VËn dông tÝnh chÊt cña tËp hîp sè nguyªn.. Ph−¬ng ph¸p chøng minh b»ng ph¶n chøng.[r]
(1)Phơng trình nghiệm nguyên A Kiến thức bản:
I Một số phơng pháp thờng vận dụng giải phơng trình nghiệm nguyên 1 Phơng pháp đa phơng trình tích:
Các ví dụ:
VD1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: xy x y =2 Giải:
ViÕt PT vỊ d¹ng: (x – )(y – ) =3
Do x, y ∈Z nªn (x-1), (y-1) ∈Z vµ x-1, y-1 lµ −íc cđa
Do vai trò x,y nh nên không tÝnh tỉng qu¸t g/s x≥y
1
1
1
1
1
x x y y x y x x y y − = = − = = ⇒ − ≥ − ⇒ ⇔ − = − = − = − = −
Vậy phơng trình có nghiệm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0)
VD2: T×m nghiệm nguyên phơng trình: x2+x+6=y2 (2) Giải: Phơng trình đA cho tơng đơng với
( ) ( )
( )( )
2
2
4 24
2 23
2 2 23
2 2
x x y
y x
y x y x
y x y x
+ + =
⇔ − + =
⇔ + + − + =
+ + > ⇒ − + >
Ta cã: 2y + 2x+ >1 2y − 2x+1 nªn
5 6
2 23 12
2 1 11
6 6 x y x
y x y y
y x x x
y x y = = = − + + = = = − ⇔ ⇔ − + = + = = = − = − =
VËy phơng trình có nghiệm nguyên (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6)
2 Đa phơng trình tổng: Các ví dụ:
VD1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x2 4xy +5y2=169 Giải:
Pt tơng đơng víi: (x – 2y)2 +y2 =169 =132+02=122+52
Mµ y∈Z+ ;
2 13 12 12 x y y x y
x y N
y x y y − = = − = − ∈ ⇒ = − = =
(2)VD2: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 10
1 7
x y
z
+ =
+ Gi¶i:
Ta cã 10 1 1
1 1
7
2
3
x y
z
= + ⇒ + = +
+ + +
Vì phân tích nên ta có x=1;y=2;z=3
3 Nhận xét ẩn số:
VD: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 1+x+x2+x3=y3
Giải:
Ta có x2+x+1>0 vµ 5x2+11x+7>0 víi mäi x
Nên (1+x+x2+x3) – (x2+x+1)< 1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3) +(5x2+11x+7) Do x3<y3<(x+2)3 suy y3=(x+1)3
Từ suy x(x+1)=0
VËy nghiƯm nguyên phơng trình đA cho là: 0;
1
x x
y y
= = −
= =
4 VËn dông tÝnh chÊt tập hợp số nguyên
VD1: Giải phơng trình nghiệm nguyên: 3x+17y=159
Giải:
Giả sử x,y số nguyên thoả mAn phơng trình
Ta thấy 3x,159 chia hết 17y phải chia hết cho mà 17 không chia hết cho vËy y ph¶i chi hÕt cho suy y=3t(tZ)
Thay y=3t vào pt ta đợc: x=53-17t
Thay x=53-17t; y=3t vào pt, ta đ−ợc nghiệm
VD2: Tìm nghiệm nguyên tố phơng trình: x2 2y2 =
Giải:
PT tơng đơng víi (x+1)(x-1)=2y2
Vì x2=2y2+1 số lẻ nên x+1, x-1 số chẵn (x+1)(x-1) chia hết cho y2 chia hết cho suy y chia hết cho mà y số nguyên t nờn y=2
Vậy phơng trình có nghiệm: (3;2)
5 Phơng pháp chứng minh phản chứng
b Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên pt: x3+2y3=4z3 (1)
Gi¶i:
Gi¶ sư (x0;y0;z0) nghiệm nguyên phơng trình (1)
Khi x0 chia hết cho đặt x0=2x1 Thay vào (1) ta có y0 chia hết cho 2, đặt y0=2y1 Thay vào (1) ta có z0 chia hết cho ,đặt z0=2z1
Nh− vËy nÕu (x0;y0;z0) nghiệm (1) (x1;y1;z1) nghiệm (1) Quá trình tiếp tục mAi suy x0,y0,z0 chia hÕt cho 2k (k thuéc tËp sè tù nhiên) Vậy (x0;y0;z0)=(0;0;0)
B Bài tập áp dụng
Bài1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình:
a/ 5x-y=13 b/23x+53y=109 c/12x-5y=21
d/12x+17y=41 e/5x+10y=3 g/4x+12y=7
h/ 4x+11y=47 i/12x-7y=45 k/9x+10y=135
(3)a/ x2+91=y2 e/ 2m-2n=1984 k/ x+y=xy b/x2-656xy-657y2=1983 g/ (x+5)(y+6)=3xy l/x2+x+1991=y2 c/x2-25=y(y+6) h/ y3-x3=91 m/x2=y2 +2y+13 d/3 2
6 332
2x − y = +x i/x
4 =y2(y-x2) n/x2-6xy+5y2 =121
Bài3: Tìm nghiệm nguyên dơng :
a/2x+2y+2z =2336 b/x2(x+2y)-y2(y+2x)=1991 c/ xy -2x +3y =27
d/3x2+10xy+8y2=96 e/ 2n+122=z2-32
Bµi4: Giải phơng trình nghiệm nguyên
a/ x2+13y2=100+6xy
b/x2-x-6=-y2 c/ 4x
2+4x+y2=24
d/101(x2y2z2+x2+z2)=913(y2z2+1)
Bµi5: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau:
a/ 3x2+2y2+z2+4xy+2xz=26-2yz b/ x2+y3-3y2=65-3y
c/31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t) d/ 55(x3y3+x2+y2)=229(xy3+1)
e/7(x2y+x+xy2+2y)=38xy+38 g/x6+z3-15x2z=3x2y2z-(y2+5)3
h/(x2+4y2+28)2=17(x4+y4+14y2+49) i/ 2 2 2
1
1 1
n
x + x + + x =
Bài6: Tìm nghiệm nguyên dơng PT:
1
3
1
1
1
2
1
3
1
1 n
x x
x n
x
− =
+ +
+ +
+ +
+
⋮
Bài7: Tìm nghiệm nguyên dơng pt sau:
a/ x+y+z=xyz b/ 1
x+ + =y z
c/ 12 12 12 12 x + y +z + =t d/5(x+y+z+t)=2xyzt-10
e/5(xy+yz+zx)=4xyz g/ xyz=9+x+y+z h/x+y+1=xyz i/2x+1=3y
k/xy2+2xy+x-216y=0
Bµi8: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
a/xy xz yz z + y + x = b/ y3-x3=3x c/x4+x2+1=y2 d/ (x+2)2-x4=y3 e/x3-y3-2y2-3y-1=0 g/y3-x3=2x+1
h/x4-y4+z4+2x2z2+3x2+4z2+1=0
i/ x4+x2+4=y2-y k/ x4+x2-y2+y+10 l/x6-x2+6=y3 –y
m/19x2+5y2+1995z=9505+3 n/x2+y2+z2=1980
o/ 4
1 14 1999 x + + +x x =
Bài9: Chứng minh phơng trình sau nghiệm nguyên
a/ x3+y3+z3=30419751951995
b/x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+xy4+12y5=33
(4)a/ 4xy-x-y=z2 b/ x2-y3=7
c/4xy-y=9x2-4x+2
d/ x+ y = 1980 víi x<y
e/xy2+2xy-243y+x=0
Bài11: Giải phơng trình nghiệm nguyªn:
a/ 19x2+28y2=729 b/x2+4y2=196
c/13 x−7 y = 2000
d/11
x
x y y
− + = − − +
e/x3-100=225y
g/ 19x5+5y+1995z=x2-x+3
Bài12: Giải phơng trình nghiệm nguyên: