De HSG Toan 8 2014

Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD M thuộc CD a Chứng minh OA2 = AC.BD b Chứng minh tam giác AMB vuông c Gọi N là giao điểm của BC và AD... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI : TOÁN Ngày thi: 12/4/2014 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (4 điểm)  2  x 1  x  A     x  1  :  x  3x x   3x Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu 2: (4 điểm)    n (n  7)  36n  7  a) Chứng minh A =  với  nZ b) Cho P = n4 + Tìm tất các số tự nhiên n để P là số nguyên tố Câu 3: (4 điểm) a) Giải phương trình : 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 b) Cho a , b , c là cạnh tam giác Chứng minh : a b c   3 A = b c  a a c  b a b  c Câu 4: (6 điểm) Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt By D Từ O hạ đường vuông góc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 = AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N là giao điểm BC và AD Chứng minh MN//AC Câu 5: (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   2 bc ca a b Họ và tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN KÌ THI NGÀY 12/4/2014 MÔN THI : TOÁN Ghi chú: Đáp án là sơ lược bước giải và cách cho điểm phần bài Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai không chấm điểm Nếu HS giải cách khác đúng thì chấm điểm phần tương ứng HƯỚNG DẪN CÁC BƯỚC LÀM ĐIỂM Câu  2  x 1  x  A     x  1  :  x  3x x   3x a) 0,5đ ( x  1)  3x( x  1)  x   A    : x 3x  3x x  0,5đ  2(1  x)  x A   x  x   3x 0,5đ x 2x  x x 0,5đ A 2 A 2x 2  x x 0,5đ b) Với x 0; x 1 Ta có Để A  Z thì (x-1) phải là ước 0,5đ x   1; 2   Suy Xét trường hợp tìm x Đối chiếu điều kiện tìm x = x = thỏa mãn và kết luận 0,5đ 0,5đ Câu    n (n  7)  36n   a) Ta có: A =  n  n( n2  7)  6  n( n2  7)   n(n3  7n  6)(n3  7n  6)    A 0,5đ n(n3  n  6n  6)(n3  n  6n  6) n  n(n2  1)  6(n 1)   n(n2  1)  6(n  1)  0,5đ n(n 1) n2  n   n  1 n2  n  n  n 1  n    n  3  n  1  n    n  3 0,5đ       Do đó A là tích số nguyên liên tiếp => A  với  nZ  0,5đ b) b) P = n4 + = n4 + 4n2 + - 4n2 = (n2 + 2)2 - (2n)2 2 2 = (n - 2n + 2)(n + 2n + 2) = [(n - 1) + 1][(n + 1) + 1] V× n lµ sè tù nhiªn nªn (n + 1)2 +  2; Nh vËy muèn P lµ sè nguyªn tè th× ph¶i cã (n - 1)2 + = hay (n - 1)2 = 0, suy n = Khi đó P = là số nguyên tố 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu 3: a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; 0,5đ x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; TXĐ : x  4; x  5; x  6; x  Phương trình trở thành : 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 0,5đ  1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1    x  x  18  18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)  (x+13)(x-2)=0 0,5đ Từ đó tìm x=-13; x=2 (thỏa mãn) 0,5đ Kết luận b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Ta có x, y, z >0 yz xz xy ;b  ;c  2 ; Từ đó suy a= yz xz xy   x y 2z Thay vào ta A= 1 y x x z y z    (  )  (  )  (  ) 2 x y z x z y   (2   2) Từ đó suy A hay A 3 Câu (6 điểm) Hình vẽ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ D M C N A O B a) Xét  ACO và  BOD có A B  = 900 ;    COA ODB (cùng phụ với DOB ) Nên  ACO đồng dạng với  BOD AO BD  => AC BO => AO.BO = AC.BD mà AO=BO Nên AO2 = AC.BD b) Xét  CMO và  OMD có   CMO = OMD = 900    OCM  DOM (cùng phụ với COM ) CO OM  =>  CMO đồng dạng với  OMD => OD MD (1) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ CO AO  Mà  ACO đồng dạng với  BOD => OD BD CO OB  OD BD (2) (Do AO = OB) => 0,5đ OM OB  Từ (1) và (2) ta có MD BD => tam giác OMD và tam giác OBD đồng dạng  0,5đ  => MOD BOD => OMD  OBD (cạnh huyền , góc nhọn) => OM = OB = OA suy tam giác AMB vuông M 0,5đ c) Ta có AC // BD (cùng vuông góc với AB) CN AC  => NB BD mà BD = MD (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) Tương tự ta chứng minh AC = CM 0,5đ 0,5đ CN CM  Nên BN DM => MN// BD//AC 0,5đ Câu 5: - Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a) Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c) 0,5đ c + ab = (c + a)(c + b) đó: VT  (a  b)(a  c) (b  a )(b  c) (c  a )(c  b)   bc ca a b 0,5đ áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có (a  b)(a  c) (b  a )(b  c)  2(a  b) bc ca (a  b)(a  c) (c  a )(c  b)  2(a  c) bc a b (b  a )(b  c) (c  a )(c  b)  2(b  c) ac a b Vậy VT 4(a  b  c) 4 hay VT 2  ĐPCM Đẳng thức xảy  a = b = c =3 0,5đ 0,5đ