Một số đặc trưng mới của môđun và vành nửa hoàn chỉnh

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN THƯỞNG MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG MỚI CỦA MÔĐUN VÀ VÀNH NỬA HOÀN CHỈNH Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Thừa Thiên Huế, năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố công trình khác Nguyễn Văn Thưởng LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo Thầy giáo, GS.TS Lê Văn Thuyết Tơi xin gửi đến Thầy kính trọng lịng biết ơn sâu sắc Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, quý Thầy Cô giáo Khoa Tốn Trường, Phịng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế quý Thầy Cơ giáo tham gia giảng dạy Cao học Khóa 24, người giúp tơi có kiến thức khoa học điều kiện để hoàn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên Huế, Trường THPT Phong Điền tạo điều kiện giúp hồn thành khóa học Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn người thân, bạn bè, đặc biệt bạn học viên cao học Tốn Khóa 24 - Trường Đại học Sư phạm Huế quan tâm, giúp đỡ động viên suốt thời gian học tập vừa qua Nguyễn Văn Thưởng MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng chữ viết tắt Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun vành Noether, Artin 1.2 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp dãy khớp 1.3 Môđun tự do, môđun xạ ảnh môđun phẳng 1.4 Môđun đơn môđun nửa đơn, vành đơn vành nửa đơn 11 1.5 Tập lũy linh, tập T-lũy linh tập linh 15 1.6 Căn Jacobson vành nửa nguyên sơ 15 1.7 Lũy đẳng phân tích vành 17 1.8 Môđun vành địa phương, vành nửa địa phương 20 Chương Một số đặc trưng mơđun vành nửa hồn chỉnh 23 2.1 Phủ xạ ảnh phủ xạ ảnh tổng quát 23 2.2 Lũy đẳng nâng 32 2.3 Vành nửa hoàn chỉnh 34 2.4 Vành hoàn chỉnh 47 2.5 Mơđun nửa hồn chỉnh 55 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 67 BẢNG CHỮ VIẾT TẮT Ký hiệu Nghĩa ký hiệu N : tập hợp số tự nhiên Z : tập hợp số nguyên Q : tập hợp số hữu tỷ R : tập hợp số thực R : vành có đơn vị = MR : mơđun phải vành R RM : môđun trái vành R A⊆B : A môđun (tập con) B T ⊆max R : T iđêan cực đại R A⊆B : A môđun (tập con) thực B A ≤e M : A môđun cốt yếu môđun M A : A môđun đối cốt yếu môđun M M Rad(M ) : Jacobson môđun M J(R) : Jacobson vành R Soc(M ) : đế môđun M A⊕B : tổng trực tiếp hai môđun A B B : tích trực tiếp hai mơđun A B A∼ =B : A đẳng cấu với B Mn (R) : vành ma trận cỡ n × n vành R EndR (M ) : vành tự đồng cấu R-môđun M HomR (A, B) : nhóm đồng cấu R-mơđun A B A(X) : tổng trực tiếp |X| A Imf : ảnh đồng cấu f Kerf : hạt nhân đồng cấu f LỜI MỞ ĐẦU Vành nửa hồn chỉnh vành hồn chỉnh phía khái quát từ vành Artin phía chúng khái quát từ vành nửa nguyên sơ Như biết, vành R gọi vành địa phương có iđêan phải (hoặc trái) cực đại, vành R gọi vành nửa địa phương vành thương R/J(R) nửa đơn Vành R gọi vành nửa nguyên sơ R/J(R) vành nửa đơn J(R) lũy linh Vành R gọi vành hoàn chỉnh phải (trái) R vành nửa địa phương J(R) T-lũy linh phải (trái, tương ứng), vành R gọi vành nửa hoàn chỉnh R vành nửa địa phương lũy đẳng nâng modulo J(R) Mặt khác, J(R) lũy linh T-lũy linh hai phía Hơn nữa, J(R) T-lũy linh (một phía đó) lũy đẳng nâng modulo J(R) Bởi vành hoàn chỉnh phải trái nửa hồn chỉnh Bên cạnh hai lớp vành trường hợp đặc biệt vành nửa địa phương chứa vành nửa nguyên sơ tất nhiên chúng chứa tất vành Artin phía