 3x y x 3 y 18 Điều kiện: (1) (2) (Bạn Bình Phương) 3 x 2 y x 0 2 y x y 0 3 x 2 y x3 xy PT (1) x( x 1) 2 y x y 3 x y x y x xy y 3x xy (*) t x 0 y 5t t 3t (t 1) (2t 1) 0 t 1 t 1 Đặt PT(*) PT (2) Mà y x x y 3 y x 3x y (4) x 2 y y x 1 x y 2 y x 3x y3 1 2 Từ (4) và (5), ta suy x y y x y 2 y x y(5) (15) Dấu “=” xảy các bất đẳng thức x y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) 19 29 x3 y x3 y x2 y 2 x xy x y x(4 y x) 2( x y ) x 17 (1) ( Bình (2)Phương) Vì x 0 không là nghiệm nghiệm hệ phương trình Xét khả năng: 4 y x 0 x y 0 x0 x y x y 0 x 0 x y x y Với (Loại) 4 y x 0 x 0 y x x y 0 y 0 x y Với Khi đó ta có: 2( x y ) ( x y ) ( x y )2 0 2( x y ) x y 3 2 ( Áp dụng BĐT Bunhiacopxki) 2x x x x y xy y y( x y) x3 (2 x y ) (2 x y ) 2 x2 y x2 y x2 y Ta lại có: x y Khi đó : 29 x y PT(1) y (2 x y ) 3( x y ) 29 x y (5 x y )(6 x xy ) x xy 29 x y 30 x x y x y xy x3 y xy ( x y) 0 ( x y )( x y ) 0 x y Thay x y vào (2) 17 17 PT (2) x x x 17 x y 6 17 17 ( x; y ) ; 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm (2 y ) x x x xy x y xy x y 3xy 8 x y 20 (Nguyễn Thanh Tùng) Điều kiện: y 0;0 x 2 PT (1) 2(2 y )( x 1) x x 2 x xy (2 y )( x 1) 0 PT (2) ( y 2)(2 x x 1) ( y 2) ( x 1) x(3 x) (3) (4) (16) TH1: x 1; 2 x x 3 x 1 (Vô lí) mà VP (4) y nên TH2: x 0;1 x x mà VP(4) 0 y 0 nên (2 y )( x 1) 0 (5) Từ (3) và (5) ta suy y 2; x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1; 2) xy 3x y 2( x 2) y xy x y 1 x y x x y x x x 0 21 (1) (2) (Olympic toán 10 Nguyễn Du-Đắk Lắk) x ; y 2 Điều kiện: PT (1) ( x 2) Đặt y 1 ( x 1)( y 2) (3) a x 0; b y 0 Từ (3), ta có: (1 a )(1 b) 1 ab 3 1 a b b 3 1 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 b (4) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 1 a b b 1 1 a 2b 3 1 1 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b x y y x x Dấu “=” xảy và a b hay Thay y x x vào PT(2), ta có: (17) x x x x x3 x x 0 2x 2( x 1) x 1 x x x x3 x x 0 x( x 1) x 2 ( x 1) x x 1 y 2 x 1 Vì ( x 1)(2 x 1)( x 2) 0 x 1 x x (2 x 1)( x 2) 0 x x 1 x x 1 x x x 2 (2 x 1)( x 2) x 1 x x , x Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1; 2) 1 y2 3 (1 x )(1 y ) (1 x ) (1 x ) 3 x y 8( x y ) 12 xy x(1 y ) y 22 x 1 y 1 Điều kiện: Ta có: 8( x y ) 12 xy ( x y ) 7( x y ) x y x(1 y ) y x y 8( x y ) 12 xy x y x y x xy y 0 ( x y )2 0 x y Thay x y vào phương trình hệ, ta có: (1) (2) (Ngón Chân Cái) (18) x2 (1 x) 3 (1 x)(1 x) (1 x)3 (1 x) (1 x )(1 x ) (1 x ) x2 (1 x )3 (1 x)3 3 1 1 x 1 x x x x x 1 x 1 x2 1 2x x2 x2 1 x 2 x y 6 1 ( x; y ) ; 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm x y x y 1 2 x y y x y (1) x x y ( y 1) x y xy 3x (2) 23 (Huỳnh Kim Kha) Điều kiện: x 1; y 0 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: x y 2 x( y 1) x y PT (1) : x y y x y x y 1 2 