Thay trở lại hệ ta được Theo trên, bên trái là hàm đồng biến, bên phải là hàm nghịch biến, nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm Mà x 1 là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất của phương [r]
(1)HỆ PHƯƠNG TRÌNH Không có tham số Dạng 1: Biến đổi tương đương Câu y x 3x (2) x x 1 y y y y 1 x xy (3) Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Điều kiện: x 1 y x 2 x y 1 y y x 0 y y x 0 Phương trình (3) y x y x x 1 (vì x 1) 2 y 1 y 1 x 0 y x (vì (1;1) không thỏa phương trình(2)) Thay vào phương trình (2), ta : x 1 x x 1 0 x x Vậy x, y 2;1 ; x, y 3;4 Câu x 2 ( n) x 5 x y 2 x y x y x y x y 15 0 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: Hướng dẫn giải 2 x y 2 x y x y (1) x y x y 15 0 (2) Đặt x y 0 x y 0 Điều kiện: x 2 (1) x y x y 0 y 4 x Thay vào (2) ta được: x x x x 0 x 3 x 1 3 x ( x 3)( x 2) 0 2 (4 x) x 1 x 3 x 0 (*) x 1 (4 x) x Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (2) Phương trình (*) vô nghiệm do: x 2 x 0 VT Vậy x = và y = là nghiệm hệ phương trình Câu x y (1 y ) x y (2 y ) xy 30 0 2 Giải hệ phương trình: x y x(1 y y ) y 11 0 Câu x y x y 5 x, y x y Giải hệ phương trình: Câu Giải hệ phương trình: x3 xy x xy y6 y e e ln 0 y6 y4 8 y 3 24 x 16 x y 0 Lời giải x 0; y Điều kiện: x xy x3 xy y6 y4 e e ln e ln x xy e ln y y y y - Ta có (1) f t et ln t ( t > ) f ' t et 0, t > t Xét hàm số , suy hàm số g(t) 0; x3 xy y6 y4 đồng biến trên khoảng Kết hợp với (1) ta có x xy y y x y y x y 0 x y x 2 xy y y 0 x y 2 - Thế (2) vào phương trình còn lại hệ đã cho ta được: y 3 24 y 16 y 16 y 24 y y 0 3 Xét hàm số g y 16 y 24 y y g ' y 64 y 48 y 16 16 y y 3 3 4y 16 0, 0< y 3 4y 3 0; g y Suy hàm số nghịch biến trên khoảng , từ đó phương trình ( 3) có 1 x y 2 , suy nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 1 , 2 x, y x y y2 7x x y y x x y Giải hệ phương trình: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (3) y Điều kiện : 0 x 4 2 x y y 2x x y 1 x xy y x y x y x y 1 x x y 1 y 1 y x 2 x y 1 y 1 x x y 1 0 y x Thế vào pt đầu ta x x x 5x x x x 1 4 x x2 x 7 1 x 3x 3 x 1 x x x 21 x x 3x 0 y 21 y x ( x y) x y 2( x y ) x 11 Câu Giải hpt Điều kiện x ≥ ( x, y ) Từ phương trình thứ dễ dàng suy y > x2 ( x y) y x y x ( x y )( x y 1) x ( x y ) y 0 x ( x y )( x y 1) ( x y )2 x y x2 ( x y) y x2 ( x y) y 0 x ( x y) x y 0 ( x y 1) ( x y)2 x y x ( x y ) y Ta có x y 0 y x Thay vào phương trình thứ hai ta x x x 11 Đặt t = x ta t4 – 3t – 10 = t = Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (4) ( x, y ) ( , ) 2 Từ đó tìm x, y x y 2 x 1 y 1 Tìm tất các số thực x, y thỏa hệ: x y 1 Câu Hướng dẫn giải Ta chứng minh các số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì x x 1 y y 1 1 x 1 ln x y 1 ln y 0 Thay y 2 x ,ta chứng minh f x x 1 ln x x ln x 0 f ' x ln x ln x Ta có 1 f '' x x 2 x với x 1 x x 1 2 2 x x 2 x 1 0 1 11 x 2 x 2 x 2 x x x x x f ' x Do đó 0; , f ' 0 f' x nghịch biến trên nên nhận giá trị dương trên 0;1 và âm trên 1; Suy f x f 1 0 với x 0; Từ đó,hệ phương trình có nghiệm x y 1 Giải hệ phương trình sau: Câu 3 2 x x y y y x x y x 3 x ( y x ) 7 Hướng dẫn giải 3 2 x x y y y x x y x 3 x( y x ) 7 x y x x( y x ) 7 y x ( x( x y )( x y ) 9( x y ) x( x y ) 9 3 3 x( y x ) 7 x ( y x ) 7 x x 3 3 x) x 7 x x y x x x x3 27 x x x 27 0 x y x (3 x x )3 x x 7 x x y x 2 x x x 27 x x x 27 0 x y x ( x 1)(2 x x3 x x3 x x x x x 20 x 20 x 27) 0 Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (5) x y x ( x 1)(( x x 1)(2 x3 x x 20) 7) 0 x x 1 y x y 2 x 1 x x2 y x x x2 y 3x x y 6 y Giải hệ phương trình Câu Hướng dẫn giải y 0 y 5 x2 y x x y 0 ĐK: x x 6 (2 ') y Từ (2) suy ra: Do y 0 phương trình (1) tương đương với x2 y x y y x y x y y 6 x (1') y x u Đặt y u u2 * Xét y :phương trình (1')trở thành: u u 6u Nhân liên hợp mẫu số đưa phương trình: u u 3 u 0 nghiệm u 0; u u + suy x 0 không thoả mãn loại x 5 u y Thế vào (2') x 5; y 3 + u u2 1' 6u * Xét y :phương trình trở thành: u u u=0 suy x=0 (Không thoả mãn điều kiện bài toán) .Phương trình này có nghiệm x; y 5;3 Vậy hệ đã cho có nghiệm Câu 2 x x y 1 x y 1 2 Giải hệ phương trình : x x y y y x Hướng dẫn giải Ta có: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (6) (1) x( x 2) 2( y 1) x ( y 1) x ( x 2) ( y 1)( x 2) x y y 2 x Thế vào (2) ta có : x x (2 x 1) x (2 x 1) x x x x x x x x 2 x x x x x x 1 x x x x x 0 15 15 x x 2 x x y 2 6 x x 4 x x 0 3 3 x x x x y 2 3 x x 1 x 15 15 3 3 ; ; 3 Vậy nghiệm hệ PT là: và x y y 7x x y y x x y Câu Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải y Điều kiện : 0 x 4 2 x y y 2x x y 1 x xy y x y x y x y 1 x x y 1 y 1 y x 2 x y 1 y 1 x x y 1 0 y x Thế vào pt đầu ta : x x x 5x x x x 1 4 x x2 x 7 1 x 3x 3 x 1 x x x 21 x x 3x 0 y 21 2 x y xy 4 x y xy 2 Câu 10 Giải hệ phương trình: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (7) (Chưa giải) x x y x y x y y 18 x x y x y x y y 2 Câu 11 Giải hệ phương trình: (Chưa giải) x ( y z )2 2 y ( z x) 30 z ( x y )2 16 Câu 12 Giải hệ phương trình: (Chưa giải) x y x y x y x y 2 Câu 13 Giải hệ phương trình: (Chưa giải) Câu 14 Giải các hệ phương trình a) xy 2 x y x y 16 x y x y x 9 z 27( z 1) y 9 x 27( x 1) z 9 y 27( y 1) b) (Chưa giải) Câu 15 Giải các hệ phương trình: x y 27 y 27 0 x y z xy zx zy 3 y z 27 z 27 0 z x 27 x 27 0 a) b) x y yz