Sự phân tích iđêan đơn thức

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ MINH LIÊN SỰ PHÂN TÍCH IĐÊAN ĐƠN THC luận văn thạc sỹ toán học Ngh An 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ MINH LIÊN SỰ PHÂN TÍCH IĐÊAN N THC luận văn thạc sỹ toán học CHUYấN NGNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 604605 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An – 2012 MỤC LỤC Trang Mở đầu Chƣơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các phép toán iđêan 1.2 Vành địa phương vành Noether 1.3 Tôpô Zariski ph chi u c a vành 1.4 Dãy quy 10 1.5 Vành Gorenstein 13 Chƣơng Iđêan đơn thức 14 2.1 Sự phân tích tham số c a lũy thừa R - dãy 14 2.2 Các phần tử góc c a iđêan đơn thức 17 2.3 Sự phân tích tham số c a iđêan đơn thức 25 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Mở đầu Cho R vành giao hốn có đơn vị  0; x1, , xd dãy qui c a R Mỗi biểu thức dạng x1n1 xdnd n1 , , nd số nguyên không âm gọi đơn thức (theo x1 , , xd ) Một iđêan thực c a R sinh đơn thức gọi iđêan đơn thức Mỗi iđêan dạng ( x1n1 , , xdnd ) R , n1 , , nd số nguyên không âm gọi iđêan tham số (theo x1 , , xd ) Vì iđêan tham số ( x1n1 , , xdnd )R iđêan đơn thức sinh dãy qui x1n1 , , xdnd Iđêan khái niệm quan trọng để nghiên cứu cấu trúc c a vành Lớp iđêan đơn thức lại đóng vai trị quan trọng trước hết ví dụ cho nhi u vấn đ Đại số giao hoán Hơn lí thuyết v sở Grobner cho phép xấp xỉ iđêan tùy ý iđêan đơn thức mà nhi u trường hợp từ cấu trúc c a nhận thơng tin ngược trở v ban đầu Đã có nhi u nhà tốn học giới nghiên cứu v iđêan đơn thức thu nhi u kết thú vị Từ lâu nhà toán học E Noether vành Noether iđêan đ u phân tích thành giao c a hữu hạn iđêan bất khả qui Gọi X = (x1, , xd) R iđêan c a R sinh x1, , xd Cho I iđêan đơn thức cho Rad (I) = Rad (X) Trong [5], W Heinzer, L J Ratliff Jr K Shah chứng tỏ I phân tích thành giao c a hữu hạn iđêan tham số Nội dung c a luận văn trình bày kết báo [5] c a W Heinzer, L J Ratliff Jr K Shah Ngoài phần Mở đầu Kết luận Tài liệu tham khảo luận văn chia làm hai chương Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm c a Đại số giao hoán nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung c a luận văn Chương như: iđêan hữu hạn sinh phép toán iđêan dãy quy vành địa phương vành Gorenstein Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có dạng mệnh đ nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chƣơng IĐÊAN ĐƠN THỨC Trong chương chúng tơi trình bày lại kết báo [5] c a W Heinzer, L J Ratliff Jr K Shah Cụ thể chúng tơi trình bày vấn đ sau: 2.1 Sự phân tích tham số c a lũy thừa R - dãy 2.2 Các phần tử góc c a iđêan đơn thức 2.3 Sự phân tích tham số c a iđêan đơn thức Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn c a cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người hướng dẫn tận tình chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả trân trọng cảm ơn thầy giáo cô giáo Bộ môn Đại số Lý thuyết số Khoa Tốn học Phịng Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn anh chị bạn lớp cao học 18 - Đại số Lý thuyết số giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Mặc