Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 56 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
56
Dung lượng
1,32 MB
Nội dung
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------------------
ĐỖ THỊ HƢỜNG
ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA VÀNH VÀ
MODULE
HÓA U N T T NGHI P ĐẠI HỌC
C u nn
n :Đ
N ƣờ
số
ƣớn dẫn k oa ọc
T . S Đỗ Văn
HÀ NỘI - 2015
n
ỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa
Toán, các thầy cô trong tổ Đại Số, những ngƣời tận tình dạy dỗ, giúp đỡ
em trong bốn năm học vừa qua. Cũng nhƣ đã tạo điều kiện cho em trong
quá trình hoàn thành khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Đỗ Văn
Kiên, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, chỉ đạo và đóng gióp nhiều ý kiến
quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này.
Hà Nội, ngày…tháng…năm 2015
Sinh Viên
Đỗ T ị Hƣờn
ỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, em cũng đƣợc sự quan tâm tạo điều kiện
của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hƣớng dẫn tận tình
của thầy giáo Đỗ Văn Kiên.
Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo
Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ Địa p ƣơn
óa của v n
và module” không có sự trùng lặp cũng nhƣ sao chép kết quả của các đề
tài khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày…tháng…năm 2015
Sinh Viên
Đỗ T ị Hƣờn
MỤC ỤC
MỞ DẦU ................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................... 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ..................................................... 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu......................................................................... 1
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................... 1
6. Cấu trúc của khóa luận ...................................................................... 1
Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH ........................................ 3
1.1. Vành và các tính chất cơ bản. ......................................................... 3
1.2. Vành con và các tính chất cơ bản ................................................... 4
1.3. Miền nguyên và trƣờng................................................................... 4
1.4. Ideal ................................................................................................ 5
1.5. Vành thƣơng và đồng cấu vành ...................................................... 6
1.6. Module .......................................................................................... 10
1.7. Module con và các tính chất cơ bản ............................................. 11
1.8. Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các module .. 11
1.9. Đồng cấu module .......................................................................... 12
1.10. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự ................................................. 13
Chƣơng 2: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA VÀNH ...................................... 15
2.1. Địa phƣơng hóa của vành ............................................................. 15
2.2. Phổ của vành R I ........................................................................ 24
2.3. Phổ của vành S -1 R ....................................................................... 26
Chƣơng 3: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA MODULE ................................ 35
3.1. Tích ten-xơ .................................................................................... 35
3.2. Dãy khớp ....................................................................................... 44
3.3 Địa phƣơng hóa của module .......................................................... 45
KẾT LUẬN ............................................................................................. 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 52
MỞ DẦU
1. ý do c ọn đề tài
Đại số là một ngành rất quan trọng của Toán học . Kiến thức Đại số
rất phong phú, trừu tƣợng và đƣợc xây dựng, phát triển từ những kiến
thức cơ sở của cấu trúc đại số: nhóm, vành, trƣờng…
Đại số giao hoán là một phần quan trọng của Đại số. Các khái niệm
Phổ của các vành R, R
I
và S 1R là những khái niệm trọng tâm cho việc
ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào đại số hình học.
Từ niềm yêu thích của bản thân với bộ môn này, cùng với sự giúp
đỡ tận tình của thầy giáo Đỗ Văn Kiên em mạnh dạn thực hiện khóa luận
tốt nghiệp với tiêu đề: “ Địa p ƣơn
2. Mục đíc n
óa của v n v module”
n cứu
Cung cấp kiến thức về địa phƣơng hóa của vành và module
3. Đố tƣợn v p
mv n
n cứu
+) Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về địa phƣơng hóa của vành,
địa phƣơng hóa của module. Đặc biệt là phổ của vành R
I
và phổ của
vành S 1R .
+) Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số giao
hoán.
4. N ệm vụ n
n cứu
Tìm hiểu về địa phƣơng hóa của vành, đặc biệt là phổ của vành
S 1R .
5. P ƣơn p áp n
n cứu
+) Phân tích tài liệu có liên quan
+) Tổng hợp kinh nghiệm của bản thân.
6. Cấu trúc của k óa luận
1
Chƣơng 1: Kiến thức cơ bản về vành
Chƣơng 2: Địa phƣơng hóa của vành
Chƣơng 3: Địa phƣơng hóa của module.
2
C ƣơn 1.
IẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH
Trong phần này sẽ trình bày lại một số kiến thức về vành và các
tính chất cơ bản về vành, miền nguyên và trƣờng, ideal, module, quan hệ
thứ tự và tập sắp thứ tự.
1.1. V n v các tín c ất cơ bản
Địn n
ĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng, trên X trang bị hai
phép toán hai ngôi, kí hiệu là (+) và (.) gọi là phép cộng và phép nhân. X
đƣợc gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i) X cùng với phép toán cộng là nhóm Abel
ii) X cùng với phép toán nhân là nửa nhóm
iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi x, y , z X
ta có
x y z xy xz và y z x yx zx .
Chú ý 1.1.2.
+) Vành X đƣợc gọi là vành có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân;
+) Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có tính chất
giao hoán;
+) Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm
nhân giao hoán;
+) Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0;
+) Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có), kí hiệu là 1;
+) Ở trong khóa luận này luôn quy ƣớc vành đƣợc hiểu là vành giao
hoán có đơn vị 1.
Địn n
ĩa 1.1.3 (Đặc số của vành). Cho X là một vành, nếu tồn tại số
nguyên dƣơng n nhỏ nhất sao cho n.1 0 thì ta nói rằng X có đặc số là
n , ngƣợc lại ta nói X có đặc số bằng 0. Đặc số của X kí hiệu là Char X .
3
Địn lý 1.1.4. Mọi x, y , z X , n
ta có
+) x.0 0;
+) n.x . y n.( x. y) x. n. y ;
+) x y .z xz yz .
Địn n
ĩa 1.1.5 (Tập con nhân đóng). Cho R là vành, tập con S của
R đƣợc gọi là tập con nhân đóng nếu thỏa mãn
i) 1 S .
ii) Với mọi x, y S thì xy S .
1.2. V n con v các tín c ất cơ bản
Địn n
ĩa 1.2.1. Giả sử X là một vành, A là một bộ phận ổn định với
hai phép toán trong X , nghĩa làvới mọi x, y A thì x y A, x. y A
.Một bộ phận ổn định A của X , A là một vành con của X nếu A cùng
với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành.
Địn lý 1.2.2.Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X .
Khi đó các điều kiện sau đây là tƣơng đƣơng
i) A là một vành con của X .
ii) Với mọi x, y A suy ra x y A, xy A, x A.
iii) Với mọi x, y A suy ra x y A, xy A.
1.3. M ền n u n v trƣờn
Địn n
ĩa 1.3.1 (Ƣớc của không). Cho a X , a 0, a đƣợc gọi là ƣớc
của không nếu tồn tại b X , b 0 sao cho a.b 0 .
Địn n
ĩa 1.3.2 (Miền nguyên). Cho X là vành có nhiều hơn một
phần tử . X đƣợc gọi là miền nguyên nếu nó không có ƣớc của 0 .
Địn n
ĩa 1.3.3 (Trƣờng). Một miền nguyên trong đó mọi phần tử
khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân đƣợc gọi là một trƣờng.
4
Nhƣ vậy, nếu X là trƣờng thì X * ,. là nhóm Abel với X * X \ 0 .
N ận xét 1.3.4. Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0 , hoặc là một
số nguyên tố.
1.4. Ideal
Địn n
ĩa 1.4.1. Cho X là một vành, I là tập con của X . I đƣợc gọi
ideal của X khi nó thỏa mãn các điều kiện sau
i) I .
ii) Với mọi a, b I thì a b I .
iii) Với mọi a I , r X thì r.a I .
Địn lý 1.4.2. Cho X là vành, I X , I . Các điều kiện sau đây
tƣơng đƣơng
i) I là ideal của X .
ii) Với mọi a, b I , x X thì a b I , a.x I .
Địn lý 1.4.3.
i) Giao của tất cả các ideal của X là một ideal của X .
ii) Cho X là vành, I là ideal của X . Nếu 1 I thì X I .
Địn n
ĩa 1.4.4 (Ideal nguyên tố). Cho R là vành, ideal I của R đƣợc
gọi là ideal nguyên tố nếu
i) I R .
ii) Nếu x. y I thì x I hoặc y I
Ví dụ 1.4.5. , ,. là vành giao hoán thì 0, p
của
là các ideal nguyên tố
, p
Địn n
ĩa 1.4.6 ( Ideal cực đại). Ideal I của vành R đƣợc gọi là ideal
cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau
i) I R .
ii) Không tồn tại ideal B của R chứa I mà I B, B R . Hay nói
5
một cách khác I là phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các
ideal thực sự của R .
Ví dụ 1.4.7. , ,. là vành giao hoán thì p
là ideal cực đại, với p là
số nguyên tố.
Địn n
ĩa 1.4.8 (Ideal mở rộng). Cho R, S là các vành và f : R S là
một đồng cấu vành. Cho I là ideal của R , ideal f I S của S sinh bởi
f I đƣợc gọi là mở rộng của I trong S thƣờng đƣợc kí hiệu là I e .
Địn n
một
ĩa 1.4.9 ( Ideal co rút). Cho R, S là các vành và f : R S là
đồng
cấu
vành.
Cho
là
J
ideal
của
S
thì
f 1 J : r R | f r J là ideal của R đƣợc gọi là ideal co rút của
J trong R , thƣờng đƣợc kí hiệu bởi J c .
Địn n
ĩa 1.4.10 (ideal sinh bởi một tập). Cho U là tập con của vành
X . Giao của tất cả các ideal của X chứa U là một ideal chứa U và
đƣợc gọi là ideal sinh bởi tập U . Ký hiệu U .
