Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối với hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS nói riêng nên trong quá trình dạy [r]
Trang 1A MỞ ĐẦU
I Cơ sở của đề tài
1 Cơ sở lí luận.
Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán đoán, suy lý trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh Đó chính là tư duy lôgic Tư duy lôgic là suy nghĩ, nhận xét, đánh giá một cách chính xác, lập luận có căn cứ Như vậy tính lôgic là bắt buộc đối với mọi khoa học.Và Toán học là một ngành khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật của tư duy lôgic hình thức.Có nghĩa là khi xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễn lôgic, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề Theo phương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để định nghĩa các khái
niệm khác và chứng minh các vấn đề khác Vì thế Toán học được coi là " môn thể thao
của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng
ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo"(Phạm Văn Đồng).
Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán
học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ" Phải có sự suy nghĩ chính xác thì mọi
hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được Hoạt động học tập môn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa Như vậy rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cần thiết và rất đáng để đầu tư công sức
2 Cơ sở thực tiễn.
Khi trình bày môn Toán cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp học người ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lôgic Cụ thể là : Mô tả(không định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứng minh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minh chưa chặt chẽ Tuy vậy, nhìn chung chương trình toán THCS vẫn mang tính lôgic, hệ
Trang 2thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như một chuỗi mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được các kiến thức toán học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu của chương trình Cụ thể là phải nhận thức được mối liên hệ giữa các mệnh đề toán học, biết suy luận để tìm ra những tính chất mới từ những tính chất đã biết, vận dụng các kiến thức
đó để giải các bài tập đa dạng Như vậy, rõ ràng học sinh phải biết phân tích cấu trúc của các định nghĩa khái niệm, các mệnh đề, biết vận dụng kiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sách giáo khoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh Bằng chứng cụ thể là trong chương trình toán ở trường THCS rất nhiều
kí hiệu và ngôn ngữ lôgic toán đã được đưa vào sử dụng(Chẳng hạn:
∀ , ∃, ⇒, ⇐, ⇔, ≡ , mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đề phủ định, chứng minh phản chứng ), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong chương trình không có chương nào, thậm chí không có bài nào dạy riêng về vấn đề lôgic toán học Các kí hiệu và ngôn ngữ, liên từ lôgic toán được giới thiệu và hình thành dần dần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan.(Khi nào cần đến chúng thì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng) Các phương pháp suy luận, chứng minh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách "ngấm ngầm " thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể chứa đựng chúng trong quá trình học tập bộ môn
Do đó, trong điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học đã quy định hiện hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh THCS, muốn cho học sinh học toán có hiệu quả thì người thầy giáo dạy toán phải khéo léo dạy cho học sinh cách tư duy lôgic Khả năng tư duy lôgic không chỉ là cái đích cần đạt mà còn là phương tiện giúp học sinh học tốt môn toán Tuy nhiên, như đã trình bày, vì kiến thức về lôgic toán học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáo khoa nên mặc dù
cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xuyên nhưng vì không nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và cũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó
Trang 3Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối với hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS nói riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh, tôi luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác nhau của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy Tôi đã phát hiện ra rằng khi học loại toán chứng minh đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgic chặt chẽ và đó cũng là môi trường
thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em Vì vậy, tôi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học".
II Mục đích - nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu.
1 Mục đích:
Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu quả đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy lôgic nói chung, kỹ năng tư duy lôgic toán học nói riêng thông qua loại toán chứng minh ở THCS Đồng thời với cách làm này khi học sinh có được khả năng tư duy lôgic tốt thì càng góp phần kích thích sự hứng thú và làm tăng lòng say mê môn Toán ở các em
2 Nhiệm vụ:
2.1 Nghiên cứu về mặt lý luận các khái niệm liên quan đến khả năng tư duy lôgic, tư duy lôgic toán học
2.2 Tìm hiểu thực trạng về khả năng tư duy lôgic toán học trong học sinh THCS 2.3 Tìm hiểu mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập môn Toán ở học sinh THCS
2.4 Tìm hiểu cơ chế hình thành và phát triển kỹ năng tư duy lôgic toán học trong học tập môn Toán
2.5 Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa và đặc biệt quan tâm đến nội dung dạy học môn Toán mà trong đó ẩn chứa nhiều nhất khả năng phát triển tốt tư duy lôgic toán học cho học sinh Thu thập, phân tích, tổng
Trang 4hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy
2.6 Phân tích những thành công, thất bại và nguyên nhân của những thành công thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và cải tạo các biện pháp hình thành và phát triển khả năng tư duy lôgic toán học cho học sinh sao cho hiệu quả nhất
3 Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này được hoàn thành bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, phương pháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh THCS trong khi học loại toán chứng minh
III Phạm vi nghiên cứu.
