De HSG Toan 8 Dap an

AC AB MA[r]

Phòng gD&ĐT HUYệN đầm hà Đề thøc

đề kiểm tra học sinh giỏi

năm học 2006 - 2007

Môn: Toán 8

Thêi gian lµm bµi: 120 phót

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:

a) x2 – 4x + = 25

b)

1004 x 1986

21 x 1990

17 x

     

c) 4x – 12.2x + 32 =

Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác z y x

 



Tính giá trị biểu thức: A x2 yz2yz y2xz2xz z2 xy2xy      

Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương

Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng AAHA'' HBBB'' CCHC''

b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM

c) Chứng minh rằng: ' CC ' BB ' AA

) CA BC AB (

2

2

2

 

  

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN

a) Tính x = 7; x = -3 ( điểm ) b) Tính x = 2007 ( điểm ) c) 4x – 12.2x +32 =  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25điểm )

 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) =  (2x – 8)(2x – 4) = ( 0,25điểm )

 (2x – 23)(2x –22) =  2x –23 = 2x –22 = ( 0,25điểm )

 2x = 23 2x = 22  x = 3; x = ( 0,25điểm )

 Bài 2(1,5 điểm):

z y x

 

 xy yz xz

xyz xz yz xy

      

  yz = –xy–xz ( 0,25điểm )

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó:A (x yyz)(x z) (y xxz)(y z) (z xxy)(z y)        

 ( 0,25điểm )

Tính A = ( 0,5 điểm )  Bài 3(1,5 điểm):

Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, 0a,b,c,d9,a 0 (0,25điểm)

Ta có: abcd k2

 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m2

     abcd k2



abcd 1353 m2



 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353

 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37

k = 56 k = (0,25điểm) Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm)

 Bài (4 điểm):

Vẽ hình (0,25điểm) a) AAHA''

BC ' AA

BC ' HA S

S

ABC HBC



 ; (0,25điểm)

v i k, mớ N, 31km100 (0,25 i m)đ ể

 

 

Tương tự: SS CCHC''

ABC HAB

 ;

' BB

' HB S

S

ABC HAC

 (0,25điểm)

S S S

S S

S ' CC

' HC ' BB

' HB ' AA

' HA

ABC HAC ABC

HAB ABC

HBC

 

 



 (0,25điểm)

b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC:

AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC BI

 

 (0,5điểm )

AM IC BN CM AN BI

1 BI IC AC AB AI IC BI AI AC AB MA

CM NB AN IC BI

 

 



c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD

(0,25điểm)

-BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2  AB2 + AD2  (BC+CD)2

(0,25điểm)

AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2

4CC’2  (BC+AC)2 – AB2

Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2

4BB’2

 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)

-Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)

 (AB+BC+AC)2

4 ' CC ' BB ' AA

) CA BC AB (

2

2

2

 

  

(0,25điểm) (Đẳng thức xảy  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC

 ABC đều)

*Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu

(0,5 i m ) đ ể (0,5 i m ) đ ể