Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trong quá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khó khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng cao năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng dạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh. Những kết quả thu được báo hiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thành bản sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện khả năng tư duy logic thông qua dạy học chứng minh toán học đối với học sinh Trường THCS Nga Thạch.
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là môn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vựckhác nhau Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa họcphổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩmchất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ đểnghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trongquá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khókhăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng caonăng lực tư duy toán học Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực khôngngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khảnăng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảngdạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh Những kết quả thu được báohiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thànhbản sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện khả năng tư duy logic thông qua dạy họcchứng minh toán học đối với học sinh Trường THCS Nga Thạch
đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắclôgic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác Vì thế
Toán học được coi là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn
Trang 2luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phươngpháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán
học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ" Phải có sự suy nghĩ chính xác thì
mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được Hoạt động học tậpmôn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa Như vậy rèn luyện khảnăng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cầnthiết và rất đáng để đầu tư công sức
Không chỉ bản thân tôi mà qua trao đổi với nhiều đồng nghiệp ở các đon vịbạn đều phản ánh thực trạng chung như thế Thực tế khi tham gia chấm bài cácđợt khảo sát chất lượng, thi chọn học sinh giỏi cũng gặp những sai lầm tương tự
do quá trình tư duy không hợp lôgic mang lại
Vì vậy, tôi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic thông qua dạy
học chứng minh toán học đối với học sinh Trường THCS Nga Thạch ".
III.CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
Trang 33 Tìm hiểu mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập mônToán ở học sinh THCS.
4 Tìm hiểu cơ chế hình thành và phát triển kỹ năng tư duy lôgic toán họctrong học tập môn Toán
5 Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa vàđặc biệt quan tâm đến nội dung dạy học môn Toán mà trong đó ẩn chứa nhiềunhất khả năng phát triển tốt tư duy lôgic toán học cho học sinh Thu thập, phântích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinhTHCS tại các lớp mình giảng dạy
6 Phân tích những thành công, thất bại và nguyên nhân của những thànhcông thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và cải tạo các biện pháp hìnhthành và phát triển khả năng tư duy lôgic toán học cho học sinh sao cho hiệu quảnhất
-TỔ CHỨC THỰC HIỆN
I Làm rõ các khái niệm.
1.Tư duy lôgic như đã nói ở trên là "chìa khoá" để tối ưu hoá khả năng phát
triển cá nhân và khả năng hoạch định công vịêc một cách có hiệu quả
2 Chứng minh toán học là thao tác lôgic dùng để lập luận tính đúng đắn của
một phát biểu, một tính chất hay mệnh đề nào đó
3 Rèn luyện khả năng tư duy lôgic trong học toán là rèn luyện khả năng linh
hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ, khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tìnhhuống, một vấn đề toán học hoặc vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đó đưa ra chọn lựahợp lý các phương án giải quyết một cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp và tối ưunhất
II Khả năng tư duy lôgic toán học của học sinh của trường sở tại nói riêng, học sinh THCS nói chung.
Các em thiếu hẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem xét một cách đầy đủ cáckhả năng có thể xảy ra
Trang 4Chẳng hạn:
Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em
đều biết: "Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1
và chính nó"
Và " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"
Tuy nhiên khi hỏi học sinh:
" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? "
Học sinh chỉ trả lời được:
" Muốn chứng minh một số là số nguyên tố ta chứng tỏ nó là hợp số"
Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgiccủa khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán
Hoặc khi gặp bài toán:
Cho số : 6 *
Tìm * để 6 * chia hết cho 2, cho 3 và cho 5
Không ít học sinh lần lượt xét * để 6 * chia hết cho 2 Rồi lại xét * để
*
6 chia hết cho 3
Trong trường hợp này học sinh không phân tích được bản chất của dấu phẩy
(,) cũng như từ "và" của bài toán Thực ra chúng là phép hội trong lôgic toán học.
Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau:
"x là số lớn hơn 3 và bé hơn 4"
Trong thực tế ban đầu học sinh đều viết: x > 3 và x <4 Thậm chí có emcòn viết sai: x < 3 > 4
(Yếu tố lôgic toán "ngầm" chứa ở đây là " tuyển của hai hàm mệnh đề" - một vấn
đề rất cơ bản của lôgic toán học Tuy nhiên vì lý do sư phạm nên giáo viên khôngthể trình bày tường minh được mà phải khéo léo hướng dẫn bằng ngôn ngữ dễhiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn)
Trang 5 Ngay cả ở học sinh lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy lôgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên Thí dụ khi giải phương trìnhtích số: 2x 3x 7 0
Tôi đã gặp học sinh trình bày như sau:
0 3 2
x x
Phép tuyển" trong lôgic toán học )
Không chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc
nhiều lỗi không kém.Thí dụ:
Từ kết luận " Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB"
Nhiều học sinh đã kết luận " Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB".