Như đã trình bày ở trên, bản chất lôgic của toán học là lôgic hình thức và mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và hiệu quả học tập môn Toán là hai vấn đề có mối quan hệ chạt chẽ với nhau Để học tốt môn Toán người học phải có khả năng nhất định về tư duy lôgic Ngược lại khả năng tư duy lôgic được hình thành và phát triển tốt hơn trong học tập môn Toán Vì thế, việc hình thành khả năng tư duy lôgic cho học sinh là một quá trình lâu dài, đòi hỏi sự quan tâm ngay từ đầu và duy trì bền
bỉ trong suốt cả quá trình dạy học của giáo viên Mọi bài toán, mọi đối tượng toán học đều ẩn chứa trong đó yếu tố lôgic học Vì vậy trong mọi giờ học toán dù chính khoá hay ngoại khoá, dù dạy kiến thức mới hay luyện tập, ôn tập, dù với đối tượng học sinh khá giỏi hay yếu kém đều có thể thực hiện được vấn đề rèn tư duy lôgic.Tuy nhiên để có điều kiện nghiên cứu sâu, tìm hiểu kỹ thì trong đề tài này tôi tập trung nghiên cứu và thể nghiệm chủ yếu trong loại toán chứng minh Bởi vì khi học loại toán chứng minh thì khả năng tư duy của các em được bộc lộ rõ nhất và cũng ở dạng toán này rất thuận lợi cho việc kiểm tra kết quả thực nghiệm Để đảm bảo yêu cầu sư phạm và tính phổ dụng rộng rãi của đề tài, các bài toán, các vấn đề được sử dụng trong đề tài mang tính vừa sức với đối tượng học sinh THCS
Trang 5B NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I Làm rõ các khái niệm.
1.Tư duy lôgic như đã nói ở trên là "chìa khoá" để tối ưu hoá khả năng phát triển
cá nhân và khả năng hoạch định công vịêc một cách có hiệu quả
2 Chứng minh toán học là thao tác lôgic dùng để lập luận tính đúng đắn của một
phát biểu, một tính chất hay mệnh đề nào đó
3 Rèn luyện khả năng tư duy lôgic trong học toán là rèn luyện khả năng linh
hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ, khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tình huống, một vấn đề toán học hoặc vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đó đưa ra chọn lựa hợp lý các phương án giải quyết một cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp và tối ưu nhất
II Tìm hiểu thực trạng khả năng tư duy lôgic toán học của học sinh của trường sở tại nói riêng, học sinh THCS nói chung.
Trong mỗi giờ lên lớp ngay từ khi tiếp nhận giảng dạy đầu năm học tôi thường xuyên quan tâm để ý đến các câu trả lời, cách diễn đạt, trình bày của các em trong mỗi vấn đề, mỗi câu hỏi mà tôi nêu ra Kết quả cho thấy ở đa số học sinh thể hiện rõ
sự non yếu, thiếu chặt chẽ Các em thiếu hẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem xét một cách đầy đủ các khả năng có thể xảy ra Đặc biệt là khâu trình bày tự luận ở các bài toán đòi hỏi suy luận, chứng minh cho thấy học sinh vấp phải nhiều sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu là do khả năng tư duy lôgic toán học còn non kém
Chẳng hạn:
* Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em đều biết:
"Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó"
Và " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"
Tuy nhiên khi hỏi học sinh:
" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? "
Học sinh chỉ trả lời được:
Trang 6" Muốn chứng minh một số là số nguyên tố ta chứng tỏ nó là hợp số"
Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgic của khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán
* Hoặc khi gặp bài toán:
Cho số : 6∗
¿
¿
Tìm * để 6∗
¿
¿ chia hết cho 2, cho 3 và cho 5
Không ít học sinh lần lượt xét * để 6∗
¿
¿
chia hết cho 2 Rồi lại xét * để 6∗
¿
¿
chia hết cho 3
Trong trường hợp này học sinh không phân tích được bản chất của dấu phẩy (,)
cũng như từ "và" của bài toán Thực ra chúng là phép hội trong lôgic toán học.
* Ngay cả ở học sinh lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy lôgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên Thí dụ khi giải phương trình tích số:
(2 x −3 )( x +7)=0
Tôi đã gặp học sinh trình bày như sau:
(2 x −3 )( x +7)=0 ⇒
2 x −3=0
x +7=0
¿ {
¿
¿
⇒
x=3
2
x=− 7
¿ {
¿
¿
Rõ ràng học sinh đã mắc cả lỗi về sử dụng dấu "⇒" cả lỗi về dấu " {"
( Thực chất của dấu "⇒ " là phép " Kéo theo" , dấu " {" hay liên từ "và " là " Phép
tuyển" trong lôgic toán học )
* Không chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc nhiều lỗi không kém.Thí dụ:
Từ kết luận " Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB"
Nhiều học sinh đã kết luận " Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn thẳng
AB".
Trang 7Hoặc từ tính chất: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau" Nhiều học sinh đã sai lầm rút
ra kết luận: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh"
Trong cả hai tình huống hình học trên học sinh đã sử dụng quy tắc suy diễn
không hợp lôgic.