N ận xét 1.4.11.
+ U là ideal nhỏ nhất của X chứa U .
+ Nếu U là tập con hữu hạn của X thì ta nói I U là ideal hữu hạn
sinh của X
+ Nếu U ui | i 1, n thì U
x u | n
n
i 1
i
i
*
, x i R,u i U
+ Nếu U thì U 0 0 .
1.5. V n t ƣơn v đồn cấu v n
Địn n
X
A
ĩa 1.5.1. Cho A là ideal của vành X . Khi đó nhóm thƣơng
x A | x X cùng với hai phép toán
6
x A y A x y A
x A y A xy A
lập thành một vành gọi là vành thƣơng của X theo ideal A .
N ận xét 1.5.2.
+) Do X là vành giao hoán nên X cũng là vành giao hoán.
A
+) Do X là vành có đơn vị là 1 nên X cũng là vành có đơn vị 1 A
A
.
0 x 0 | x X X
X x X | x X X
X
X
+)
Ví dụ 1.5.3. Ta có n
là ideal của
n
,(n ) nên có vành thƣơng
0 n ,..., n 1 n
Địn lý 1.5.4. Cho R là vành, I là ideal của R . Khi đó
+) Nếu J là ideal của R sao cho J I thì J là ideal của vành thƣơng
I
R
I
+) Mỗi ideal của R
I
đều có dạng J
I
với J là ideal của R thỏa mãn
J I .
+) Nếu J1 , J 2 là các ideal của R sao cho J1 , J 2 I .Thì J1 J 2 khi
I
I
và chi khi J1 J 2 .
Địn n
ĩa 1.5.5. Cho X , Y là hai vành. Ánh xạ f : X Y gọi là đồng
cấu vành nếu với mọi x, y X . Ta có
f x y f x f y
f xy f x . f y
7
Hơn nữa
+) f gọi là đơn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh.
+) f gọi là toàn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh.
+) f gọi là đẳng cấu nếu f là đơn cấu và f cũng là toàn cấu.
+) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu
vành f : X Y .
Địn lý 1.5.6. Ta có các khẳng định sau
i) Tích của hai đồng cấu vành( nếu có) là một đồng cấu vành.
ii) Cho f : X Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trƣờng thì f
là đồng cấu không hoặc đơn cấu.
iii) Cho f : X Y là một đồng cấu vành.
+) Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X Y sao cho g. f 1X thì f là đơn cấu.
+) Nếu f có nghịch đảo phải tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X Y sao cho f .g 1Y thì f là toàn cấu.
+) Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu.
iv) Cho f : X Y là đồng cấu vành, A là một vành con của X , B là
ideal của Y thì
+) f A là một vành con của Y.
+) f 1 B là một ideal của X .
Đặc b ệt: Cho f : X Y là đồng cấu vành.
Hạt nhân của f , kí hiệu là Kerf , Kerf x X | f x 0Y .
Ảnh của đồng cấu f , kí hiệu Im f f X f x Y | x X .
8
Khi đó
+) X là vành nên Im f là vành con của Y .
+) 0Y là ideal của Y nên Kerf là ideal của X .
Vậy
+) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf 0 X .
+) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f Y .
Địn lý 1.5.7. Cho đồng cấu vành f : X Y , A, B tƣơng ứng là các
ideal của X , Y sao cho f ( A) B . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu
vành f : X
A
Y
B
sao cho biểu đồ sau giao hoán
f
X
Y
pB
pA
X
A
Y
f
nghĩa là f p A pB f với p A : X X
A
B
, pB : Y Y
B
là hai toàn cấu
chính tắc.
Đặc biệt: Nếu A Kerf , B 0Y thì Y
B
Y
0Y
Y , khi đó ta
có biểu đồ sau giao hoán
f
X
Y
p
X
f
Kerf
nghĩa là f p f với p : X X Kerf là toàn cấu chính tắc.
Nếu f là toàn cấu vành thì X Kerf Y .
Hơn nữa f là đơn cấu và Im f Im f .
9
Hệ quả 1.5.8
(1) Cho f : X Y là đồng cấu vành thì X
(2) Nếu f : X Y là toàn cấu vành thì X
Kerf
Kerf
Im f .
Y .
(3) Cho A, B là hai ideal của X thỏa mãn B A , khi đó
X
B
X A
A
B
.
(4) Nếu B, C là các ideal của X thì ( B C ) C B B C .
1.6. Module
Do ban đầu ta đã mặc định vành đƣợc hiểu là vành giao hoán, có
đơn vị nên ở đây ta chỉ định nghĩa module trái. Đó cũng chính là định
nghĩa module.
Địn n
ĩa 1.6.1. Cho R là vành có đơn vị, một nhóm Abel cộng M
đƣợc gọi là một R - module , hay còn gọi là module trên R nếu tồn tại
một ánh xạ gọi là phép nhân với vô hƣớng
R M M
( , x)
x
sao cho các điều kiện sau thỏa mãn
i) x x x .
ii) x y x y.
iii) x x .
iv) 1.x x ( tính chất Unitar).
Với các phần tử tùy ý , R và x, y M .
N ận xét 1.6.2. Nếu R là một trƣờng thì R - module là một không gian
vectơ trên R hay R - không gian vectơ.
10
1.7. Module con v các tín c ất cơ bản
Địn n
ĩa 1.7.1. Cho M là R - module, N M , N gọi là R - module
con của module M nếu N là R - module với hai phép toán cảm sinh.
Địn lý 1.7.2. Cho M là R - module, N M . Khi đó các điều kiện sau
là tƣơng đƣơng
i) N là R - module con của M .
ii) Với mọi x, y N , R suy ra x y N , x N .
iii) Với mọi , R, x, y N suy ra x y N .
Ví dụ 1.7.3. Cho M là R - module thì M luôn có hai module con tầm
thƣờng là module con không 0 và M .
Ví dụ 1.7.4. Mọi nhóm Abel cộng M là
- module thì các module con
của M chính là các nhóm con của R .
Ví dụ 1.7.5. Mọi vành có đơn vị R là R - module thì các ideal trái của
R là các module con của R .
Ví dụ 1.7.6. Cho R - module M và x là phần tử của M . Khi đó tập hợp
Rx ax : a R là module con của M .
Địn lý 1.7.7. Giao của một họ tùy ý các module con của M là một
module con của M .
1.8. Tổn trực t ếp, tíc trực t ếp,
Địn n
n tử trực t ếp của các module
ĩa 1.8.1(Tích trực tiếp). Cho M i là một họ các R - module,
i I . Trên tập
M x
iI
i
i iI
: xi M i
xác định hai phép toán cộng
và nhân vô hƣớng nhƣ sau
xi iI yi iI xi yi iI
xi iI xi iI
11
với xi iI ; yi iI M i , R. Khi đó
iI
M
iI
i
là R - module và gọi
là tích trực tiếp của họ module M i iI .
Địn n
M i { xi iI : xi 0 hầu hết}.
ĩa 1.8.2 ( Tổng trực tiếp). Đặt i
I
M i cùng với phép cộng và nhân vô hƣớng nhƣ trên là R Khi đó i
I
module và gọi là tổng trực tiếp của họ các module M i iI .
Địn lý 1.8.3. Cho M là R -module và A, B là các module con của M .
Khi đó, M A B khi và chỉ khi M A B, A B 0 .
Địn n
ĩa 1.8.4 (Hạng tử trực tiếp). Cho N là module con của R -
module M . Ta nói N là hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại
một module con P của M sao cho M N P . Khi đó, ta cũng nói P là
một module con phụ thuộc của N trong M .
1.9. Đồn cấu module
Địn n
ĩa 1.9.1. Cho M , N là các R - module, ánh xạ f : M N
đƣợc gọi là một đồng cấu module hay R - đồng cấu (còn gọi là ánh xạ
tuyến tính) nếu f thỏa mãn hai tính chất sau
i) f x y f x f y với mọi x, y M
ii) f x f x với mọi R, x M
+) Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tƣơng
ứng đƣợc gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu;
+) Nếu f M 0N thì f đƣợc gọi là đồng cấu không và thƣờng đƣợc
viết là ;
+) Kerf f 1 0 đƣợc gọi là hạt nhân (hạch)của f .
Im f f M đƣợc gọi là ảnh của f .
12
Cok er f N
Coimf M
Im f
Ker f
đƣợc gọi là đối hạch của f .
đƣợc gọi là đối ảnh của f .
+) Một đồng cấu từ M vào M đƣợc gọi là một tự đồng cấu của M .
+) Hai R - module M và N đƣợc gọi là đẳng cấu, viết là M N , nếu
tồn tại một đẳng cấu R - module từ M đến N .
N ận xét 1.9.2. Cho R - đồng cấu f : M N . Khi đó f là đồng cấu
không khi và chỉ khi Kerf M và f là một toàn cấu khi và chỉ khi
Im f N .
Địn lý 1.9.3. Cho M , N là các R - module, ánh xạ f : M N là đồng
cấu module khi và chỉ khi
f x y f x f y , với mọi x, y M , , R .
Ví dụ 1.9.4.
+) Cho M , N là R - module, ánh xạ : M N
x
0
là đồng cấu module.
+) Cho M là R - module thì ánh xạ đồng nhất id: M M
x
x
là đẳng cấu module.
1.10. Quan ệ t ứ tự v tập sắp t ứ tự
Địn n
ĩa 1.10.1. Cho V là một tập khác rỗng. Một quan hệ hai ngôi
đƣợc gọi là quan hệ thứ tự trên V
nếu thỏa mãn 3 điều kiện
i) Phản xạ: Tức với mọi u V , u u .
ii) Phản xứng: Tức với mọi u, v V : u v và v u thì u v
iii) Bắc cầu: Tức với mọi u, v, w V nếu u v và v w thì u w
13
Khi đó ta viết V , đƣợc gọi là tập sắp thứ tự
+) Tập sắp thứ tự V , đƣợc gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi
u, v V luôn có
u v
v u
Ta viết u v nếu u v và u v
Địn n
ĩa 1.10.2. Cho X là tập sắp thứ tự, tập A X , A đƣợc gọi là
một xích của X nếu A cùng với quan hệ thứ tự bộ phận của X lập
thành tập sắp thứ tự toàn phần.
Khi đó nếu A a1 ,..., an không giảm tính tổng quát ta có thể viết
a1 a2 ... an .
Địn n
ĩa 1.10.3 (Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dƣới). Cho
X , là tập sắp thứ tự.
+ Phần tử m X đƣợc gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của X nếu
tồn tại n X mà m n n m thì m n .
+ A X ,
X ,
là tập sắp thứ tự, a0 X gọi là cận trên (cận
dưới) của A nếu với a A thì a a0 ( a0 a ).
Bổ đề (Zorn) 1.10.4. Cho tập sắp thứ tự X , khác rỗng. Nếu mọi tập
con sắp thứ tự toàn phần (khác rỗng) của X đều chứa một cận trên của
X thì X có ít nhất một phần tử cực đại.
14
C ƣơn 2: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA VÀNH
Chƣơng này ta chủ yếu trình bày về địa phƣơng hóa của vành R ,
phổ của vành R
2.1. Địa p ƣơn
I
và phổ của vành S 1R .
óa của v n
Địn lý 2.2.1. Cho R là vành, S là tập con nhân đóng của R trên
R S r , s | r R, s S xác định quan hệ
nhƣ sau
với mọi r, s , r ', s ' R S thì
r, s r ', s ' t S : t rs ' sr ' 0 .
Khi đó
là một quan hệ tƣơng đƣơng trên tập R S .
Chứng minh. Thật vậy
+) Với mọi
r, s R S ,
S
do
nên t S
ta luôn có
t rs sr t.0 0 suy ra
r, s r, s , suy ra
có tính chất phản xạ.
+) Với mọi r, s , r ', s ' R S mà r , s
r ', s '
suy ra tồn tại t S
sao cho t rs ' sr ' 0 suy ra t r ' s s ' r 0 suy ra r ', s '
ra
có tính chất đối xứng.
+)
Với
mọi
r, s , r ', s ' , r '', s '' R S
mà
r, s , suy
r, s r ', s '
r ', s ' r '', s ''
suy ra tồn tại s1 , s2 S thỏa mãn s1 rs ' sr' 0 và s2 r ' s '' s'r'' 0
suy ra s1rs ' s1sr ' (1), và s2 r ' s '' s2 s ' r '' (2)
Nhân cả hai vế của (2) với s1s ta có
s1.s.s2 .r '.s '' s1.s.s2 .s '.r ''
s1.s.r '.s2 .s '' s1.s.s2 .s '.r ''
s1.r.s'.s2 .s '' s1.s.s2 .s '.r ''
15
và
s1s ' s2 rs '' sr '' 0
Đặt t s1s ' s2 S suy ra t rs '' sr '' 0 , suy ra r, s
r '', s '' , suy ra
có tính chất bắc cầu.
Vậy
ý
là một quan hệ tƣơng đƣơng trên tập R S .
r
ệu S 1R R S : r , s | r R, s S .
s
Trên tập S 1R trang bị hai quy tắc và . nhƣ sau
r b rt bs
.
s t
st
r b rb
. .
s t st
Khi đó hai quy tắc trên là các phép toán. Thật vậy, giả sử rằng
r , r ', b, b ' R; s, s ', t , t ' S sao cho
r r'
b b'
và
s s'
t t'
suy ra tồn tại u, v S sao cho
rs ' sr ' u 0
bt ' tb ' v 0
nhân đẳng thức thứ nhất với vtt ' và dẳng thức hai với uss ' rồi cộng lại
chúng ta đƣợc
uv s ' t ' rt bs st r ' t ' b ' s ' 0 .
Do uv S nên
rt bs r ' t ' b ' s '
st
s 't '
Tƣơng tự, có thể chứng minh với phép nhân.
Khi đó phép và . là phép toán hai ngôi trên S 1R và S 1R cùng
16
với hai phép toán trên là một vành giao hoán có đơn vị là
1
, phần tử
1
không là
0
.
1
Địn n
ĩa 2.1.2. Cho S là tập con nhân đóng của vành R , khi đó S 1R
đƣợc gọi là địa phƣơng hóa của R theo S , hay địa phƣơng hóa của R
bằng cách làm khả nghịch mọi phần tử của S .
N ận xét 2.1.3. Cho S là tập con nhân đóng của vành R .
i) Đồng cấu
f : R S 1 R
a
a
1
là đồng cấu tự nhiên
có kerf a R | s S : sa 0 , suy ra f là đơn cấu nếu S không chứa
ƣớc của không.
ii) Đơn vị của S 1R là
1 s
, với mọi s S vì 1,1
1 s
iii) Phần tử không của S 1R là
iv) Cho a R, s S thì
s, s
0 0
với mọi s S vì 0,1
1 s
0,s .
a 0
nếu và chỉ nếu tồn tại t S sao cho
s 1
t 1a 0s 0 , tức là tồn tại t S sao cho ta 0 .
v) Nếu 0 S thì vành S 1R là vành tầm thƣờng, tức là
1 0
nếu và chỉ
1 1
nếu tồn tại t S sao cho t.1 0 .
vi) Nếu 0 S , thì vành S 1R là không tầm thƣờng, đồng cấu vành tự
nhiên f : R S 1R không cần là đơn ánh.( vì chỉ trong một số trƣờng
hợp nó mới là đơn ánh, ta sẽ chỉ ra điều này trong những mệnh đề tiếp
17
theo).
vii) Cho a R, s, t S thì
a at
.
s st
viii) Cho b, c R, s S ta có
b c bc
.
s s
s
Mện đề 2.1.4. Nếu R là một miền nguyên và S là tập con nhân đóng
không chứa không thì f : R S 1R là một đơn cấu vành.
Chứng minh. Ta có
f : R S 1 R
a
a
1
Hiển nhiên f là một đồng cấu vành. Hơn nữa giả sử f a
a
0
0
1
1
tức là tồn tại s S sao cho s 1.a 1.0 sa 0 , nhƣng 0 S tức là s 0
cho nên a 0 ( vì R là một miền nguyên).
Vậy f là một đơn cấu.
N ận xét 2.1.5. Giả sử I là ideal nguyên tố trong một miền nguyên R .
Khi đó S R \ I là một tập con nhân đóng không chứa 0 và mọi phần tử
của I đều không khả nghịch trong S 1R .
Thật vậy do I là ideal nguyên tố nên theo định nghĩa ideal nguyên tố suy
ra S là một tập con nhân đóng không chứa 0 .
Theo mệnh đề 2.1.4. f : R S 1R là một đơn cấu vành. Ta giả sử bằng
phản chứng phần tử a
a
của I khả nghịch trong S 1R .
1
Khi đó, có r R, s S sao cho
a r ar 1
. Tức là có t S để cho
1 s s 1
t ar s 0 trong R .Vì R là miền nguyên và t 0 ( do t S ) nên
18
ar s 0 suy ra s ar I . Do I là ideal. Điều này vô lý vì
s S R \ I . Mâu thuẫn, do đó bác bỏ giả thiết phản chứng.Vậy ta có
điều phải chứng minh.
Địn lý 2.1.6. Cho S là tập con nhân đóng của vành R và
f : R S 1 R
a
a
1
là đồng cấu vành tự nhiên
Hơn nữa f có tính chất
i) Mọi phần tử của f s đều khả nghịch trong S 1R .
ii) Với mọi a R, f a 0, tồn tại t S sao cho ta 0 .
iii) Mọi phần tử
1
a
của S 1R , a R, s S đều có dạng f a . f s .
s
Chứng minh. Dễ thấy f là đồng cấu vành, vì với mọi x, y R
f x y
f xy
i) Với mọi s S , f s
f s
x y x y
f x f y
1
1 1
xy x y
f x f y .
1 1 1
s 1 1
1
s
thì tồn tại S 1 R thỏa mãn suy ra
1
1 s 1
s
s
khả nghịch trên S 1R .
1
ii) Với mọi a R, f a 0 khi và chỉ khi
a 0
a,1
1 1
0,1
tồn tại s S sao cho s 1.a 1.0 0 sa 0 .
1
a
a a 1 a s
1
iii) Với mọi S 1R suy ra f a . f s .
s 1 s 1 1
s
19
suy ra
Địn lí 2.1.7 ( Tính phổ dụng của địa phƣơng hóa). Cho R, X là vành,
S là tập con nhân đóng của R . Cho đồng cấu vành g : R X sao cho
mọi phần tử g s đều khả nghịch trong X với mọi s S . Khi đó tồn tại
duy nhất đồng cấu vành h : S 1R X làm cho biểu đồ sau giao hoán.
g
R
X
h
f
S 1R
tức là h. f g
Chứng minh.
a
+) Tính duy n ất. Do h. f g nên h g a với mọi a R và
1
1
1
1
h hf s g s với mọi s S . Ta suy ra
s
1
a
h g a .g s ,
s
suy ra h đƣợc xác định duy nhất bởi g .