zx xy x 2 y y 2 z z 2 x c) (Chưa giải) 2 x y x y 30 28 y Câu 16 (Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình x x y Hướng dẫn giải Từ phương trình đầu hệ ta có x y 3 y y x x x 10 0 x2 y 2 y y x x 3x 10 0 * Coi (*) là phương trình bậc ẩn y ta có x x nên (*) vô nghiệm Do đó hệ phương trình tương đương với Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (8) x y x x y x x x x x 2x x x x 0 x x 0 3;6 , Từ đó ta tìm nghiệm hệ là Câu 17 2; (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau: 2 x3 xy x 2 y x y y (1) x x y 1 y (2) Hướng dẫn giải Điều kiện: y 2 (1) ( x y )(2 x y 1) 0 x 2 y Thay vào (2) ta có phương trình x x x 1 x (3) Xét x thỏa mãn (3), suy y Xét x : (3) x x (1 x) 5 x x 1 x x 1 x x 1 x 0 x 1(loai ) x x 1 x x (4) 2 x x 2 x x 2 4 x x 0 Kết hợp (3) và (4) ta 2 2 ( x; y ) ( 1; );( ; ) 2 Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm: Dạng 2: Đặt ẩn phụ Bài x y 8 x y y x 4 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Điều kiện: x 2 cos 2u u , v [0; 2 ] x; y [ 2; 2] Đặt y 2 cos 2v với Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (9) sin u cos v 1/ 2 sin u cos v 1/ (1 cos 2u )(1 cos 2v) 2 u v HPT cos 2u sin 2v cos 2v sin 2u 1 sin 2(u v ) 1 u v sin(u v) sin(u v) sin(u v) 1/ u u v u v u v v 4 (thỏa) x 2 cos 0 y 2 cos 2 Kết luận: nghiệm hệ phương trình là Bài x 1 y xy 4 y y x y x 1 Giải hệ phương trình: Ta thấy y = không là nghiệm hệ phương trình đã cho, ta xét các giá trị y 0 , chia hai vế PT thứ cho y 0 ta x2 1 y x y 4 x y y x 1 x2 1 u , v x y y Đặt ta có hệ phương trình u v v u u 1 u (v 2) 1 u (4 u 2) 1 v 3 u 1 Với v 3 ta có x 1 1 y x y 3 (*) Giải hệ PT (*) ta hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) Bài x y x y 4 y x y x y y y 0 Hệ phương trình tương đương với + Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm + Với y , chia hai vế hai phương trình cho y + ta có x2 y2 y x y 4 2 x y x y 0 y Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (10) Đặt a x2 y , b x y y 2 a b 4 a b 4 ab 4 a 0 Khi đó ta có hệ phương trình x2 y2 2 y x x 1, y y 2 x 2, y 2 x x 0 x y 2 Do đó a 2 b 2 Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) x x y y 2 x y ( x, y ) x y xy Bài Giải hệ phương trình: x x 1 y y 1 2 y2 x2 1 x , y , * 2 Điều kiện Viết lại hệ dạng: x y 2 xy u v Đặt x x 1 y 2 y y 1 x2 0 uv x 1 y 1 xy 2( x y ) 1 0 u v 2 u v 1 uv Hệ phương trình trở thành : x x 1 y 2 x x y y y 1 x 2 y y x hay x y 0 * x; y 1;1 , 2; 2 x x y x y x y 0 x 3x y Kết hợp điều kiện (*) ta nghiệm hệ là: Bài x; y 1;1 Giải hệ phương trình sau: x4 y x2 y x y x y x y x y x x 15 y 30 4 27 y 1 2 Hướng dẫn giải Đặt x y t y x (|t|≥2 ) x2 y t 2 y x Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (11) x4 y4 t t 2t 4 y x 1 t 4t t t 0 t 5t t 0 t t 2t t 3 0 t 0 t 2t t 0 Xét f t t 2t t [t≥2 [ với [t≤−2 f ’ t 3t 4t t f’(t) f(t) - + + 2−√ -2 + 2+ √ - + + + -11 −∞ f t ; 11 1; f t 0 x y 2 vô nghiệm t x x 15 x 30 4 27 y Ta có : , đk: x 4 27 y 3 x x 10 x x 15 x 30 x 10 x 2 x 5 0 3 Do x x VT 3 0 x 2 (t/m) Bài x y 5 Giải hệ phương trình : 2 y x 5 Hướng dẫn giải u x 0 x u +) Đặt v y 0 y v 2u v 0 +) Đưa hệ: 2v u 0 Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (12) u v 2u v 0 2u 2v 0 2u v 0 Giải hệ (I) ta u v 1 x y 2 Hệ (II) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm x y 2 Bài [Đề xuất, Chyên Lào Cai, DHDDBBB, 2015] Giải hệ phương trình: x xy x y y 0 2 x y xy x 0 Lời giải x y x y 4 y x y x y y y 0 Hệ phương trình tương đương với + Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm + Với y , chia hai vế hai phương trình cho y + ta có x2 y2 y x y 4 2 x y x y 0 y Đặt a x2 y , b x y y 2 Khi đó ta có hệ phương trình a b 4 ab 4 a b 4 a 2 b 2 a 0 x2 y2 2 y x x 1, y y 2 x 2, y 2 x x 0 x y 2 Do đó Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) Bài [Đề thi hsg Ngô Gia Tự, Vp, 2012-2013] Giải hệ phương trình: 3 x y 10 x y x x x y y x y 25 xy Lời giải Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (13) a 2 x y a b 10 Đặt : b x x y đó ta có hpt : a.b 25 Bài [Đề xuất, Chuyên Thái Bình, DHĐBBB,2015] Giải hệ phương trình sau: 2 2 x x y y y x y x 5( x y ( x 1) 2x y 8) 13(2x 1) Lời giải ĐKXĐ: 2x y 0 y 0 x y 0 ( x y )( x y 1) 0 x y 1 Từ (1) ta được: Trường hợp đầu suy x=y=0 ko là nghiệm hệ Do ta được: x2 = y + (1 điểm) Thay vào phương trình (2) ta được: 5( x x ( x 1) x 2x ) 13(2x 1) b2 a a x 6; b x 2x 2x b a x a b a b a b 26(a b) 0 a b 5 a b Thay Dễ thấy a b 2 nên trường hợp thứ ba bị loại 2 Hai trường hợp đầu ta tính x=-1/2 KL: Hệ có nghiệm x=-1/2; y=-3/4 Bài 10 Giải hệ phương trình sau: x x xy y y 3 x y 3x x 15 x y 3 x y y x y x x ; x, y Hướng dẫn giải Điều kiện: x 0, y 0 Đặt a x , b y ( a 0, b 0 ).Hệ phương trình đã cho trở thành a 2a 3b b5 6 3 4a b 3a 15a b 3a b a b 4a Nhận xét: a 0 b 0 ; b 0 1 2 a 0 Do đó a, b 0, là nghiệm hệ Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (14) Bây ta xét a 0, b Đặt b ka k Với cách đặt này thì Phương trình (1)trở thành: 2k 2k ak a k (3) Phương trình (2)trở thành: 4a a k 3a 15a k a 3a k 3a a 3k 4a (4) 3k 2k k k 4k 5 2k 3k Thay (3)vào (4)ta được: (5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái (5)ta được: 3k 2k 3k 2k 6 k k 2k 3k 2k 3k 2 12 k k k k 2 Đẳng thức xảy và k 1 Khi đó a b 3 hay x y 9 x; y 0;0 , 9;9 