Hoặc từ tính chất: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau" Nhiều học sinh đã sai lầm rút ra kết luận: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh"
Trong cả hai tình huống hình học trên học sinh đã sử dụng quy tắc suy
diễn không hợp lôgic.
v.v và v.v
Khi trình bày môn Toán cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp họcngười ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lôgic Cụ thể là : Mô tả(khôngđịnh nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứngminh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minhchưa chặt chẽ Tuy vậy, nhìn chung chương trình toán THCS vẫn mang tính lôgic,
hệ thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như mộtchuỗi mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được cáckiến thức toán học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu củachương trình Cụ thể là phải nhận thức được mối liên hệ giữa các mệnh đề toán
Trang 6học, biết suy luận để tìm ra những tính chất mới từ những tính chất đã biết, vậndụng các kiến thức đó để giải các bài tập đa dạng Như vậy, rõ ràng học sinh phảibiết phân tích cấu trúc của các định nghĩa khái niệm, các mệnh đề, biết vận dụngkiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sách giáokhoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh Bằng chứng cụ thể là trong chươngtrình toán ở trường THCS rất nhiều kí hiệu và ngôn ngữ lôgic toán đã được đưavào sử dụng(Chẳng hạn: , , , , , , mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đề phủđịnh, chứng minh phản chứng ), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong chương trìnhkhông có chương nào, thậm chí không có bài nào dạy riêng về vấn đề lôgic toánhọc Các kí hiệu và ngôn ngữ, liên từ lôgic toán được giới thiệu và hình thành dầndần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan.(Khi nào cần đến chúngthì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng) Các phương pháp suy luận, chứngminh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách "ngấmngầm " thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể chứa đựng chúng trong quátrình học tập bộ môn.
Do đó, trong điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học đãquy định hiện hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinhTHCS, muốn cho học sinh học toán có hiệu quả thì người thầy giáo dạy toán phảikhéo léo dạy cho học sinh cách tư duy lôgic Khả năng tư duy lôgic không chỉ làcái đích cần đạt mà còn là phương tiện giúp học sinh học tốt môn toán Tuy nhiên,như đã trình bày, vì kiến thức về lôgic toán học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáokhoa nên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xuyên nhưng vìkhông nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em vàcũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó
Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đốivới hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCSnói riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh,tôi luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác
Trang 7nhau của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy Tôi đã phát hiện rarằng khi học loại toán chứng minh đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgicchặt chẽ và đó cũng là môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các
em
III Tìm hiểu thực tế mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập môn Toán ở học sinh THCS.
Khi tìm hiểu thực tế tôi thấy: Những học sinh học tốt môn Toán là những
em có khả năng tư duy lôgic Ngược lại, nếu được rèn luyện thường xuyên khảnăng này thì hiệu quả học tập môn Toán được nâng lên rõ rệt Đặc biệt những họcsinh làm tốt dạng bài toán chứng minh là những em thực sự có có khả năng tưduy lôgic
IV.Phân tích những nội dung chương trình sách giáo khoa THCS có thể thực hiện hoạt động rèn luyện tư duy lôgic cho các em.
Nhìn chung hầu hết các nội dung trong chương trình sách giáo khoa đều
"ngầm chứa" yếu tố tư duy lôgic Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyệntập hay bài tập tổng hợp và ôn tập chương đều đòi hỏi giáo viên phải có ý thứckhai thác và rèn luyện thường xuyên để có thể tìm chọn biện pháp tốt nhất phùhợp với đối tượng học sinh mà mình giảng dạy Tuy nhiên về mặt lý luận cũngnhư thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minhtoán học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất
V Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi vềchuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn tôi rút
ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toánhọc tốt qua loại toán chứng minh
1 Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực tiếp
Trang 8Có nhiều phương pháp chứng minh Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho
học sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp Để
có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyểnđổi ngôn ngữ của bài toán Sau đó dần dần hình thành ở các em kỹ năng sử dụngcác kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic
1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học,hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng Không những giúp chocác em nắm chắc cấu trúc của bài toán (cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các
em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướnghuy động các kiến thức có liên quan Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyệnkhả năng tư duy có lôgic
Dẫn chứng:
Ví dụ 1:
Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài toán bằng
kí hiệu (ở bài toán này chính là giả thiết, kết luận)
k B
Trang 9Với cách viết đó học sinh thấy rõ cấu trúc bài toán và "Khoanh vùng" kiến
thức cần huy động Như thế ít nhất các em cũng đã suy nghĩ một cách hợp lí
Hay ở bài toán phức tạp hơn một chút:
1.2.Giúp học sinh nắm vững bản chất lôgic của loại toán chứng minh trực
tiếp.