1
a
+) Sự tồn t . Đặt h g a . g s . Khi đó h đƣợc định nghĩa tốt
s
vì nếu
a a'
ta suy ra tồn tại t S sao cho as ' a ' s t 0 . Ta suy ra
s s'
g a .g s ' g a '.g s g t 0 . Vì g t khả nghịch (theo giả thiết)
nên g a .g s ' g a '.g s . Vì g s , g s ' khả nghịch nên
g a . g s g a '. g s ' . Dễ thấy ho f g .
1
1
Địn lí 2.1.8. Cho g : R X là đồng cấu vành thỏa mãn
i ) g s khả nghịch với mọi s S
20
ii ) Nếu g a 0 thì tồn tại s S sao cho as 0 .
iii ) Với mọi x X , a R, s S ta suy ra x g a . g s .
1
Khi đó tồn tại duy nhất h : S 1R X thỏa mãn ho f g .
Chứng minh. Xét đồng cấu
h : S 1 R X
1
a
g a . g s
s
ta suy ra h. f g .
+ Theo iii) ta suy ra h là toàn cấu.
1
a
+ Nếu h 0 ta suy ra g a . g s 0 , suy ra g a 0 . Từ ii suy
s
ra tồn tại t S sao cho at 0 suy ra h là đơn cấu.
Vậy ta có điều phải chứng minh .
Ví dụ 2.1.9. Cho R là vành giao hoán, S là tập các phần tử khả nghịch
của R . S là tập con nhân đóng của R và S 1R R .
Ví dụ 2.1.10. Cho R là miền nguyên, S R \ 0 là tập nhân đóng và
S 1R là một trƣờng và đƣợc gọi là trƣờng các phân thức của miền
nguyên R .
Thật vậy. S 1R là vành giao hoán có ít nhất hai phần tử
chỉ
ra
với
mọi
0
1
và . Ta phải
1
1
1
r 0
s 1
thì
tồn
tại
r
.
s
Vì
r 0
t S : rt 0 r 0 .
s 1
Vì R là miền nguyên ta suy ra r S suy ra
21
r s 1
s
S 1 R thỏa mãn
r
s r 1
suy ra
r
s
là nghịch đảo của . Vậy S 1R là một trƣờng.
r
s
Ví
dụ
2.1.11.
Cho
a R, S a n | n 0 ,
kí
hiệu
r
Ra S 1R n | r R, n 0 .
a
Ví dụ 2.1.12. Giả sử R K X là vành đa thức một ẩn X với hệ số
trong trƣờng K . Khi đó K X K X \ 0 . K X đƣợc gọi là
1
trƣờng các phân thức của một ẩn X với hệ số trong K . Mỗi phần tử của
K X đƣợc gọi là một phân thức có dạng
P X
, trong đó
Q X
P X , Q X K X và Q X 0 .
Ví dụ 2.1.13. Với R , S
m
\ 0 ta có S 1R | m , n
n
. Nhƣ vậy trƣờng các thƣơng của vành số nguyên
chính là trƣờng số
hữu tỉ.
Ví dụ 2.1.14. Cho R là một vành và cho P là ideal nguyên tố của R thì
S R \ P x | x R, x P là tập con nhân đóng của R , kí hiệu
r
S 1R RP và RP : | r R, s S . Nó là vành tựa địa phƣơng, đƣợc
s
gọi là địa phƣơng hóa của R tại P với ideal cực đại duy nhất là
a
PRP | a P, s S . Quá trình từ R đến RP gọi là quá trình địa
s
phƣơng hóa.
Địn
n
ĩa 2.1.15 (Phổ của vành). Cho R là vành giao hoán, phổ
nguyên tố (hay còn gọi là phổ) của R là tập tất cả các ideal nguyên tố
22
của R , kí hiệu là Spec R .
Ví dụ 2.1.16. Cho R - trƣờng, Spec R 0
Thật vậy
R
R
R -trƣờng nên chỉ có hai ideal là
0 và
R . Mà
x R | x R R không là miền nguyên vì nó có đúng một
phần tử, do đó không là ideal nguyên tố.
Địn lí 2.1.17. Cho I là một ideal nguyên tố của vành R , S là tập con
nhân
đóng
của
vành
R
sao
cho I S .
Khi
đó
tập
J | J I , J S có ít nhất một phần tử cực đại và các phần tử
cực đại của là ideal nguyên tố của R .
Chứng minh. J | J I , J S với J là ideal của R là tập sắp
thứ tự bộ phận cùng với quan hệ bao hàm. Ta có I nên . Cho
A,
là tập con sắp thứ tự toàn phần khác rỗng của . Khi đó, đặt
Q
J thì Q là ideal của R thỏa mãn Q I , Q S . Do A là tập
J A
sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm nên với mọi J1 , J 2 A ta
luôn có J1 J 2 hoặc J 2 J1 . Suy ra Q là cận trên của A trong . Do
đó có ít nhất một phần tử cực đại (theo bổ đề Zorn).
Gọi P là phần tử cực đại bất kì của , do P S ,1 S nên 1 P .
Vậy P R .
+) Với a, a ' R \ P ta phải chỉ ra a.a ' P .
Thật vậy a P suy ra 1 P P a . Do P là phần tử cực đại của
nên
P
a S suy ra tồn tại s ' S , r ' R, u ' P sao cho
u ' r ' a ' s ' .
Nhƣng
23
s.s ' u ar .u ' a ' r ' uu ' a.ru ' u.a ' r ' ara'r'
Vì S là tập con nhân đóng nên s.s ' S .
Lại có u.u ' a.r.u ' u.a '.r ' P (vì P là ideal nguyên tố của R ).
Mà P S s.s ' P r.r '.a '.a P , P là ideal của R nên a.a ' P
.
Vậy P là ideal nguyên tố của R .
N ận xét 2.1.18
+) Phần tử cực đại của tập J | J I , J S với J là ideal của
R là ideal cực đại của R .
+) P là ideal nguyên tố của vành R , P là ideal cực đại nếu và chỉ nếu
P là phần tử cực đại của Spec R theo quan hệ bao hàm.
2.2. P ổ của v n R I
Trong phần này ta luôn coi I là ideal của R .
Địn lí 2.2.1. Cho vành R , I là ideal của R .
i ) Nếu J là ideal của R sao cho J I thì J là ideal của vành thƣơng
I
R với r R , ta có r I J r J .
I
I
ii ) Mỗi ideal của R I đều có dạng J với J là ideal của R thỏa
I
mãn J I .
Chứng minh.
i ) Ta có
J
suy ra J
I
I
a I a J r I r R R
I
là nhóm con của nhóm cộng R . Hơn nữa, với mọi r R và
I
a J ta có
24
(r I )(a I ) ra I J
suy ra J
I
I
là một iđêan của R .
I
Mặt khác nếu r R sao cho r I j I với j J , thì r (r j ) j
và r j I J .
ii ) Cho là ideal của R
I
với R là vành I là ideal của R .
+) Rõ ràng J I , vì với mọi a I , thì a I I 0 I với
a, b J , r R
ta
a I , b I
có
suy
ra
a I b I a b I , suy ra a b J .
r I R
I
suy ra
r I a I ra I
suy ra ra J . Do
a b, ra J suy ra J là ideal của R .Theo định nghĩa tập J thì tập
J
I
.
Địn lí 2.2.2. Cho R là vành, I là ideal nguyên tố của R nếu và chỉ nếu
R
I
là một miền nguyên.
Chứng minh.
x I
.
Giả sử I là ideal nguyên tố của R , với mọi x, y I thì
y
I
Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R là vành giao hoán có đơn vị là
I
1 I .
0 I R
I
R
vì
Vậy
.
I
R
1 I I
Với mọi x I , y I R
I
mà x I y I xy I I thì xy I .
25
x I
x I I
Vì I là ideal nguyên tố nên
yI
y I I
Do đó R
I
không có ƣớc của không nên R
Giả sử R
I
I
là miền nguyên.
là miền nguyên, I là ideal của R .
Nếu x, y R mà xy I thì xy I I x I y I I .
Do R
x I I
x I
là miền nguyên nên
hay
I
y I I
yI
Vậy I là ideal nguyên tố.
Địn lí 2.2.3. Cho I , J là hai ideal của vành giao hoán R thỏa mãn
J I thì ideal J I của vành thƣơng R I là nguyên tố nếu và chỉ nếu J
là ideal nguyên tố của R .
Tức là
J Spec R J Spec R .
I
I
Chứng minh. J là ideal nguyên tố của R khi và chỉ khi R là miền
J
nguyên.
R
Lại có:
I
J
R
I
J
(theo hệ quả của định lí cơ bản đồng cấu vành).
Do J là ideal nguyên tố nên suy ra R
J
là miền nguyên nên
R
I
J
I
cũng là miền nguyên.
Vậy J
I
cũng là ideal nguyên tố.
2.3. P ổ của v n S -1 R
Địn lí 2.3.1. Cho đồng cấu tự nhiên f : R S 1R , I là ideal của R .
26
a
Đặt S 1I I e f I S 1R . Khi đó S 1I | a I , s S là ideal của
s
S 1R .
Chứng minh. Vì S 1 I là ideal sinh bởi f I trong S 1R nên mọi phần tử
của S 1 I có dạng
n
ai ri
1 s
i 1
a
ri
S 1 R , i f I
1
si
, với
i
a1r1 a2 r2
ar
... n n
s1
s2
sn
a1r1s2 ...sn
a r s ...s
... n n 1 n 1
s1...sn
s1...sn
a
s
trong đó s s1...sn S, a a1r1s2 ...sn ... anrn s1...sn1 R
a
Vì vậy S 1I | a I , s S là ideal của S 1R .
s
Địn lý 2.3.2. Cho đồng cấu tự nhiên f : R S 1R , mọi ideal của S 1R
có dạng S 1 I với I là ideal của R . Hơn nữa S 1 I là ideal thực sự nếu và
chỉ nếu I S
Chứng minh. Xét đồng cấu tự nhiên f : R S 1R , gọi J là một ideal
của S 1R .
