Vành địa phương và địa phương hóa

TRờng đại học Vinh Khoa Toán === === vành địa phơng và địa phơng hóa Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Cán bộ hớng dẫn khoa học: PGS-TS. ngô sỹ tùng Sinh viên thực hiện: vũ thị huệ Lớp: 42B 1 - Toán Vinh - 2005 1 Lời nói đầu Lý thuyết vành là lý thuyết phong phú và phát triển mạnh mẽ hiện nay. Trong khoá luận này tác giả nghiên cứu một cách tổng quát khái niệm vành địa phơng là lớp vành có vai trò quan trọng không những trong bản thân lý thuyết vành mà còn sử dụng trong một số ngành toán học khác. Đồng thời tác giả nghiên cứu kỹ thuật địa phơng hoá là một trong những kỹ thuật cơ bản hay đợc sử dụng trong đại số giao hoán. Nó giúp ta chuyển nhiều bài toán về trờng hợp vành địa phơng và thậm chí là về việc nghiên cứu Idean cực đại trong vành địa phơng. Khoá luận đợc chia làm 3 phần nh sau: Đ1. Bổ túc về môđun. Đ2. Vành địa phơng. Đ3. Địa phơng hoá. Khoá luận này đợc hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh . Trong quá trình viết khoa luận, tác giả đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của PGS- TS Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin tân trọng gửi đến PGS-TS Ngô Sỹ Tùng lời cảm ơn sâu sắc nhất. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô ở tổ Đại số, các anh chị học viên cao học 11 Toán, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập dới mái trờng Đại học Vinh thân yêu. Do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân, khoá luận này chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Rất mong đợc sự góp ý của thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 4 năm 2005 Tác giả 2 Đ1. khái niệm về môđun 1.1. Định nghĩa môđun và ví dụ. a. Định nghĩa. Cho R là một vành, một tập hợp M đợc gọi là một R môđun phải hay một môđun phải trên R là một nhóm cộng giao hoán M và phép nhân vô hớng: R ì M M (r, m) rm Thoả mãn các hệ thức sau: Với mọi r, rR, m, mM. (i) Tính kết hợp r(rm) = (rr)m (ii) Tính phân phối r(m + m) = rm +rm (r + r)m = rm + rm (iii) 1.m = m Định nghĩa R môđun trái một cách tơng tự. b. Ví dụ. (i) Mỗi không gian véctơ trên một trờng K là một môđun trên K. (ii) Cho R là một vành thì R đợc xem là môđun phải (hoặc trái) trên chính nó. (iii) Cho R là một vành, mỗi Ideal phải (trái) I của R là một môđun phải (trái) trên R. (iv) Mỗi nhóm cộng Abel G đều có cấu trúc là một Z môđun với phép nhân vô hớng. x + . + x n lần 0 (-x) + . + (-x) n lần (v) Cho vành giao hoán có đơn vị R khi đó R[x] = [tập tất cả các đa thức trên x hệ số trên R}. Với phép cộng các đa thức và phép nhân một đa thức với một phần tử thuộc R. Khi đó R[x] có cấu trúc là một R- môđun. 3 nx = , với n > 0 , với n = 0 , với n < 0 Quy ớc: - Nói R môđun thay cho R môđun phải M R tơng đơng R môđun phải M R M tơng đơng R môđun trái M 1.2. Môđun con. a. Định nghĩa. Giả sử M là R môđun phải. Tập con A khác rỗng của M đợc gọi là môđun con của M. Nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hớng của M hạn chế trên A. b. Tiêu chuẩn môđun con. Giả sử M là một R môđun phải. Tập con A khác rỗng của M đợc gọi là môđun con của M thì các điều kiện sau là tơng đơng. (i) A là môđun con của M (ii) A là nhóm cộng của môđun M và đối với mọi a A, mọi x R ta có ax A hay a b A, a x A, a, b A, x R. (iii) Với a, b A, x,y R. ta có ax + by A. 1.3. Ví dụ. (i) Mỗi môđun của M đều có các môđun con tầm thờng là O và M. Môđun con A của M đợc gọi là thực sự nếu A 0 và A M. (ii) Nếu M là một R môđun tuỳ ý và m 0 M. Khi đó tập con m 0 R = {m 0 r |r R}là một môđun con của M. Nó đợc gọi là môđun con xyclic sinh bởi phần tử m 0 . (iii) Giả sử A, B là hai môđun con của một R môđun thì A B sẽ là một môđun con của m và A + B = {a + b | a A, b B} là một môđun con của M. 1.4. Định nghĩa môđun thơng. Cho N