x x y y x y xy ( y 1) y xy y x( y 1) 0 y xy ( y 1) x y 1 2 x y xy ( y 1) (19) Ta có: y 0 xy y x( y 1) 0 xy y x( y 1) xy y xy y xy x x y y ( x 1) 0 x 1 y 0 x y x y 1 PT (2) x x y x x y 4 xy 3x 1 4 x x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 2.2 x x y 2( x x y ) 2 x x (3) 4.1 x x x y 1 x x ( x y ) 2 x x y 2 x x Lấy (3)+(4) x x y x x y 4 x 8x Dấu “=” xảy x 1 y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1; 0) 24 3x y x y( x 1) x x y 14 xy y x3 y x x x xy y (1) (Bạn (2) BÌnh Phương) 2 x y 0 14 xy y 0 x Điều kiện: PT (2) Ta có: x2 14 xy y x3 y3 x x xy y 0 x y xy y 0 y ( x xy y ) 0 (*) (4) (20) Ta lại có PT (1) : x x x y x y x xy y x xy y x 2x y x xy y 0 Do đó, từ (*) suy y 0 kèm theo x 0 x3 y3 x y, y x 2 3 x xy y 3 Ta có: x xy y Biến đổi tương đương, ta có: x3 (2 x y )( x xy y ) ( x y)( x y ) 0 (luôn dương vì x x2 Xét PT(2), ta có: x y 0 không thoả mãn hệ pt) x 14 xy y 14 xy y x3 y3 ( x y) x xy y 3 x 14 xy y 2 x y 5( x y )2 0 x y x 2x Thay x y vào PT(1), ta được: x x 1 y 1 x 2 x x x 1 y 1 x x x 9 1 1 ( x; y ) (1;1); ; 9 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 x4 2x 3 2 x 25 Điều kiện: Đặt 14 2 x x x t 2 x x t (Công phá kì thi THPT Quốc Gia) (21) 1 t 2 t 3t 2 t 2 t 2 6 t 3t t2 t2 3 0 t 3t PT t 3t t 3t 0 t 3t t 3t t 3t t t 3t 2 t 3t t t 3t 3t 0 t 3t t 3t 0 3t 1 t 3t t 3t 0 3t t t Do t 1 t 3t 3t t 1 t 3t 0 t 2 x 1 x 2 x x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2; x 26 113 x x y xy 4( x3 y ) 17 x y x y 2 x y x y x 0 y 0 Điều kiện: (Bạn Bình Phương) (22) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: 4( x y ) PT 17 x y 113 3x x y xy 6 ( x y )3 ( x y )3 113 3x3 x y xy 6( x y ) 11x 113 x3 x y xy x 3 x x y xy x3 3 x3 x y xy x x y xy 0 x( x y )2 0 x y Thay x y vào phương trình hệ, ta có: x x x 2x x ( x 1) 0 x2 x ( x 1) 0 A 4x ( x 1) 1 0 A x 1 y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1;1) x y 1 (4 x y 1) 4 x y ( y 1) x 2 x x ( y 1) 4( y 1) x 2 x x x 27 Điều kiện: x y 5; (1) (Huỳnh(2) Kim Kha) (23) PT (1) 4( x y ) x y 4 x y ( y 1) x x x y y 4 y y 4( y 1) x x 2x TH 1: x y 2( y 1) y 2( y 1) 2( x y 1) x 5x 2x 2x y 2( y 1) x y 2( y 1) x 5x y 0 2( x y 1) 5( x y 1) 0 5x y ( x y 1) 0 x y x y 2 Do 0 5x y Thay x y vào PT(2), ta có: 2 x x ( x 2) x x 2 x x x 2 x x 0 x ( x 2)(3 x 1) x x ( x 2) 0 x 1 x x x x ( x 2) x x 2 2 6x2 2x ( x 2) x x 0 x 2 y 1 x2 1 x2 x TH : x y 2( y 1) x 2( x y 1) y x x y xy x y 5 x y y x x x 1 y y 1 y y x x x y xy 16 0 ( x 1) ( y 1) Do: 5y ( x 1) 0;( y 1)2 0; 5x 5y x y xy 16 0 PTVN 5x 0;3x y xy 0, x ; y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (2;1) 2 28 ( x x 1) x x x x x (Trích đề 28 ĐTN-Mathlinks) ( x 1) x x ( x 1)3 ( x x 1) 2( x 1) (24) a x x 0 b x Đặt PT b a b3 a 2b b (a 1) b b ( a 1) 0 b a b b ( a 1) 0 x x