Đặt I J c f 1 J suy ra f I J và I là ideal của R .
Ta có S 1I I e f I S 1R JS 1R J .
Ngƣợc lại, ta có f a
a a s
s
x J suy ra a f 1 J I
1 s 1
1
suy ra
x
a a 1
f I S 1R S 1I .
s 1 s
27
Vậy J S 1 I . Do đó S 1I J .
Hơn nữa S 1I S 1R khi và chỉ khi
a I , s S sao cho
1
S 1 I nếu và chỉ nếu tồn tại
1
a 1
u S : u a s 0 au su I S
s 1
I S .
Địn lý 2.3.3. Cho S là tập con nhân đóng của R và f : R S 1R là
đồng cấu tự nhiên.
i) Spec S 1 R S 1P | P Spec R , P S .
ii) Nếu Q là một ideal nguyên tố của S 1R thì P f 1Q Q c là ideal
nguyên tố của R cùng với P S và S 1 P Q .
Chứng minh.
i) Theo định lý 2.3.2 ta có S 1P là ideal của S 1R .
+ Nếu P S , thì theo định lý 2.3.2 ta có S 1P là ideal thực sự của
a
a'
S 1R . Hơn nữa nếu tồn tại x , y S 1P nhƣng xy S 1P thì ta
s
s'
có a, a ' P; s, s ' S và
a.a '
S 1 P , suy ra tồn tại b P, u S sao cho
s.s '
a.a ' b
suy ra tồn tại t S suy ra ut P ( vì a.a ' P ) suy ra ut P S
s.s ' u
suy ra P S ( mâu thuẫn).
Vậy S 1P là ideal nguyên tố của S 1R .
+ Ngƣợc lại nếu P là ideal nguyên tố của S 1R thì P phải có dạng
P S 1P với P là ideal của R , P S ( vì P thực sự).
Ta cần chứng minh P SpesR .Theo cách chứng minh phần i thì rõ ràng
P Pc f 1 P suy ra P SpecR .
ii) + Vì Q là một ideal nguyên tố nên P f 1Q cũng là một ideal
28
nguyên tố.
Giả sử
nên
a
a a 1
a
S 1P với a P, s S . Khi đó, do f a Q và
1
s
s 1 s
a
Q
s
Vậy S 1 P Q .
+ Ngƣợc lại , giả sử
a
a a s
Q với a R, s S . Do Q suy ra
s
1 s 1
aP
Suy ra
a
S 1P suy ra Q S 1P. Vậy Q S 1 P .
s
Kết hợp với định lý 2.3.2 ta nhận đƣợc P S .
Địn lý 2.3.4 (Phổ của S 1R ). Cho S là tập con nhân đóng của vành R
. Có một song ánh, bảo toàn thứ tự giữa các tập ideal nguyên tố của S 1R
và tập các ideal nguyên tố rời S của R cho bởi các ánh xạ
SpecS 1R P SpecR, P S
Q
Qc
P SpecR, P S SpecS
P
1
R
S 1P
Chứng minh. Do ảnh ngƣợc của ideal nguyên tố qua một đồng cấu vành
là nguyên tố nên Q SpecS 1R thì Qc SpecR . Hơn nữa Q c S .
Vì nếu không thì theo 2.3.1 Q Q ce S 1Q c S 1R , vô lý.
Ngƣợc lại, giả sử P là một ideal nguyên tố rời S của R . Gọi S
là ảnh của S trong R
P
.
Nhƣ vậy, S là tập con nhân đóng của R . Ta dễ dàng kiểm tra đƣợc
P
S 1R
1
S P
29
S
1
R P
Thật vậy
s s'
1
s.s ' S , (do s.s ' S ) và S S là tập con nhân
1 1
1
đóng của R .
P
Xét ánh xạ
: S 1 R S 1 R P
a
s
a
s
Khi đó là toàn cấu và Ker S 1P .
Vì
a 0
a
ker suy ra suy ra tồn tại u S sao cho au 0 suy ra
s
s 1
ua P suy ra
a u
S 1P
s su
1
Do P nguyên tố, R là miền nguyên vì thế S R 0 , hoặc là
P
P
một vành con của trƣờng các phân thức của R . Và do đó là một miền
P
nguyên, tức là S 1P là ideal nguyên tố của S 1R .
Nhƣng
S 1R
1
S P
định
theo
S
1
R P 0 S
1
lý
2.3.1
P S 1R P S , mâu thuẫn với
giả thiết ban đầu.
Địn
lý 2.3.5. Cho S là tập con nhân đóng của vành R , cho
f : R S 1R là đồng cấu chính tắc.
i) Nếu P Spec R và P S thì Pe S 1R .
e
1
ii) Nếu P Spec R và P S thì P Spec S R .
iii) Nếu P Spec S 1 R thì Pc Spec R và P S , và cũng có
30
Pce P .
iv) Ideal nguyên tố của S 1R chính là ideal Pe , trong đó P là ideal
nguyên tố của R , sao cho P S . Thực chất mỗi ideal nguyên tố
của S 1R có dạng Pe chính là P SpecR sao cho P S .
Chứng minh.
a
i) Có P e x S 1R : x | a P, s S .
s
Giả sử s P S thì trên S 1R ta có
1 s
Pe Pe S 1R .
1 s
( Áp dụng bổ đề: I e S 1R I S , I là ideal của R ).
ii) Cho P SpecR với P S , ta có Pec P bởi vậy Pe S 1R ,
nếu không thì ta phải có P ec S 1R R P .
c
a
b
Cho x , y S 1R , với a, b R; s, t S sao cho xy P e suy ra
s
t
ab P , mà P là ideal nguyên tố nên a P hoặc b P , do đó chúng ta
a
b
có x P e hoặc y P e . Do đó P e Spec( S 1R) .
s
t
iii) Cho P Spec( S 1R) , hiển nhiên P c SpecR và cũng có P là ideal
mở rộng và Pce P suy ra Pc S . Khác với i ta thấy
P Pce S 1R , mâu thuẫn.
iv) Chúng ta vừa chứng minh đƣợc mỗi ideal nguyên tố của S 1R có
dạng Pe đối với ideal nguyên tố P của R mà không liên quan tới S .
Vậy tƣơng tự, nếu P, P ' là các ideal nguyên tố của R với
P S P ' S . Vậy Pe P 'e thì P Pec P 'ec P'.
Địn lý 2.3.6. Cho A, B là các ideal của R và S là tập con nhân đóng
của R . Ta có
31
1) S 1 A B S 1 A S 1 B .
2) S 1 A B S 1 A S 1B .
3) S 1 AB S 1 A . S 1 B .
4) S 1 A S 1 A .
Chứng minh.
1) Theo định nghĩa rõ ràng S 1 A B S 1 A S 1 B .
Ngƣợc lại, giả sử x S 1 A S 1 B , ta có
x
a b
với a A, b B, s, t S . Khi đó ta có thể viết
s t
x
at bs c
với c at bs A B, r st S ,
st st r
và nhƣ vậy x S 1 A B .
2) Mọi phần tử của A B có dạng a b với a A, b B nên theo định
nghĩa rõ ràng S 1 A B S 1 A S 1B .
Ngƣợc lại, giả sử x S 1 A S 1B . Thế thì x
a A, b B, s, t S .
Nhƣng
khi
đó
x
a b
với
s t
at bs c
st
r
với
c at bs A B và r st S . Do đó x S 1 A B .
3) Mọi phần tử của A.B có dạng a.b với a A, b B . Hiển nhiên
S 1 AB S 1 A . S 1B
Ngƣợc lại, giả sử x ( S 1 A).( S 1B) . Thế thì x
a A, b B, s, t S . Khi đó thì
32
a b
với
s t
x
ab c
với c ab A.B và r st S
st r
và do đó x S 1 AB .
4) Giả sử x S 1 A . Khi đó ta có x
y
với y A , s S
s
yn
lại có y A với n bất kỳ, suy ra x n S 1 A và do đó x S 1 A .
s
n
n
Ngƣợc lại, giả sử x
r n y nt n A . Ta có
y
yn
S 1 A , nhƣ vậy thì x n n S 1 A do đó
s
s
ryt
S 1 A .
rst
Mện đề 2.3.7. Với X SpecR : { P R | P nguyên tố},
Đặt V I P X \ I P, D I X V I . Khi đó
a) Nếu I J thì V I V J
b) V I V J V I J
c)
V I V I
d) V 0 X và V R .
Chứng minh.
a) P V J J P I J P P V I
b) Theo a) ta có V I J V I V J , ngƣợc lại với mỗi
P V I J thì I J P . Do P nguyên tố nên bằng phản chứng ta
có I P hoặc J P . Do đó, P V I hoặc P V J , suy ra
P V I V J .
33
I I
c) Ta có
với mọi suy ra V I V I với mọi
suy ra V I V I . Ngƣợc lại với mỗi P V I suy
ra với mọi , P V I suy ra mọi , I P suy ra
P V I .
d) Ta có, V 0 X ,V R
Địn n
ĩa 2.3.8 ( Tôpô zariski). Với X SpecR : { P R | P nguyên
tố}, đặt V I P X \ I P, D I X V I . Tập X cùng với họ
các tập mở
D I thỏa mãn các điều kiện trên lập thành một không gian tôpô và
đƣợc gọi là tôpô zariski.
Mện đề 2.3.9. Với đồng cấu f : R S cảm sinh ra ánh xạ
f * : Spec S spec R
P
Khi đó f * liên tục.