dù có nhi u cố gắng song luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp c a thầy giáo cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh tháng năm 2012 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày (khơng chứng minh) số kiến thức sở c a Đại số giao hốn liên quan đến việc trình bày c a Chương Trong suốt tồn luận văn vành R ln giả thiết giao hốn có đơn vị 1.1 Các phép toán iđêan 1.1.1 Định nghĩa (i) Cho R vành S  R Khi giao c a tất iđêan c a R chứa S iđêan c a R chứa S Iđêan gọi iđêan sinh tập S thường kí hiệu S  S  S gọi tập sinh (hoặc hệ sinh) c a S (ii) Iđêan I gọi iđêan hữu hạn sinh tồn hệ sinh c a I gồm hữu hạn phần tử 1.1.2 Các phép toán iđêan (i) T ng iđêan: Cho I J iđêan c a vành R Kí hiệu I  J : a  b a  I , b  J  Khi I  J iđêan c a R iđêan gọi tổng hai iđêan I J Cho I j jS họ tùy ý iđêan c a vành R Khi I   a jS j jS j a j  I j , j  S có hữu hạn a j   (ii) Giao iđêan: Cho I j jS họ tùy ý iđêan c a vành R Khi giao iđêan I j với j  S iđêan c a R (iii) Tích iđêan: Cho I J iđêan c a vành R Kí hiệu IJ iđêan sinh phần tử có dạng ab a  I , b  J Như vậy: n IJ   aibi  I , bi  J , i  1, , n; n   i 1    Khi IJ gọi tích iđêan I iđêan J Cho I1 , , I n họ hữu hạn iđêan c a vành R Khi đó: n I j 1 j m    ai1 ain aij  I j , i  1, , m, j  1, , n, m    i 1   m  I n  I I   ai1 ain aij  I , m   Đặc biệt cho I iđêan c a R n   i 1  (iv) Iđêan thương: Cho I J iđêan c a vành R Kí hiệu I : J  a  R aJ  I   a  R ax  I với x  J  Khi I : J iđêan c a R iđêan gọi iđêan thương I J (v) Căn c a iđêan: Cho I iđêan c a vành R Kí hiệu cho a n  I  Rad  I   a  R; n  Khi Rad  I  iđêan c a R gọi iđêan I 1.2 Vành địa phƣơng vành Noether 1.2.1 Định nghĩa: Iđêan m gọi iđêan cực đại m  R không tồn iđêan J  R mà J chứa thực m Nhận xét: Trong vành có nhi u iđêan cực đại 1.2.2 Định lý Cho R vành giao hốn, có đơn vị Khi tồn iđêan cực đại vành R 1.2.3 Định nghĩa: (i) Vành R gọi vành địa phương R có iđêan cực đại m Khi thường kí hiệu (R, m) (ii) Vành R gọi vành Noether dãy tăng iđêan R đ u dừng tức I  I1   I n  dãy tăng iđêan R tồn số tự nhiên n0 cho I n  I n với n  n0 1.2.4 Ví dụ: (i) Cho K trường K có hai iđêan K Vậy K vành địa phương với iđêan tối đại K vành Noether (ii) Vành chuỗi lũy thừa hình thức: Cho K trường kí hiệu K  x     a x i 0  K ; với i i i tập tất chuỗi lũy thừa hình thức K Trên K x định nghĩa hai phép toán phép cộng phép nhân sau Với   i 0 i 0 f x    x i g x    bi x i  Phép cộng: f x   g x    ai  bi  x i i 0  Phép nhân: f x .g x    c k x k với ck  i 0 a b i  j k i j Với hai phép tốn nói K x trở thành vành giao hốn, có đơn vị gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức Vành vành địa phương với iđêan tối đại  x  1.3 Tôpô Zariski, phổ chi u c a vành 1.3.1 Phổ c a vành Ký hiệu Spec R tập tất iđêan nguyên tố c a vành R Với iđêan I c a R ta kí hiệu V (I )  p SpecR p  I  Khi dễ dàng chứng minh V(I) thỏa mãn tiên đ v họ tập đóng Spec R Do Spec R trở thành khơng gian tôpô Tôpô gọi tôpô Zariski Đối với tơpơ này, tập đóng tập hợp dạng V(I) I iđêan c a vành R Khi Spec R gọi phổ c a vành R 1.3.2 Độ cao c a iđêan Một