Vành nửa hoàn chỉnh và QF vành

mục lục Mở đầu 1 Chơng I: các khái niệm cơ sở .3 1. Môđun con cốt yếu môđun con bé 3 2. CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục 4 3. Môđun đều và chiều Goldie .5 4. Linh hoá tử và môđun suy biến .6 5. Vành nửa hoàn chỉnh, vành tựa Frobenius 7 Chơng II: Một số lớp vành .8 1. Vành nửa hoàn chỉnh .8 2. Vành tựa Frobenius 14 Chơng III: Điều kiện để vành nửa hoàn chỉnh là QF -vành 21 kết luận .33 Tài liệu tham khảo .34. Mở đầu Có hai hớng chính để nghiên cứu lý thuyết vành. Hớng thứ nhất sử dụng nội tại các tính chất của nó thông qua lớp các iđêan và hớng thứ hai là đặc trng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng. Về mặt lịch sử hớng thứ nhất phát triển sớm hơn và đã đa ra những đinh nghĩa và đặc tr- ng ban đầu về các lớp vành khá quen thuộc hiện nay nh vành nửa đơn, các vành tựa Frobenius, vành Artin vành Noether, vành nửa nguyên tố, .Hớng thứ hai xuất hiện muộn hơn nhng tỏ ra khá hiệu quả.Kết quả đầu tiên và hoàn chỉnh nhất là đặc trng của vành Artin nửa đơn: Vành R là Artin nửa đơn khi và chỉ khi mọi R -môđun là nội xạ, khi và chỉ khi mọi R -môđun là xạ ảnh. Xuất phát từ đây, ngời ta đã thu đợc nhiều đặc trng khác nhau của các lớp vành thoả mãn điều kiện hữu hạn. Chẳng hạn đặc trng vành tựa Frobenius của Faith- walker[6,Chapter24], củaOshiro[14], N.V.Dũng[5],D.V.Huỳnh[4],Nicholson.W.K and Yousif.M.F[10]. Trong các lớp môđun, lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh đợc xem nh hai trụ cột trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành.Sau khi lớp các CS-môđun ra đời cho đến nay, lý thuyết môđun đợc phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Trở lại hớng thứ nhất trong nghiên cứu lý thuyết vành bởi các tính chất nội tại của nó. Sau khi xuất hiện các lớp vành liên tục, CS-vành, việc đặc trng các lớp vành bởi các điều kiện liên tục nội xạ tỏ ra hiệu nghiệm. Ar-park[2] đã chứng minh đợc rằng một vành liên tục phải R là nửa nguyên sơ nếu / ( ) R R Soc R thoả mãn ACC cho các linh hoá tử phải và từ đó đa đến đặc trng về QF-vành: Nếu R là liên tục (phải, trái) với / ( ) R R Soc R là vành Goldie phải, khi đó R là QF-vành và đặc trng vành nửa hoàn chỉnh. Theo hai hớng nghiên cứu nói trên,luận văn tập trung vào việc khảo sát cấu trúc vành dựa trên các điều kiện nội xạ liên tục và lớp CS-môđun . 2 Luận văn gồm 3 chơng: Chơng I: Chúng tôi đa ra những định nghĩa và một số kết quả cơ bản liên quan đến luận văn. Chơng II: Bao gồm hai phần chính: trong phần 1 của chơng này chúng tôi trình bày một số đặc trng của vành nửa hoàn chỉnh; Trong phần 2 chúng tôi trình bày một số đặc trng của vành tựa Frobenius (còn gọi là QF-vành) Chơng III: Chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện để vành nửa hoàn chỉnh là QF-vành . Kết quả chính của phần này chúng tôi đã trình bày chi tiết chứng minh : Nếu R là một vành nửa hoàn chỉnh sao cho các môđun con đóng của ( )R là không bé thì R là QF-vành ( trong đó ( )R ký hiệu là tổng trực tiếp của bản R -môđun phải R và là tự số vô hạn đầu tiên). Từ đó chúng tôi trình bày đặc trng QF-vành bởi các điều kiện liên tục và lớp CS-môđun. Kết quả của luận văn là quá trình tìm tòi nghiên cứu tài liệu, hệ thống hoá nội dung. Đặc biệt dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng chúng tôi đã học tập và tích luỹ đợc những kiến thức vô cùng quan trọng cho việc thực hiện đề tài. Luận văn bắt đầu đợc thực hiện từ 8/2006 và hoàn thành tại trờng Đ.H.Vinh dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc của mình tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, ngời đã dẫn dắt và dạy dỗ tận tình, thờng xuyên dành cho tác giả sự động viên nhiệt tình trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán trờng Đại HọcVinh đã dành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tác giả. Cảm ơn các thầy cô trong khoa sau đại học đã tạo điều kiện tốt cho việc học tập của tác giả. Tác giả cảm ơn NCS. Lê Văn An và nhóm Xêmina đã đóng góp ý kiến trong việc thực hiện luận văn. 3 Chơng I Các khái niệm cơ sở Chơng này chúng tôi sẽ trình bày những định nghĩa và kết quả cơ bản liên qua đến luận văn. Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu,chúng tôi chủ yếu dựa theo Anderson-Fuller [1]; Nicholson.W.K and Yousif.M.F[10] và Faith [6]. Các vành luôn luôn đợc giả thiết là vành kết hợp có đơn vị,các môđun trên vành luôn luôn đợc hiểu là unita (nếu không nói gì thêm). Giả sử A là một tập hợp tuỳ ý. Ký hiệu ( )A M dành cho tổng trực tiếp và A M cho tích trực tiếp các bản sao của .M Nếu N là môđun con, môđun con thực sự chúng ta viết N M và N M tơng ứng nếu không có sự hiểu nhầm nào về lý thuyết tập hợp. Ta viết , R R R R để chỉ R - môđun phải R và R -môđun trái .R Để thuận lợi đối với mỗi môđun con N của M ta viết môđun thơng là / .M N Đ1. Môđun con cốt yếu và môđun con bé 1.1 Môđun con cốt yếu Cho M là một R - môđun phải và N là một môđun con của M . (1) Môđun con N đợc gọi là cốt yếu trong M và ký hiệu là , ess N M nếu với mọi môđun con ,K M 0K thì 0.N K Nếu N là môđun con cốt yếu của ,M ta sẽ nói rằng M là mở rộng cốt yếu của .N 4 (2) Môđun con N đợc gọi là đóng trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự trong .M Nói khác đi N gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà ess N K thì K N= . (3) Môđun con K của M đợc gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K . (4) Bao đóng của một môđun con N trong M luôn tồn tại, (xem [9, trang 19]). 1.2. Môđun con bé Môđun bé. (1) Một môđun con B của môđun M đợc gọi là bé (hay là đối cốt yếu ) trong M và ký hiệu ,B M<< nếu với mọi môđun con L của ,M L M thì B L M + nói cách khác, nếu B L M + = thì .L M= (2) Một môđun M đợc gọi là bé nếu M là môđun con bé trong bao nội xạ ( )E M của .M Đ2. CS-môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục Cho M là một R -môđun phải. Ta xét các điều kiện sau: 1 ( )C Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của ,M hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của .M 2 ( )C Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của .M 3 ( )C Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và 0A B = thì A B cũng là hạng tử trực tiếp của .M 5 (1) Một môđun M đợc gọi là CS-môđun ( hay môđun extending), nếu M thoả mãn điều kiện 1 ( ).C (2) Môđun M đợc gọi là liên tục nếu M thoả mãn các điều kiện 1 ( )C và 2 ( ).C (3) Môđun M đợc gọi là tựa liên tục nếu M thoả mãn điều kiện 1 ( )C và 3 ( )C (4) Một vành R gọi là CS-vành (liên tục,tựa liên tục) phải nếu R R là CS-môđun (liên tục,tựa liên tục) nh một R môđun phải .R Tơng tự ta có các khái niệm CS-vành, vành liên tục và tựa liên tục trái. Ta có thể chứng minh đợc nếu M thoả mãn 2 ( )C thì cũng thoả mãn 3 ( )C Đ3. Môđun đều và chiều Goldie. 1.3. Môđun đều Giả sử R là một vành, một R môđun phải U đợc gọi là đều (hay uniform) nếu 0U và 0A B đối với mọi môđun con khác không ,A B của .U Hay nói cách khác, U là đều nếu 0U và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong .U 1.4. Chiều Goldie. (1) Một môđun M trên một vành R gọi là có chiều Goldie (hay chiều đều ) hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không trong .M M đợc gọi là có chiều Goldie vô hạn trong trờng hợp ngợc lại. (2) Giả sử R là một vành, ta gọi chiều Goldie phải của R là chiều Goldie của R môđun phải ,R và gọi chiều Goldie trái của R là chiều Goldie của R - môđun trái .R 6 Đ4. Linh hoá tử và