x 1(VN ) x x x x 1 0 x2 x 1 x x 1 0 x x 1(VN ) x x 2 x x 0 1 x 1 x Vậy phương trình có nghiệm x 1 1 x 2 , x( y 16) x 5( x y ) (1 y ) y (3 x 7) 2 2 x( x y ) y 16 4( y xy 4) x 9( x y ) 64 0 29 PT (2) (1) (Ngón(2) Chân Cái) x ( x y ) y 16 4( y xy 4) x 9( x y )2 64 Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki, ta có: VT x( x y) y 16 4( y xy 4) x (2 x y ) 42 (2 y x )2 42 (2 x y y x) (4 4) 9( x y ) 64 VP Dấu “=” xảy và x y (25) PT (1) x x 16 x (1 x) x x ( x 2)3 x x (1 x ) (1 x)( x 2) x x Thay x y vào phương trình hệ, ta có: Đặt a x 2; b (1 x)( x 2) x x a (1 x) b x x (*) b (1 x) a x x b3 a (1 x)(a b) (b a )(a ab b x ) 0 a b 2 a ab b x 0 b 3a x TH 1: a ab b x 0 a 0 2 2 b 3( x 2)2 x a 0 2 TH : a b b x x 16 a 0 PTVN 2 (1 x )( x 2) x x 3 x x y x x 19 x 0 ( x 3)( x x 1) 0 x 2 y 2 x 2 y 2 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm 30 ( x; y ) ( 3; 3);( 2; 2);( 2; 2) x x x 4 x x x x (Trích đề số 40 ĐTN-mathlinks) (*) (26) x x x x x x x x x x x x x x x 1 x x x x x x x 3 x x x 1 x x x 3 x x x x x 1 0 x x x 3 x x x x x 0 x x x 3 x x x x x x 0 x x x 3 x x x 0 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 2 x x 1 x x x Vậy phương trình có nghiệm x 1 x y xy 2 x x y 10( y 1) x y 14 x(1 y ) 31 (Nguyễn Minh Thành) x 0 y 0 Điều kiện: PT (1) x y (2 x) (3 y) (2 x)(3 y) 2 x xy y 14 (3) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x 1 y 1 (2 x) (3 y ) 2 2 x y x 23 y 30 (3) x xy y 14 2 x y 12 xy x 13 y 0(4) x y (2 x) (3 y ) (2 x)(3 y ) Mặt khác, ta có: PT(2) 10 y 14 xy 19 y 13x 0 Cộng vế theo vế (5) (4) (5) x y xy x y 0 ( x y 2) ( x 1) ( y 1) 0 x y 0 x 1 x 0 y 1 y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) (27) x 2y 1 2 x y y xy xy x 1 x 32 (1) (2) (Trích đề số 21 ĐTN-Mathlinks) xy 0 x Nhận thấy x y 0 không là nghiệm hệ phương trình Điều kiện: Đặt x ty , ta có: PT (1) ty 4t y y t 4t 2y 1 y 5ty 2 1 5t t 5t 4t 4t 5t t 5t 4t 4t 5t (t 1) (45t 2t 1) 0 t 1 x y Thay x y vào PT(2), ta có: PT (2) x x4 x x 1 x3 x x x 1 1 3 x 1 1 x 1 1 x 0 x3 x x ( x 1) x x x x x x ( x 1) x x 1 x x 0 x 1 0 x3 2x x3 x x ( x x 1) x x ( x 1) x x x 1 x x ( x 1) x 1 ( x x 1) 1 x x ( x 1) x2 x 2x 1 0 0 2x 1 1 1 y x 2 x x 0 1 (loai ) x 1 1 ( x; y) ; 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (28) y2 y x y x2 x y y 92 33 (1) x x y x 93 x 2( y 1) x y 92 (2) (Huỳnh Kim Kha) x 2 y 1 Điều kiện: Ta có: PT (1) x y x2 x y2 y x y x2 x x2 x x2 x x2 x x2 x x2 x x y x y ( x y 1) x y 1 x y x y 1 y y 0 y y 0 ( x y )( x y 1) x2 x y y 0 2 x x y y x y x y 1 x2 x 0 x y Thay x y vào PT(2), ta có PT (2) x 91 x x x x 93 x x x x 93 Đặt t x x x x 93 0 t x x x x 93 x x 91 t 91 x x t 91 x x 2 x 91 t t t 91 x x Ta có hệ phương trình: Lấy (3) (4) x 91 x2 t x 91 t 91 t 91 t (3) (4) t 2 x t x2 x t x t 0 t x x t (x t) x t 