Tóm lại, ta có mối quan hệ lớp vành thể qua sơ đồ sau: vành Artin (một phía)  vành nửa ngun sơ  vành hồn chỉnh phải (hoặc trái)  vành địa phương +3 vành nửa hồn chỉnh  vành nửa địa phương Do đó, việc cần thiết hệ thống làm rõ mối quan hệ lớp vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh với lớp vành Artin trái (phải), vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa phương vành địa phương Ngoài ra, liên quan đến khái niệm phủ xạ ảnh ta có số đặc trưng, là: vành R vành hoàn chỉnh phải R-mơđun phải có phủ xạ ảnh, vành R vành nửa hoàn chỉnh R-môđun phải (trái) hữu hạn sinh có phủ xạ ảnh, Hơn nữa, báo Goro Azumaya “Đặc trưng môđun vành nửa hoàn chỉnh”, nêu lên đặc trưng liên quan đến khái niệm phủ xạ ảnh tổng quát, là: lớp vành mà R-mơđun trái đơn có phủ xạ ảnh tổng quát kiến thức khác Với mong muốn tìm hiểu thêm lớp mơđun vành nửa hoàn chỉnh liên quan đến hai khái niệm phủ xạ ảnh phủ xạ ảnh tổng quát, định hướng thầy hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết, chọn đề tài: “Một số đặc trưng mơđun vành nửa hồn chỉnh” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Qua việc nghiên cứu này, tổng quan hầu hết đặc trưng vành nửa hồn chỉnh, có số đặc trưng so với đặc trưng cổ điển trước CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị Trong tồn luận văn này, khơng nói thêm ta ln xét R vành có đơn vị, khác không tất môđun xét đến vành R R-môđun trái Unita Chương dành cho việc trình bày kiến thức môđun vành Noether, Artin; môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun phẳng, môđun đơn, môđun nửa đơn, vành đơn, vành nửa đơn, vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa phương, tập lũy linh, tập T-lũy linh, tập linh, Jacobson số kiến thức khác Hầu hết kiến thức chương trích từ tài liệu tham khảo [1], [2], [6] [7] 1.1 Môđun vành Noether, Artin Định nghĩa 1.1.1 Một họ tập {Ci }i∈I tập hợp C gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt ACC) họ không tồn dây chuyền vô hạn, tăng nghiêm ngặt: Ci1 Ci2 Điều tương đương với khẳng định sau: (1) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆ Ci2 ⊆ họ dừng, nghĩa tồn n ∈ N cho Cin = Cin+1 = Cin+2 = (2) Mọi họ khác rỗng họ có phần tử cực đại Định nghĩa 1.1.2 Một họ tập {Ci }i∈I tập hợp C gọi thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt DCC) họ không tồn dây chuyền vô hạn, giảm nghiêm ngặt: Ci1 Ci2 Điều tương đương với khẳng định sau: (1) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇ Ci2 ⊇ họ dừng, nghĩa tồn n ∈ N cho Cin = Cin+1 = Cin+2 = (2) Mọi họ khác rỗng họ có phần tử cực tiểu Như vậy, trình bày số kiến thức điều kiện dây chuyền tăng điều kiện dây chuyền giảm Bây ta xét đến môđun mà họ gồm tất môđun chúng thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm, mơđun định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.3 Cho vành R M R-môđun trái (hoặc R-môđun phải) Ta gọi M Noether (Artin) họ gồm tất môđun M thỏa mãn ACC (DCC) Định nghĩa 1.1.4 Vành R gọi vành Noether trái (phải) R Noether xem R-môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R gọi vành Noether trái (phải) điều kiện sau thỏa mãn: (1) Mọi dây chuyền tăng iđêan trái (phải) R dừng (2) Mọi tập khác rỗng gồm iđêan trái (phải) R có phần tử cực đại Định nghĩa 1.1.5 Vành R gọi vành Artin trái (phải) R Artin xem R-mơđun trái (phải) Nói cách khác, vành R gọi vành Artin trái (phải) điều kiện sau thỏa mãn: (1) Mọi dây chuyền giảm iđêan trái (phải) R dừng (2) Mọi tập khác rỗng gồm iđêan trái (phải) R có phần tử cực tiểu Định nghĩa 1.1.6 Một R M gọi hữu hạn sinh tồn tập hữu hạn {a1 , a2 , , an } ⊆ M cho M = Ra1 + Ra2 + + Ran Khi ta nói M có tập sinh hữu hạn 1.2 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp dãy khớp Cho họ khác rỗng môđun {Mi }i∈I vành hệ tử R, ta xác định tập tích Descartes i∈I Mi phép toán sau: (xi ) + (xi ) = (xi + xi ) r (xi ) = (rxi ) với (xi ) , (xi ) ∈ i∈I Mi với r ∈ R Với phép tốn trên, i∈I Mi mơđun gọi tích trực tiếp họ {Mi }i∈I Nó ký hiệu i∈I Mi hay đơn giản Với k ∈ I, ta có cặp phép nhúng jk : Mk → Mi Mi phép chiếu Mi → Mk xác định công thức sau:   x i = k k jk (xk ) = ([jk (xk )]i ) [jk (xk )]i = với  i = k xk ∈ Mk pk : pk [(xi )] = xk , với (xi ) ∈ Mi Các phép nhúng jk đơn cấu phép chiếu pk toàn cấu Mối quan hệ phép nhúng phép chiếu mô tả công thức:   p j =1 k k Mk  p j =0 k l k = l Hơn nữa, phần tử x ∈ Mi hoàn toàn xác định giá trị chiếu nó, cụ thể: x = (pi (x))i∈I Cho họ môđun {Mi } , {Mi } có tập số I họ đồng cấu (2) ⇒ (3) Trước hết ta J T-lũy linh phải Giả sử ngược lại, ta chọn dãy a1 , a2, J cho an a2 a1 = với n Gọi L iđêan trái cực đại tập {I ⊆ R R| an a2 a1 ∈ / J với n} Theo (2), gọi K/L môđun đơn R/L Do tính cực đại L, tồn m ≥ cho am a2 a1 ∈ K Khi am+1 am a2 a1 ∈ K\L, thế, từ K/L đơn, K = L + Ram+1 am a2 a1 Từ đó, am a2 a1 = x + am+1 am a2 a1 với x ∈ L, r ∈ R, am a2 a1 = (1 − ram+1 )−1 x ∈ L, mâu thuẫn Vậy J T-lũy linh phải Từ J linh, lũy đẳng nâng modulo J, R/J I-hữu hạn Hơn nữa, iđêan trái R/J chứa iđêan trái đơn (2) thế, chứa lũy đẳng khác khơng Rad(R/J) = Vậy R/J nửa lũy đẳng, theo Định lý 2.3.3, R/J nửa đơn Giả sử MR = 0, M = M J Mệnh đề 2.4.2 Khi đó, M/M J = nửa đơn (do R/J nửa đơn), chứa mơđun cực đại Do đó, MR chứa mơđun cực đại (3) ⇒ (1) Theo Mệnh đề 2.4.2, ta cần chứng minh M J = M với MR = Nhưng theo (3), M có mơđun cực đại N đó, M J ⊆ N (vì M J ⊆ Rad(M ) ⊆ N ) Đặc trưng sau vành hoàn chỉnh liên quan đến tồn phủ xạ ảnh R-môđun, tương tự vành nửa hoàn chỉnh Định lý 2.4.9 ([1], Định lý 2.2.8, tr.144) Cho vành R Những điều kiện sau tương đương: (1) R vành hồn chỉnh phải; (2) Mọi R-mơđun phải có phủ xạ ảnh; (3) Mọi R-mơđun phải nửa đơn có phủ xạ ảnh Chứng minh Phần chứng minh Định lý 2.4.9 xem ([1], tr.144) 53 Ngoài ra, vành hoàn chỉnh cịn có số đặc trưng đẹp khác c nghiờn cu bi cỏc tỏc gi Bass, Bjă ok Jonah, phép chứng minh phức tạp khuôn khổ luận văn không sâu vào nội dung nên nêu đặc trưng sau Định lý 2.4.10 ([1], Định lý 2.2.9, tr.145) Cho vành R Những điều kiện sau tương đương: (1) R vành hoàn chỉnh phải; (2) R thỏa mãn ACC R-môđun phải cyclic (Jonah); (3) R thỏa mãn DCC iđêan trái cyclic (Bass); (4) R thỏa mãn DCC iờan trỏi hu hn sinh (Bjă ok) Bõy gi, chỳng ta quay lại định lý hiểu ý nghĩa tầm quan trọng chúng Các đặc trưng vành nửa hoàn chỉnh Định lý 2.3.8 Định lý 2.4.8 đặc biệt, chứng tỏ tính đối xứng trái-phải vành nửa hồn chỉnh Hơn nữa, nhận thấy là, nhóm điều kiện Định lý 2.3.8 tính chất lý thuyết vành túy, cịn nhóm điều kiện Định lý 2.4.8 lại tính chất đồng đều, (cũng vậy, so sánh nhóm điều kiện Định lý 2.4.8 Định lý 2.4.9) Điều ví dụ sinh động cho quan hệ mật thiết khái niệm tưởng chừng khác qua vẻ bề Trong lý thuyết