34
f 1 P
C ƣơn 3: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA MODULE
Trong chƣơng này sẽ trình bày tích ten-xơ, dãy khớp, địa phƣơng
hóa module.
3.1. Tích ten-xơ
Địn n
ĩa 3.1.1. Cho M và N là hai R -module. Tích ten-xơ của M
với N là cặp T , ở đó T là một R -module và : M N T là một
ánh xạ song tuyến tính có tính chất là: với mỗi R -module T ' và một
ánh xạ song tuyến tính f : M N T ' , tồn tại duy nhất một đồng cấu f
sao cho f . f .
Ký Hiệu. M R N , hoặc gọn hơn là M N khi vành R đã rõ. Ảnh của
phần tử x, y M N trong M N đƣợc ký hiệu là x y và đọc là x
ten-xơ với y .
Địn lý 3.1.2 (Định lý về sự tồn tại của tích ten-xơ). Với những module
tùy ý cho trƣớc M và N trên R , tồn tại một tích ten-xơ trên R của M
và N .
Chứng minh. Xét một module tự do F , i trên R lên tập hợp M N
trong đó i : M N F và G là module con của F sinh bởi các phần tử
i 1a1 2a2 , b 1i a1 , b 2i a2 , b
i a, 1b1 2b2 1i a, b1 2i a, b2
Với tất cả các phần tử a, a1 , a2 M , b,b1 ,b2 N ; 1 , 2 , 1 , 2 R.
Khi đó ta đƣợc module thƣơng T F / G trên R với phép chiếu tự nhiên
p: F T .
Xét hợp thành f p.i : M N T .
+) Ta phải chứng minh f là ánh xạ song tuyến tính
35
Giả sử các phần tử a, a1 , a2 M , b,b1 ,b2 N ; 1 , 2 , 1 , 2 R là tùy ý
cho trƣớc, thì ta có
f 1a1 2a2 , b 1 f a1 , b 2 f a2 , b
p[i 1a1 2a2 , b ] 1 p[i a1 , b ] 2 p[i a2 , b ]
p[i 1a1 2a2 , b ] 1i a1 , b 2i a2 , b 0
Điều này kéo theo
f 1a1 2a2 , b 1 f a1 , b 2 f a2 , b
Tƣơng tự ta có thể chứng minh rằng
f a, 1b1 2b2 1 f a, b1 2 f a, b2
Do đó, f là ánh xạ song tuyến tính.
+) Bây giờ ta chứng minh (T , f ) là một tích ten-xơ trên R của M và N
.
Gọi g : M N X là một ánh xạ song tuyến tính
Vì F , i là một module tự do trên R lên tập M N
Suy ra tồn tại một đồng cấu j : F X của những module sao cho
j.i g .
Xét những phần tử tùy ý a, a1 , a2 M , b,b1 ,b2 N ; 1 , 2 , 1 , 2 R .
Ta có
j[i 1a1 2a2 , b 1i a1 , b 2i a2 , b ]
f [i 1a1 2a2 , b ] 1f[i a1 , b ] 2f[i a2 , b ]
g 1a1 1a1 , b 1 g a2 , b 2 g a2 , b
Vì g là ánh xạ song tuyến tính nên
g 1a1 1a1 , b 1 g a2 , b 2 g a2 , b
j[i 1a1 2a2 , b ] 1i a1 , b 2i a2 , b 0
36
Do đó [i 1a1 2a2 , b 1i a1 , b 2i a2 , b ] là phần tử bị chứa trong
Kerj .
Chứng minh tƣơng tự phần tử i a, 1b1 2b2 1i a, b1 2i a, b2
cũng nằm trong Kerj .
Vì G là module con của F sinh bởi các phần tùy trên nên ta suy
ra G Kerj . h j * : T X của module thƣơng T F / G vào module
X , sao cho h. p j . Do đó ta có h. f h. p.i j.i g .
+) Chứng minh h là đồng cấu duy nhất
Gọi k : T X là một đồng cấu module bất kỳ trên R thỏa mãn k . f g
, chứng minh k h .
Gọi t T , t là tùy ý. Vì f M N sinh ra bởi module T nên t có thể
viết dƣới dạng nhƣ sau
t 1 f a1 , b1 2 f a2 , b2 ... n f an , bn
với a, a1 , a2 M , b,b1 ,b2 N ; 1 , 2 ,..., n R . Thế thì ta có
k t k[ 1 f a1 , b1 2 f a2 , b2 ... n f an , bn ]
k[ 1 f a1 , b1 ] k[ 2 f a2 , b2 ] ...k[ n f an , bn ]
1 (kf ) a1 , b1 2 (kf ) a2 , b2 ... n (kf ) an , bn
1 g a1 , b1 2 g a2 , b2 ... n g an , bn h t
Vì t là phần tử tùy ý của T nên điều này kéo theo k h .
Vậy h là đồng cấu duy nhất thỏa mãn h. f g .
Suy ra điều phải chứng minh.
N ận xét 3.1.3
+) M N đƣợc sinh ra bởi các phần tử dạng x y với x M , y N
+) Mỗi phần tử của M N đều biểu diễn đƣợc dƣới dạng một tổng hữu
37
hạn
n
i 1
xi yi với xi M , yi N , i 1,..., n.
Ví dụ 3.1.4.Cho m, n 1thì tích ten-xơ T của hai module
m
,
n
trên
bằng 0
Thật vậy, giả sử f , T là tích ten-xơ T của hai module
Khi đó với mọi ánh xạ song tuyến tính g :
m
n
m
,
n
trên
.
X , với X là một
, thì tồn tại duy nhất một đồng cấu h : T X , sao cho
module trên
h. f g .
Ta phải chứng minh g 0 và f 0 .
+) Chứng minh g 0 .
Vì m, n 1, thì tồn tại duy nhất u, v
Ta
1
có
g 1 ,1
m
n
1.g 1
u.m.g 1 ,1
Vì 1 ,1
m
m
n
Mà g :
m
n
,1
n
n
,1
(mu nv).g 1
v.n.g 1
m
n
m
m
m
,1
n
sao cho mu nv 1
n
m
,1
m
n
n
suy
ra
u.0 v.0 0
là phần tử sinh bất kỳ của g nên ta suy ra g 0 .
X suy ra X 0 .
+) Chứng minh tƣơng tự ta có f 0 .
Khi đó tồn tại h : T 0 sao cho h. f g hay h 0 0 h 0 T 0.
Giả sử có tồn tại h ' sao cho h '. f g
Khi đó ta có h ' 0 0 h ' 0
Vậy h h ' h là duy nhất.
Vậy T 0 là tích ten-xơ của T của hai module
m
,
n
trên
Sau đây ta sẽ giớ thiệu một số tính chất của tích ten-xơ
38
.
Địn lý 3.1.5. Cho M , N , P là các R -module. Khi đó
i)
ii)
M N N M
x y
yx
M N P M N P
x y z x y z
M N P M P N P
iii)
x, y z x z , y z
iv)
RM M
ax
ax
Chứng minh.
i) xét ánh xạ
f1 : M N N M
x, y
yx
Khi đó f1 là xong tuyến tính nên tồn tại g1 sao cho g1. 1 f1 , tức là
g1 x y y x
+ Tƣơng tự ta xét ánh xạ
f2 : N M M N
y, x
x y
Khi đó f 2 là song tuyến tính nên tồn tại g 2 sao cho g2 y x x y .
Ta có
g1.g2 y x g1 x y y x ; g2 .g1 x y x y
Rõ ràng g1 ,g 2 là ngƣợc của nhau, suy ra chúng đẳng cấu.
ii)
+) Cố định tùy ý x M , xét ánh xạ
39
fx : N P M N P
y, z
Khi
đó
fx
là
song
x y z
tuyến
tính,
nên
tồn
tại
g x sao
cho
gx y z x y z
Ta có
f x x ' f x f x ' , f ax af x , với mọi x M , a R .
Do đó ta có ánh xạ song tuyến tính
f : M N P M N P
x, y z
fx y z
Do đó tồn tại g sao cho
g x y z x y z .
Hoàn toàn tƣơng tự ta xây dựng đồng cấu g ' nhƣ sau
+) Cố định tùy ý z P , ánh xạ sau là song tuyến tính.
fz : M N M N P
x, y
x y z
do đó có g z sao cho g z x y x y z
Ta có g z z ' g z g z ' , gaz ag z , với mọi z M , a R nên ánh xạ sau là
song tuyến tính
f ': M N P M N P
x y,z
x y z
Do đó g ' thỏa mãn g ' ( x y) z x y z
Rõ ràng g , g ' là ngƣợc của nhau suy ra chúng đẳng cấu.
iii) Xét ánh xạ song tuyến tính
40
f : M N P M P N P
x, y ,z x z, y z
Do đó có g thỏa mãn g x, y z x z , y z
Từ đồng cấu
f1 : M P M N P
xz
x,0 z
và
f2 : N P M N P
yz
0, y z
và từ tính phổ dụng của tổng trực tiếp, tồn tại
h : M P N P M N P
thỏa mãn h x z, y z x, y z . Dễ dàng kiểm tra h, g là ngƣợc
của nhau, suy ra chúng đẳng cấu với nhau.
iv) Xét ánh xạ
f :RM M
a, x
ax
là song tuyến tính nên tồn tại h sao cho h a x ax
+ Ta có f 1, x x, x M nên f là toàn cấu suy ra h cũng toàn cấu.
n
n
n
+ t A M t ai xi 1 ai xi 1 ai xi
i 1
i 1
i 1
n
n
h t h 1 ai xi h 1, ai xi
i 1
i 1
n
n
f 1, ai xi ai xi
i 1
i 1
n
Do đó nếu h t 0 ai xi 0 t 1 0 0 . Suy ra h là đơn cấu.
i 1
Vậy h là một đẳng cấu.