0 2 t 2 x x 91 t 91 x t 0 x t (29) x 91 x x Với x t , ta có: PT (3) x x 0 x 91 10 x ( x 9) 0 x 1 x 91 10 x 3 x 0 x 3 x 1 x 91 10 x 3 ( x 3) x 91 10 x 91 10 x 2 x2 x 3 x 91 10 x 3 x 3 x 91 10 x 0(*) x 1 x 3 x 1 x 3 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm 2x2 2x x2 34 ( x; y ) (3; 2) x (Trích đề số 33 ĐTN-Mathlinks) BPT x x x x 3x x2 x 3x4 3x x2 x 3x x x x 3x x2 x x Áp dụng bất đẳng thức Cosi-Svac, ta có: 3x 3 x 3x 2 3x 2 x x x Ta chứng minh Thật vậy, bất đẳng thức tương đương: x x x 0 x x x x 0 x2 2x 0 Bất phương trình cuối đúng 2 Suy x 2 x x x Dấu “=” xảy và x 1 Vì bất phương trình dấu lớn Vậy tập nghiệm bất phương trình S \ 1 0 x 1 (30) 2x2 y2 3 4 ( x y) xy y x x xy 3x 2( x y 3) x y 35 Ta có: PT (1) x y 4 x y x( x y) y (1) (2) (Lệ Văn Đoàn) xy y xy x 3xy 2 (2 x xy )(4 y xy ) 2 Đây là dạng a b 2ab a b a b x 4 y y xy 2 x xy x xy y 0 y x Hay Ta lại có PT (2) x y 3 x xy 3x 2( x y 3) 2( x y 3) x y x( y 3) 2( x y 3) x y x( y 3) 0 x y 3 0 x y x y (4) Từ (3) và (4), suy x y x 4 y x y y x (3) x 4 y 1 x 1 y Thử lại, hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (4;1) (31) 36 Điều kiện: Xét (1) ( x y 1) y ( x y ) x 2 xy y ( x 1)(2 y 1) x 0 2 y 0 x 1; y (toán (2)học 24h) x 1 1 x 1; y y 2 không là nghiệm hệ phương trình Nhận thấy 1 , ta có: PT(1) ( x y 1) y ( x y ) y 1 ( x y ) x ( x y ) y (4 y 1) y ( x y ) (4 y 1) y y 0 y x 1 y 1 ( x y )2 x 1 y 1 Ta lại có phương trình (2) tương đương: y 1 2x 2 2 2 y y y x 1 x 2 6( x 1) x 24( x 1) x x 0 x 1 0 x Dấu “=” xảy và y 1 ( x; y ) ; 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 y 4 (32) (1) x x y y x x3 x x y x y ( x 1) 37 (2) (k2pi.net.vn) x 1 y 0 Điều kiện: Ta có: x x2 y y x4 x3 x PT (1) x4 x2 y x x y x 0 x ( y x) x x y x x3 y x 0 x2 ( y x) 0 x x y x x3 x y Thay x y vào PT(2), ta có: PT (2) x x x x( x 1) 25 5 3 15 x x x x ( x 1) 0 16 4 4 16 25 9 25 25 x x x x 25 16 16 16 16 x 0 15 16 x x 1 x( x 1) 4 16 25 1 x 0 1 15 16 x x 1 x ( x 1) 4 16 25 25 x y 16 16 25 25 ( x; y ) ; 16 16 Vậy hệ phương trình có nghiệm (33) (1) x x y y 1 x x y xy 2 xy x y 38 (2) (Công phá kì thi THPT Quốc gia) Điều kiện: x y xy 0 PT (1) x x Ta có: y 2x 4x2 y y 1 y 0 4x2 y y 2x y2 1 y x y 1 0 2x y 0 ( y x) 2 x y ( y x) Mà x y x y 0 x y 1 x y x y x y y x Thay y x vào PT(2), ta có: PT (2) x x x x x x x x x x 1 x t x x 3x x 1 6x2 x2 3x x 3x PT (2) t 1 6t t 3 t x 17 17 x y x 3x 1 x 1 37 37 x y x 3x 1 17 17 37 37 ( x; y ) ; ; ; 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm (34) x y 6 xy 2( x y ) x 3 2( x y ) x xy y 39 (1) (2) (Công phá kì thi THPT Quốc Gia) Điều kiện: xy Ta chứng minh bất đẳng thức sau: x x y y x xy y x x y y x xy y ( x y) x xy y 0 2 2 2( x y ) 2( x y )( x x y y ) 2( x y ) x xy y 2 2( x y ) 2 2 2 x xy y x xy y Ta có: x xy y Từ PT thứ hệ, ta suy 2( x y ) = x 2( x y ) 2 x xy y x 2( x y ) x 2( x y )(1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM phương trình 1, ta có: x y 6 xy 6 3( x y) x y 3(2) Lấy (1) (2) x y 2( x y ) x y Dấu “=” xảy x y 1 Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) (35) (1) x2 1 y y 1 x 1 3x3 y y x x 2 y x 40 u x x u, v v y y Đặt: (2) (Công phá kì thi THPT Quốc Gia) u x x v y y u 1 x 2u v 1 y 2 u 2ux x x 1 2v 2 u2 v xy y y 1 x u x 2u y v y v 2v u v 1 v u PT (1) 1 2u 2v 2v 2u Ta có: v(u 1) u (v 1) u (v 1) v(u 1) 4u v uv(u v) u v uv (u v) v u 4u 2v u v (u v) (u v) 4u v uv 1 uv(u v) (u v)2 0 uv 1 x2 1 x x2 1 x x2 1 y y 1 y 1 y y2 1 y y x y 0 x2 y x 1 y 1 x y 0 x y ( x y) 1 0 x2 1 y 1 ( x y ) x y x y 0 Do x y x y 1 x y x y 0 x y (36) Thay x y vào PT(2), ta có: PT (2) 3x3 x x3 x x 2 x2 x 1 x x x3 x x 2( x x 1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3x3 x 1 x3 x x x3 x x 3x3 x VT x x x3 x2 x Dấu “=” xảy 4( x x 1) ( x 1) 2( x x 1) VP 3 x x 1 x x x 1 x y 1 ( x 1) 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) 2 x y x x3 y x2 3x y 2x2 4x y 2 2 41 (1) (2) (Công phá kì thi THPT Quốc Gia) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x3 y 2 x y 1 x (2 1) x y 1 x 1 3(4 x y 3) 3(4 x y 3) x y Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Thật vậy, bất đẳng thức tương đương: 3(4 x y 3) 4 x y x3 y 11 12 x y 4( x3 1) 4.3 x 12 x 3( y 1) 3.2 y 6 y Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Suy bất đẳng thức trên đúng Dấu “=” xảy và khi: x y 1 Ta thay vào PT(2) thấy luôn thoả mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) (37) x x y y 1 y (2 x 11 y y ) x (9 y 18 y 4) x (2 x 4) x x x x 42 (Huỳnh Kim Kha) Điều kiện: x 4 PT (1) x ( x 1) 2( y 1) y 2( x 1) y y x Do: x 1 x 1 x x y 1 2 y ( x 1) y y y 2( x 1) 3 x y 1 2( x 1)( y 1) 3( y 1) 2( x 1)( y 1) x y 1 3( y 1)3 0 x 3( y 1) x x y 1 ( y 1) 0 x x y 1 ( y 1)2 x 3( y 1) 0 x 3( y 1) (ĐK: y ) x 9 y 18 y Thay x 9 y 18 y vào PT(2), ta có: PT (2) ( x 4) x (2 x 4) x x 4 x x a x 0 a b 2 b x 0 Đặt ab 2(1 a ) b2 b 1 a2 ab a 2(1 a ) b b 1 PT ab a a 3b 2b 2b 2a3b 2a 3b 2a a (b 2b 1) b 2b b ab a a 0 a (b 1) (b 1) b (1 a ) a (a 1) 0 ( a 1)(b 1) (a 1)(2a a b ) 0 a 1)(b 1) (a 1)(2a 2) 0 ( a 1)(b 1) 2(a 1) (a 1) 0 x 1 a 0 x 3 b 0 x 1 Dấu “=” xảy 5 y (loai) y (38) 1 ( x; y ) 3; Vậy hệ phương trình có nghiệm x y 2( x y 1) 3 y (2 x 1) 2 x y x 43 (1) (2) x ; y 0 Điều kiện: PT (1) Ta có: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: (Bình Phương) 2 2x y 4( x y 1) 6 y (2 x 1) y (2 x 1) 3( y x 1) 2 4( x y 1) 3( y x 1) 2x y (2 x y 1) 0 2x y (2 x y 1) 1 0 x y 2x y 2 x y 1 TH1: 2 2x y 1 2x y 0 2 (2 x y ) x y x y Ta thấy x y 0 ko là nghiệm hệ x y 1 TH2: 2x y 1 2x y x y 0 x y 0 x y 1 x y 1 x y 1 Suy x y 1 2 0 2 (2 x y ) x y x y