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x xy y 1 2 y ( xy y y xy ) Bài 11 Giải hệ phương trình sau: Hướng dẫn giải + Điều kiện: y x 2 y + Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta được: x xy y y xy y y xy 0 x x 5 1 y Chia hai vế PT cho y ,ta được: y x t t 2; 4 + Đặt y ta có phương trình: 2t 5t t t 0 2t (t 3) t 2( t 1) (1 x 2 y 4 x 0 y t ) 0 t (t 3) 2t 0 t 1 t t 2t t 2; 4 t 1 t Với thì Với t 3 suy x 3 y thay vào PT (1): y 1 y x 2 ; 2 Kết luận:Nghiệm hệ phương trình là: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (15) z xyz 1 2 3 x y xy 1 x y z zy y 4 y y z Bài 12 Giải hệ phương trình: x, y , z Hướng dẫn giải z xyz 1 2 3x y 3xy 1 x y z zy y 4 y y z Giải hệ phương trình: 1 2 3 1 z2 xy 2z Vì z 0 không thỏa hệ pt nên z tan u u ; \ 0 2 thì xy cot 2u Đặt Từ (2): y 3cot 2u tan 6u cot 2u 3cot 2u tan 6u tan 6u z tan 24u Vậy x cot 2u.cot 6u Thay vào (3): tan 6u tan 6u k tan u tan 24u u k 23 Vậy 11 u ; \ 0 u , , 23 2 23 Vì nên k tan u tan 24u u k 23 Vậy 11 u ; \ 0 u , , 23 2 23 Vì nên 11 t , , x, y, z cot 2t.cot 6t; tan 6t; tan t 23 23 Vậy hệ có nghiệm: đó x 2( x x y ) Bài 13 Giải hệ phương trình: y 2( y y x) (Chưa giải) Bài 14 (Chuyên Vĩnh Phúc 2010 – 2011) Giải hệ phương trình: x y 1 2 y z 1 xy yz zx 1 x, y , z Hướng dẫn giải x +) Nếu thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (16) +) Nếu x 0 ta đặt y ax; z bx thay vào hệ ta x 2a 1 x 2a 3b 1 x a ab b 1 1 2a 2 a 3b 1 2a a ab b 2 4a 3b 1 2a a b a 1 0 a 4a 3b 1 4a 3b 1 b 1 b 1 2a a 1 2a 1 b a 1 0 a 1 2a b 0 2a 3a 0 a +) Nếu b 1 thay vào (1) không thỏa mãn 2 2 a 1 b b 1 2a a 2a 3a 0 a 1 b 0 +) Nếu thay b vào (1) không thỏa mãn, thay 1 x; y; z 2; ; , 2; ;0 (1) ta có x Do đó nghiệm hệ là a b 0 vào Bài 15 (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình, năm 2013) Giải hệ phương trình sau: y x x y x y x y x 11 Hướng dẫn giải Điều kiện x x, y 2 ; x x y 0 ; x y Từ phương trình thứ suy y và x y cùng dấu mà có y x y x nên y 0 Ta y từ phương trình thứ suy x mà 1;0 không thỏa mãn pt thứ nên y Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (17) x2 x y x2 x y y x y x y x x y y 0 x x y x y 1 x y x2 x y y x y 1 x2 x y y 0 x2 x y x y 0 x y 1 x y x y 1 x x y y x y 0 y x x x x 11 Thay vào phương trình thứ hai ta Đặt t x ta t 3t 10 0 t 2 Từ đó tìm Bài 16 Giải hệ phương trình 3 ; 2 x; y 3 1 x y 19 x 2 y xy x Bài 17 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x 2013 y m x y y 2013 2013 x m Hướng dẫn giải: x 2013 y m x y y 2013 2013 x m (I) x 2013 z m x z 2012 2013 x m * Đặt z y Ta có (II) Nhận xét : Hệ (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm x; z * Điều kiện cần : Giả sử hệ (II) có nghiệm x; z Vì là nghiệm (II) nên x; z , x; z , x; z là nghiệm (II) Do đó để (II) có nghiệm thì x z 0 Với x z 0, ta có : m 2013 * Điều kiện đủ : x 2013 z 2013 x z 2012 2013 x Với m 2013 Ta có * Vì (2 )) x 2013 z 2013, x, z (1) 2013 (2) , Dấu = xảy x z 0 nên (1) x z 0 ( Thỏa mãn Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (18) Do đó hệ (II) có nghiệm x z 0 * Vậy hệ (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm m 2013 x xy y 1 y ( xy y y xy ) 1 Bài 18 Giải hệ phương trình sau: Hướng dẫn giải: x xy y 1 (1) y ( xy y y xy ) 1 Ta có: (2) +) Điều kiện : y x 2 y + Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta có: x xy y y xy y y xy 0 x x 1 y y y Chia hai vế PT cho , ta có: x t t 2; 4 + Đặt y ta có phương trình: 2t 5t t 2 x 2 y 4 x 0 y t 0 2t (t 3) t 2( t 1) (1 t 1) 0 t (t 3) 2t 0 t 1 t t 2t 0 t 2; 4 t 1 t Với thì y 1 y x 2 Với t 3 suy x 3 y thay vào PT (1): ; 2 Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là: x4 x2 y y y3 x2 y x2 5 x y x 1 x y 13 x 1 Bài 19 Giải hệ phương trình sau: 1 2 Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x y 0 y 0 x y 0 x y x y 1 0 x y 1 Từ (1) ta được: Trường hợp đầu suy x y 0 ko là nghiệm hệ Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (19) Do ta được: x y 1 Thay vào phương trình (2) ta được: Đặt x x x 1 x x 13 x 1 a x 6; b x x x b a x (*) b a 1 a b a b a b 26 a b 6 0 a b 5 a b Thay vào (*) ta Dễ thấy a b 2 nên trường hợp thứ ba bị loại x Hai trường hợp đầu ta tính KL: Hệ có nghiệm x ; y x x y y 1 (1) x x y (2) Bài 20 Giải hệ: ( x , y ) Hướng dẫn giải: Điều kiện: x, y x 1, y 1 x y y 1 1 x x x 1 y2 y2 y y x x (3) 2 Kết hợp với (1) ta được: x x 1 y y 1 (4) Cộng (3) và (4) ta y = -x, vào (2) ta được: x x x (5) x sin t , t 0; , phương trình (5) trở thành Đặt cos t sin t (1 cos t ) t t t t 2sin cos 1 2sin 2 4 t k t t t 3sin 4sin sin sin 2 2 t k 4 cos Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (20) t 6 x t 0; t x 1 Với ta 1 ; Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = 2 ; (x,y) = (1;-1) Dạng 3: Sử dụng hàm số x x y y 2 3 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 6 y y x 1 Bài Hướng dẫn giải x x y y 2 (2) 3 Đặt 6 y y x 1 (3) pt x x y f x f 2y với 2y 4 f t t t 4, t f t t t 4 t2 0, t Suy f(t) đồng biến trên Do đó: y f x f y x y y x x vào phương trình (3) ta được: 3x + 5x + = x +1 Thế x +1 + x +1 = x +1 + x +1 Đặt u = x +1, v = x +1 u 2u v3 2v u v u uv v 0 Phương trình trở thành: x = u = v x +1= x +1 x = 1 0;0 , 1; 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm: Bài Giải hệ phương trình x 4x y y 2z y 4y z z 4z x 