LUYEN THI DAI HOC CAP TOC

Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá.. Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm..[r]

(1)

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

Để chứng minh BĐT ta sử dụng số bất đẳng thức dùng phương pháp đánh giá I.Sử dụng số BĐT bản:

Các BĐT BĐT Cô-Si: Với n số khơng âm bất kì: a a1; ; (2 a nn 2)ta ln có:

1

( ) n n

n

a a a

a a a I n

  



; dấu xảy khi: a1 a2   an. BĐT Bunhiacôpxki: Với hai số thực ( ; ; ),( ; ; )a a1 an b b1 bn ta ln có:

2 2 2 2

1 2 2

(a b a b  a bn n) (a a  an)(b b  bn)( )II ; dấu xảy chỉ Khi:

1

n n a a a

b b  b BĐT: a2 b2 c2 ab bc ca III( )

     ; dấu xảy a b c  .

BĐT:

2

1 2

1 1 1

( )

n n

n

IV

a  a   a a a  a ; a a1, , 2 an số dương; dấu xảy số

Bài 1: Cho a b 0 Chứng minh:

2

1 4 1

/ 3; / 3; / 2 2.

( ) ( )( 1) ( )

a a b a c a

b a b a b b b a b

     

   

Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có:

3

1 1

( ) 3 ( ). 3

( ) ( )

b a b b a b

b a b b a b

     

  (đpcm).

Dấu xảy b 1;a 2.

Bài 2: Cho a > 1; b > Chứng minh: a b 1b a 1ab. Giải: Theo BĐT (I) ta có:

( 1) 1 1 ( 1).1 .

2 2

b ab

a b a b a   

; tương tự ta có: 1

2 ab b a 

Cộng vế BĐT lại ta đpcm Dấu xảy a = b = Bài 2’: a,b,c ba số khơng âm có tổng Chứng minh: ab bc ca abc   8/ 27.

Giải: Theo BĐT (I) ta có:

3 (1 )(1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2

3 3

a b c

a b c     

    

1 a b c ab bc ca abc ab bc ca abc 8/ 27

             (đpcm) Dấu xảy khi

(2)

Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c Chứng minh: a3 b3 c3 a2 bc b ca c ab .

Giải: Theo BĐT (I) ta có:  

4

3 3 6 3

4a b c 6 a b c 6a bc

; tương tự ta có:

3 3 3

4b c a 6b ca c;4 a b 6c ab cộng vế BĐT lại đơn giản ta

sẽ BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c

Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z Chứng minh: (x y z  ) /6 xy z2 432

Bài 4: Tìm GTNN biểu thức P(x y ) /9 x y3 6trong x,y số dương

3 9 9 9

9

3 6

( ) 9 3

3. 6. 9.

3 6 3 6 3 6 2

x y x y x y

x y P

x y



   

           

   

Vậy GTNN P 3 / 29 y = 2x

Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a6 b6 c6 3 Hãy tìm GTLN biểu thức

2 2

S a b c

Giải: Theo BĐT (I) ta có: a6   1 ;a b2   1 ;b c2   1 3c2  9 3 S  3S Vậy GTLN S a = b = c =

Bài 6: x,y số thực thỏa mãn điều kiện: 0 x 3;0 y 4 Tìm GTLN biểu thức: (3 )(4 )(2 3 )

A  x  y x y .

3 2(3 ).3(4 ).(2 3 ) (6 ) (12 ) (2 3 ) 6 3

x y x y

x y x y     

    

3

6A 6 A 36

    Vậy GTLN A 36 x = y = 2.

Bài 7: x,y,z số khơng âm có tổng Tìm GTLN biểu thức:

( )( )( )

P xyz x y y z z x    .

Bài 8: a,b,c số dương Chứng minh:

* ( , ) m n m n m n

n n n

m m m

a b c

a b c m n N

b c a

  

     

( ) ( ) ( )

n

m n m n

n m n n m n

m m

a a

n mb m n b m n a

b b

 

  

      

  Tương tự

ta có: ( ) ; ( )

m n m n

n n n n

m m

b c

n mc m n b n ma m n c

c a

 

     

Cộng BĐT lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c

Chú ý: Nếu m n 1 ta BĐT:

2 2

. a b c

a b c

b  c  a   

Bài 9: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh:

3 3

.