là môđun con của R môđun M. Khi đó tập các lớp kề: M/N = {m + N | m M} với các phép toán: (m + N) + (m + N) = (m + m) + N r(m + N) = rm+ N 4 trong đó m, m M, r R lập thành R môđun gọi là môđun thơng của M theo N. 1.5. Môđun hữu hạn sinh (Xét trên vành giao hoán có đơn vị). a. Bổ đề. Giao của một họ bất kỳ các môđun con của môđun M trên R là một môđun con của môđun M. Thật vậy, giả sử (N i ) i I là một họ các môđun con của M. Khi đó cần chứng minh N = I i N là môđun con của M. Ta có: N vì 0 N i i I. Nếu x, y N thì x, y N i , i I. Do đó vì N i là các môđun con của M, Ta có x + y N i , , R, i I. Vậy x + y N, , R x,y N. Vậy N là môđun con của M. Chú ý: Hợp của các môđun con nói chung không phải là một môđun con. b. Định nghĩa: Cho M là R - môđun, S M. Ta gọi môđun con của M sinh bởi S ký hiệu <S>. Đó là giao của tất cả các môđun con của M chứa S. Nếu S hữu hạn S = {x 1 , x 2 , . x n } thì gọi <S> là môđun con hữu hạn sinh bởi x 1 , x 2 , . x n . Ký hiệu <S> = <x 1 , x 2 , . x n >. Nếu M = <x 1 , x 2 ., x n > thì ta gọi môđun hữu hạn sinh. Nếu S = {x} thì <x> gọi là môđun con xyclic. Nếu M = {x} thì M gọi là môđun xyclic. c. Các tính chất Định lý. Nếu S = {x 1 , x 2 .x n } thì <S> = { } m iiii RrSxxr , Trong đó r i = 0 hầu hết, trừ một số hữu hạn khác không. Mệnh đề. Cho A M, nếu M là môđun hữu hạn sinh thì M/A cũng là môđun hữu hạn sinh. Định lý. Cho M là môđun hữu hạn sinh, A M thì trong M luôn tồn tại môđun con tối đại chứa A. 5 1.6 Định nghĩa Đồng cấu môđun. Cho M, N là hai môđun trên vành R. ánh xạ f: M N gọi là đồng cấu các R - môđun nếu thoả mãn các điều kiện sau: f(m + m) = f(m) + f(m), f(rm) = rf(m), với mọi m, m M, r R. Nếu N = M thì f đợc gọi là tự đồng cấu của M. Đồng cấu f đợc gọi là đơn cấu (tơng ứng toàn cầu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (tơng ứng toàn ánh, song ánh). 1.7. Ví dụ. a. Cho M là R - môđun xét ánh xạ. 1 M : M M m m đây là một tự đồng cấu đồng nhất. b. Cho 2 môđun M R và N R . Xét đồng cấu 0: M N m 0 N đồng cấu này đợc gọi là đồng cấu không. c. Cho M là R - môđun và a M khi đó ánh xạ. f a : R M x ax f a là đồng cấu R - môđun. d. Cho M là một R - môđun và N là môđun con của M xét ánh xạ p: M M/N x m + N Đây là đồng cấu môđun. 1.8. Các tính chất của đồng cấu môđun. Mệnh đề 1. Giả sử f: M N là một đồng cấu R - môđun khi đó: (i) f(0 M ) = 0 N , (ii) f(-m) = -f(m) m M, f(m m) = f(m) f(m), m, m M 6 (iii) f(m 1 x 1 + . + m k x k ) = f(m 1 x 1 ) + . + f(m k x k ) = m 1 f(x 1 ) + . + m k f(x k ), m i M, x i R, i = k,1 . Mệnh đề 2. Hợp thành của hai đồng cấu môđun là một đồng cấu môđun, hơn nữa: (i) Hợp thành của hai đơn cấu là một đơn cấu. (ii) Hợp thành của hai toàn cấu là một toàn cấu. (iii) Hợp thành của hai đẳng cấu là đẳng cấu. Chứng minh. Giả sử f: M N, g: N P là các đồng cấu môđun. Khi đó: gf(m + m) = g(f(m + m)) = g(f(m)) + f(m) = g(f(m)) + g(f(m)) = gf(m) + gf(m), m, m M. gf(mx) = g(f(mx)) = g(f(m).x) = gf(m).x, m M, x R. Vậy gf là đồng cấu R - môđun. Phần còn lại ta dễ dàng chứng minh đợc. Mệnh đề 3. Giả sử f: M N là một đồng cấu R - môđun, U,V tơng ứng là các môđun con của M và N. Khi đó: a. f(U) là môđun con của N. b. f -1 (V) = {x M |f(x) V} là môđun con của M. Đặc biệt Imf, kerf là các môđun con tơng ứng của N và M. Chứng minh. a. Lấy hai phần tử bất kỳ tuỳ ý b 1 , b 2 f(U). Do b 1 , b 2 f(U) suy ra tồn tại a 1 ,a 2 U sao cho f(a 1 ) = b 1 , f(a 2 ) = b 2 . Suy ra b 1 x + b 2 y = f(a 1 )x + f(a 2 )y = f(a 1 x) + f(a 2 y) = f(a 1 x + a 2 y) f(U) (do a 1 x + a 2 y U) suy ra f(U) md N. b. Lấy f(a 1 ), f(a 2 ) V ta có: f(a 1 x + a 2 y) = f(a 1 )x + f(a 2 )y V (Do V md N), suy ra a 1 x + a 2 y f -1 (V) x 1 , y R. 7 1.9. Định lý đồng cấu và đẳng cấu môđun. a. Định lý đồng cấu môđun. Giả sử : M N là một đồng cấu môđun. Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu môđun : M/ker N sao cho ta có: = .p trong đó p là toàn cầu chính tắc p: M M/ker. Hệ quả quan trọng: Giả sử : M N là một đồng cấu khi đó M/ker (M). Đặc biệt nếu là toàn cấu thì M/ker N. b. Định lý thứ nhất về đẳng cấu. Giả sử N, M là hai môđun con của R - môđun L thì ta có đẳng cấu tự nhiên: M/M N (N + M)/N xác định bởi: m + M N m + N c. Định lý thứ hai về đẳng cấu: Nếu N L là hai môđun con của R - môđun M thì L/N là R - môđun con của M/N và ta có đẳng cấu tự nhiên: ( ) ( ) NLNM // M/L xác định bởi (m + N) + L/N m + L với mọi m M. Nếu f: M M là một đồng cấu môđun và N là một môđun con của M thì f -1 (N) là môđun con của M và ta có đơn cấu chính tắc: f : M/f -1 (N) M/N Nếu đồng cấu f là toàn cấu thì f là đẳng cấu môđun. Cũng nh trong trờng hợp các nhóm, ta gọi một dãy các đồng cấu môđun. M M M là dãy khớp nếu Im(f) = ker(g). Gắn với môđun con N của môđun M là dãy khớp 0 N M M/N 0 Đ2. Vành địa phơng 8 2.1. Định nghĩa (phần tử khả nghịch trong một vành). Cho R là vành có đơn vị. Trong vành R, phần tử r gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại một phần tử a R sao cho ra = 1. Tơng tự r đợc gọi là khả nghịch trái nếu tồn tại một phần tử a R sao cho ar = 1. Phần tử r đợc gọi là khả nghịch nếu tồn tại một phần tử a R sao cho ar = 1 = ra. Nói cách khác r là phần tử khả nghịch nếu nó đồng thời khả nghịch bên phải và bên trái. 2.2. Định nghĩa vành địa phơng. Cho R vành có đơn vị và A là tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R. Khi đó vành R đợc gọi là vành địa phơng nếu A khép kín với phép toán cộng, nghĩa là a + b A với mọi a A, mọi b A. 2.3. Định lý (đặc trng về vành địa phơng). Cho R là vành có đơn vị, A là tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R. Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng. (i). R là vành địa phơng. (ii). A là Ideal lớn nhất khác R. (iii). A là Ideal trái (phải) lớn nhất khác R. (iv). Tồn tai trong R Ideal lớn nhất khác R. (v). Tồn tại trong R Ideal trái (phải) lớn nhất khác R. (vi). Mọi r R thì r hoặc 1 - r khả nghịch phải (trái). (vii). Mọi r R thì r hoặc 1 - r khả nghịch. Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh bổ đề sau. (2.3)'. Bổ đề. Nếu r là vành địa phơng thì mỗi phần tử khả nghịch phải (trái) thì khả nghịch. Thật vậy, khi mỗi b R tồn tại b R sao cho bb = 1 Xét bb: 9 * Trờng hợp 1: bb A suy ra bb khả nghịch khi đó tồn tại r R sao cho sbb = 1. Nhân hai vế với b. Ta có: { =1 sb'bb'= b' sb = b 1 = sbb = bb bb = 1 Vậy b khả nghịch. * Trờng hợp 2: bb A suy ra 1 - bb A (Do A khép kín đối với phép toán cộng). Khi đó tồn tại s R sao cho s (1- bb) = 1 s (1 -bb) b = b s (b-b' { =1 bb')= b' b = 0. Vô lý (do bb = 1). Do đó trờng hợp 2 không xảy ra. Vậy bổ đề đã đợc chứng minh. (i) (ii). giả sử R là vành địa phơng. Ta chứng minh A là Ideal của R và A lớn nhất. Với mọi a A, mọi r R, ta cần chứng minh ar A. Giả sử ar A, khi đó tồn tại s R sao cho ars = 1, suy ra a(rs) = 1 hay a khả nghịch phải. Theo bổ đề (2.3) thì a khả nghịch, mâu thuẫn với giả thiết a A. Suy ra ar A. Tơng tự ta chứng minh đợc ra A. Vậy A là Ideal của R. Mặt khác, giả sử B là Ideal của R và B R, ta cần chứng minh B A. Lấy b B bR B. (Rb B) R. Suy ra b không khả nghịch hay b A. Vậy B A . (ii) (iii). Hiển nhiên . (iii) (iv). Dễ dàng chứng minh đợc. (iv) (v). Hiển nhiên . (v) (vi). Giả sử tồn tại Ideal phải lớn nhất khác R, ta cần chứng minh r hoặc 1 - r khả nghịch phải. 10 . ảnh toàn cấu của một vành địa phơng là một vành địa phơng. Chứng minh: Giả sử f: R S là một toàn cấu vành với R là một vành địa phơng và s S. Vì f là toàn. và bên trái. 2.2. Định nghĩa vành địa phơng. Cho R vành có đơn vị và A là tập hợp tất cả các phần tử không khả nghịch của R. Khi đó vành R đợc gọi là vành