dãy giảm iđêan nguyên tố c a vành R : p0  p1   pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p Spec R cận c a tất độ dài c a xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p ký hiệu ht  p , nghĩa là: ht  p = sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p } 10 Cho I iđêan c a R độ cao c a iđêan I định nghĩa: ht  I   inf ht  p p Spec R, p  I  1.3.3 Chi u c a vành Cận c a tất độ dài c a xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R kí hiệu dim R (trong luận văn gọi vắn tắt chi u c a vành) 1.4 Dãy quy Một phần tử a  R , a  gọi ước tồn phần tử  b  R cho ab  Một phần tử a  R gọi quy vành R khơng ước c a trường hợp luật giản ước thực phần tử a Trong đại số đại khái niệm ước mở rộng cho môđun T ng quát với M R - mơđun ta có khái niệm M - dãy quy khái niệm sử dụng cơng cụ hữu ích Đại số giao hốn Hình học đại số 1.4.1 Định nghĩa (i) Một phần tử x  R , x  gọi ước M tồn phần tử m  M , m  cho xm  (ii) Phần tử x  R gọi M - quy M  xM x khơng ước c a M (iii) Cho R vành giao hoán Noether M R - môđun hữu hạn sinh khác không Một dãy x  x1 , , xn  phần tử c a R gọi dãy quy hay đơn giản M - dãy M / x1 , , xn M  x1 không ước c a không M , x không ước c a không M / x1 M , , x n không ước c a không M / x1 , , xn1 M 21 (với h1   kn ) zj y  x k  k j 1 1 y hh j Khi z j  Q, z j x  x k  k j 1 y h  h j 1  f j 1R  Q  f j R  Q , z j  (Q : X )  Q với j  1, , n  Vì z j phần tử Q - góc theo ý nghĩa hình học Mục 2.2.13 phần tử Q - góc phần tử z1 , , zn1 Do từ Định lý 2.2.7 ta có u phải chứng minh Để tìm hiểu thêm số hệ c a Định lý 2.2.7 ta cần khái niệm sau 2.2.9 Định nghĩa Cho J iđêan đơn thức Khi kí hiệu c  J  số phần tử J – góc 2.2.10 Hệ Với kí hiệu Hệ 2.2.8, tồn đa thức p  x  bậc thỏa mãn p  n   c  Qn  với n đủ lớn Chứng minh Ta biết tồn đa thức q  x  bậc thỏa mãn   q  n   v Q n với n đ lớn Tuy nhiên Q n iđêan đơn thức từ Định lý 2.2.7 Hệ 2.2.8 với p  x   q  x   ta có u phải chứng minh Mệnh đ sau v  Q   n với Q xác định Hệ 2.2.8 n   v  Q : X   2n  với số nguyên t nằm n  2n  iđêan Q chọn cho v  Q : X   t 2.2.11 Mệnh đ Với kí hiệu Hệ 2.2.8 giả thiết v  Q   n Khi n   v  Q : X   2n  với số nguyên t nằm n  2n  tồn iđêan Q thỏa mãn v  Q   n v  Q : X   t Chứng minh Theo Hệ 2.2.8  Q : X  / Q sinh v  Q    n  phần tử Do Q : X sinh n  tạo ảnh c a phần tử với n phần tử sinh c a Q Vì n   v  Q : X   2n  Bây cho t số nguyên dương thỏa mãn n 1  t  2n 1, s số nguyên cho t   n  1  s  s  n Với i  1, , s cho 22 fi  x 2i1 y ns2i ; với i  s  1, , n cho fi  x si1 y ni cho Q   f1, , f n  R Khi phần tử Q - góc phần tử z j  x2 j 1 y n s 2 j 1 với j  1, , s z j  x s j 1 y n1 j với i  2, , n  j  s  1, , n  Nếu s  f1  z1R , f n  zn1R Nếu s  fi  zi1R với fi  zi1R  zi R với i  s  1, , n fi   z1, , zn1  R với i  1, , s Do f1, , f s , z1, , zn1 hệ sinh tối thiểu c a Q : X , v  Q : X   s  n   t 2.2.12 Hệ Cho (R, m = (x, y)R) vành địa phương quy có chiều 2, Q  M iđêan đơn thức mở theo x y , n  v  Q  Khi v  Q : M  / Q   n 1 , n   v Q : M   2n  với số nguyên trung gian t tồn iđêan Q thõa mãn v  Q   n v  Q : M   t Chứng minh Áp dụng Hệ 2.2.8 Mệnh đ 2.2.11 cho m  X