Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’.. Chứng minh tam giác AB’C cân.[r]
(1)UBND HUYỆN THÁI THỤY
PHÒNG GD&ĐT KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆNNĂM HỌC 2011-2012 Mơn: Tốn 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài (3 điểm ) 1- Tìm x y thoả mãn :
2012 2x 2011 3y2012 0
2- Có tìm hai chữ số a b để 2011ab bình phương số tự nhiên khơng? Vì ?
Bài (3 điểm )
1 Cho 3 4
x y
y 5=
z
6 Tính M =
2x+3y+4z 3x+4 y+5z 2- Cho số a; b ; c ; d thỏa mãn : b2 = ac c2 = bd
Chứng minh rằng:
3 3
3 3
a b c a
b c d d
Bài (4 điểm ) Tính : P =
1 1
1 (1 2) (1 3) (1 4) (1 2012)
2 2012
2- Tìm x thoả mãn :
5 5 5 5 5
5 5 5
4 4 6 6 6
3 3 2
x
Bài (2 điểm )
Cho đa thức f(x) thoả mãn : x f(x - 2011) = (x - 2012) f(x) Chứng minh đa thức f(x) có hai nghiệm khác
Bài (8 điểm)
Cho tam giác ABC có B < 900 B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia
BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D 1- Chứng minh: BEH ACB
2- So sánh độ dài ba đoạn thẳng : DH ;DC DA 3- Lấy B’ cho H trung điểm BB’
Tam giác AB’C tam giác ? Vì ?
(2)Họ tên : ………Số báo danh : ………
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MƠN TỐN 7 NĂM HỌC 2011-2012
Bài Nội dung Điểm
Bài (3đ)
1- Tìm x y thoả mãn :
2012
2x 2011 3y2012 0
Nhận xét:
2012
2 2011 2012
x x y y
Đẳng thức xảy 2x – 2011 = 3y + 2012 = Tìm x =
2011
2 y = 2012
3
2- Có tìm hai chữ số a b để 2011ab bình phương số tự nhiên khơng? Vì ?
Ta có: 0ab99 201100 2011 ab201199 4482 2011ab 4492
448 449 hai số tự nhiên liên tiếp nên 2011ab khơng bình phương số tự nhiên
0.75đ 0.75đ 0.75đ 0.25đ 0.5đ Bài (3đ)
1 Cho 3
x y y 5= z
6 Tính M =
2x+3y+4z 3x+4y+5z x3=y
4⇒ x 15= y 20 ; y 5= z 6⇒ y 20= z 24 ⇒ x 15= y 20= z 24 (1)
Từ (1) ⇒302x= 3y 60 =
4z 96 =
2x+3y+4z
30+60+96
3 5 45 80 120 45 80 120
x y z x y z
2x+3y+4z
30+60+96 :
3x+4y+5z 45+80+120 =
2x 30 :
3x 45 = 2x+3y+4z
30+60+96 :
3x+4y+5z 45+80+120 =
2 245 186
186 5 245
x y z x y z
M
x y z x y z
2- Cho số a; b ; c ; d thỏa mãn : b2 = ac c2 = bd
Chứng minh rằng:
3 3
3 3
a b c a b c d d
Từ b2 = ac c2 = bd ta có :
a b c b c d
3 3
3 3
a b c b c d =
3 3
3 3
a b c b c d
(2)
Mà 3
a a a a a a a a b c a
b b b b b b b b c d d (3) Từ (2) (3) có điều cần chứng minh
0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.75đ 0.5đ 0.25đ Bài (4đ)
1 Tính : P =
1 1
1 (1 2) (1 3) (1 4) (1 2012)
2 2012
(3)=
1 2.3 3.4 4.5 2012.2013
2 2012
2 2013
2 2 2
1
2 2013
1
1 2013
1 2012.2013 2025077
2 2
2- Tìm x thoả mãn :
5 5 5 5 5
5 5 5
4 4 6 6 6
3 3 2
x
5 5 5 5 5
5 5 5
4 4 6 6 6
3 3 2
5
5
4.4 6.6
3.3 2.2 =
6
6
4
=
6
12
6
2x 212 x = 12
0.5đ 0.75đ
1.0đ 1.0đ
Bài (2đ)
Cho đa thức f(x) thoả mãn : x f(x - 2011) = (x - 2012) f(x) Chứng minh rằng đa thức f(x) có hai nghiệm khác nhau.
* Với x = ta có - 2012 f(0) = 0.f(- 2011) = hay f(0) = , đa thức có nghiệm x =
* Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011) Như -1 f(2011) = 2011.f(0) = , nên f(2011) = Vậy đa thức có nghiệm x = 2011
Từ suy điều cần chứng minh
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ Bài
(8đ) Cho tam giác ABC có
B < 900 B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối
của tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D.
1- Chứng minh: BEH ACB
Tam giác BEH cân B nên E H
Mà 2C ABC E H 12E Vậy BEH ACB
2-.So sánh độ dài ba đoạn thẳng : DH ;DC DA.