vành kết hợp, tính chất có phía phải vành khơng thiết có phía trái vành Trong lớp vành cụ thể, việc chứng minh tính chất có phía phải vành có phía trái vành, việc tìm phản thí dụ chứng tỏ tính chất có phía phải khơng có phía trái khơng đơn giản Để ý rằng, không giống tương ứng trái-phải vành nửa hồn chỉnh, có vành hồn chỉnh phía khơng hồn chỉnh phái (xem Ví dụ 2.4.6) Quan sát Định lý 2.4.8, Định lý 2.4.9 Định lý 2.4.10, hai điều kiện (2) (3) điều kiện R-mơđun trái điều kiện cịn lại phát biểu 54 R-môđun phải Việc đặc trưng khái niệm phát biểu phía khái niệm phía bên điều hồn tồn khơng tự nhiên thú vị 2.5 Mơđun nửa hồn chỉnh Định nghĩa 2.5.1 Cho M R-mơđun trái (1) Mơđun M gọi nửa hồn chỉnh ảnh tồn cấu M có phủ xạ ảnh (2) Mơđun M gọi nửa hồn chỉnh tổng quát ảnh toàn cấu M có phủ xạ ảnh tổng quát Nhận xét 2.5.2 (1) ([7], Corollary 11.1.4, p.276) Mọi ảnh toàn cấu mơđun nửa hồn chỉnh nửa hồn chỉnh (2) R-mơđun R nửa hoàn chỉnh vành R nửa hồn chỉnh (3) R-mơđun R nửa hoàn chỉnh tổng quát vành R nửa hoàn chỉnh Như vậy, vành R ta khơng phân biệt khái niệm nửa hồn chỉnh nửa hoàn chỉnh tổng quát Trước đến với đặc trưng mơđun nửa hồn chỉnh, ta xét đến số kết quan trọng mệnh đề sau Mệnh đề 2.5.3 ([5], Proposition 3, p.34) Cho M R-mơđun trái khác khơng có phủ xạ ảnh tổng qt Khi M có mơđun cực đại Chứng minh Cho P phủ xạ ảnh tổng quát M toàn cấu f : P → M, nghĩa Kerf ⊆ JP Khi P khác khơng JP = P Hơn nữa, P môđun xạ ảnh nên theo Định lý 1.6.16 ta có JP = Rad(P ) giao tất mơđun cực đại P Do đó, P có mơđun cực đại U chứa JP Suy Kerf ⊆ U Vì vậy, f (U ) môđun cực đại M 55 Mệnh đề 2.5.4 ([5], Proposition 4, p.35) Cho P R-môđun trái xạ ảnh Khi điều kiện sau tương đương: (1) P phủ xạ ảnh tổng qt R-mơđun trái đơn; (2) P có môđun cực đại; (3) JP môđun cực đại P Chứng minh (2) ⇔ (3) Do P môđun xạ ảnh nên theo Định lý 1.6.16 ta có JP = Rad(P ) giao tất môđun cực đại P Theo điều kiện (2), P có mơđun cực đại Vậy, môđun cực đại P JP, nghĩa ta có (2) ⇒ (3) Ngược lại, JP môđun cực đại P JP = Rad(P ) giao tất môđun cực đại P, nên JP môđun cực đại P Vậy, ta có (3) ⇒ (2) (1) ⇒ (3) Giả sử P phủ xạ ảnh tổng quát R-mơđun trái đơn S tồn cấu f : P → S, nghĩa Kerf ⊆ JP Do P/Kerf ∼ = S S đơn nên Kerf môđun cực đại P Suy JP ⊆ Kerf, JP = Kerf Vì Kerf mơđun cực đại P nên JP môđun cực đại P, tức (1) ⇒ (3) chứng minh (3) ⇒ (1) Giả sử JP môđun cực đại P Suy P/JP mơđun đơn Xét tồn cấu tắc f : P → P/JP, ta có Kerf = JP Vì vậy, P phủ xạ ảnh tổng quát môđun đơn P/JP tồn cấu f Vậy, ta có (1) Mệnh đề 2.5.5 ([5], Proposition 5, p.35) Cho P R-mơđun trái xạ ảnh Khi điều kiện sau tương đương: (1) P phủ xạ ảnh R-mơđun trái đơn; (2) P có môđun cực đại chứa môđun thực (proper) P ; 56 (3) P khác không JP chứa môđun thực P ; (4) P khác không vành tự đồng cấu P vành địa phương; (5) P ∼ = Re với e lũy đẳng địa phương R Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử P phủ xạ ảnh R-môđun trái đơn S toàn cấu f : P → S, nghĩa Kerf đối cốt yếu P Do P/Kerf ∼ = S S đơn nên Kerf môđun cực đại P Gọi U môđun thực P Khi Kerf + U môđun thực P Kerf ⊆ Kerf + U Do Kerf môđun cực đại P nên Kerf = Kerf + U, tức U ⊆ Kerf Nói cách khác, P có mơđun cực đại chứa môđun thực P Vậy, (1) ⇒ (2) chứng minh (2) ⇒ (3) Giả sử P có mơđun cực đại K chứa mơđun thực P Khi đó, P = K môđun cực đại P Hơn nữa, P môđun xạ ảnh nên theo Định