( ) ( ) ( ) 2

a b c a b c

b c a c a b a b c

 

  

(3)

3

3 3

3

( ) 2 4 ( ) 4 2

a b c a a b c a a

b c a b c a

 

   

  Tương tự ta có:

3 3 3

;

( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2

b c a b b c a b c c

c a b a b c

 

     

  Cộng vế BĐT lại đơn

giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c

Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x y z  6 Tìm GTNN biểu thức:

3 3

x y z

S

y z x z y x

  

   .

Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a b c  6 Tìm GTNN biểu thức:

3 3

1 1 1

(1 )(1 )(1 ) P

a b c

   

Bài 12: Cho x,y,z ba số thực thoả mãn hệ thức: x y z  0 Chứng minh: 3 4x 3 4y 3 4z 6

S       

Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 4 x  1 1 4   x  4 44 x 2.2x/ Tương tự ta có:

/ / / / / ( ) /

3 4y 2.2 ; 4y z 2.2z S 2(2x 2y 2 ) 2.3 2z x y z  6

          (đpcm)

Dấu xảy x  y z 0

Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng Tìm GTNN biểu thức:

1 1

x y

S

y x

 

  .

Giải: Dễ thấy S dương Theo BĐT (I) ta có:

2

2 x 2 y 2

S x y xy xy

y x

      

2

3

3. x xy 3. y xy 3(x y) S 2 S 2

y  x       Vậy MinS  2 x = y = 1/2. Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c  3 Tìm GTNN biểu thức:

a b c

S

b c a

  

Bài 15: Cho số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a2 b2 c2 1. Chứng minh: 3

ab bc ca S

c a b

   

(4)

Bài 16: Cho số dương x,y,z có tổng Chứng minh BĐT: 3

2

xy yz zx

xy z  yz x  zx y  .

Giải: Do xy z xy z x y z   (   ) ( x z y z )(  ) nên theo BĐT (I) ta có: 1

.

2

xy x y x y

xy z x z y z x z y z

 

    

       Tương tự ta có:

1 2

yz y z

yz x x y x z

 

   

     ;

1 2

xz x z

xz y x y y z

 

   

    

Cộng BĐT ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy x  y z 1/ 3 Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y 6 Tìm GTNN biểu thức:

6 8 3 2

P x y

x y

   

3 6 8 3 3 3 6 8 3

2. . 2. . .6

2 2 2 2 2 2 2

x y x y x y

P

x y x y

        

6 19

    Vậy MinP = 19 x = y = 4.

Bài 18: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 xy  xz 1 Tìm GTNN biểu thức: 3yz 4xz 5xy

S

x y z

  

2 3 2 4 6

yz xz yz xy xy xz

S z y x

x y x z z y

     

            

 

   

2(x z ) 4( x y ) 4 xz 8 xy 4 Vậy MinS = x = y = z = 1/3.

Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn điều kiện: x y 4;3x y 6 Tìm GTLN biểu thức: P 9.3 x 4 y

3 2 2

3.3 .1.1 .2 .3 3( 2) ( 3)

3 3

P  x  y  x  y

2 3 9 3

( ) (3 ) 4 6 6 4. 6. 6 3

2 6

a x y b x y a b  

             

9 3

  ( Do a3b3 &a b 2 / 3 a (2 3) / & b(9 3) / 6 ).

(5)

Bài 20: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT:

1 1 1 1 1 1

2a b c a 2b c a b 2c 4 a b c

 

      

       .

Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có:

1 1 1 1 1

2a b c (a b) (a c) 4 a b a c

 

    

        

1 1 1 1 1 1 1 4 4 a b 4 a c 16 a b c

      

            

     

  Tương tự ta có:

1 2 a b c

1 1 16 a b c

 

    

 ;

1 2 a b  c

1 1 2 16 a b c

 

    

 .Cộng vế BĐT lại

đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c  .

Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng Chứng minh BĐT sau:

2 2

1 1 2 3

/ 6; / 14.

a b

ab a b  ab a b 

Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 2 2

1 1 1 1 1

2 2

ab a b  ab  ab a b 

2 2

2 4

2 6

(a b ) 2ab a b    (đpcm) Dấu xảy a b 1/ 2. 1/ 2.

a b 

Bài 22: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c  3/ 2. Chứng minh:

1/ 1/ 1/ 15/ 2.

a b c   a b c

Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích Chứng minh: x2  y2  z2  x y z

Giải: Áp dụng BĐT (II) (I) ứng với n = ta có:

2

2 2 ( ) ( ).