Các thao tác kết luận lôgic theo những quy tắc thông thường không đượcdạy tường minh ở trong chương trình THCS.Vì vậy học sinh lĩnh hội chúng mộtcách ẩn tàng thông qua những trường hợp cụ thể Thường dùng nhiều nhất là quytắc có sơ đồ sau:
Ví dụ 2:
Chứng minh định lý về đường trung bình của một tam giác:
"Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của một tam giác và song song
với cạnh thứ hai thì cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba".
* Vẽ hình và phân tích làm rõ cấu trúc của mệnh đề cần chứng minh códạng:
(AD = DB) và (DE // BC) (AE = EC) ( Liên từ "và" thực chất là
"phép hội" trong lôgic toán học )
Trang 10"Nếu hai số nguyên a, b chia hết cho số nguyên m thì a + b chia hết cho m"
* Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ chứng minh như sau
(Tính chất phân phối của phép
nhân đối với phép cộng)
Trang 11Nhờ cách phân tích này, học sinh tìm cách giải bài toán một cách có cơ sởhơn, khi trình bày cũng chặt chẽ hơn Như vậy các em đã bước đầu biết suy nghĩ,phân tích bài toán để tìm cách giải một cách lôgic.
Sau khi học sinh nắm được cách tư duy và phân tích bài toán như hướng dẫntrên giáo viên cho các em làm các bài tập củng cố kỹ năng :
Bài tập tương tự:
Hãy trình bày chi tiết phép chứng minh các mệnh đề sau dưới dạng một sơ đồ:a) Các đoạn thẳng song song chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằngnhau
b) Nếu hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì chúng bằng nhau nếu cả haigóc đều nhọn
Cùng với việc nhấn mạnh và làm nổi bật quy tắc thông dụng là từ A suy ra
2 Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề
Về phương pháp, thì bác bỏ mệnh đề A chính là phải xác định rằng A là saibằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng) lấylàm tiền đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B Mệnh đề B sai do đómệnh đề A sai.Tuy nhiên vẫn phải thông qua hệ thống ví dụ để hình thànhphương pháp
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: "Mọi số đều bằng bình phương của
nó"
* Trước hết cần giúp các em viết gọn bằng kí hiệu: x (x 2 = x).
* Cho học sinh tìm giá trị cụ thể của x mà tại đó mệnh đề trên sai (chẳng hạn
x = 2 ) khi đó mệnh đề B là: 2 2 = 2 Nhưng do 2 2 = 4 nên mệnh đề trên là sai.
Trang 12Ta nói rằng cách làm trên là chỉ ra một phản thí dụ.
Ví dụ 5:
Chứng tỏ mệnh đề sau là sai: "Có một hình đa giác lồi có 4 góc nhọn".
Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ cách suy luận như sau:
Có 1 đa giác lồi có 4 góc nhọn R
Đa giác đó có 4 góc ngoài là 4 góc tù S1
Tổng các góc ngoài của đa giác đó lớn hơn 4 góc vuông S
Theo phân tích trên ta có:
R S1 và S1 S, do đó R S (Đây là quy tắc bắc cầu của phép kéo theo (Suy ra)).
S là mệnh đề sai (Trái với định lý đã biết): Tổng các góc ngoài của một đagiác lồi bao giờ cũng bằng 4 góc vuông, vậy R cũng sai Trong nhiều trường hơp
để chứng minh mệnh đề Q nào đó, người ta tìm cách bác bỏ mệnh đề phủ địnhcủa Q Nếu phủ định của Q sai thì Q đúng Làm như thế có nghĩa là chứng minh
gián tiếp mệnh đề Q hay còn gọi là chứng minh phản chứng.
3 Hướng dẫn học sinh phương pháp chứng minh phản chứng.
Chẳng hạn qua ví dụ sau giáo viên hướng dẫn cho các em cách suy luận hợp
lý trong giải toán
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: "Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau"
Về mặt lôgic mệnh đề cần chứng minh có dạng : P và Q R Vì vậy giáo viêncần làm cho học sinh thấy rõ cấu trúc: (ac) (bc) (a//b)thông qua cách viết :(ac) và (bc) suy ra (a//b)