So Phuc LTDH Cap Toc

Bài 7:Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thõa mỗi điều kiện sau:.. Các bài trong các đề thi đại học và bài tập làm thêm: 1..[r]

LTĐH Cấp Tốc 2014 GV: Đoàn Văn Tính SỐ PHỨC A:LÝ THUYẾT: I SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC : Định nghĩa: Số phức là biểu thức có dạng a  bi , đó a, b  ; i  1  Số phức z  a  bi có a là phần thực, b là phần ảo   Số phức z  a  bi biểu diễn điểm M  a; b  hay u   a; b  mặt phẳng tọa độ Oxy  z = a + 0i là số thực  z = + bi là số ảo  z = + 0i vừa là số thực vừa là số ảo a  c b  d    Modun số phức z  a  bi chính là độ dài OM Vậy :  z  OM  a  b2  Hai số phức : a  bi  c  di    Số phức liên hợp số phức z  a  bi là số phức z  a  bi Chú ý : các điểm biểu diễn z và z đối xứng qua trục hoành Do đó z là số thực và z  z , z là số ảo và z   z CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC : a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :  a  bi    c  di    a  c   b  d  i  a  bi    c  di    a  c   b  d  i  a  bi  c  di    ac  bd    ad  bc  i Chú ý : Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với chú ý i  1 Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực áp dụng trên tập số phức i1  i, i  1, i3  i, i  Tổng quát : i 4n  1, i 4n1  i, i 4n2  1, i 4n3  i 1  i   2i ; 1  i   2i b Phép chia hai số phức : a  bi  a  bi  c  di   a  bi  c  di    c  di  c  di  c  di  c2  d Như : (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ) 0946069661 Trang LTĐH Cấp Tốc 2014 GV: Đoàn Văn Tính z z.z z.z   z z.z z Chú ý : 1 i i 1 i c Các tính chất số phức liên hợp và modun :   z  z z  z ; z  z  z  z ; zz  z.z ;    z z z  với z  , z   z   z  z ; zz  z z ;      z z  ; z  z  z  z z z Tính kết hợp: ( z + z/ ) + z// = z + ( z/ + z// ) Tính giao hoán : z + z/ = z/ + z Cộng với 0: z + = + z = z z = a + bi = > - z = - a – bi là số đối z II: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Căn bậc số phức: Định nghĩa : Số phức z là bậc hai số phức w : z2  w Như để tìm Số phức z  x  yi  x, y   là bậc hai số phức w  a  bi ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :  2  x  y a   xy b  Chú ý :  Số có đúng bậc hai là  Số thực a  có đúng hai bậc hai là :  a  Số thực a  có hai bậc hai là i a  i a Đặc biệt , số 1 có hai bậc hai là i Phƣơng trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai az  bz  c  ( a, b, c  , a  ) (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ) 0946069661 Trang LTĐH Cấp Tốc 2014 GV: Đoàn Văn Tính  Nếu   , phương trình có nghiệm kép z   b 2a  Nếu   , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt : z1,2  b   , 2a  Nếu   , phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt : z1,2  b   2a , a Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai az  bz  c  ( a, b, c  , a  ) có hai nghiệm z1 , z2 thì : z1  z2   b c và z1 z2  a a b Định lý đảo định lý Viet : Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1  z2  S và z1 z2  P thì z1 , z2 là nghiệm phương trình : z  Sz  P  III: DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng lƣợng giác số phức : Số phức z  a  bi  có dạng lượng giác là : z  r  cos  i sin   ; đó : r  z  , a b cos  , sin   ,    Ox, OM  là acgumen z r r Các tính chất acgumen : Nếu  là acgumen z thì  là acgumen z Nếu  là acgumen z thì    là acgumen  z Nhân, chia số phức dƣới dạng lƣợng giác : Nếu z  r  cos  i sin   và z  r  cos   i sin   thì : zz  rr cos       i sin      , z r  cos       