Sau tìm hiểu ý nghĩa hình học c a phần tử I - góc với I iđêan đơn thức theo dãy R - dãy x, y thỏa mãn Rad( I )  Rad(  x, y  R ) 2.2.13 Ý nghĩa hình học Giả sử d  Cho x  x1 , y  x2 , f1 , , f n sở tối thiểu c a I (ở fl đơn thức theo x, y nên fl  xi y j ) Giả sử l l Rad( I )  Rad(  x, y  R ) Với quan hệ thứ tự từ điển giả thiết f1   f n Đồ thị n điểm  il , jl  (tương ứng với f l ) góc phần tư thứ c a mặt phẳng xy Khi điểm n điểm vẽ đoạn thẳng nằm ngang nối điểm  il , jl  ,  il  1, jl  ,  il  2, jl  vẽ đoạn thẳng đứng nối điểm  il , jl  ,  il , jl  1 ,  il , jl   , (Khi rõ ràng có tương ứng mộtmột từ tập D   a, b  ; a  il b  jl với l  1, , n đến tập M c a tập đơn thức Q Từ suy đơn thức Q thuộc M ) Do  il , jl    il 1 , jl 1  , nên  il 1 , jl  tọa độ c a giao phần mở rộng bên phải đoạn nằm ngang tăng dần qua  il , jl  với đoạn thẳng đứng tăng dần qua 23  il 1 , jl 1  Khi zl  xil1 1 y jl 1  Q , zl y có tọa độ phần mở rộng bên phải đoạn nằm ngang tăng dần qua  il , jl  zl x có tọa độ đoạn thẳng đứng tăng dần qua  il 1 , jl 1  zl phần tử Q - góc Do phần tử Q - góc phải tương ứng với  a, b  với  a  in ,0  b  j1 dễ dàng kiểm tra tất phần tử Q - góc đ u thu theo cách Vì có n  phần tử Q - góc n  v  Q  2.2.14 Cấu trúc đại số Cho x1, , xd R - dãy I iđêan đơn thức cho Rad( I )  Rad(  x1 , , xd  R ) Sau đây, tìm hiểu v xây dựng phần tử I - góc theo cách đại số Cho S tập đơn thức (theo x1, , xd ) không thuộc I (S tập hợp hữu hạn với i = … d tồn số nguyên ni cho xin  I ) Cho w  max n : n  deg  f  với f  S} i ( deg  f   n f  x1e1 xded D j   f  S : deg  f   j , Cw  Dw với e1   ed  n ) j  1, , w-1 Với j  1, , w đặt cho C j   f  D j : fxi  D j 1 với i  1, , d  (có thể số tập hợp Cj với j < w tập rỗng) Khi C1   Cw tập phần tử I - góc (hợp hợp rời) Chứng minh Cho f  C j với j  1, , w Khi f  I (do f  C j  S ) với i  1, d, deg  fxi   j  Nếu j  w fxi  S (vì khơng có phần tử S có bậc lớn w  j ) Nếu jw fxi  D j 1   g  S ;deg  g   j  1 (theo định nghĩa C j ) Do hai trường hợp fxi  S với i  1, , d nên fxi  I f phần tử I - góc Vậy C1   Cw  C   f ; f phần tử I - góc  Nếu g  C g  I g  S nên g  D j j  deg  g  Mặt khác deg  gxi   j  gxi  I với i  1, , d , gxi  D j 1 suy g  C j Như C  C1   Cw 24 Vì C1   Cw tập phần tử I - góc 2.2.15 Chú ý Với kí hiệu 2.2.14, cho f đơn thức không thuộc I Khi tồn đơn thức g ( g  ) thõa mãn fg phần tử I - góc Thật giả sử f khơng phải phần tử I - góc fxi  I với i  1, , d Khi T   g ; g đơn thức theo x1, , xd fg  I  tập hữu hạn g  T cho t ng số mũ c a lớn t ng số mũ c a đơn thức khác T Do fgxi  I với i  1, , d Vì fg phần tử I - góc 2.2.16 Mệnh đ Cho I  J iđêan đơn thức cho Rad  I   Rad  X  Khi tồn phần tử I - góc thuộc J Chứng minh Theo giả thiết tồn đơn thức f  J \ I Từ Chú ý 2.2.15 tồn đơn thức g (có thể g  ) thỏa mãn fg phần tử I - góc fg  J Bây xét số ví dụ v phần tử Q - góc với iđêan đơn thức mở vành địa phương quy  2.2.17 Ví dụ Cho R , m  x , y  R  vành địa phương quy có chi u 2, x1  x, x2  y Q  ( y9 , xy7 , x3 y , x5 y , x11 ) R f1  x9 , f  xy , f3  x3 y , f  x5 y , f5  x11 Khi phần tử Q - góc z1  y8 , z2  x y , z3  x y z4  x10 y (có