2x Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (21) Hướng dẫn giải Điều kiện: x, y, z 3 Xét các hàm số f t t 4t 2, g t f ' t 3t 0, g ' t Khi đó ta có 2t ;3 t trên t 4 0, t 2t ;3 f t ;3 Mà f t , g t là các hàm số liên tục trên suy đồng biến trên và g t ;3 nghịch biến trên x min x, y, z Không tính tổng quát ta giả sử Khi đó ta có: Nếu x y g x g y f z f x z x g z g x f y f z suy y z g y g z f x f y x y , vô lí vì x y Do x y , tương tự lí luận trên ta x z suy x y z x3 x 2x x (1) Thay trở lại hệ ta Theo trên, bên trái là hàm đồng biến, bên phải là hàm nghịch biến, nên phương trình có nhiều nghiệm Mà x 1 là nghiệm nên nó là nghiệm phương trình (1) Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là x y z 1 Bài x y y x y x y 5 x y Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải 3 x y y x y x y x y Ta có : x x ( y 1)3 ( y 1) x y 5 x y Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) x = y – x x ( y 1)3 ( y 1) x y x y 3 x y 5 x y x y 5 x y ( y 1) y 4 y Do đó y 2 y ( y 1) y 4 y y 12 y 15 y 38 y 24 0 Ta có x 1 x 11 ; y y 12 Vậy hệ có nghiệm : Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (22) Bài Giải hệ phương trình: 64 y 22 x 7 y x 1 y log 2 y 1 2 x x y 1 1 y Lời giải Phương trình (2) Xét hàm số y 1 y 2 x f t t t , t R / x , ta có: f t 3t 0, t R đó hàm số f t đồng biến trên f 1 2 từ (2) ta suy x x Vây y 1 y 2 y x Thay y 2 vào (1) ta được: log log 64 y 128 y 1 y 1 y 2 y 1 y 8y y y ( 1) 2 y 2 y 1 y log y2 Xét hàm số: y log (2 ) (2 ) 1 y y (3) f a log a a 1 , (a>0) 1 2a 2 2a 2 20 a ln a ln ln f a Vậy hàm là hàm đồng biến trên khoảng (0, ), đó: 1 (3) f y f y 2 y y f '( a) y y 4 y y y 0 y 13 y y 13 13 13 y 2x x log 2 2 Kết hợp điều kiện ta nhận suy 13 13 ; log 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài x 4008 x 2004 2004 x 2004 x (1) 4006 2003 2x x Giải hbpt x x 2003 2003 (2) (x > 3) (2 đ) Đặt y = 2004 Do x > 0, y > nên ta được: (1) x2y + xy > y2x + yx x2y – y2x + xy – yx >0 (xy – yx)(xy + yx + 1) > xy – yx > xy > yx ( xy + yx + > 0) Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (23) ln x ln y y Vậy: (1.5 đ) xy > yx ln(xy) > ln(yx) ylnx > xlny x ln x ln 2004 x 2004 (3) ln 2003 ln x x Biến đổi tương tự, bất phương trình (2) trở thành: 2003 (4) ln 2004 ln x ln 2003 x 2003 (5) Từ (3) và (4), hệ đã cho trở thành: 2004 ln x ln x (1.5 đ) Xét hàm số: y = f(x) = x , y’= x <0, x > ln 2004 ln x ln 2003 x 2003 tương Nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +), đó: 2004 đương với 2003 < x < 2004 x x y x x y x y x y 15 3 x Giải hệ phương trình: Bài 1 2 Giải: Ta có 1 x x 1 x 1 y x 1 0 x 1 x y 1 0 y x 2 Thế vào x3 x 1 x 3x+3 15 3 x x 9x x 3 x x 3x 6x 6 x 3 x x 1 x 1 x 3 x Xét f z t 3t * trên f ' z 3t 0t f z đồng biến trên ** * ** x 6x Từ và Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (24) x 1 6x x x x 0 x 3x 3x 1 x 3x 3x 1 0 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 3 Bài 1 21 7 x y 3xy x y 12 x x 1 (1) 2 (2) Giải hệ phương trình 2 x y y 1 (Chuyên Bắc Giang) Lời giải Điều kiện xác định: y 3 Phương trình (1) tương đương với phương trình: x y y 1 x x 1 (3) Thế (3) vào (2) ta được: x x x x 0 x2 x x2 x x 3 2 x x x x 2 x 1 x x x 0 x x 1 0 x x2 x 0 x 2 0 x x2 Ta có hai trường hợp: * TH 1: Nếu x 1 thì y 0 Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (25) * TH 2: Nếu 2 x 0 2x x2 thì ta có phương trình x x x x 0 5 x x 0 (vô nghiệm) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là x; y 1; 2 x y x y xy 1 3 y 8 x y x Giải hệ phương trình: Bài Hướng dẫn giải 2 x y x y xy 1 3 y 8 x y (1) (2) x 1 y 1 x 1 y 1 0 (1) ĐK: (2x + 1)(y + 1) (1) x 1 y 1 2 x Mà x > y 0 x y 0 x 1 y 0 y 2 x 3 3 Thay vào (2): x 8 x x x 1 x x x (3) Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R (3) x 2 x x3 x NX: x >1 không là nghiệm phương trình Xét x 1: Đặt x = cos với Do Ta có: cos 3 2 k k 2 (k Z ) cos ; cos 9 Vậy hệ có nghiệm Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (26) Bài [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2014-2015] (4,0 điểm): Giải hệ phương trình sau trên tập số thực x y x x y 1 x 18 x 20 y 2x 9x Lời giải Điều kiện y >−1 ; 2≤ x ≤ 5/2 Đặt t=√−4 x +18 x−20 →0 ≤ t ≤ 1/2 Phương trình (2) tương đương với √−4 x +18 x−20+ x 2−9 x +6 = √ y +1 x −9 x +8 f ( t )=t +1+ ≤ t ≤1 /2 t +4 Ta có f (t) đồng biến trên [ ; 1/2 ] 2=f ( ) ≤ f (t ) ≤ f =83/34<5 /2 Suy √ y+ 1≥ 2→ y +1 ≥ nên () Xét phương trình (1) tương đương với lnx ln ( y +1 ) = x y +1 lnt , 1−lnt , g ( t ) = , g ( t )= , g ( t )> 0↔ t< e t t Xét 2≤ x ≤ 5/2 ta có hàm số g(x) đồng biến Xét y +1≥ ta có hàm số g(y+1) nghịch biến Ta có 2≤ x ≤ 5/2 nên g(x) ≥ g (2 ) ↔ g ( x)≥ ln 2/2 y +1≥ nên g ( y+ ) ≤ g ( )=ln 2/2 Mặt khác g(x) liên tục trên (0 ; + ∞ ¿ nên g ( x ) =g ( y+1 )=ln 2/2 Khi đó x= y +1 ; x =2; y =3 Bài 10 Vậy hệ có nghiệm ( ; 3) [Đề liệu, Chuyên Lê Hồng Phong, DHĐBBB, 2015] Giải hệ phương trình: x y 1 log 3 x x 3 x 1 1 x y x y 7 x y Lời giải 10 5 Ta có Điều kiện: x y 1 t x y 3 5 x y x y 0 t 1 3 10 7t 0 5 5 Đặt t x y ta có phương trình (*) t t 1 3 f t 10 7t 5 5 Xét hàm số với t Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (27) t t 1 3 f ' t 10 ln ln 7t ln t 5 5 Ta có f t Nên hàm số nghịch biến trên Mà f 1 0 suy phương trình (*) có nghiệm t 1 t 1 ta có x y 1 Với log3 x y 1 log3 log x log x 3 