x y 0 x y 1 x y 1 Với trường hợp x y 1 Thay x y 1 vào PT(2) (39) PT (2) x 2 x x 2x 2x 1 2x 0 x x 0 x y 0 x 2 x x 1 y 1 1 ( x; y ) ;0 ; 1;1 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 44 ( x xy 1)( y xy 1) 1 1 x x 1 y 1 y x (1) (2) (Trích đề 18 ĐTN-Mathlinks) 1 y y y 1 2 y 0 0 0 y y y y Điều kiện: x 0 Từ PT(2), ta có: 2 2 Ta có: PT (1) x y x y xy x xy y 0 xy ( x y ) ( x y ) 0 x y ( x y ) ( xy 1) 0 xy 1 Do y x Với x y , Với xy 1 , PT (2) 1 x x x x x PT (2) 1 x x x x x Suy ta cần giải phương trình (40) x x x x x x 1(3) PT (2) x ( x 1) x x( x 1) 3x ( x 1) x( x 1) x x x 0 x( x 1) x x 1 x x x 1 x 0 x ( x 1) 0 4( x x 1) (3x 1) ( x 1) x 1 0 2 x x 3x ( x 1) x 3x x x 0 x 1 y 1 2 3x x x x 3(4) 2 Lấy (3) (4) ( x 2) x x x x x x ( x 2)( x x 2) 0 x 2 PTVN ( x 2) ( x x 1) ( x x 2)2 9 x ( x 1) 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) = 2 x( x y )2 x y y ( x y ) ( x y 1) x y 2( x 1) 45 (1) (Huỳnh (2) Kim Kha) PT (1) y x x( x y )2 Thay vào PT(2), ta có: PT (2) y ( x y ) ( x y 1) x y 2 x y x x( x y ) y ( x y ) ( x y 1) x y ( x y )( x y ) x ( x y ) 2 x x( x y ) x( x y ) x ( x y 1) x y 0 x ( x y ) ( x y ) ( x y 1) x y 0 x( x y 1)( x y 2) ( x y 1) x y 0 ( x y 1) x ( x y 2) x y 0 x y 1 x ( x y 2) x y 0 Ta lại có: PT (2) x y ( x y ) ( x y 1) x y (41) x( x y) y ( x y ) ( x y 1) x y x y 0 ( x y ) ( x y ) x y 0 Đặt x y a 0 a a 0 ( a 1)( a3 2a 2a 2) 0 Do a 2a 2a 0, a 0 a 1 x y 1 y 1 x Thay y 1 x vào PT(1), ta có: PT (1) x x (1 x) x 1 y 3 1 4 ( x; y ) ; 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm 13 x (4 x 5)(2 x y 2) 3 y xy x y x2 y 3 x 1 y 2 x x x 1 x x 46 (1) (2) (Huỳnh Kim Kha) Điều kiện: x 1; y 3 PT (1) 13 x x (4 x 5) (4 x 5)( x y 2) 2( y 1) xy x y ( y 1) 0 4( x 1) (4 x 5)( x y 2) 2( y 1) ( x 1)( y 1) ( y 1) 0 4( x 1) 4( y 1) (4 x 5)( x y 2) 4( x 1) (4 x 5)( x y 2) 2( y 1) 4( x y 2)( x y ) (4 x 5)( x y 2) 4( x 1) (4 x 5)( x y 2) 2( y 1) ( x y 2)(8 x y 5) 4( x 1) (4 x 5)( x y 2) 2( y 1) ( x 1)( y 1) ( y 1) 0 ( x 1)( y 1) ( y 1) ( y 1)( x y 2) 0 ( x 1)( y 1) ( y 1) ( y 1)( x y 2) 0 ( x 1)( y 1) ( y 1) 8x y y 0 ( x y 2) 4( x 1) (4 x 5)( x y 2) 2( y 1) ( x 1)( y 1) ( y 1) 8x y Do 4( x 1) (4 x 5)( x y 2) 2( y 1) y 0, x 1; y 3 ( x 1)( y 1) ( y 1) x y (42) x2 x 1 PT (2) Thay x y Ta có: 1 x x x 1 x 1 2 x x x x2 x x 1 x2 x 1 x x2 x x x x2 x a ; b x 1; c abc 1 x x Đặt 1 ab bc ca PT (2) a b c ab ac bc a b c abc a b c ab ac bc abc 0 ( a 1)(b 1)(c 1) 0 x2 1(VN ) a 1 x b 1 x 1 x 2 y 4 c 1 x 1(VN ) x Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (2; 4) y 1 x 1 y 9 xy (2 y ) x y y xy (2 y ) 4 47 Điều kiện: x 0; Lấy (1) (2) (1) (2)đề 41 ĐTN-Mathlinks) (Trích x y 1 x 1 y x y y 5 x y y xy (2 y ) 4 2 y y x 1 x y y 4 Ta có hệ phương trình mới: a y y b x 0 Đặt a 2 2a 2b ( a 2)b 8 ( a 2)(b 1) ab 8 HPT tương đương 2a a 2b 8 2 a b a 2b 2ab 10 (3) (4) (43) Lấy 3.