thể kiểm tra cách sử dụng 2.2.13 2.2.14) Vì  Q : m / Q   y8 , x2 y , x4 y3 , x10 y  R / Q 2.2.18 Ví dụ Cho  R, m   x, y, z  R  vành địa phương quy có chi u 3, x1  x, x2  y Q   z , y z , y , xyz, xy , x  R Khi phần tử Q - góc yz , y z , xz xy 25 2.2.19 Ví dụ Cho  R, m   w, x, y, z  R  vành địa phương quy có chi u , x1  w, x2  x, x3  y, x4  z Q  ( z , yz , y z , y3 , xz , xyz, x3 z, x3 y , x , w)R Khi phần tử Q - góc z , yz , y z, x y x3 y 2.2.20 Ví dụ Cho  R, m   w, x, y, z  R  vành địa phương quy có chi u 4, x1  w, x2  x, x3  y, x4  z b  1, c  1, d  1, Q  ( xd , y c , xb , wxyz, w a ) R với a 1, số nguyên Khi phần tử Q - góc xb1 y c1 z d 1 , w a1 y c1 z d 1 w a 1 xb1 y c 1 2.2.21 Ví dụ Cho   R, m   x , , x  R  vành địa phương quy có chi d u  d , Q  x1a1 , , xdad R số nguyên dương Khi Q bất khả quy có phần tử Q - góc cụ thể z  x1a 1 , , xda 1 d 2.3 Sự phân tích tham số c a iđêan đơn thức Định lý 2.1.4 X n giao thu gọn c a hữu hạn iđêan tham số P  z  z phần tử X n - góc Định lý sau kết c a mục mở rộng c a Định lý 2.1.4 cho iđêan I tùy ý thỏa mãn Rad  I   Rad  X  2.3.1 Định lý Cho I iđêan đơn thức thỏa mãn Rad  I   Rad  X    z1 , , zm phần tử I - góc Khi I   P  z j  ; j  1, , m phân tích I giao thu gọn iđêan tham số Chứng minh Cho J  P  z j  ; j  1, , m Theo Hệ 2.2.3 J giao thu gọn c a m iđêan tham số P  z j  26 Cho f đơn thức I giả sử f  P  z j  với j  1, , m Khi z j  fR  I u mâu thuẫn với z j  I (vì z j phần tử I - góc) Vì I  J Do Rad  P  z j    Rad  X  với j  1, , m nên J iđêan đơn thức để chứng minh bao hàm thức ngược lại ta với đơn thức không thuộc I đ u không thuộc J Thật cho f iđêan đơn thức khơng thuộc I Khi theo Chú ý 2.2.15 tồn đơn thức g (có thể g  ) thỏa mãn fg phần tử I - góc fg  z j với j  1, , m Khi f  P  z j  (theo B đ 2.1.3) Từ suy I  J Vì I  J ta có u phải chứng minh Hệ sau phần tử góc c a iđêan đơn thức I xác định I Rad  I   Rad  X  2.3.2 Hệ Nếu I J iđêan đơn thức thỏa mãn Rad  I   Rad  X   Rad  J   I : X  \ I   J : X  \ J I  J Chứng minh Nếu  I : X  \ I   J : X  \ J theo 2.2.2 ta có I J có phần tử - góc Vì từ Định lý 2.3.1 ta có u phải chứng minh 2.3.3 Hệ Nếu Q iđêan đơn thức mở vành địa phương Gorenstein R có chiều d  Q bất khả quy tồn phần tử Q - góc Khi Q sinh hệ tham số Chứng minh Cho m số phần tử Q - góc Khi theo Định lý 2.3.1 Q giao thu gọn c a m iđêan tham số mở Do R vành Gorenstein nên iđêan tham số mở bất khả quy từ suy Q giao thu gọn c a m iđêan bất khả quy mở Vì phân tích c a Q đ u có số thành phần nên m  Q bất khả quy 27 Nếu Q bất khả quy Q  P  z  sinh hệ tham số z phần tử Q - góc Hệ sau minh họa cho mối liên hệ gần gũi Hệ 2.1.5 Hệ 2.3.3 2.3.4 Hệ Cho I z1 , , zm Định lý 2.3.1 giả sử R vành địa phương Gorenstein có chiều d Khi I  P  z j  ; j  1, , m giao thu gọn m iđêan bất khả quy Chứng minh Nếu R vành Gorenstein iđêan tham số mở bất khả quy từ Định lý 2.3.1 ta có u phải chứng minh Ta biết Rad  I   Rad  X  P; P  Ass  R / I   Q; Q  Ass  R / X  Do ta có hệ sau 2.3.5 Hệ Cho iđêan I Định lý 2.3.1 Khi      Ass R / I n ; n   Ass  R / X  Chứng minh Chúng ta biết Y Z iđêan sinh R - dãy thỏa mãn Rad Y   Rad  