x x log x x log g t log t 3t Xét hàm số g t x 3 x x x2 1 với t ta có x2 1 g ' t ** t t ln 0; đồng biến trên ** Do đó phương trình có dạng g x g x2 1 x x 1 x x x 1 x 0 x x 1 x x 1 1 x y ta có (thỏa mãn điều kiện x y 1 ) Với 1 x; y ; 2 Vậy hệ có nghiệm Bài 11 8 xy y y x y 3x 2x y Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải x ; y 1 + ĐK: + Biến đổi được: xy y 2 xy y x y 2 xy y x y y x 2x x + Thế vào ta được: Áp dụng BĐT Cauchy ta được: ▪ 2x x 3x 2x 1 x 2 Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (28) ▪ x 1 x 2 3x 2x x Dấu ' ' xảy và x 4 x; y 4; x Suy x 3 Vậy nghiệm Bài 12 cần tìm là Giải hệ phương trình sau: x x e x 1 e x y xy x y 0 2 x y x 14 x x y 3 x x ( x, y ) Hướng dẫn giải (1) x Xét hàm số f ( x) x e trên ; ( x y 2) x e x 0 (3) x f '( x) f '( x ) 1 e x ; f '( x) 0 x 1 + - 1 f ( x) Từ bảng biến thiên, ta có f ( x) 1, x Do đó (3) y 2 x Thế vào phương trình (2) ta được: x x 10 x x 3 x x 1 (4) Điều kiện xác định (4) là: x 1 (*) Với đk (*), ta có: (4) (2 x 2)( x 5) (2 x 2)( x 2) 2x x x 3 x 5 x 2 x 5 x 2 x x 3 x 3 2x x x2 ( x x 5) ( x 3) 0 x x 0 2x x x 3 1 ( x 7) 0 x 2 3 2x x 1 x 1) x 3 x 7 (tm (*)) ( Vì x x Với x 7 y 47 (thỏa mãn điều kiện) Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (29) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (7; 47) Bài 13 x y y x y x y 5 x y Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải 3 x y y x y x y x y Ta có : x3 x ( y 1)3 ( y 1) x y 5 x y Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) x = y – x x ( y 1)3 ( y 1) x y x y 3 x y x y ( y 1) y 4 y x y x y Do đó y 2 y ( y 1) y 4 y y 12 y 15 y 38 y 24 0 Ta có x 1 x 11 ; y y 12 Vậy hệ có nghiệm : Bài 14 3 3 x y xy y (y 9) 27 2 Giải hệ phương trình : x y xy y y 9 ( x, y ) Hướng dẫn giải +) y = không thỏa mãn 27 3 x x y y x3 x y y2 +) y ≠ 0, hệ pt Đặt t = y , hệ phương trình trở thành 3 x x t t x x t 3t (1) (2) +) Từ hai phương trình trên suy x3 + 3x2 + 6x + = t3 + 3t (x +1)3 + 3(x +1) = t3 + 3t (3) Xét hàm f(t) = t3 + 3t đồng biến trên Phương trình (3) tương đương x+ = t Thay vào phương trình (2) và giải phương trình x = 1, y = Nghiệm hpt là (1; ) Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (30) Bài 15 (Olimpic Trại hè ( x 1)( y 1) 3 xy 2 x y xy x y 23 0 Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải ( x 1)( y 1) 3 xy 2 Hệ phương trình : x y xy x y 23 0 2 2 Ta có : x y xy x y 23 0 x ( y 8) x y y 23 0 2 14 x ( y 8) 4( y y 23) y 20 y 28 0 y 2 2 Tương tự : x y xy x y 23 0 y ( x 9) y x x 23 0 11 y ( x 9) 4( x x 23) 3x 14 x 11 0 x 2 x 1 y ( x 1)( y 1) 3 xy 3 x y Ta có : 11 11 x 1 x 1; f '( x) 1 0, x 1; x x , ta có : nên hàm x x với Xét hàm số 11 11 f ( x ) f (1) 2, x 1; 1; 3 số f(x) đồng biến trên , suy f ( x) y2 1 14 14 y y 2; g '( y ) 1 0, y 2; y y y với , ta có : nên Xét hàm số 14 14 g ( y ) g (2) , y 2; 2; 3 hàm số g(y) đồng biến trên , suy g ( y) x2 1 y 11 14 3; x 1; , y 2; y 3 3 Suy : x x2 1 y 2 ( x 1)( y 1) 3 xy 3 x y Do đó phương trình x 1 y 2 x 1 Vì y 2 không thoả mãn phương trình thứ hệ nên hệ đã cho vô nghiệm Bài 16 (Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Giải hệ phương trình: x3 y 1 17 x y y 14 y 3x x Hướng dẫn giải Điều kiện x 5; y 4 17 x y y 14 y 3x x x x y y (1) 0; ) Xét hàm số f (t ) (3t 2) t liên tục trên có Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (31) f '(t ) 3 t 3t 0, t t 0; ) Suy f(t) là hàm số đồng biến trên Khi đó (1) f x f (4 y ) x 4 y y x Thay y vào phương trình đầu ta x 0 x x 1 1 x x x 0 x 1 x 0; 1 ; 1;0 ; 2; 3 3 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là Bài 17 (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2012) Giải hệ phương trình: 3x x x x 2 y 1 y y 2 x y 2 x y Hướng dẫn giải Trừ vế với vế phương trình (1), (2) ta có: x x x 2 y y y 1 y y 2 x x x y 1 y 1 Đưa xét hàm số: f t t t t f ' t 2t t f t y 1 t t 1 1 có t t 1 t 1 0t là hàm số đồng biến trên R, lại có f x f y 1 x y 1 , x x 1 2 x x 1 x x 0 x y x 5 y 3 2 Bài 18 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam 2014) Giải hệ phương trình sau : (17 x) x (3 y 14) y 0 (1) ( x, y R ) 2 x y 3 x y 11 x x 13 (2) Hướng dẫn giải Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (32) x 5 y 4 Điều kiện : 2 x y 0 , x y 11 0 Với 3(5 điều kiện (*), x) 2 x 3(4 y ) y (*) phương trình (1) tương đương : (3) Xét hàm số : f (t ) (3t 2) t , t 0 f ' (t ) 3 t 3t , t t f (t ) liên tục t 0 , suy f (t ) là hàm số luôn đồng biến trên 0; Khi đó : pt(3) f (5 x) f (4 y ) x 4 y y x Thay y x vào phương trình (2), ta : x x x x x 13 với x 2( x 2) x 3( x 3) x x (3 x 4) ( x 2) (5 x 9) ( x 3) x x 3x ( x 2) x ( x 3) x( x 1) 3x ( x 1) x ( x 1) x ( x 2) x ( x 3) x( x 1) 0 x ( x 2) x ( x 3) x 0 1 , x 3x ( x 2) x ( x 3) x ; vì : Với x 0 suy y Với x suy y Thử lại ta thấy hai thỏa điều kiện (*) 0; 1 1; Vậy hệ phương trình có nghiệm : , Bài 19 1 16 x y x y x y x y 1 100 ( x y ) ( x y ) 2 ( x y) (x y) Giải hệ phương trình Hướng dẫn giải 1 a x y ; b x y (| a |,| b |2) x y x y Đặt 16 10 a 2 a b a 10 a b 100 b b 2 Ta có: Từ đó suy hệ phương trình có bốn nghiệm Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (33) x x 2 x 2 y y 1 y 1 x y x 1 y 1 4 y x 3 x y Bài 20 Giải hệ phương trình: Bài 21 2 x y xy 7 4 2 Giải hệ phương trình x y x y 21 Bài 22 x 2( x 1) 3 y y x y y 2 Giải