lý 1.6.16 ta có JP = Rad(P ) giao tất môđun cực đại P Do đó, JP = K Vì vậy, JP chứa môđun thực P, nghĩa ta có (3) (3) ⇒ (1) Giả sử có (3) Khi P khác khơng JP chứa môđun thực P Nếu U mơđun thực P U ⊆ JP Do JP + U = JP, JP đối cốt yếu cực đại P Nhờ vậy, ta có P phủ xạ ảnh R-mơđun trái đơn P/JP tồn cấu f : P → P/JP Vậy, (3) ⇒ (1) chứng minh (3) ⇒ (4) Giả sử có (3) Gọi E vành tự đồng cấu P Xét h ∈ E không khả nghịch Giả sử h : P → P toàn cấu Từ giả sử ta mâu thuẫn Thật vậy, h không khả nghịch nên Kerh khác không, P xạ ảnh nên h chẻ Suy Kerh hạng tử trực tiếp P Do tồn mơđun P P cho P = Kerh ⊕ P Vì P khác khơng Kerh khác không nên Kerh P môđun thực P Theo điều kiện (3), Kerh P chứa JP, suy P = Kerh ⊕ P ⊆ JP 57 Vì P = JP, điều mâu thuẫn với Mệnh đề 1.6.15 Do vậy, phần tử không khả nghịch h ∈ E khơng phải tồn cấu, nghĩa Imh ⊆ P Vì thế, Imh mơđun thực P theo điều kiện (3), ta có Imh ⊆ JP Tương tự, h phần tử không khả nghịch E Imh ⊆ JP Suy Im(h + h ) ⊆ Imh + Imh ⊆ JP Do đó, h + h khơng khả nghịch Vậy, E vành địa phương (4) ⇒ (3) Giả sử U V hai môđun thực P cho U +V = P Ta chứng minh U + V ⊆ P Thật vậy, lấy x ∈ P, với x = u + v, u ∈ U, v ∈ V Xét tương ứng f : P → U/(U ∩ V ) xác định x → f (x) = u + (U ∩ V ) ∈ U/(U ∩ V ) Ta chứng tỏ tương ứng đồng cấu Thậy vậy, lấy x ∈ P, với x = u + v , u ∈ U, v ∈ V Nếu x = x u + v = u + v , suy u − u = v − v ∈ U ∩ V, kéo theo u + (U ∩ V ) = u + (U ∩ V ), hay f (x) = f (x ) Hơn nữa, f (rx+r x ) = ru+r u +(U ∩V ) = ru+(U ∩V )+r u +(U ∩V ) = rf (x)+r f (x ) Do vậy, f : P → U/(U ∩ V ) đồng cấu Xét tiếp tồn cấu tắc g : U → U/(U ∩ V ) Do P xạ ảnh nên tồn đồng cấu h : P → U cho g ◦ h = f, tức biểu đồ sau giao hoán P h U y g /  f U/(U ∩ V ) / Do U môđun thực P nên ta xem h phần tử không khả nghịch vành E tự đồng cấu P Khi đó, với x = u + v ∈ P, ta có xh + (U ∩ V ) = g(xh) = f (x) = u + (U ∩ V ) Suy u − xh ∈ U ∩ V , x(1 − h) = x − xh = u + v − xh = (u − xh) + v ∈ ((U ∩ V ) + V ) = V 58 Vì vậy, P (1 − h) ⊆ V Do V môđun thực P nên P (1 − h) môđun thực P, kéo theo − h phần tử không khả nghịch vành E tự đồng cấu P Điều mâu thuẫn với điều kiện (4), vành tự đồng cấu P vành địa phương, h + (1 − h) = 1, với ánh xạ đồng P Nhờ mâu thuẫn nên U + V môđun thực P Nghĩa ta có, tổng hai môđun thực P môđun thực P Mặt khác, V ⊆ U + V nên, V môđun cực đại P U + V = V, kéo theo U ⊆ V Vì vậy, U chứa môđun cực đại P Do P môđun xạ ảnh nên theo Định lý 1.6.16 ta có JP = Rad(P ) giao tất môđun cực đại P Suy U ⊆ JP Như vậy, JP chứa môđun thực P Vậy, (4) ⇒ (3) chứng minh (4) ⇒ (5) Do R môđun tự nên theo Mệnh đề 2.1.1 mơđun P ảnh tồn cấu R, nghĩa tồn toàn cấu f : R → P Xét e phần tử lũy đẳng khác không R ta ln có phân tích R = Re ⊕ R(1 − e) Do P môđun xạ ảnh nên theo Định lý 1.3.10 môđun P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp Re môđun tự R Do đó, vành tự đồng cấu P đẳng cấu vành tự đồng cấu Re Theo Hệ 1.8.16 vành tự đồng cấu Re đẳng cấu với vành eRe Theo điều kiện (4), vành tự đồng cấu P vành địa phương nên eRe vành địa phương Vì e lũy đẳng địa phương Tóm lại, P ∼ = Re với e lũy đẳng địa phương R Vậy, ta có (5) (5) ⇒ (4) Giả sử P ∼ = Re với e lũy đẳng địa phương R Khi đó, eRe vành địa phương Theo Hệ 1.8.16 vành tự đồng cấu Re đẳng cấu với vành eRe nên vành tự đồng cấu Re vành địa phương Nhờ giả thiết P ∼ = Re ta suy vành tự đồng cấu P vành