Z  Ass  R / Y   Ass  R / Z  Từ suy  z1 , , zm phần tử I - góc Ass  R / X   Ass R / P  z j   với j  1, , m (mỗi P  z j  sinh x1 , , xd ) Do I  P  z j  ; j  1, , m ta có  Ass  R / I   Ass R /  P  z j  ; j  1, , m     A ss  R / P  z j   ; j  1, , m   Ass  R / X  Vì I n sinh iđêan đơn thức với n  nên Ass  R / I n   Ass  R / X  Để chứng minh hệ ta cần định nghĩa sau 2.3.6 Định nghĩa Cho P iđêan nguyên tố liên kết c a iđêan I vành Noether Khi kí hiệu Dp ( I ) số iđêan P - nguyên sơ phân tích c a I thành giao thu gọn iđêan bất khả quy 28 2.3.7 Hệ Cho (R, m) vành địa phương Gorenstein, X iđêan sinh hệ tham số x1, , xd Q iđêan đơn thức mở Khi v((Q : M ) / Q)  v((Q : X ) / Q) Chứng minh Cho m số phần tử Q - góc Khi từ Định lý 2.2.7 ta có v((Q : M ) / Q)  m từ Định lý 2.3.1 ta có Q giao thu gọn c a m iđêan tham số Vì R vành Gorenstein nên iđêan tham số bất khả quy Do Q giao thu gọn c a m iđêan bất khả quy Dm  Q   m Tuy nhiên Dm  Q   v((Q : M ) / Q) Vì v((Q : X ) / Q)  m  v((Q : M ) / Q) Định lý 2.3.1 phần tử I - góc xác định phân tích c a I giao thu gọn c a iđêan tham số Mệnh đ sau u ngược lại 2.3.8 Mệnh đ Với j  1, , m cho a j  (a j ,1 , , a j ,d ) d số nguyên dương,   I   P a j  ; j  1, , m phân tích I thành giao thu gọn iđêan tham số Khi phần tử I - góc gồm m phần tử x1a j ,1 1 a 1 , , xd j ,d Chứng minh Chú ý Rad (I) = Rad (X) Rad ( P a j  ) = Rad (X) với j  1, , m Trước hết ta phần tử z j  x1a I - góc Thật P  z j   P a j  với j ,1 1 a , , xd j ,d j  1, , m 1 phần tử nên zi  z j R với i  j 1, , m (nếu zi  z j R P ai   P  zi   P  z j   P a j  u mâu thuẫn) Do theo Định lý 2.3.1 ta có z j  P  z j   P a j  (vì z j  I )  a j ,1 11 z j  P  zk   P ak  với k 1, , j  1, j  1, , m Mặt khác z j xi  xi R  P a j  với i  1, , d z j xi P ah  ; h  1, , m  I Vì z j phần tử I góc z1 , , zm số phần tử I - góc 29 Cho w phần tử I - góc w  I nên w P  z j   P a j  với j  1, , m Do z j  wR z j = wg với g đơn thức Chú ý 2.1.2 Nếu g  wg  I w phần tử I - góc Nghĩa z j  I u mâu thuẫn với z j phần tử I - góc Do g  suy w = z j Vì z1 , , zm phần tử I - góc 2.3.9 Hệ Cho z1 , , zm đơn thức thỏa mãn zi  z j R với   i  j 1, , m , J   z1 , , zm  R I   P  z j  ; j  1, , m Khi z1 , , zm phần tử I - góc I : X  I  J Chứng minh Nếu P  z j  ; j  1, , m giao thu gọn theo Mệnh đ 2.3.8 phần tử I - góc phần tử z1 , , zm I : X  I  J (theo 2.2.2) Vì cần chứng minh giao thu gọn Thật giả sử ngược lại giao khơng thu gọn Khi giả sử   I   P  z j  ; j  1, , k với k  m (khi z1 , , zk phần tử I - góc) Từ suy zm  I zm  P  zm   I Do theo 2.2.15 tồn đơn thức g thỏa mãn gzm phần tử I - góc Vì gzm  zi với i  1, , k đó, u mâu thuẫn với giả thiết zi  z j R với i  j 1, , m Vậy ta có u phải chứng minh nghĩa giao nói thu gọn Định lý sau cho thấy phân tích Định lý 2.3.1 c a iđêan đơn thức 2.3.10 Định lý Cho z1 , , zm w1 , , w n đơn thức cho    P  z j  ; j  1, , m  P  w i  ; i  1, , n giao thu gọn iđêan tham số Khi n  m z1 , , zm  w1 , , w n  Chứng minh Đặt I  P  z j  ; j  1, , m Khi theo Mệnh đ 2.3.8 ta có z1 , , zm phần tử I - góc theo Mệnh đ 2.2.2 chúng đơn 30 thức  I : X  \ I Tuy nhiên, theo giả thiết