3 x y z

x  y z     x y z 

3

( ).

3 x y z

x y z xyz x y z

 

     

(đpcm) Dấu xảy x   y z 1

Chú ý: Từ BĐT ta suy BĐT:

2 2

a b c a b c

b  c  a  b c  a với a,b,c số dương Bài 24: Cho a c 0;b c 0 Chứng minh: c b c(  )  c a c(  )  ab

Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số ( c; a c ) & ( b c c ; ) ta được:

( c b c(  )  c a c(  )) (c a c b c c  )(   )ab từ suy BĐT ccm Dấu xảy khi

( )

ab c a b 

(6)

2 ( )2

x a x a

x y a b x y a b



 

    

Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số

; & ( ; )

x a x

x y a b x y x y a b x y

  

   

 

     

  ta

được:

2

2 ( )

( ) ( )

x a x

x y a b x y x a x x y a b x y

  

        

 

   

  từ suy BĐT ccm Dấu

bằng xảy bx = ay

Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: a2 b2 c2 d2 1; x số thực Chứng

minh:

2 2 2

(x ax b ) (x cx d ) (2x 1)

Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = ta có: (x2 ax b )2 (x2 x2 1 )(2 x2 a2 b2);

2 2 2 2

(x cx d ) (x x 1 )(x c d ) (x2 ax b )2 (x2 cx d )2 

2 2 2 2 2

(2x 1)(x a b x c d ) (2 x 1) (đpcm) Dấu xảy b=d=1&x=a=c.

Bài 27: Cho số dương x,y,z,p,q Chứng minh:

3

x y z

py qz  pz qx  px qy p q . Giải: Theo BĐT (III) ta có: x py qz(  ) y pz qx(  )z px qy(  ) ( p q xy yz zx )(   )

2

(p q x y z )(   ) / 3 (*) Áp dụng BĐT (II) cho hai số

; ;

x y z

py qz pz qx px qy

 

 

  

  và

( x py qz(  ); y pz qx(  ); z px qy(  )) ta được:

 ( ) ( ) ( ) ( )2

x y z

x py qz y pz qx z px qy x y z py qz pz qx px qy

 

         

 

  

 

Kết hợp với BĐT (*) ta BĐT ccm Dấu xảy khi; py qz pz qx px qy Bằng cách giải tương tự ta chứng minh BĐT sau:

1/

3 2

a b c

b c a c b a      với a,b,c số dương bất kì.

2/ 2

a b c d

b c d c d a a b        với a,b,c,d số dương bất kì.

3/

2 2

2

a b c a b c

b c a c b a

 

  

   với a,b,c số dương 4/

2 2

a b c

a b c

(7)

5/ 3

a b c

b c a   a c b b a c      với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác.

Bài 28: Cho số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: x2  y2 u2  y2 1 Chứng minh:

( ) ( ) 2

u x y v x y 

Giải: Theo BĐT (II) :  

2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2

u x y v x y  u v  x y  x y   x  y 

Từ suy BĐT cần chứng minh Dấu xảy u x y(  )v x y(  ).

Bài 29: Cho a,b,c số dương thỏa mãn điều kiện: a2 b2 c2 1. Chứng minh:

3 3 1

2

a b c

b c  a c b a    Giải: Theo BĐT (II) ta có:

 

3 3

( ) ( ) ( )

a b c

a b c b a c c b a b c a c b a

 

       

 

  

 

2 2 2 2

(a b c ) (a b c )ab bc ca  Từ ta suy BĐT cần chứng minh Dấu bằng

xảy a b c   3 / 3

Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x x(  1) y y(  1)z z(  1) / 3. Chứng minh: 1 x y z 4

     .

Giải: Từ điều kiện ta suy ra: (x 1/ 2)2 (y 1/ 2)2 (z 1/ 2)2 25/12 Áp dụng BĐT (II) ta được:

1.(x 1/ 2) 1.(y 1/ 2) 1.(z 1/ 2)2 3 (x 1/ 2)2 (y 1/ 2)2 (z 1/ 2)2 25/ 4

 

             

3/ 2 5/ 2 5/ 2 3/ 5/ 2 1 4

x y z x y z x y z

                  (đpcm).