địa phương Như vậy, ta chứng minh xong kết quan trọng Mệnh đề 2.5.3, 2.5.4 2.5.5 Bây ta sử dụng kết Mệnh đề để chứng minh định lý sau 59 Định lý 2.5.6 ([5], Theorem 4, p.37) Cho M R-mơđun trái Khi M nửa hoàn chỉnh tổng quát thỏa mãn hai điều kiện sau: (1) Mỗi môđun thực M chứa môđun cực đại M; (2) Mỗi ảnh toàn cấu M mơđun đơn có phủ xạ ảnh tổng qt Chứng minh (⇒) Giả sử M nửa hoàn chỉnh tổng quát U môđun thực M Khi M/U ảnh tồn cấu khác khơng M tồn cấu f : M → M/U Vì vậy, M/U có phủ xạ ảnh tổng qt Theo Mệnh đề 2.5.3 M/U có mơđun cực đại, giả sử mơđun cực đại M/V Suy môđun thực U chứa môđun cực đại V M, nghĩa (1) thỏa mãn Dễ thấy điều kiện (2) thỏa mãn, (2) trường hợp đặc biệt định nghĩa mơđun nửa hồn chỉnh tổng qt ảnh tồn cấu mơđun đơn (⇐) Giả sử có (1) Xét U môđun thực M Khi tồn mơđun cực đại V M cho U ⊆ V Do đó, S = M/V R-môđun trái đơn Do JS chứa thực môđun S đơn nên JS = 0, kéo theo JM ⊆ V Suy U + JM ⊆ V, tức U + JM môđun thực M Vì vậy, JM đối cốt yếu M Giả sử có (2) Đặt M = M/JM, suy JM = Ta xem M R/J-môđun M tổng trực tiếp R/J-môđun trái đơn, cách tương đương, ta xem M tổng trực tiếp R-môđun trái đơn Thật vậy, gọi C đế M , nghĩa C tổng tất môđun đơn M Giả sử C môđun thực M , ta chứng minh C = M để suy M môđun nửa đơn Theo điều kiện (1), C chứa môđun cực đại D M Do M = M/JM ảnh toàn cấu M toàn cấu M → M/JM M /D ảnh toàn cấu M toàn cấu M → M /D nên M /D ảnh toàn cấu M Theo điều kiện (2), ảnh toàn cấu M 60 mơđun đơn M /D có phủ xạ ảnh tổng quát Theo Mệnh đề 2.5.4, M /D R/J-môđun xạ ảnh trái Giả sử M = D ⊕ D , nhờ phép chiếu tắc j : M = D ⊕ D → D ta suy D đẳng cấu với M /D, với D môđun trái đơn M Do D chứa C, D chứa D Điều mâu thuẫn với D ∩ D = Do đó, C = M M mơđun nửa đơn Nhờ M môđun nửa đơn nên ta giả sử M tổng trực tiếp môđun đơn Si (i ∈ I) Với Si ảnh toàn cấu M toàn cấu M → Si , kéo theo Si ảnh toàn cấu M Theo điều kiện (2) Si có phủ xạ ảnh tổng quát Giả sử phủ xạ ảnh tổng quát Si Pi toàn cấu fi : Pi → Si , với Kerfi = JPi Đặt P = ⊕ Pi Theo Mệnh đề 2.1.17 i∈I P phủ xạ ảnh tổng quát M toàn cấu f = ⊕ fi : P → M , với i∈I Kerf = JP Xét toàn cấu tắc g : M → M = M/JM Do P xạ ảnh nên tồn đồng cấu h : P → M cho g ◦ h = f, tức biểu đồ sau giao hoán P h M ~ g /  f M / Do f : P → M toàn cấu nên f (P ) = g(h(P )) = M , tức Ker(g)+h(P ) = M Hơn nữa, g : M → M = M/JM toàn cấu nên Ker(g) = JM, suy JM + h(P ) = M theo kết chứng minh trên, JM đối cốt yếu M, h(P ) = M Nghĩa h tồn cấu Mặt khác, ta có Kerh ⊆ Kerf nên Kerh ⊆ JP Nhờ h : P → M toàn cấu Kerh ⊆ JP nên P phủ xạ ảnh tổng quát M Do đó, điều kiện (1) (2) Định lý thỏa mãn M có phủ xạ ảnh tổng quát Tuy nhiên, ta thấy điều kiện (1) thừa hưởng ảnh toàn cấu M nữa, ảnh toàn cấu đơn ảnh toàn cấu M ảnh toàn cấu đơn M Vậy, điều kiện (1) (2) Định lý thỏa mãn M mơđun nửa hồn chỉnh tổng quát 61 Theo chứng minh Định lý 2.5.6, với M R-mơđun trái nửa hồn chỉnh tổng qt, ta có JM đối cốt yếu M Hơn nữa, P = ⊕ Pi phủ xạ i∈I ảnh tổng qt M, Pi R-mơđun trái xạ ảnh, theo Mệnh đề 2.5.4 JPi môđun cực đại Pi với i Từ ta có hệ sau: Hệ 2.5.7 ([5], Corollary, p.38) Cho M R-môđun trái nửa hồn chỉnh tổng qt Khi JM đối cốt yếu M M có phủ xạ ảnh tổng quát tổng trực tiếp R-môđun trái xạ ảnh Pi , cho JPi môđun cực đại Pi với i Bây ta xét đến mối quan hệ mơđun phẳng nửa hồn chỉnh tổng qt mơđun xạ ảnh nửa hoàn chỉnh qua định lý sau