I  P  w i  ; i  1, , n tương tự w1 , , w n phần tử I - góc (thay z1 , , zm w1 , , w n ) Vì n  m w1 , , w n   z1, , zm  2.3.11 Mệnh đ Giả sử x1 , , xm R - dãy hoán vị được, I iđêan đơn thức thỏa mãn Rad  I   Rad  X  , z1 , , zm phần tử I - góc f đơn thức Khi đó:   (i) f I  P  w j  ; j  1, , m  f R f z1 , , f zm phần tử f I - góc (ii) I : f R  P  w j  ; j  1, , k z j  w j f với j  1, , k z j  fR với j  k  1, , m (với k 0,1, , m ) w1 , , w k phần tử I : fR - góc Chứng minh (i) Vì hốn vị c a x1 , , xd R - dãy đơn thức 2.2.2 z j   I : X  \ I dễ dàng kiểm tra quy nên theo Mệnh đ fz j   fI : X   fI với j  1, , m P  fz j  : fR  P  z j  khác x fz j phần tử fI - góc Mặt a1 b1 1   f  x1b1 , , xdbd , z j  x1a1 , , x1ad P  fz j  : fR   , , xdad bd 1 R : x2b2 xdbd R   x1a1 1, , xdad 1 R  P  z j  Do P  fz  ; j  1, , m  fR  f P  fz  ; j  1, , m : fR  f  P  fz  : fR; j  1, , m  f P  fz  ; j  1, , m  fI     j j j j (ii) Theo 2.1.3 z j  fR f  P  z j  Do z j  fw j với j  1, , k z j  fR (vì f  P  z j  ) với j  k  1, , m Định lý 2.3.1   I : fR  P  z j  ; j  1, , m : fR  P  z j  : fR; j  1, , m       P  w j f  : fR; j  1, , k   P  w j  ; j  1, , k Theo Mệnh đ   P  w j  ; j  1, , k  2.3.8 giao thu gọn w1 , , w k phần tử I : fR - góc Do ta cần chứng minh giao thu gọn 31 Thật giả sử ngược lại giao khơng thu gọn tồn  h  k thỏa mãn I : fR   P  w j  ; j  1, , k  giao thu gọn Vì w1 , , w h phần tử I : fR - góc Do wk  I : fR wk  I : fR Nếu wk  I : fR gw k phần tử I : fR - góc với đơn thức g 2.2.15 Vì gw k  w j với j  1, , h ( g  ) Do gzk  fgw k  fw j  z j suy z j  gzk  I u mâu thuẫn với z j phần tử I - góc Vì w k  I : fR không xảy w k  I : fR zk  fwk  I u mâu thuẫn với zk phần tử I - góc Như hai trường hợp w k  I : fR   w k  I : fR đ u khơng xẩy  P  w j  ; j  1, , k giao thu gọn Vậy w1 , , w k phần tử I : fR - góc 2.3.12 Hệ Với kí hiệu Hệ 2.3.11, cho J   f1 , , fn  R iđêan đơn thức, w j ,i đơn thức thỏa mãn z j  w j ,i fi (nếu z j  fi R ) w j ,i  (nếu z j  fi R ) Khi I : fR  P  w j.i  ; j  1, , m i  1, , n phần tử I : J - góc số mn đơn thức w j ,i Chứng minh Nếu w j ,i  P  w j ,i   X X chứa tất iđêan tham số Vì Hệ suy từ 2.3.11-(ii) I : J  I : fRi ; i  1, , n Để chứng minh định lý đưa phân tích tham số thu gọn c a iđêan sinh lũy thừa k c a đơn thức sinh c a iđêan đơn thức cần định nghĩa b đ sau 2.3.13 Định nghĩa Nếu J   f1 , f , , f n  R iđêan đơn thức k số ngun dương kí hiệu J k  :=  f1k , f 2k , , f nk  R 2.3.14 Bổ đ Cho J iđêan đơn thức, g đơn thức k số nguyên dương Khi g  J g k  J k  Chứng minh Rõ ràng g  J g k  J k  32 g k  J k  ta chứng minh g  J Thật cho J   f1 , , f n  R , Giả sử f i đơn thức i  1, , n Khi theo giả thiết Chú ý 2.1.2 g k  fi k R với i  1, , n g k fi k đơn thức theo R - dãy x1k , , xdk nên theo Chú ý 2.1.2 tồn đơn thức s x1k , , xdk cho g k  sfi k Khi rõ ràng tồn đơn thức t theo x1 , , xd thỏa mãn t k  s , suy g k  sfi k  t k fi k g  tfi  J 2.3.15 Định lý Cho I iđêan đơn thức thỏa mãn Rad  I   Rad  X  , z1 , , zm phần tử I - góc k số nguyên dương Khi  I    Pzj  k  k   ; j  1, , m phân tích I k  thành giao thu gọn iđêan tham số Chứng minh