(3) 2.(4) (a 2)(ab a b 2) 0 a 2 b 2a a TH 1: b 2a (3) a 6a 0 PTVN a a 2 nên a 6a x 1 x 1 TH : a 2 b 1 y 1 y 1 y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1); (1; 1) 48 x x 1 x x 1 1 x x (Trích đề 29 ĐTN-Mathlinks) Ta thấy x 0 ko là nghiệm phương trình PT x x 1 x x x 1 x ( x 2) x x x x 0 ( x 2) x x 2( x x 1) x a x b x x 0 Đặt PT ab 2b a (b 1)( a 2b 2) 0 b 1 a 2b 0 x x 1 x 1 x x x 0(VN ) Vậy phương trình có nghiệm x 1 (44) 49 x x x 4x2 x 1 (Trích đề số 37 ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: x 0 1 Ta có: 4x x x 4x2 x 4x x x x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 1 4x x x 4x x x x 9(4 x x 4) 9(4 x x 4) x 4x x 3 x 3(4 x x 4) 12( x 1) x 1 Vậy nghiệm bất phương trình x 0, x 1 50 x x 1 1 x x 4 x x x x x (Quyền Nguyễn) 2 x 0 x 0 2 x 0 x Điều kiện: Đặt (2 x 1)( x 1) a 0 ab 2x x x x b x 0 PT ( x b )a ( x a )b 4abx(*) Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: (45) x b 0 ( x b )a 2 x ab 2 xab a 0 x a 0 ( x a )b 2 x ab 2 xab b Cộng lại, ta có VT (*) VP(*) 1 1 x a b x , x 0 x 2 Dấu “=” xảy mà 1 x Vậy phương trình có nghiệm 51 Ta có: 2 x x y y 25 (2 x y 1) 2x 2x y y 11 x x 26(y 3) 5 (Huỳnh Kim Kha) PT (1) ( x 1)2 ( y 1)2 25 (2( x 1) 3( y 1))2 PT (1) a b 25 (2a 3b)2 Đặt: a x 1; b y 4a 12 a b 9b 25 4a 12ab 9b a b 1 ab a b a 2b 1 2ab a 2b ( a b) 0 a b x y y x Thay y x vào phương trình 2, ta có: 2x 2x PT (2) x2 x x 26( x 1) Đặt: u x v x x v u 2( x 1) v2 u x (46) v2 u v2 u PT (2) u v 13(v u ) 2 2 v2 u2 v2 u 5 u v 13(v u ) 2 5(v u ) (u v ) 1 26(v u )(v u ) u v u v u v 5(VN ) (u v ) 1 26(v u ) u v x2 x2 x x x x 5 x 1 y 3 27 57 69 57 x y 48 48 27 57 69 57 x y 48 48 27 57 69 57 27 57 69 57 ( x; y ) (1;3); ; ; ; 48 48 48 48 Vậy hệ phương trình có ba nghiệm xy x (2 x)( y 2) 14 x y x 0 52 (toanhoc24h) Điều kiện: (2 x)( y 2) 0 2 2 Ta có: PT (2) ( x 1) y 0 ( x 1) 2 y x y x 0 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: ( x 1) y 2( x 1) y y ( x 1) 0 Ta lại có: PT (1) xy x (2 x)( y 2) 14 xy y (2 x) (2 x)( y 2) 4( y 2) 4( xy y 1) 2 x y 2 xy y 0 y ( x 1) 0 Dấu “=” xảy y ( x 1) 0 x x 2 y y x 1 y 0 (3) (47) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ( 2; 1) xy (2 x y ) x y x2 y2 1 2 xy 2 x y x y Bài tập tương tự: y x x xy x 10 y y xy x y 2( y 2) x 10 y 53 Điều kiện: x (Huỳnh kim Kha) (Chiều Thu Thị Phạm) 5 ; y 1; y xy x 0; y 2( y 2) x 10 y 0 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: Ta cần chứng bất đẳng thức sau: a b 2(a b ) y y xy x y xy x 1 y xy x 1 y 2( y 2) x 10 y ( x y 1) 0 Suy bất đẳng thức luôn đúng y y xy x y 2( y 2) x 10 y Dấu “=” xảy và x y Thay x y vào PT(1): (48) PT (1) y y 11 y 11 y 14 3 y y y 13 y 0 y y 7 y Ta có: y 2 y 0 0 y y y 13 ( y 3) y y y 13 ( y 3) y