môđun suy biến 1.5. Linh hoá tử . (1) Cho M là một R - môđun phải và m M Tập hợp { } ( ) : 0 R r m r R mr= = đợc gọi là linh hoá tử của phần tử m và viết gọn là ( )r m và { ( ) : 0 R r M r R mr= = với mọi } m M đợc gọi là linh hoá tử của môđun ,M viết gon là ( ).r M Một môđun M đợc gọi là trung thành nếu ( ) 0.r M = (2) Cho R là một vành nào đó và S là tập con khác rỗng của vành R . (a) Linh hoá tử phải của S trong R là { ( ) : 0r S x R sx= = với mọi } s S (b) Linh hoá tử trái của S trong R là { ( ) : 0l S x R xs= = với mọi } s S Nếu tập S chỉ gồm một phần tử s R ta viết ( )r s hoặc ( )l s tơng ứng. 1.6. Môđun suy biến và môđun không suy biến (1) Cho một R -môđun phải .M Tập hợp { } ( ) : ( ) ess R R Z M x M r x R= đợc gọi là môđun con suy biến của .M Nếu ( ) R Z M M= ta nói rằng M là môđun suy biến và nếu ( ) 0 R Z M = ta nói M là môđun không suy biến. (2) Cho một vành R 7 (a) Ta gọi iđêan suy biến phải của R là { } ( ) : ( ) ess r Z R x R r x R= tơng đơng { ( ) : 0 r Z R x R xK= = đối với mọi iđêan phải K cốt yếu trong } .R (b) Ta gọi iđêan suy biến trái của R là { } ( ) : ( ) ess l Z R x R l x R= hay tơng đơng { ( ) : 0 l Z R x R Lx= = đối với mọi iđêan trái L cốt yếu trong } .R Đ5. Vành nửa hoàn chỉnh, vành tựa Frobenius. 1.7. Vành nửa hoàn chỉnh. (1) Một môđun M đợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu ảnh đồng cấu của M đều có bao xạ ảnh. (2) Một vành R gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi R - môđun phải hữu hạn sinh đều có bao xạ ảnh . 1.8. Vành tựa Frobenius . Vành R gọi là tựa Frobenius (viết tắt là QF-vành) nếu R là vành Artin phải và trái và thoả mãn điều kiện ( ( )) , ( ( ))r l A A l r B B= = với mọi iđêan phải A và iđêan trái B của .R 1.9. Một số đặc trng của QF-vành. (1) R là QF; (2) R là Artin phải và trái, tự nội xạ phải và trái; (3) R là Noether phải và trái, tự nội xạ phải và trái; (4) R thoả mãn ACC đối với các linh hoá tử phải và là tự nội xạ phải hoặc trái; (5) Mỗi R -môđun phải nội xạ là xạ ảnh; (6) Mỗi R -môđun phải xạ ảnh là nội xạ; (7) R là vành liên tục phải và trái, Artin phải và trái; (8) R là vành liên tục phải và trái và thoả mãn ACC đối với các linh hoá tử phải; (9) R là tự nội xạ phải hay trái và thoả mãn ACC đối với các iđêan phải cốt yếu; (10) R là tự nội xạ phải với / ( ) R R Soc R là Goldie phải; 8 (11) R lµ liªn tôc ph¶i vµ tr¸i víi / ( ) R R Soc R lµ Goldie ph¶i; (12) Mäi R -m«®un ph¶i x¹ ¶nh lµ tùa liªn tôc. 9 Chơng II một số lớp vành Đ1. Vành nửa hoàn chỉnh. Định nghĩa 2.1.1.Một vành R gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi R môđun phải hữu hạn sinh đều có bao xạ ảnh. Mệnh đề 2.1.2. Nếu I là một Nil-iđêan trong vành R thì các luỹ đẳng nâng lên môđunlô .I Chứng minh. Giả sử rằng I là một nil-iđêan trong vành R và g R thoả mãn 2 .g I g I+ = + Gọi n là chỉ số luỹ linh của 2 .g g Chúng ta có thể sử dụng công thức nhị thức sau: 2 2 1 1 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ( 1) ( ) ) n n n n n k k k n k n n k k k k k n n n g g g g g g g g k k k + + = = = = = = = Ta đặt 1 1 1 ( 1) ( ) n k k k n t g R k = = nên ta có 1n n g g t + = và .gt tg= Vì vậy 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) . . n n n n n n n n n n e g t g t t g t g t g t e + + + + + = = = = = = = Nên n n e g t= là một luỹ đẳng, mặt khác 1 1 ( )( ) ( )( ) n n n g I g I g t I g I t I g I t I gt I + + + = + = + = + + = + + = + nên ( ) ( ) n n g I g I gt I e I+ = + = + = + . W Bổ đề 2.1.3. Cho R M có sự phân tích 1 . n M M M= sao cho mỗi số hạng i M có một bao xạ ảnh. Thì một R đồng cấu :p P M là một bao xạ ảnh khi và chỉ khi P có một sự phân tích 1 . n P P P= sao cho với mỗi 1, .,i n= ( |: ) i i p M P là một bao xạ ảnh. 10