i sin      z r   Lũy thừa số phức dƣới dạng lƣợng giác : Nếu z  r  cos  i sin   thì z n  r n  cos n  i sin n  n  và n Căn bậc hai số phức dƣới dạng lƣợng giác : Nếu z  r  cos  i sin   thì các bậc hai z là : (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ) 0946069661 Trang LTĐH Cấp Tốc 2014 GV: Đoàn Văn Tính   k 2   k 2  r  cos  i sin 2    , với k  hay k   B Bài tập rèn luyện: Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:  1  6  11 A     i     4i   i  5  5  C  3i 2i 2i  3i  1 i  E    i 1  2010 3  i 1     i 1  ; B 1  i   i   1  i   i  1  i   i  1  i   i  ; D  2008     2009   i 2010  2011  i 2012  i i i   i  2007  1 i  F    1 i  2010 ; 30  1  i     3i   3i   10 G   1  i   1  i   1  i    1  i  ; H   1  i   1  i   1  i      i  20 20 Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a (7+2i)x-4+5i = -2+8i ;b (3+2i)x-6ix=(1-2i)[x-(1+5i)] c 2i 1  3i z 1 i 2i ; d   i  z   i   iz  e z  z   4i ; f 3x   3i x  i    g z2+ z =0 k (1-ix)2 + (3+2i)x-5=0 m 2x4+3x2+1=0  1 0 2i  1  i  18 x  1 i ; i z2+ z =0 ; h z 2+ z =0 ; l x4-x2 -6=0 ; n 4x4+4x2+1=0 Bài 3: Biết x1 , x2 là hai nghiệm PT: x  3x   Hãy tính: a A= x1  x2 2 ; b B= x1  x2 ; c C= x1  x2 4 ; d D= x1 x2  x2 x1 ; e E= 1  x12 x22 Bài 4: Tìm các số a, b để có phân tích sau: a 2z3-9z2+14z-5=(2z-1)(z2+az+b)=0 giải PT trên tập C: 2z3-9z2+14z-5=0 b x4-4x2-16x-16=(x2-2x-4)(x2+ax+b) giải PT trên tập C: x4-4x2-16x-16=0 Bài 5: Lập PT bậc hai có nghiệm là: a  i và  i ; Bài 6: Tìm số phức z thõa : b  2i và  2i ; c   i và   i ; 2.(z+1)(z-1)=2+4i ;  z    i ; z -2z=1+2i đs:z=-I ;  z 1  1.(z+i)2=1  3Z  Z  5i  3;  kq : z   108  12 161   z  2i   z  i  17   i  ;  kq : z    i 90   z  3i   z  2   1 1   z  z  z ;  kq : z  0; z    i; z    i  ;8 2 2   (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM )  z  10  ; kq : z  i 10; z  i 10; z  10; z   10   z lasothuc   0946069661 Trang  i LTĐH Cấp Tốc 2014 GV: Đoàn Văn Tính  z  i  z 1 i   640  16  640  16 2  640  16  640  16    z   i; z   i   20 80 20 80  z.z     z 1 1    10 z +z=3-4i  kq : z    4i  ; 11  z  i   (đs:z=0;z=1;z=-1) ; 12  z  i     z i   z  3i   z i  z  2i  z 13     z  i  z 1 ; 1 (đs: z=1+i); 14 z  và z2 là số ảo  6 6 6 6   i; z   i; z   i; z    i   kq : z   2 2 2 2     z 3i  14  ; 15 z    z.z  20  z  z ;16 z  2i   và z2 là số ảo Bài 7:Tìm tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn các số z thõa điều kiện sau:  1   a z  và phần ảo z thuộc đoạn   ;  ;b z  z   ; c z  z   i  2 d (2-z)(i- z ) là số thực tùy ý ; e (2-z)(i+ z ) là số ảo tùy ý; f z  i  z  z  2i ; g z  ( z )  2 h z   ; i z  2i   z   i ; k z  z  ; l z  z   ; m z  z   3i  13 n z  3i  z  z  2i ; p z   3i  14 ; q z   2i  z   2i  ; r z+2i là số thực s z-2+i là số ảo; t z z =9 ; v z  3i  ; u z   i  ; x z   z   z i II Các bài các đề thi đại học và bài tập làm thêm: ĐH 2009A(CB) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm PT z2+2z+10 = Tính giá trị biểu thức A= z1  z2 KQ:A=20 ĐH 2009B(CB) Tìm số phức z thõa mãn z    i   10 và Z Z =25 KQ: z=3+4i ; z=5 2 ĐH 2009D Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện z    4i   KQ: Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R=2 CĐ 2009A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn: (1+i) 2(2-i)z=8+i(1+2i)z Xác định phần thực và phần ảo z KQ: phần thực: -2; phần ảo: z   7i  z  2i trên tập số phức KQ: z1   2i; z2   i CĐ 2009A,B,D (NC) Giải PT: z i   i  1  2i  KQ:  3i  Tìm môđun Z  iZ KQ: ĐH 2010A(CB) Tìm