Định lý 2.5.8 ([5], Theorem 5, p.38) Mọi mơđun phẳng nửa hồn chỉnh tổng qt mơđun xạ ảnh nửa hồn chỉnh Chứng minh Cho M mơđun phẳng nửa hồn chỉnh tổng quát Khi M có phủ xạ ảnh tổng quát theo Định lý 2.1.18 M xạ ảnh Theo Hệ 2.5.7 M có phủ xạ ảnh tổng quát P , tổng trực tiếp R-môđun trái xạ ảnh Pi , cho JPi môđun cực đại Pi với i Ta xem M phủ xạ ảnh M Áp dụng Mệnh đề 2.1.16 với biểu đồ sau giao hoán sau P h M } idM /  f M / ta suy P ∼ = M Nhờ đẳng cấu này, ta giả sử M tổng trực tiếp R-môđun trái xạ ảnh Mi , cho JMi môđun cực đại Mi với i Đặt M = M/JM xét tồn cấu tắc f : M → M = M/JM Lấy N môđun M gọi N = f (N ) ⊆ M Do ta có N = (N + JM )/JM ∼ = N/(N ∩ JM ) 62 Mặt khác, M tổng trực tiếp R-môđun Mi nên JM tổng trực tiếp R-môđun JMi , suy Mi ∩ JM = JMi với i ∈ I Điều tương đương với M = ⊕ Mi , với Mi = Mi /JMi đơn với i ∈ I Do N i∈I môđun M nên ta chọn tập hữu hạn I0 I cho M tổng trực tiếp N ⊕ Mi , nghĩa i∈I0 M = N ⊕( ⊕ Mi ) i∈I0 Đặt U = ⊕ Mi , suy U = ⊕ Mi Do ta có M = N ⊕ U Vì N U i∈I0 i∈I0 môđun M nên N + U môđun M Nhờ vào toàn cấu f : M → M , với M = N ⊕ U M = ⊕ Mi = ( ⊕ Mi ) ⊕( ⊕ Mi ) = U ⊕( ⊕ Mi ), i∈I i∈I0 i∈I\I0 i∈I\I0 ta suy M = U + N + JM Ngoài ra, M mơđun nửa hồn chỉnh tổng qt nên theo Hệ 2.5.7 JM đối cốt yếu M, M = U + N Hơn nữa, N ∩ U môđun M M = N ⊕ U nên f (N ∩ U ) = N ∩ U = 0, kéo theo N ∩ U ⊆ Kerf = JM Vì thế, N ∩ U ⊆ JM ∩ U Do U hạng tử trực tiếp M nên JM ∩ U = JU, suy JU đối cốt yếu U N ∩ U ⊆ JU Xét tồn cấu tắc g : M → M/N, với g(N ) = M = N + U nên g(M ) = g(N ) + g(U ) = M/N, suy g(U ) = M/N Điều tương đương với g = g|U : U → M/N toàn cấu hạn chế g lên U Khi Kerg = N ∩ U ⊆ JU Theo chứng minh JU đối cốt yếu U U hạng tử trực tiếp môđun xạ ảnh M nên U môđun xạ ảnh Nghĩa U phủ xạ ảnh M/N toàn cấu g = g|U : U → M/N Kết với môđun N M, chứng tỏ M mơđun xạ ảnh nửa hồn chỉnh Theo kết chứng minh Định lý 2.5.8, M mơđun phẳng nửa hồn chỉnh tổng qt M xạ ảnh Hơn nữa, M mơđun nửa hồn chỉnh tổng quát nên JM đối cốt yếu M Nhờ ta suy M mơđun xạ ảnh nửa hồn chỉnh Vì vậy, ta có hệ sau: 63 Hệ 2.5.9 ([5], Corollary, p.39) Mọi môđun xạ ảnh nửa hoàn chỉnh tổng quát nửa hoàn chỉnh Hệ 2.5.9 nói lên mối quan hệ mơđun nửa hồn chỉnh tổng qt mơđun nửa hồn chỉnh Cịn mối quan hệ mơđun nửa hồn chỉnh phủ xạ ảnh ta xét đến định lý sau Định lý 2.5.10 ([5], Theorem 6, p.39) Cho M R-mơđun trái nửa hồn chỉnh tổng qt Khi M nửa hồn chỉnh M có phủ xạ ảnh Chứng minh (⇒) Ta xem M ảnh tồn cấu M nên theo Định nghĩa 2.5.1 M nửa hồn chỉnh M có phủ xạ ảnh (⇐) Giả sử M có phủ xạ ảnh P toàn cấu f : P → M Gọi U môđun thực P Khi Kerf đối cốt yếu P f (U ) môđun thực M Do M R-mơđun trái nửa hồn chỉnh tổng quát nên theo Định lý 2.5.6 tồn môđun cực đại N M chứa f (U ) Do đó, f −1 (N ) mơđun cực đại P U ⊆ f −1 (N ) Giả sử ảnh tồn cấu P mơđun S đơn Khi tồn mơđun cực đại V P cho P/V ∼ = S Do Kerf đối cốt yếu P nên Kerf ⊆ V, kéo theo f (V ) môđun cực đại M, P/V ∼ = M/f (V ) Nhờ tính chất bắc cầu ta có S ∼ = M/f (V ) Chứng tỏ S ảnh toàn cấu M, S có phủ xạ ảnh tổng quát, giả thiết M nửa hồn chỉnh tổng quát Do môđun thực U P chứa môđun cực đại f −1 (N ) P ảnh tồn cấu S P có phủ xạ ảnh tổng quát nên theo Định lý 2.5.6 P nửa hồn chỉnh tổng qt Vì P nửa hoàn chỉnh tổng quát P xạ ảnh nên theo Hệ 2.5.9 P nửa hồn chỉnh Theo Định nghĩa 2.5.1 ảnh tồn cấu P có phủ xạ ảnh ảnh toàn cấu P ảnh toàn cấu M