Chứng tỏ DHC cân D nên DC = DH (1)
0.5đ 1.0đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
A
B
C H
E
D
B’
1
(4)Chứng minh
0
2
90 90
DAH C
DAH H
Suy DAH AHD DAH cân D nên DA = DH (2) Từ (1) (2) ta có : DC = DH = DA 3- Lấy B’ cho H trung điểm BB’
Tam giác AB’C tam giác ? Vì ?
ABB’ cân A nên AB B' ABB' 2C , mà
'
AB BA C Vậy 2C A C1 A1C Kết luận : Tam giác AB’C cân B’
4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vng A thì: DE2 = BC2 – AB2
Chứng minh được: Khi tam giác ABC vuông A ABC600 ; ACB300
Chứng minh được: Tam giác AHD nên DA= AH Chứng minh :AHCDAE suy : DE = AC
Do AC2 = BC2 – AB2 từ DE2 = BC2 – AB2
0.5đ 0.5đ 1.0đ 1.0đ
0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ
Lưu ý:
- Trên đậy hướng dẫn chấm, đề nghị trước chấm tổ nghiên cứu kỹ thống - Điểm thi tính đến 0,25 điểm
(5)Bài 1: (2,0 điểm)
28+7x = 28+4y 0,25
x
4= y 7=
x+y
4+7 0,25
x
4= y 7=
22
11=2 x=8; y=14 0,25
x 3=
y 4⇒
x 15=
y 20 ;
y 5=
z 6⇒
y 20=
z
24 ⇒ x 15=
y 20=
z
24 (1) 0,25 (1) ⇒2x
30 = 3y 60 =
4z 96 =
2x+3y+4z
30+60+96 0,25
(1) ⇒3x 45 =
4y 80 =
5z 120=
3x+4y+5z
45+80+120 0,25
2x+3y+4z
30+60+96 :
3x+4y+5z 45+80+120 =
2x 30 :
3x
45 0,25
2x+3y+4z
186
245
3x+4y+5z=1⇒M=
2x+3y+4z 3x+4y+5z=
186
245 0,25
Bài 2: ( 2,0 điểm)
Thực tính:
2S = 22011−22010−22009 −22−2 0,25
2S-S = 22011−22010−22010.−22009
+22009 .−22+22−2+2+1 0,25 S = 22011−2 22010
+1 0,25
S ¿22011−22011+1=1 0,25
P = 1+1
2 +
1
3 +
1
4 + .+
1 16
16 17
2 0,25
¿2 2+
3 2.+
4 2+
5 2+ .+
17
2 0,25
¿1
2(1+2+3+ +17−1) 0,25 ¿1
2( 17 18
(6)Bài 3: ( 2,0 điểm)
1
2
3
4
5
30 31
31 26=2
x
0,25 30 31
1 30 31 230.26=2
x
0,25
236=2
x
0,25
x=−36 0,25
4 45
3 35 65
2 25=2
x
0,25 46
36
66 26=2
x
0,25
(63)
6
.(4 2)
6
=2x 0,25
212=2x⇒x=12 0,25
Bài 5: Cho tam giác ABC có B < 900 B = 2C Kẻ đường cao AH Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Đường thẳng HE cắt AC D
a Chứng minh BEH = ACB b Chứng minh DH = DC = DA
c Lấy B’ cho H trung điểm BB’ Chứng minh tam giác AB’C cân d Chứng minh AE = HC
Câu a: 0,75 điểm Hình vẽ:
BEH cân B nên E = H1 0,25
ABC = E + H1 = E 0,25
ABC = C BEH = ACB 0,25
Câu b: 1,25 điểm
Chứng tỏ DHC cân D nên DC = DH
DAH có:
DAH = 900 – C
DHA = 900 - H
2 =900 – C
DAH cân D nên DA = DH
0,50
DAH có:
DAH = 900 - C 0,25
DHA = 900 - H
2 =900 - C 0,25
DAH cân D nên DA = DH 0,25
Câu c: 1,0 điểm
ABB’ cân A nên B’ = B = 2C B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C C = A1AB’C cân B’
0,25
A
B
C H
E
D
B’
1
(7)B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,50 C = A1AB’C cân B’ 0,25 Câu d: 1,0 điểm
AB = AB’ = CB’ BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H AE = HC
0,25
BE = BH = B’H 0,25
Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H AE = HC
0,50
Bài (2,5 điểm)
Cho đa thức f(x) thoả mãn : x f(x - 2011) = (x - 2012) f(x) Chứng minh đa thức f(x) có hai nghiệm khác nhau.
* Với x = ta có - 2012 f(0) = 0.f(- 2011) = hay f(0) = , đa thức có nghiệm x = * Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011)
Như -1 f(2011) = 2011.f(0) = , nên f(2011) = Vậy đa thức có nghiệm x = 2011