phần ảo số phức z, biết: Z  1  ĐH 2010A(NC) Cho số phức z thõa mãn: Z  1 i ĐH 2010B Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện z  i  1  i  z KQ: Đường tròn tâm I(0;1), bán kính R= (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ) 0946069661 Trang LTĐH Cấp Tốc 2014 GV: Đoàn Văn Tính ĐH 2010D Tìm số phức z thõa mãn điều kiện z  và z2 là số ảo KQ: z1   i; z2   i; z3  1  i; z4  1  i 10 CĐ 2010A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn:   3i  Z    i  Z   1  3i  Xác định phần thực và phần ảo z KQ: phần thực: -2; phần ảo: 11 CĐ 2010A,B,D (NC) Giải PT: z -(1+i)z+6+3i=0 trên tập số phức KQ: x1   2i; x2  3i 12 TN 2011(CB) Giải PT: (1-i)z+2-i=4-5i trên tập số phức KQ:z=3-i 13 TN 2011(NC) Giải PT: (z-i)2+4=0 trên tập số phức KQ: z1  3i; z2  i 14 ĐH 2011D(CB) Tìm số phức z, biế t : z    3i  z   9i KQ: z=2-i 15 ĐH 2011B(CB) Tìm số phức z, biế t : z  5i   kq : z1  1  i 3; z2   i z    1 i  16 ĐH 2011B(NC) Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: z     1 i  (kq: phầ n thực bằ ng và phần ảo 2) 1 1   17 ĐH 2011A(CB) Tìm số phức z, biế t : z  z  z;  kq : z1  0; z2    i; z3    i  2 2    2 18 ĐH 2011A(NC) Tính môđun số phức z, biế t :  z  11  i   z  1  i    2i;  kq : z     5( z  i) 19 Cho số phức z thỏa   i Tính môđun số phức w = + z + z2 ( A 2012-NC) z 1 20 Cho số phức z   3i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực và phần ảo số phức w  (1  i)z5 ( A 2013 –NC)  21  Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z  3iz   Viết dạng lượng giác z1 và z2 B 2012 –NC) 22 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + ( 2(1  2i)   8i Tìm môđun số phức w = z + + i 1 i ( D 2012) 23 Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = trên tập hợp các số phức ( D 2012 – NC) 24 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1  i)(z  i)  2z  2i Tính môđun số phức w  z  2z  (D z2 2013) Làm thêm 25 Cho z1, z2 là các nghiệm phức phương trình z  z  11  Tính giá trị biểu thức z1  z2 A  z1  z2  2 ĐS: A=11/4 26 Tìm số phức z thoả mãn: z   i  Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị     ĐS: z     i, z     i (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ) 0946069661 Trang LTĐH Cấp Tốc 2014 GV: Đoàn Văn Tính  z 1  z i 1  27 Tìm số phức z thỏa mãn:   z  3i   z  i HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1 1  2 ĐS: z=1+i  zi 28 Giải phương trình:     z i  ĐS: z{0;1;1} 29 Giải phương trình: z  z  HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z ĐS: z{0;i;i} 30 Giải phương trình: z  z  HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z ĐS: z=0, z=1, z   i 2 z2 31 Giải phương trình: z  z   z   HD: Chia hai vế phương trình cho z2 1 ĐS: z=1±i, z    i 2 32 Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + =0 HD: Đặt thừa số chung 3  i, z    i 2 2 33 Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0 Hãy xác định điều kiện tham số m cho phương trình: a Chỉ có đúng nghiệm phức b Chỉ có đúng nghiệm thực c Có ba nghiệm phức ĐS: z  1, z  34 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a z3iz22iz2 = b z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 35 Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: z  i  z  z  2i ĐS: y  36 Tìm phần thực, phần ảo các số phức sau:   (1  i)10  a b  cos  i sin  i5  i 3  i    ĐS: a Phần thực   , phần ảo 0, b Phần thực 0, phần ảo 128 16 (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ) 0946069661 Trang x2