hệ phương trình sau trên R: Hướng dẫn giải: 3 Cộng hai phương trình vế theo vế thu phương trình x x x y y y Xét hàm số f ( x) x 3x x với x R Ta có f '( x) 3 x x nên hàm số đồng biến nên từ f ( x) f ( y ) x y từ đó thay vào giải x y 1 x 1 3, y 4 Bài 23 x, y x y 2 x 1 y 1 Tìm tất các số thực x, y thỏa hệ: x y 1 Hướng dẫn giải: Ta chứng minh các số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì x x 1 y y 1 1 x 1 ln x y 1 ln y 0 f x x 1 ln x x ln x 0 Thay y 2 x , ta chứng minh: với x Ta có f ' x ln x ln x 1 f '' x x 2 x Do đó f x 1 x x 2 x 1 1 11 2 0 2 x x x x x x x x x x f 1 0 f ' x 0; , nghịch biến trên nên 0;1 và âm trên 1; Suy f x f 1 0 với nhận giá trị dương trên x 0; Từ đó, hệ phương trình có nghiệm x y 1 Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (34) Bài 24 Giải hệ phương trình sau: y 3x x 1 y 8 2 y x y x y y 4 x , y Hướng dẫn giải: +) y 0 không thỏa mãn hệ x x (1) y y3 x3 x y2 y +) Xét y 0 , hệ tương đương 2 x x x x 1 x 1 y y y y Cộng vế với vế ta 3 Xét hàm số: f (t ) t 3t ; f (t ) 3t t R Do đó f t là hàm số đồng biến trên , suy x 1 y Thế vào (1), kết hợp x , ta x 1 3x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 Do đó y 1 là nghiệm hệ Bài 25 x y 1 x x x y y y ln y 0 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Điều kiện: y 0; x Ta biến đổi phương trình thứ hai tương đương với: ( x 1)3 3( x 1) ln( x 1) ( y 1)3 3( y 1) ln( y 1) 0 Nhận thấy hàm số f (t ) t 3t ln t đồng biến trên khoảng (0; ) nên ta có x y x y Thế vào phương trình đầu ta có cặp nghiệm hệ phương trình là x 3 và y 1 Dạng 4: Đánh giá Bài Giải hệ phương trình sau: x x x y 2 y y y z 2 z z z x 2 Hướng dẫn giải Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (35) Nhận thấy x y z 1 là nghiệm phương trình Ta chứng minh hệ có nghiệm Giả sử x (*) đó z5 z z x z5 z 2z z5 z 2z z 1 z 1 z Với z ta có y5 y4 y z y5 y y y5 y y2 y 1 y 1 y Với y ta có x5 x x y x x x x5 x x x 1 x 1 x Suy x mâu thuẫn (*) Tương tự giả sử x ta dẫn đến điều vô lý Vậy hệ phương trình có nghiệm x y z 1 Bài 4 x xy x xy y y 15(1) 6( x3 y ) x 2( x y ) 3(2) 2 x xy y Giải hệ phương trình Hướng dẫn giải xy 0 2 Điều kiện x y xy 0 Nếu x 0 y = thì hệ vô nghiệm x 0 Nếu y 0 (x,y không đồng thời 0) thì vế trái (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn Do đó x > 0, y > Vì xy x y nên từ phương trình (1) suy 15 4 x xy x xy y y (2 x y )2 x 3( x y ) y (2 x y ) x y (2 x y ) 2(2 x y ) 15 x y 3 (3) x2 y2 3( x y ) 3( x3 y ) 2( x3 y ) 2 xy x xy y 2 x xy y x y (4) Mặt khác, ta có Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (36) 2( x y ) 2( x y )(5) 2 Ta chứng minh rằng: x y Thật bất đẳng thức (5) tương đương 2( x3 y )2 ( x y )3 x y x y 3x y 3x y (6) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: x x3 y x y 3 x12 y 3 x y y x3 y x3 y 3 x y12 3 x y Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta (5), từ đó suy (5) 3( x y ) 2( x y ) 2 Từ (4) và (5) suy ra: x xy y 2 Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý 2( x y ) x y , ta được: x 6( x3 y ) x xy y 2( x y ) x 2( x y ) x ( x y ) 2 x y (7) Từ (3) và (7) suy 2x + y = và x = y ta x = y = (thoả mãn các điều kiện bài toán) Vậy hệ có nghiệm là (1;1) Bài Giải hệ phương trình sau: y x 1 x x 1 40 x x y 14 x I Lời giải 2 t 4 x t x 7 14 Đặt ĐK: y t 1 t 2t 1 1 I 5 t t y t 2 2 Nhận xét: từ (2) ta có: y 2t t 2t 2t Ta có: 2t Do đó, từ (1) suy ra: y t 1 Ta có: 2t 1 t y t 1 t 1 y t 3t 3 2 y2 t 2 Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (37) y2 t 5t 3t y 5t 3t t 3t Từ (3) và (4) suy ra: 3 1 6t 6t 0 2t 1 0 t x x 2 2 x vào hệ I ta có: Thay t t Do đó, từ (2) suy ra: y 1 3 y 3 y y y y y 2 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: Bài x y 1 2 2 y z 1 xy yz zx 1 Giải hệ phương trình: 3 8 x; y ; x, y , z Lời giải +) Nếu x 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm +) Nếu x 0 ta đặt y ax; z bx thay vào hệ ta x 2a 1 2 1 2a 2a 3b 2 1 x 2a 3b 1 1 2a a ab b x a ab b 1 2 4a 3b 1 2a a b a 1 0 a 4a 3b 1 4a 3b 1 b 1 b 1 a a 1 2a 1 b a 1 0 a 1 2a b 0 2a 3a 0 a +) Nếu b 1 thay vào (1) không thỏa mãn Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (38) a 1 b b 1 2a a 2a 3a 0 a 1 b 0 +) Nếu thay b vào (1) không thỏa mãn, thay a b 0 vào (1) ta có x Do đó nghiệm hệ là x; y; z 2; Bài 1 ; , 2; ;0 Giải hệ phương trình sau: log (2 x y ) log (2 x y ) ( x, y ) 27 27 x 26 x y x Lời giải Đặt t log (2 x y) , phương trình (1) trở thành: log (7 t 2) 2t 9t 7 t t 1 (Sử dụng tính chất đơn điệu) x y 7 y 7 x (3) Thế (3) vào (2) ta được: 28 27 (9 x 4) 3(9 x 4) 1 x 1 3 t x ( t 0) Đặt Phương trình (4) trở thành: 27 x 24 x (4) t2 3t t2 3t 1 1 6t 3 (5) t 6 6t Áp dụng bđt AM – GM ta có: Từ (5) ta có: t2 2t 4t 48 3t 12t 12 (t 6) 0 t 6 59 59 ( x; y ) ; x y 27 27 Vậy hệ đã cho có nghiệm Từ đó Bài Giải hệ phương trình : x y 3xy x xy y xy ( x R, y R ) Lời giải Đặt : y z Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (39) 4 2 Ta có : x z 2 x z ,suy : t xz 2 Xét vế trái phương trình (2) f (t ) 2t t 1 t , t [1; 2] t xz x2 z , suy xz xz xz 2 xz 1 xz f ' (t ) 2 0, t [1; 2] 1 t 5 f (t ) là hàm số đồng biến trên (1;2) , suy : ,suy VT = f (t ) 1 x ; y Dấu xẩy t 1 , suy : x 1; y f (t ) f (1) Giải hệ phương trình sau: Bài x x xy y y 3 x y 3x x 15 x y 3 x y y x y x x ; x, y Lời giải Điều kiện: x 