Địn
n
ĩa
3.1.6
f : M M ',g : N N'
(Tích
ten-xơ
hai
là các đồng cấu
41
đồng
cấu).
Cho
R -module. Ánh xạ
h : M N M ' N '
x, y
là
song
f x g y
tuyến
tính,
vì
vậy
tồn
f g : M N M ' N ' thỏa mãn
tại
duy
nhất
đồng
cấu
f g x y f x g y .
Đồng cấu f g gọi là tích ten-xơ của f và g .
N ận xét 3.1.7. Nếu f , g là hai đơn cấu thì chƣa chắc f g là đơn
cấu.
Ví dụ 3.1.8.Cho
f :2
2n
là các đồng cấu
2n
, và
g:
2
a
2
a
-module và đều là đơn cấu. Ta có
f g 2 1 f 2 g 1 2 1 0
nhƣng 2 1 0 2
2
. Vậy f g không đơn cấu.
Sau đây sẽ giới thiệu một số định lý cơ bản của tích ten-xơ.
Địn lý 3.1.9. Nếu một module T trên R cùng với một ánh xạ song
tuyến tính f : M N T là một tích ten-xơ trên R của các module M
và N thì ảnh f M N sinh ra module T .
Địn lý 3.1.10 (Định lý về tính duy nhất). Nếu T , f và T ', f ' là
những tích ten-xơ trên R của cùng những module M và N thì tồn tại
một đẳng cấu duy nhất i : T T ' của module T lên T ' sao cho if f '
Địn lý 3.1.11. Cho M là một R -module. Khi đó M R M R M
.
Chứng minh. Xét ánh xạ song tuyến tính g : M R M , cho bởi
g x, a ax với x M , a R . Theo định lý 3.1.2 thì tồn tại một đồng
42
cấu duy nhất h : M R M sao chho h. g với là ánh xạ ten-xơ
M R M R . Khi đó dễ thấy h x a ax , với mọi x M , a R
.
Vì g x,1 1.x x, x M suy ra g là toàn ánh. Mà g h. suy ra h
cũng là toàn ánh. Do đó h là một toàn cấu.
+) h là một toàn cấu. Xét một phần tử tùy ý t của M R . Suy ra tồn tại
x1 ,..., xn M
a1 ,..., an R
và
sao
cho
n
n
n
t xi ai xi ai 1 xi ai 1 suy ra
i 1
i 1
i 1
n
n
n
h t h xi a h xi ai 1 h xi ai ,1
i 1
i 1
i 1
suy ra
n
n
g xi ai ,1 ai xi
i 1
i 1
n
Do đó h t 0 ai xi 0 t 0 1 0 suy ra Kerf 0 , suy ra h là
i 1
một đơn cấu.Vậy h là một dẳng cấu h : M R M , suy ra M R M
Tƣơng tự ta cũng chứng minh đƣợc rằng R M M
Vậy M R M R M .
Mện đề 3.1.12.
i) Nếu f , g là toàn cấu thì f g là toàn cấu.
ii) Nếu f , g là đẳng cấu thì f g là đẳng cấu.
Địn
lý
3.1.13.
Cho
f : M M ', g : N N ' ,
f ' : M ' M '', g ' : N ' N '' . Khi đó f ' f g ' g f ' g ' f g .
Chứng minh. Ta có
( f ' f g ' g ) x y f ' f x g ' g y f ' g ' f x g y
43
f ' g '. f g x y
Do x y là hệ sinh của M N suy ra
f ' f g ' g f ' g ' f g .
3.2. Dã k ớp
Địn n
ĩa 3.2.1. Dãy các module và các dồng cấu module
M n1
M n
M n1
n1
n
n1
đƣợc gọi là một dãy khớp khi và chỉ khi Imn1 Kern , mọi n .
Địn n
ĩa 3.2.2. Một dãy khớp có dạng
f
g
0 M
N
P 0
đƣợc gọi là một dãy khớp ngắn.
Địn lý 3.2.3. Dãy đồng cấu
h
f
g
k
0
M
N
P
0
(1)
là một dãy khớp khi và chỉ khi f là một đơn cấu, g là một toàn cấu và
Im f Kerg .
Chứng minh. (1) là dãy khớp khi và chỉ khi Im h Kerf , Im f ker g ,
Im g Kerk
ker f 0 , Im f ker g , Im g c
f là đơn cấu, Im f ker g , g là toàn cấu.
Địn n
ĩa 3.2.4. Dãy khớp
f
g
M
N
P
đƣợc gọi là chẻ ra tại M nếu Im f ker g là một hạng tử trực tiếp của
M . Nếu một dãy khớp chẻ ra tại mọi module không ở hai đầu của dãy
thì ta nói nó chẻ ra.
N ận xét 3.2.5. Dãy khớp ngắn
44
f
g
0 M
N
P 0
chẻ ra nếu và chỉ nếu nó chẻ ra tại M ..
Địn lý 3.2.6. Dãy khớp
f
g
M
N
P
chẻ ra tại M thì M Im f Im g .
Hệ quả 3.2.7. Nếu dãy khớp ngắn
f
g
0 M
N
P 0
chẻ ra thì M N P .
Địn lý 3.2.8.Dãy khớp ngắn
f
g
0 M
N
P 0
chẻ ra nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn
i) Tồn tại một đồng cấu f ' : M N sao cho f ' f id N .
ii) Tồn tại một đồng cấu g ' : P M sao cho g ' g id P .
3.3 Địa p ƣơn
óa của module
Địn lý 3.3.1. Cho M là một R -module và S là tập con nhân đóng của
R . Trên tập M S ta xác định quan hệ
nhƣ sau.
x, s y, t nếu tồn tại r S sao cho r tx sy 0
Khi đó
là quan hệ tƣơng đƣơng trên tập M S .
Chứng minh. Thật vậy
+) Với mọi
x, s M S ,
r xs sx 0 suy ra x, s
+)
x, s , y, t M S
mà
do S nên tồn tại r S sao cho
x, s , suy ra
có tính chất phản xạ.
x, s y, t suy
ra tồn tại r S sao cho
r xt sy 0 suy ra r sy xt 0 hay suy ra y, t
tính chất đối xứng.
45
x, s , suy ra
có
+) Với mọi x, s , y, t , z, u M S mà x, s
y, t
và y, t
z, u
suy ra tồn tại r1 ,r2 S thỏa mãn r1 xt sy 0 và r2 yu zt 0
suy ra r1 xt r1sy (1), và r2 yu r2 zt (2)
Nhân cả hai vế cả hai vế của 2 với r1s ta có
r1.s.r2 . y.u r1.s.r2 .z.t
r1.s. y.r2 .u r1.s.r2 .z.t
r1.x.t.r2 .u r1.s.r2 .t.z
rtr
xu zs 0
1 2
Đặt r r1.t.r2 S suy ra r xu zs 0 , suy ra x, t
có tính chất bắc cầu.
suy ra
Vậy
z, u
là một quan hệ tƣơng đƣơng trên tập M S .
x
Ký hiệu. S 1M : x, t | x M , s S .Trên tập S 1M trang bị hai
t
phép toán
, . nhƣ sau
x y xs yt
t s
st
r x rx
. .
m t mt
Khi đó S 1M cùng với hai phép toán trên trở thành một S 1M module đƣợc gọi là địa phƣơng hóa của module M theo tập con nhân
đóng S .
Địn n
ĩa 3.3.2. Giả sử M là một R -module và S là tập con nhân
đóng của vành R . Khi đó S 1M đƣợc gọi là địa phƣơng hóa của module
M theo S .
Đặc b ệt.
46
+ Nếu S R \ P , P SpecR ta ký hiệu M P S 1M
x
M P | x M ,t S .
t
+ Nếu S a n | n 0 , a R thì M a S 1M .
N ận xét 3.3.3.
i) Cho M là một R -module và S là tập con nhân đóng của R thì
: M S 1M
x
1
x
là một đồng cấu R -module.
ii) Cho u : M N là một đồng cấu R -module. Khi đó u có thể nâng
thành đồng cấu S 1R -module là
S 1u : S 1M S 1 N
m
s
u m
s
Hơn nữa nếu v : N P cũng là một đồng cấu R -module thì
S 1 v.u S 1 v .S 1 u
iii) Nếu M ' là module con của M thì ánh xạ S 1M S 1M
m'
s
m'
s
là đơn cấu nên ta có thể coi S 1M ' là module con của S 1M .
Địn lý 3.3.4. Cho N , P là các R -module con của M thì
i) S 1 N P S 1 N S 1P
ii) S 1 N P S 1 N S 1P
47
iii) S 1R -module. S 1 M
S
N
1
M
S 1 N
Chứng minh.
i) Rõ ràng từ định nghĩa về địa phƣơng hóa ta có ngay i.
ii) Rõ ràng từ định nghĩa ta có S 1 N P S 1 N S 1 P . Ngƣợc lại
lấy x S 1 N S 1P suy ra x
y z
, y N , z P suy ra tồn tại
s t
u S sao cho uty suz N P suy ra x
S
1
y suz
S 1 N P suy ra
s sut
N S 1 P S 1 N P .
iii) Do dãy 0 N M M
N
0 là dãy khớp nên suy ra dãy
0 S 1 N S 1M S 1 M
N
0
cũng là dãy khớp
suy ra S 1 M
S
N
1
M
S 1 N
.
Địn lý 3.3.5. Cho M là một R -module. Khi đó S 1R -module.