nên ảnh toàn cấu M có phủ xạ ảnh Vì M nửa hồn chỉnh 64 KẾT LUẬN Trong luận văn này, đạt kết sau: (1) Hệ thống trình bày kiến thức liên quan, môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun phẳng, môđun đơn, môđun nửa đơn, môđun Artin, vành Artin, vành đơn, vành nửa đơn, vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa phương, tập lũy linh, tập T-lũy linh, tập linh, Jacobson, phân tích vành số kiến thức khác (2) Nghiên cứu phủ xạ ảnh, phủ xạ ảnh tổng quát, tính chất mối quan hệ chúng, nghiên cứu số tính chất phần tử lũy đẳng lũy đẳng nâng modulo I, với I iđêan vành R (3) Trình bày làm rõ mối quan hệ lớp vành hoàn chỉnh, vành nửa hồn chỉnh với lớp vành Artin phía, vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa phương vành địa phương (4) Nghiên cứu số đặc trưng mơđun vành nửa hồn chỉnh Với vành nửa hồn chỉnh ta khảo sát 12 đặc trưng Còn mơđun nửa hồn chỉnh chứng minh kết sau: Mọi mơđun phẳng nửa hồn chỉnh tổng qt mơđun xạ ảnh nửa hồn chỉnh, R-mơđun trái nửa hồn chỉnh tổng quát M nửa hoàn chỉnh M có phủ xạ ảnh Trong phần luận văn tơi đưa số ví dụ để minh họa cho khái niệm, thể tường minh chứng minh định lí, mệnh đề bổ đề Phần lớn kết luận văn nghiên cứu sở kết tác giả H Bass, E A Mares, G Azumaya, trình bày tài liệu tham khảo [1], [2], [5], [6], [7], Các kết đạt luận văn khiêm tốn giúp thân hiểu thêm lớp môđun vành nửa hoàn chỉnh liên quan đến hai khái niệm phủ xạ ảnh phủ xạ ảnh tổng quát hiểu thêm kiến 65 thức liên quan Mặc dù tác giả cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót luận văn Tác giả mong q thầy bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cám ơn! 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] T C Quỳnh, L V Thuyết (2013), Giáo trình Lý thuyết Vành Mơđun, NXB Đại Học Huế [2] L V Thuyết, L Đ Thoang (2017), Giáo trình Vành với điều kiện hữu hạn, NXB Đại Học Huế [3] V T K Xuyến (2011), Vành hoàn thiện nửa hoàn thiện đặc trưng đồng chúng, Luận văn Thạc sĩ Toán học, ĐHSP TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh [4] Anderson F W and Fuller K R (1992), Rings and Categories of Modules, Berlin - Heidelbeng - New York, 2rd edition [5] Azumaya G (1993), A characterisation of semi-perfect rings and modules, in "Ring Theory," edited by S.K Jain and S T Rizvi, Ohio-Denison Conf 1992, World Scientific Publ., Singapore, pp 28-40 [6] Bass H (1960), Finite dimension and a homological generalization of semiprimary rings, Trans Amer Math Soc 95, pp 466-488 [7] Kasch F (1982), Modules and rings, Academic Press Inc (London) LTD [8] Mares E A (1963), Semi-perfect modules, Math Z 82, pp 347-360 [9] Wisbauer R (1991), Foundations of module and ring theory, Gordon and Breach 67 ... cực đại, vành R gọi vành nửa địa phương vành thương R/J(R) nửa đơn Vành R gọi vành nửa nguyên sơ R/J(R) vành nửa đơn J(R) lũy linh Vành R gọi vành hoàn chỉnh phải (trái) R vành nửa địa phương J(R)... lớp vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh với lớp vành Artin trái (phải), vành nửa nguyên sơ, vành nửa địa phương vành địa phương Ngoài ra, liên quan đến khái niệm phủ xạ ảnh ta có số đặc trưng, là: vành. .. lũy đẳng vành R eRe vành địa phương R -môđun phải eR địa phương Định nghĩa 1.8.7 Vành R gọi vành nửa địa phương R/J(R) vành nửa đơn Nhận xét 1.8.8 (1) Vành nửa đơn vành nửa địa phương (2) Vành địa