0, y 0 Đặt a x , b y ( a 0, b 0 ) Hệ phương trình đã cho trở thành a 2a 3b b5 6 3 4a b 3a 15a b 3a b a b 4a 1 2 a, b 0, Nhận xét: a 0 b 0 ; b 0 a 0 Do đó là nghiệm hệ Bây ta xét a 0, b Đặt b ka k Với cách đặt này thì 2k 2k ak a k Phương trình (1) trở thành: 4a Phương trình (2) trở thành: (3) a k 3a 15a k a 3a k 3a a 3k 4a (4) 3k 2k k k k 5 2k 3k Thay (3) vào (4) ta được: (5) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái (5) ta được: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (40) 3k 2k 3k 2k 6 k k 2k 3k 2k 3k 22 12 k k k k 2 Đẳng thức xảy và k 1 Khi đó a b 3 hay x y 9 x; y 0;0 , 9;9 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là Bài 4 x xy x xy y y 15(1) 6( x3 y ) 2( x y ) 3(2) x 2 Giải hệ phương trình x xy y Bài giải xy 0 2 Điều kiện x y xy 0 Nếu x 0 y = thì hệ vô nghiệm x 0 Nếu y 0 (x,y không đồng thời 0) thì vế trái (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn Do đó x > 0, y > 1.0 đ Vì xy x y nên từ phương trình (1) suy 15 4 x xy x xy y y (2 x y )2 x 3( x y ) y (2 x y ) x y (2 x y ) 2(2 x y ) 15 x y 3 (3) 1.0 đ Mặt khác, ta có Ta 1.0 đ xy x2 y2 3( x y ) 3( x3 y ) 2( x3 y ) x xy y 2 x xy y x y (4) chứng minh rằng: 2( x y ) 2( x y )(5) 2 x y Thật bất đẳng thức (5) tương đương 2( x3 y )2 ( x y )3 x y x y 3x y 3x y (6) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (41) x x3 y x y 3 x12 y 3x y y x y x y 3 x y12 3 x y Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta (5), từ đó suy (5) 3( x3 y ) 2( x y ) 2 Từ (4) và (5) suy ra: x xy y 2 Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý 2( x y ) x y , ta được: 6( x3 y ) x x xy y 2( x y ) x 2( x y ) x ( x y ) 2 x y (7) Từ (3) và (7) suy 2x + y = và x = y ta x = y = (thoả mãn các điều kiện bài toán) Vậy hệ có nghiệm là (1;1) 3 y x y x y x 4 y x y x y Giải hệ phương trình: ( x, y ) Bài Hướng dẫn giải y x – y 0 Điều kiện: x 2 , y ; ; y – x 0 +) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có: y 2x y = x y 4x 2 y xy y 2 y xy y 2 x2 y x2 y 3x 2 = y 3x y x y + x y x 3 xy Suy ra: + y 3x 2 x – y 0 x y Vì vậy, ta phải có: y 3xy 2 Vậy phương trình đầu tương đương với x = y Thay x y vào phương trình thứ hai hệ ta được: 2 x + x 2 x x (*) Do x + x nên ta phải có: x x – Khi đó phương trình (*) tương đương với: x – x 1 x – – x x ⇒ x ( x ) x 0 1 x – x – 1 0 x x x x 1 1 0 do1 x x x x 1 x – x –1 0 Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (42) 1 t / m x 1 x 1 x y ⇒ 1 x; y Vậy hệ có nghiệm Bài 10 [Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Giải hệ phương trình sau: x x y x y x y y 18 x x y x y x y y 2 Lời giải x x y 0 Điều kiện y x y 0 Cộng và trừ vế tương ứng hệ phương trình trên ta x x y y x y 10 x y 8 Thế y=8-x vào phương trình trên ta x x 16 x 73 10 ( x 9)( x 16 x 73) x x ( x 32 ) ( x 8) 32 ) 9 x(8 x) (1) Trong hệ trục tọa độ xét a ( x;3) ; b (8 x;3) ( x 32 ) ( x 8) 32 ) Khi đó | a |.| b |= a b = x(8 x) Pt (1) tương đương với | a |.| b |= a b (2) Ta có | a |.| b | a b Khi đó (2) xảy và a 0 b 0 (không xảy ra) 8 x 1 a cùng hướng b suy x x=4 KL: Nghiệm hệ là (4;4) Bài 11 [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải hệ phương trình : 1/ x y x y 2 2 x y 1 Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (43) x y 1 3 x y 2/ Bài 12 [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016]Giải hệ phương trình x +2 x −10 y 2= √ xy− x y x ( y +1 )−28 y +3 =2 √ x + ( y + )− xy ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Lời giải x Điều kiện : { xy − x y 2≥0 +4 ( y + )− xy ≥ ⇔ ¿ 0≤ xy ≤ ( x −2 y ) + ≥0 ⇔ 0≤ xy ≤ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 1 xy−x y = − xy− ≤ ⇐ √ xy−x y ≤ 4 Ta có : ( = ) Do đó từ (1) ) ⇒2 x +4 x −20 y ≤1 ( dấu = xảy xy (3) Từ (2) và (3) ta suy : x y+4 x −28 y +4≥2 x +4 x −20 y +2 √( x−2 y)2 +4 x y+4≥2 x +8 y +2 √ ( x−2 y ) +4 ⇔ x3 y+2≥x +4 y + √( x−2 y ) +4 ⇔2≥( x3 −2 y ) + √( x−2 y )2 +4 (4) ⇔ Ta lại có ( x −2 y ) + √ ( x−2 y )2+4≥2 Do đó (4) ⇔ x 3− y = x −2 y =0 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ Thử lại ta thấy có Bài 13 ⇔ x =0 y =0 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ x =1 y= ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x=1 y= ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ x =−1 y=− ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ là nghiệm hpt.0,5 Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải 3 Đặt f (t ) = 2t + 9t +12t ; g (t ) = t + 3t + 4t +15 ïìï f ( x ) = g ( y ) 2 x3 x 12 x y y y 15 ïï 3 í f ( y ) = g ( x ) y y 12 y z z z 15 ïï 3 ï f ( z ) = g ( x) z z 12 z x 3x x 15 Hệ trở thành: ïî Ta có g t 3t 6t với t nên hàm g đồng biến Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (44) g x g y g x f x x y g x g z f z g z x max x, y , z x z Giả sử thì hay suy x 1 x x 15 0 x x x 15 2 x x 12 x * 3 2 z z 12 z z z z 15 z 1 z z 15 0 Hay 2 Do x x 15 x, z z 15 z nên từ (*)ta có x 1 z x max x, y, z nên x z 1 Thế vào hệ phương trình ban đầu ta Lại theo giả sử trên, y 1 Thử lại thấy x y z 1 là nghiệm Kết luận:Hệ đã cho có nghiệm x y z 1 Bài 14 3 x cos y cos z 3 y cos z cos x Giải hệ phương trình : 3z cos x cos y (Chưa giải) Có tham số Bài x y y 3x 0 (4) x x 2 y y m 0 (5) Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: Hướng dẫn giải x 1 Điều kiện: 0 y 2 Phương trình (4) x3 3x y 1 y 1 t 1;1 Xét hàm số f (t ) t 3t , với f '(t ) 3t 0, t 1;1 f(t) là hàm số nghịch biến trên 1;1 (vì nó liên tục trên đoạn này) Suy ra: x y 2 Thay vào phương trình (5) ta được: x x m 0 2 u 0;1 Đặt u x , Ta có phương trình: g(u) = u u m g (u ) 0;1 ; max g (u ) 0;1 Suy hệ phương trình đã cho có nghiệm Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 m Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (45) x y 4 m Bài Tìm để hpt có nghiệm x y m x m 2 x y 4 y x m y x m x y m x x (m 4) 0 x x (m 4) 0 Do đó hệ có nghiệm khi phương trình:f(x) = x2 + x – (m + 4) = có nghiệm [m;+) (*) x f(x) = có = 4m + 17 nên f(x) = có nghiệm Do đó: (*) m 4m 17 -17 m 4m 17 2m 4m 17 2m 0 17 17 m> m hay m 2 2 4 4m 17 (2m 1) m 2 Một số cách giải khác: x y 4 y x m (I) x y m x x (m 4) 0(*) Cách 2: Hệ (I) có nghiệm x2 + x – (m + 4) = có nghiệm trên [-2;2] Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x2 + x – trên [-2;2], và đường thẳng y = m suy kết Cách 3: Giải theo tam thức bậc hai Bài x y a Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm x y 2a Hướng dẫn giải Điều kiện x 1; y 1 x y a x y Hệ phương trình tương đương x y a x y a 2a 1 2a Do đó x và y là nghiệm phương trình T aT a 2a 1 0 (*) Để hệ trên có nghiệm phương trình (*) có nghiệm không âm Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (46) 2 a a 2a 1 0 0 S 0 a 0 a 2 P 0 1 a 2a 1 0 2 u x 0 x u Đặt v y 0 y v Bài x y m Tìm m để hệ: 2 y x m có nghiệm Hướng dẫn giải u x 0 x u +) Đặt v y 0 y v 2u v m (**) 2v u m +) Đưa hệ: +) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm m 2 Ta xét m 2 hệ có nghiệm hay ko u v 0 (I ) 2 u v m 2u 2v 0 ( II ) 2u v 0 Biến đổi hệ (**) trở thành: P 2 m 0 với m 2 PT luôn có nghiệm +) Xét hệ (I): u=v ta 2v2+v+2-m=0 có v0 0 hệ có nghiệm u=v=v suy hệ ban đầu có x=y=v 2+1 o +) Xét hệ (II): ……… a x a x 2 0 a Tìm tham số để hệ sau có nghiệm: x a Bài Lời giải a x a x 2 0 x a x a ax 2a x a 0 x a Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (47) 1 1 2 1 2 2 2 x a x a a x x a a x a a x a x a 2 Do (2)nên x a và a là hai số dương,áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho số dương ta được: 1 1 4 2 x a x a a 2 x a a Do đó (1)chỉ đúng dấu 3 đẳng thức xảy (3)tức là: x 1 x a a 2 x a a a a x và nghiệm hệ là: Vậy hệ có nghiệm và Bài Tìm giá trị lớn tham số m hệ phương trình sau có nghiệm: x xy y m 2 y yz z m ( x, y, z ) xy yz zx m3 Hướng dẫn giải y 3 X x ; Y y; Z ( y z ); T ( z y ) 2 2 + Đặt: ( xy yz zx) XZ YT 2 2 2 2 x xy y X Y y yz z Z T Ta đ ược: ; ; X Y m 2 Z T m XZ YT m3 Do đó ta có hệ 2 2 2 + Chú ý: ( X Y )( Z T ) ( XZ YT ) ( XT YZ ) Do đó:Hệ đã cho có nghiệm thì: 3 4 m.m m m3 ( m3 ) 0 m3 3 Suy ra: m 3 (1) XT YZ 3 XZ YT m (2) 2 m 3 (3) Ta có hệ: Z T m + Xét Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (48) u m X uZ , Y uT Từ (1)có thể đặt ,thay vào (2)và (3)ta có: 2m X mZ x 2m y m2 hay z y Y mT m Z T m2 m2 y m 3 3m 4m Do đó ta có hệ: với m 3 + Từ đó:Đáp số bài toán là p xi 4 i 1 p 1 x1 4 i 1 x 0, i 1, p i * Bài a/ Tìm p cho hệ có nghiệm b/ Với p tìm câu a/, hãy xác định tập hợp tất các giá trị tổng: p i 1 với > và p i a i 1 1 Hướng dẫn giải Câu a p p 16 xi i 1 i 1 xi Do: p p 4 p 4 : Khi đó: xi 1, i 1, Vậy hệ có nghiệm x2 x3 3 x1 1 p 3 : x2 x3 1 Chọn có nghiệm.Nên ( x1 , x2 , x3 ) là nghiệm hệ và x1 x2 4 p 2 : x1.x2 1 có nghiệm.Nên ( x1 , x2 ) là nghiệm hệ p 1: Vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm p 2; p 3; p 4 Câu b p Ta có: f (a1 , a2 , , a p ) i 1 Xét hàm: Do đó: ai2 (1 a12 ) g ( x ) x (1 x ), x 1; g '( x ) 0 x f (a1 , a2 , , a p ) max g ( x) Ta có: (0;1) 3 3 p 3 p 1 hay p = i 1 Dấu đẳng thức xảy khi: Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (49) p 2 : f ( a1 , a2 ) a1 a2 a1 a2 2 2 2 a2 a1 a1.a2 vì a12 a22 1 .Dấu đẳng thức xảy 1 a a f (a1 , a2 ) a1 a12 2, liên tục trên (0;1).Khi a1 thì f (a1 , a2 ) Vậy p 2 ,tập giá trị là: 2; p 3: Chọn Thỏa giả thiết: 2x x x a12 a22 a32 1 x x x 1 f ( a1 , a2 , a3 ) g ( x) 2x 1 x 1 x liên tục trên 3 1 3 ; g , lim g(x)=+ x 3 Vậy tập giá trị là: a1 x ; a x ; a x , 0<x< p 4 : f ( a1 , a2 , , a p ) 2 2 3 Chọn a1 x ; a x ; a x , a x thỏa giả thiết: a a a a 1 3x x x x 1 f (a1 , a2 , a3 , a4 ) lim g ( x) x Bài (0; ) ; với 1 2x x x x g ( x) 2x 1 x 1 x 1 x 3 ; lim g ( x) x 0x liên tục ; trên (0; ) ; 3 ; Tập giá trị là: Tìm tất các giá trị thực tham số m để hệ sau có nghiệm thực: x2 x 5 ( x 2)2 x x 16mx 32m 16 0 Bài (Chưa giải) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: 3 x m y 1 m x y y y 1 (Chưa giải) Bài 10 (THPT Quảng Xương – Thanh Hóa, 2009-2010) Tìm các giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm x; y cho x 0, y Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (50) x y 5 xy x y 2m x2 y 1 u x ; v y x y hệ trở thành Đặt Hướng dẫn giải u v 5 2 u v 2m Từ hệ suy uv m 11 đó u , v là nghiệm phương trình: X X – m 11 0 * Do x 0, y nên u 2, v 2 Bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm lớn t t m ** Đặt t X phương trình (*) trở thành: Để pt (*) có hai nghiệm lớn ↔ pt (**) có hai nghiệm không âm 19 m 5 Giải được: Bài 11 Tìm giá trị tham số a để hệ phương trình sau có đúng nghiệm: x y a 2 y x x a Trung tâm Luyện thi AMAX – Hà Đông Hotline: 0902196677 Fanpage: https://www.facebook.com/luyenthiamax/ (51)