Cho I   f1 , , f n  R ý x1k , , xdk R - dãy Khi f i đơn thức (theo x1 , , xd ) I k    f1k , , f nk  R nên I k  sinh đơn thức theo x1k , , xdk Rad  I k    Rad  X k   (do Rad  I   Rad  X  ) Mặt khác với j  1, , m z j đơn thức theo x1 , , xd thỏa mãn z j xi  I với i  1, , d z kj đơn thức theo x1k , , xdk thõa zj I mãn z kj  I k  z kj xik  I k  với i  1, , d Do m phần tử z1k , , zmk số phần tử I k  - góc Bây cho z * phần tử I k  - góc z * đơn thức theo x1k , , xdk thỏa mãn z*  I k  z* xik  I k  với i  1, , d Rõ ràng tồn đơn thức theo x1 , , xd thỏa mãn z k  z* z  I (khi zk  I  k ) zxi  I (theo 2.3.14 z k xik  I k  ) Do z phần tử I - góc z  z p với p  1, , m suy z*  z k  z kp Do z1k , , zmk phần tử I k - góc từ Định lý 2.3.1 ta có I k   P  z kj  ; j  1, , m 33 Cuối cố định z kj  x1ka1 xdkad   x1k   xdk  a1    x  P z kj  k a1 1   xdk  ad 1 ak j  1, , m  cho z j  x1a1 , , xdad Khi theo Định nghĩa 2.1.1 - (ii) R P  z j    x1a 1 , , xda 1  R P  z kj    P  z j   k  d  Vậy I k     P  z j   ; j  1, , m k  Hệ sau phần tử I - góc xác định phần tử k I   - góc 2.3.16 Hệ Với kí hiệu Định lý 2.3.1, c( I )  c( I k  ) Hơn nữa, z1 , , zm phần tử I - góc, z j  x1a , , xda j ,1 m đơn thức z jk   x1 ka j ,1  k 1 ka j ,d  k 1 .xd j ,d phần tử I k  - góc Chứng minh Áp dụng Định lý 2.3.15 Mệnh đ 2.3.8 KẾT LUẬN 34 Luận văn trình bày kết báo [5] c a W Heinzer, L J Ratliff Jr K Shah v phân tích tham số c a iđêan đơn thức Cụ thể luận văn trình bày nội dung sau đây:  n  d  2 Chứng minh chi tiết kết quả: X n giao thu gọn c a   iđêan tham  d 1  số với X iđêan sinh R - dãy (Định lý 2.1.4) Định nghĩa số tính chất c a phần tử góc c a iđêan đơn thức (Mục 2.2) Chứng minh kết quả: Nếu I iđêan đơn thức thỏa mãn Rad  I   Rad  X  I phân tích thành giao c a hữu hạn iđêan tham số phân tích (Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.10) Tài liệu tham khảo 35 Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003) Giáo trình Đại số đại Nhà xuất Đại học Quốc gia [2] Lê Tuấn Hoa (2003) Đại số máy tính sở Grobner NXB ĐHQG Hà Nội [3] Dương Quốc Việt (2008) Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học Sư phạm Tiếng Anh [4] M F Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Publishing Company [5] W Heinzer, L J Ratliff Jr and K Shah (1995), Parametric decomposition of monomial ideals I, Houston J Math., 21, 29-52 [6] W Heinzer, A Mirbagheri, L J Ratliff Jr and K Shah (1997), Parametric decomposition of monomial ideals II, J Algebra, 187, 120-149 [7] H Matsumura (1970), Commutative algebra, Benjamin ... 13 Chƣơng Iđêan đơn thức 14 2.1 Sự phân tích tham số c a lũy thừa R - dãy 14 2.2 Các phần tử góc c a iđêan đơn thức 17 2.3 Sự phân tích tham số c a iđêan đơn thức 25 Kết... hốn có đơn vị  0; x1, , xd dãy qui c a R Mỗi biểu thức dạng x1n1 xdnd n1 , , nd số nguyên không âm gọi đơn thức (theo x1 , , xd ) Một iđêan thực c a R sinh đơn thức gọi iđêan đơn thức Mỗi iđêan. .. Theo định nghĩa iđêan đơn thức không khả nghịch Iđêan tham số ( x1 n x d R - dãy x1 n , , x d nd nd ) R iđêan đơn thức sinh (ii) Cho f g đơn thức Khi đó: a Nếu f1 , , f n đơn thức f   f1 ,