S 1M S 1R R M , hơn nữa tồn tại duy nhất
f : S 1R R M
S 1M
a
m
s
am
s
Chứng minh.
Ánh xạ
S 1M M S 1M
a
,m
s
là
song
tuyến
tính
nên
tồn
48
am
s
tại
duy
nhất
R
-đồng
cấu
a
am
f :S1 R R M S 1M thỏa mãn f R m
. Rõ ràng f là toàn
s
s
cấu và đƣợc xác định duy nhất.
Chứng minh.
+ Chứng minh f là đơn cấu.
Với mọi
ai
n
s
i 1
ta có
ai
s
i
mi S 1R M , đặt s s1...sn S , ti s j S
j i
i
mi
i
i
aiti
1
1
m aiti m aiti m
s
s
s
a
1
Do đó nếu f i m 0 thì f aiti m 0 suy ra
s
si
a t m 0 suy ra tồn tại u S
i i
s
sao cho u. aiti m 0 suy ra
1
u
1
1
aiti m aiti m u. aiti m 0 0
s
su
su
su
Suy ra f là đơn cấu.
Hệ quả 3.3.6.Cho S 1R là R -module phẳng.
Chứng minh. Mọi đơn cấu R -module f : M ' M . Do S 1R bảo toàn
dãy khớp suy ra S 1 f : S 1M ' S 1M là đơn cấu.
Theo định lý 3.3.5 ta có S 1R M ' S 1M ' và S 1R M S 1M '
Do đó ta có đơn cấu R S 1 f : S 1R M ' S 1R M .
Ví dụ 3.3.7. Cho R , S
\ 0 S 1
là
-module phẳng.
Địn lý 3.3.8. Cho M , N là các R -module. Khi đó tồn tại duy nhất
đẳng cấu các
S 1R -module
f : S 1M S 1N
S 1 M R N
49
mn
ts
m n
s t
Đặc biệt với P SpecR thì M P R N P M R N P .
P
Chứng minh. Theo định lý 3.3.5 ta có
S 1 M N S 1R R M R N S 1R R M R N
S 1R S
1
R
S 1M R N S 1M S
1
R
S
1
R R N S 1M S
1
R
S 1 N .
Địn lý 3.3.9. Phép toán S 1 là khớp, tức là nếu dãy
f
g
M '
M
M ''
khớp tại M thì dãy
1
1
S f
S g
S 1M '
S 1M
S 1M ''
là khớp tại S 1M .
Chứng minh. Do g. f 0 nên S 1 g S 1 f S 1 g. f S 1 0 0 suy ra
Im S 1 f KerS 1 g .
Ngƣợc lại với mọi
g m 0
m
m 0
KerS 1 g suy ra S 1 g suy ra
s
s
1
s 1
trong S 1M ''
t S : ty m 0 trong M '' suy ra g tm 0 suy ra tm Kerg=Imf
suy
ra
tồn
tại
m' M '
sao
cho
f m ' tm
suy
m
m f m '
m'
S 1 f suy ra Im S 1 f suy ra KerS1 g Im S 1 f .
s
s
s
ts
Vậy ta có điều phải chứng minh.
50
ra
ẾT U N
Đề tài không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa về
mặt thực tiễn. Địa phƣơng hóa của vành và modul chính là làm khả
ngịch mọi phần tử trong đó, qua đó chúng ta có thể ứng dụng vào một số
bộ môn khác nhƣ hình học, giải tích, cơ học, hóa học lƣợng tử…
Tuy nhiên, do thời gian có hạn và trình độ của em còn nhiều hạn
chế nên đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót.Em rất mong
đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo cùng các bạn sinh viên để
đề tài này ngày càng đƣợc hoàn thiện hơn.
51
TÀI I U THAM
HẢO
[1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, Nhà xuất bản
Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất bản
Giáo dục.
[3] Hideyuki Matsumura (1980), Commutative ring theory, Cambridge
University.
[4] M.F. Atiyah and I.G. Macdonald (1969), Introduction to
Commuatative Algebra, Addison – Wesley Publishing Company.
[5] R.Y.Sharp (1990), Steps in Communitative Algebra, Cambridge
University.
52
[...]... - module thì M luôn có hai module con tầm thƣờng là module con không 0 và M Ví dụ 1.7.4 Mọi nhóm Abel cộng M là - module thì các module con của M chính là các nhóm con của R Ví dụ 1.7.5 Mọi vành có đơn vị R là R - module thì các ideal trái của R là các module con của R Ví dụ 1.7.6 Cho R - module M và x là phần tử của M Khi đó tập hợp Rx ax : a R là module con của M Địn lý 1.7.7 Giao của. .. lập thành một vành gọi là vành thƣơng của X theo ideal A N ận xét 1.5.2 +) Do X là vành giao hoán nên X cũng là vành giao hoán A +) Do X là vành có đơn vị là 1 nên X cũng là vành có đơn vị 1 A A 0 x 0 | x X X X x X | x X X X X +) Ví dụ 1.5.3 Ta có n là ideal của n ,(n ) nên có vành thƣơng 0 n , , n 1 n Địn lý 1.5.4 Cho R là vành, I là ideal của R Khi đó... cấu nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh +) f gọi là toàn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh +) f gọi là đẳng cấu nếu f là đơn cấu và f cũng là toàn cấu +) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu vành f : X Y Địn lý 1.5.6 Ta có các khẳng định sau i) Tích của hai đồng cấu vành( nếu có) là một đồng cấu vành ii) Cho f : X Y là đồng cấu vành, trong đó X là một... chứa một cận trên của X thì X có ít nhất một phần tử cực đại 14 C ƣơn 2: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA VÀNH Chƣơng này ta chủ yếu trình bày về địa phƣơng hóa của vành R , phổ của vành R 2.1 Địa p ƣơn I và phổ của vành S 1R óa của v n Địn lý 2.2.1 Cho R là vành, S là tập con nhân đóng của R trên R S r , s | r R, s S xác định quan hệ nhƣ sau với mọi r, s , r ', s ' R S thì r, s r ',... Khi đó phép và là phép toán hai ngôi trên S 1R và S 1R cùng 16 với hai phép toán trên là một vành giao hoán có đơn vị là 1 , phần tử 1 không là 0 1 Địn n ĩa 2.1.2 Cho S là tập con nhân đóng của vành R , khi đó S 1R đƣợc gọi là địa phƣơng hóa của R theo S , hay địa phƣơng hóa của R bằng cách làm khả nghịch mọi phần tử của S N ận xét 2.1.3 Cho S là tập con nhân đóng của vành R i) Đồng cấu... Phần tử cực đại của tập J | J I , J S với J là ideal của R là ideal cực đại của R +) P là ideal nguyên tố của vành R , P là ideal cực đại nếu và chỉ nếu P là phần tử cực đại của Spec R theo quan hệ bao hàm 2.2 P ổ của v n R I Trong phần này ta luôn coi I là ideal của R Địn lí 2.2.1 Cho vành R , I là ideal của R i ) Nếu J là ideal của R sao cho J I thì J là ideal của vành thƣơng I... đồng cấu vành +) Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X Y sao cho g f 1X thì f là đơn cấu +) Nếu f có nghịch đảo phải tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X Y sao cho f g 1Y thì f là toàn cấu +) Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu iv) Cho f : X Y là đồng cấu vành, A là một vành con của X , B là ideal của Y thì +) f A là một vành con của Y... Nếu f là toàn cấu vành thì X Kerf Y Hơn nữa f là đơn cấu và Im f Im f 9 Hệ quả 1.5.8 (1) Cho f : X Y là đồng cấu vành thì X (2) Nếu f : X Y là toàn cấu vành thì X Kerf Kerf Im f Y (3) Cho A, B là hai ideal của X thỏa mãn B A , khi đó X B X A A B (4) Nếu B, C là các ideal của X thì ( B C ) C B B C 1.6 Module Do ban đầu ta đã mặc định vành đƣợc hiểu là vành giao hoán, có... 1 B là một ideal của X Đặc b ệt: Cho f : X Y là đồng cấu vành Hạt nhân của f , kí hiệu là Kerf , Kerf x X | f x 0Y Ảnh của đồng cấu f , kí hiệu Im f f X f x Y | x X 8 Khi đó +) X là vành nên Im f là vành con của Y +) 0Y là ideal của Y nên Kerf là ideal của X Vậy +) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf 0 X +) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f Y Địn... X và Q X 0 Ví dụ 2.1.13 Với R , S m \ 0 ta có S 1R | m , n n Nhƣ vậy trƣờng các thƣơng của vành số nguyên chính là trƣờng số hữu tỉ Ví dụ 2.1.14 Cho R là một vành và cho P là ideal nguyên tố của R thì S R \ P x | x R, x P là tập con nhân đóng của R , kí hiệu r S 1R RP và RP : | r R, s S Nó là vành tựa địa phƣơng, đƣợc s gọi là địa phƣơng ... 13 Chƣơng 2: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA VÀNH 15 2.1 Địa phƣơng hóa vành 15 2.2 Phổ vành R I 24 2.3 Phổ vành S -1 R 26 Chƣơng 3: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA MODULE 35 3.1... thức vành Chƣơng 2: Địa phƣơng hóa vành Chƣơng 3: Địa phƣơng hóa module C ƣơn IẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH Trong phần trình bày lại số kiến thức vành tính chất vành, miền nguyên trƣờng, ideal, module, ... tử cực đại 14 C ƣơn 2: ĐỊA PHƢƠNG HÓA CỦA VÀNH Chƣơng ta chủ yếu trình bày địa phƣơng hóa vành R , phổ vành R 2.1 Địa p ƣơn I phổ vành S 1R óa v n Địn lý 2.2.1 Cho R vành, S tập nhân đóng R