y y2 y 2 y y y 13 y y y2 y y y 13 y2 ( y 3) y y y 13 ( y 3) y2 y y y 13 ( y 3) y y y 13 ( y 3) y2 y 3y 0 y 3 y 3 0 y 2y y y 0 y 1 2 y 1 x 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) 2;1 2 x y 10 x y y 6( x 1) x2 1 x(1 y ) x x( y 1) x y y 54 x 0;1 y 1;0 Điều kiện: PT (2) Ta có: 1 x x x2 1 x2 y 1 1 y y y (Châu Thanh Hải) (49) 1 x 1 y x y yx xy 1 x 1 y x y x2 1 y 1 0 x y ( x y )( x y ) x2 y 0 x2 1 y 1 x2 y yx xy x x x x2 y x 0 x y 0 y 1 y y y x y x.( y ) PT (2) 12 x 19 x x 6( x 1) Thay x y vào PT(2), ta có: x 12 x 19 x 0 2 12 x 19 x x (6 x 6) x 12 x 19 x 0 (2 x 1)(3 x 5)(24 x 25 x 5) 0 1 x 2 y 2 25 145 25 145 y x 48 48 Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 25 145 25 145 ( x; y ) ; ; ; 48 48 2 2( x 1) 2( y 1) y(3 x 1) 5( x y 1) y ( x 1) (2 x 1) y y 2 y x x 55 Điều kiện: y 1;0 x 1 (1) (2) (Huỳnh Kim Kha) (50) PT (1) x x 1 y y 1 xy y ( x y 1) y ( x 1) x y x y xy y ( x 1) ( x y 1) y ( x 1) x y 1 y ( x 1) ( x y 1) y ( x 1) y ( x 1) x y 1 (*) y ( x 1) x y x y 1 y ( x 1) Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: t Đặt x 1 y 2 y ( x 1) t (*) t t 2 x y 2 y ( x 1) x y 1 0 y x t Thay y x vào PT(2), ta có: PT(2) (2 x 1) x x 2 x x (2 x 1) x 2 x x x (1 x) x 2 x x 1 x 1 x x x x x x 2 x x( x 3) 2 x Ta có: 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 3 x x ( x 3) 2 x 1 x( x 3) 2 x x 3 x Dấu “=” xảy x 1 y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1; 2) ( x y 1) x y x y ( x 1) 12 3 y x x 4 x 56 5 y ; x 2 Điều kiện: y ( x 1) 0 (Huỳnh Kim Kha) x y 1 2 y ( x 1) (51) PT (1) x 1 y ( x 1) y y ( x 1) 12 Ta có: Đặt y ( x 1) 0 a x 0; b y 0 Suy ra, ta có: PT(1) ( a b )(a b 8a 2b ) 12a 3b 0 (a b ) a b 4a 2b 2(a b ) 3ab Ta chứng minh rằng: (a b ) a b 4a 2b 2(a b ) 3ab 2 Mà theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a b 2ab a b 2ab 2( a b ) 3ab a b 2a 2b 2ab 2a 2b 4ab (a b2 ) 4ab( a b) (a b) ( a b ) 4ab 0 (a b) 0 a b x y 2 Thay x y vào PT(2), ta có: PT (2) x x x 4 x PT (2) x (2 x 1) x x Điều Kiện: x (3 x) 3(2 x x 1) 0 6(2 x x 1) x(2 x x 1) 3(2 x x 1) 0 2x 2x 4x 2x 4x (2 x x 1) 0 4x2 x 2x 2x x y 2 x 1 y 2 3 ( x; y ) ; ;(1; 2) 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm y y x x x x x 1 xy ( x 1) y y x ( y 1) x x y 28 57 (Đề thi thử Trường Cờ Đỏ) (52) x y 0 Điều kiện: y y x x x x x 1 x y xy y y PT (1) x ( y 1) y y x ( y 1) x6 y y 1 x6 y x y x x x 1 x y xy y Ta có: x 6 y PT (1) 4 x 6 y x6 y y y 1 x y Nên x6 x y 0 x 6 y x6 y y2 y 1 x y x6 y y y 1 x y x 6 y y y 1 x y x 6 y Do x 1 x6 y y y x ( y 1) x x 1 x x 1 x y 0 0 x6 y y 0 x y 2 Thay x y vào PT(2), ta có: PT (2) x x x x x ( x 2)3 ( x 2) x2 x x x x x ( x 2) ( x 2) x x x x x 0 y x x x x3 x x 0 x y x y 2 x2 ( x; y ) (0; 6);(0; 6);( 3; 3);( 3; 3); 2; ;( 2; 2) Vậy hệ phương trình có ba nghiệm (53)