Dấu xảy x   y z 4/ 3

Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a2 b2 16 8 a6b Chứng minh: /10 4 3 40; / 7 24

a  a b b b a

Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: (a 4)2 (b 3)2 9 Áp dụng BĐT (II) ta được:

4(a 4) 3( b 3)2 (a 4)2 (b 3) (42 3 ) 9.252   4a3b 25 15

15 4a 3b 25 15 10 4a 3b 40

          (đpcm) Dấu xảy a = 24/5,b = 24/3

hoặc a = 16/5, b = 6/5

Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x2  y2 z2  4x2z 0. Tìm GTNN GTLN biểu thức:

2 3 2 S  x y z

(8)

2 2 2 S  a ab b  c cb b  a ac c . Giải: Theo BĐT (II) ta có:

2 2

2

2 4 3 1

( ). 1 ( )

3 2 2 3 2 2

b b b b

a ab b a         a    a b

          

 

2 3( ) / 2

a ab b a b

     Tương tự ta có: c2 cb b  3(c b ) / 2 ;

2 3( ) / 2 3( ) 3

c ca a  c a  S  a b c   Vậy MinS = a b c   3 / 3.

II.Sử dụng phương pháp đánh giá:

Bài 34: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT sau:

3 3 3

2 2

1 1 1 1

/ ;

1 1 1

/ .

2 a

a b abc c b abc a c abc abc a b c

b

a bc b ac c ab abc

  

     

 

  

  

Giải:a/Ta có: a3 b3 abc(a b a )(  ab b 2)abc(a b ab abc ab a b c )   (   ) 0 3

1 1

( ) ( )

c

a b abc ab a b c abc a b c

  

      Tương tự ta có BĐT:

3 3

1 1

;

( ) ( )

a b

c b abc abc a b c c  a abc abc a b c  Cộng vế BĐT lại

rồi giản ước ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c  .

b/ Theo BĐT (I) ta có:

2

1 1

2 0

2 4

2

bc b c a bc a bc

a bc a bc abc abc



      

 .

Tương tự ta có: 2

1 1

;

4 4

a c b a

b ac abc c ab abc

 

 

  Cộng vế BĐT lại đơn

giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c  .

Bài 35: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x2  y2 z2 3. Tìm GTNN biểu thức:

1 1 1

.

1 1 1

P

xy zy zx

  

  

Bài 36: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh: 2 2 2 1. ab cb ac

S

c a b

   

  

(9)

3 3 3 3.

ab cb ac

S

a b c b a c

  

  

Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích Tìm GTNN biểu thức:

2 2

log 1 log 1 log 1. S  x  y  z 

Giải: Ta có:

2 2

(log 1) (log 1) (log 1) 1

( log 1 log 1 log 1)

2 2 2 2

x x x

S        x  y  z

2

1 6

3 log 3 2.

2 xyz 2

   

Vậy MinS 3 2 x   y z 2.

Bài 39: Cho số thực x,y,z có tổng Tìm GTNN biểu thức: S x4  y4 z4  xyz.

Giải: Theo BĐT (II) ta có:

2

4 4 1( 2 2) 1 1( )2 1

3 3 3 27

x  y z  x  y z   x y z   

  Áp dụng

BĐT (I) ta được:

4 4

4

3 1 1 1/ 27 3

.4

4 4 3 4.27 4 4 3

xyz x y z

S      x  y  z     xyz  

 

1

0. 4.27 xyz xyz xyz

    

Vậy MinS 0 x   y z 1/ 3. Bài 40: Cho số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN biểuthức:

2 2

2 2 2 2 .

x y z

S

x yz y yx z yx

  

  

Bài 41: Cho số dương x,y,z Chứng minh:

4 6 4

2 2 2 1 1 1

.

x y z

S

y z z x x y x y z

     

  

III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị phương pháp đổi biến:

Bài 42: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: ab bc ca abc   . Chứng minh BĐT:

2 2 2 2 2 2

3

b a c b a c

S

ab cb ac

  

   

Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: x y z  1 BĐT trở thành:

2 2 2 2 2 2 3

S  x  y  y  z  z  x  Theo BĐT (II) ta có:

2 2

( 2 ) / 3 ( 2 ) / 3 ( 2 ) / 3( ) / 3 3

S  x y  y z  z x  x y z   (đpcm).