Không chỉ bản thân tôi mà qua trao đổi với nhiều đồng nghiệp ở các đơn vị bạn đều phản ánh thực trạng chung như thế Thực tế khi tham gia chấm bài các đợt khảo sát chất lượng, thi hết học kì thậm chí cả khi chấm thi chọn học sinh giỏi cũng gặp những sai lầm tương tự do quá trình tư duy không hợp lôgic mang lại
III Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.
Nhìn chung hầu hết các nội dung trong chương trình sách giáo khoa đều "ngầm
chứa" yếu tố tư duy lôgic Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyện tập hay bài tập tổng hợp và ôn tập chương đều đòi hỏi giáo viên phải có ý thức khai thác và rèn luyện thường xuyên để có thể tìm chọn biện pháp tốt nhất phù hợp với đối tượng học sinh mà mình giảng dạy Tuy nhiên về mặt lý luận cũng như thực tiễn giảng dạy
bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minh toán học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về chuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn tôi rút ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toán học tốt qua loại toán chứng minh
1 Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực tiếp
Có nhiều phương pháp chứng minh Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho học
sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp Để có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán Sau đó dần dần hình thành ở các em kỹ năng sử dụng các kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic
Trang 81.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học, hình
vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng Không những giúp cho các em nắm chắc cấu trúc của bài toán (cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng huy động các kiến thức có liên quan Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện khả năng tư duy có lôgic
Dẫn chứng:
Ví dụ 1:
Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài toán bằng kí hiệu (ở bài toán này chính là giả thiết, kết luận)
k B
A
Hay: (Nếu ABCD là hình chữ nhật ) ⇒ (AC = BD)
Với cách viết đó học sinh thấy rõ cấu trúc bài toán và "Khoanh vùng" kiến thức cần
huy động.Như thế ít nhất các em cũng đã suy nghĩ một cách hợp lí
1.2.Giúp học sinh nắm vững bản chất lôgic của loại toán chứng minh trực tiếp.
Các thao tác kết luận lôgic theo những quy tắc thông thường không được dạy tường minh ở trong chương trình THCS.Vì vậy học sinh lĩnh hội chúng một cách rõ
GTABCD là hình chữ nhật KLAC = BD
Trang 9ràng thông qua những trường hợp cụ thể Thường dùng nhiều nhất là quy tắc có sơ
đồ sau:
A ⇒ B , A B ( Nghĩa là: từ A suy ra B, A đúng thì B đúng )
1.3 Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích bài toán từ đó trình bày tốt lời
giải.
Ngoài ra, khi học sinh bước đầu nắm bắt được tinh thần của phương pháp chứng minh này giáo viên có thể trình bày dưới dạng một sơ đồ để giúp học sinh nhìn rõ hơn quá trình suy luận (Sơ đồ ) Và cũng chính từ sơ đồ này học sinh học được kỹ năng phân tích để trình bày bài giải một cách lôgic
(GT)
( Định nghĩa)
(Định nghĩa)
Hai tam giác ABD và
BAC có AB chung = = 900 AD = BC
(c.g.c)
ΔABD = ΔBACABD = ΔABD = ΔBACBAC
(KL)
Ví dụ 2:
"Nếu hai số nguyên a, b chia hết cho số nguyên c thì a + b chia hết cho c"
* Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ chứng minh như sau
(Với a,b,m Z) (GT)
(GT)
(Khái niệm) (Khái niệm)
ABCD là hình chữ nhật
AC = BD
b = m.q
a = m.k
Trang 10(k Z) )(q Z)
(Tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng)
(khái niệm )
(KL)
Nhờ cách phân tích này, học sinh tìm cách giải bài toán một cách có cơ sở hơn, khi trình bày cũng chặt chẽ hơn Như vậy các em đã bước đầu biết suy nghĩ, phân tích bài toán để tìm cách giải một cách lôgic
Sau khi học sinh nắm được cách tư duy và phân tích bài toán như hướng dẫn trên giáo viên cho các em làm các bài tập củng cố kỹ năng :
2 Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề
Về phương pháp, thì bác bỏ mệnh đề A chính là phải xác định rằng A là sai bằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng) lấy làm tiền
đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B Mệnh đề B sai do đó mệnh đề
A sai.Tuy nhiên vẫn phải thông qua hệ thống ví dụ để hình thành phương pháp
Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: "Mọi số đều bằng bình phương của nó"
* Trước hết cần giúp các em viết gọn bằng kí hiệu: ∀ x (x 2 = x).
* Cho học sinh tìm giá trị cụ thể của x mà tại đó mệnh đề trên sai (chẳng hạn x =
2 ) khi đó mệnh đề B là: 2 2 = 2 Nhưng do 2 2 = 4 nên mệnh đề trên là sai.
Ta nói rằng cách làm trên là chỉ ra một phản thí dụ.
a + b = m.k +m.q
a + b = m(k +q)
a + b : m