(10)

Bài 43: Cho số thực dương x,y,z có tích Chứng minh BĐT:

3 3

1 1 1 3

.

( ) ( ) ( ) 2

S

x y z y x z z y x

   

  

Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: abc1 BĐT trở thành:

2 2 3

2

a b c

S

b c a c b a

   

   Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có ngay:

2

( ) 3

2( ) 2 2

a b c a b c S

a b c

   

  

 

Dấu xảy a b c  1 hay x  y z 1.

Bài 44: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1/x1/y1/z 1. Chứng minh BĐT: x yz  y xz  z yx  xyz  x  y  z .

Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: a b c  1 BĐT trở thành: 1

a bc  b ac  c ab   ab  bc  ca Ta có:

2

( ) 2 ( )

a bc  a a b c  bc  a  a bc bc  a bc  a bc Tương tự ta cũng

có: b ac b   ac c ab c;    ab Cộng BĐT lại ta BĐT ccm

Dấu xảy a b c  1/ 3 hay x  y z 3.

Bài 45: Cho hai số thực x,y khác thỏa mãn điều kiện: x2  y2 2x y y x2  Tìm GTNN GTLN biểu thức: S 2/ x1/ y

Giải: Đặt u 1/ &x v 1/y điều kiện trở thành: 2 2 ( 1/ 2)2 ( 1)2 5/ 4

u v  u v u  v  Theo BĐT (II) ta có:

 2

2 2 2

(S  2)  2(u 1/ 2) v 1 (2 1 ) ( u 1/ 2) (v 1)  25/ 4 5/ 2 S 2 5/ 2 0,5 S 4,5

    Vậy MinS = - 0,5 x = - 2; y = MaxS = 4,5 x = y = 2/3.

Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: y0 & x2   x y 12. Tìm GTNN GTLN biểu thức: A xy x  2y17.

Giải: Từ điều kiện ta suy ra: y x  x 12 0   4 x 3; đồng thời Af x( )x3 3x2  9x 7

Từ BBT hàm số ta suy ra:

MaxA Maxf x ( )f ( 3) f (3) 20 4;3

( ) (1) 12

MinA Minf x f 

4;3

x -4 -3 f’(x) + - +

f(x)

(11)

Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x2  y2 1 Tìm GTNN biểu thức: ( 1)(1 1/ ) ( 1)(1 1/ )

S  x  y  y  x

Bài 48: Cho số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x2  y2 1 Tìm GTNN GTLN

của biểu thức:

2

4 2 1

2 2 3

x xy T

xy y

 



 

Giải: Từ điều kiện ta suy ra:

2

3 2

x xy y T

x xy y

 



  Nếu y 0 x2  1 T 1. Nếu y 0 đặt

2

3 2 1

/ (3 3) 2( 1) 1 0(*)

3 2 1 t t

t x y T T t T t T

t t

 

         

  (*) khơng có nghiệm T=1

Với T 1,(*) có  ' (T  1)( 2 T  4) 0 2 T 1 Kết hợp với ta có: MinT=-2 x 10 /10;y 3 10 /10 MaxT=1 x1 y = 0.

Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y 5/ 4 Tìm GTNN biểu thức: 4 / 1/

S  x y

Bài 50: Cho hai số khơng âm x,y có tổng Tìm GTNN GTLN biểu thức: 2008 2008

1 1

S  x   y .

Giải: Ta có:

2007 2007

2008 2008

1004 1004(1 ) ( ) 1 1 (1 ) '( )

1 1 (1 )

x x

S f x x x f x

x x



       

  

2007 2008 2007 2008 4014 2008

'( ) 0 1 (1 ) (1 ) 1 1 (1 )

f x   x   x   x x  x    x  

4014 2008 4014 4014 2008 2008 2006 2006 (1 x) (1 x ) x  (1 x)  x (1 x) x  (1 x)  0

2008 2008

1

(2x 1) ( )P x x (1 x) (2x 1) ( ) 0P x 2x 1 0 x 1/ 2

           .

( Vì x 1 x khơng đồng thời nên P x1( ) 0; ( ) 0 P x2  )