Phép biến hình trong mặt phẳng

Lời mở đầu Phép biến hình mặt phẳng nội dung quan trọng chơng trình môn toán THPT, sử dụng số phép biến hình để chứng minh số tính chất hình học, toán cực trị, dựng hình xác định tập hợp Trong phần xin giới thiệu số tập sử dụng phép biến hình mặt phẳng nh phép vị tự, tính toán, phép quay để tìm tập hợp điểm Bài tập có hớng dẫn lời giải Néi dung gåm phÇn: PhÇn I ; KiÕn thøc cần chuẩn bị Phần II : Một số tập Phần I: Một số kiến thức cần chuẩn bị: Phép biến hình Phép biến hình(trong mặt phẳng) quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định đợc điểm M' thuộc mặt phẳng Điểm M' gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Phép tịnh tiến r - Phép tịnh tiến theo véctơ u phép biến hình điểm M uuuuur r thành M' cho MM ' = u - NÕu phÐp tÞnh tiÕn biến hai điểm M N lần lợt thành hai điểm M' N' M'N' = MN - Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm - Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có bán kính, biến góc thành góc Phép quay Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lợng giác không đổi Phép biến hình điểm O thành điểm O, biến mổi điểm M khác O thành điểm M' cho OM = OM' (OM , OM' ) = đợc gọi phép quay tâm O góc quay - Phép quay bảo toàn khoáng cách hai điểm Phép vị tự: - Cho điểm O cố định số k không đổi, k Phép uuuur uuuu r biến hình biến điểm M thành ®iĨm M' cho OM ' = k OM ®ỵc gọi phép vị tự tâm O tỉ số k - NÕu phÐp vÞ tù tØ sè k biÕn hai điểm M N lần lợt thành hai điểm M, N' uuuuur uuuu r ' ' M ' N ' = k MN vµ M N = k MN - Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm thẳng hàng - Phép vị tự biến tỉ số k thành đờng thẳng song song (hoặc trùng) với đoạn thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài đợc nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k , biÕn gãc thµnh gãc b»ng nã - PhÐp vị tự tỉ số k biến đờng tròn có bán kính R thành đờng tròn có bán kính k R Phần II: Một số tập hớng dẫn giải Bài 1: Cho hai đờng tròn () () đồng tâm O, bán kính R R, (R, < R), A điểm cố định thuộc (), M điểm di động () Kẻ dây BC (), BC vuông góc với AM A cắt () D 1.Chứng minh tam giác MAD MBC có trọng tâm cố định Tìm tập hợp đỉnh thứ E hình chữ nhật MABE Hớng dẫn Gọi I trung điểm dây AD Suy đợc điều Giải: Vì DMA nên đờng kính đờng tròn () Trong tam giác MAD, AO trung tuyến, A O cố định nên trọng tâm G MAD cố định( Hình 66) Gọi I giao điểm MG AD Suy I trung điểm AD Ta có: OI AD OI BC Trong đờng tròn (), OI BC nên I trung điểm BC Suy MI trung tuyến ứng với cạnh BC MBC Do G trọng tâm MBC Vây: tam giác MAD MBC có trọng tâm G cố định Gọi J giao điểm CG MB Suy J trung điểm MB Do J tâm hình vuông MABE uuu r uuur Ta cã: GJ = - GC Suy J ảnh C phép vị tự H(G; - ) t©m G tØ sè k = Khi M di động đờng tròn () tâm O bán kính R, C di động đờng () tâm O bán kính R, tập hợp điểm J đờng tròn (), ảnh đờng tròn () cho phép vị tự H (G; có tâm O,, ảnh O phép vị tự H(G; - ) uuuu r uuur GO ' = - GO uuuu r r r 1 uuu uuu GO ' =- (- GA ) = GA 2 ), (γ) uuuu r uuur uuur uuur ⇒ OO ' = OG + GO = OG + uuuu r ⇒ OO ' = uuur uuur OG = OG 2 r r uuu uuu OA = OA O' trung điểm OA Suy đờng tròn () cã b¸n kÝnh ρ = uuur R uuu r Ta l¹i cã : AE = AJ Suy E ảnh hởng J phép vị tựH(A;2) tâm A tỉ số k = Do tập hợp điểm E đờng tròn (), ảnh hởng đờng tròn () cho phép vị tự H(A; 2) uuur uuuu r Ta cã AO = AO ' Chứng tỏ O' ảnh hởng O phép vị tự H(A; 2) Suy () có tâm O, b¸n kÝnh r = 2ρ = R Ta suy () trùng với đờng tròn () Vậy tập hợp điểm E đờng tròn () Bài 2: Cho tam giác BAC trọng tâm G nối tiếp đờng tròn(O) tâm O, bán kính R, BC cố định, A di động, I trung điểm cạnh BC Tìm tập hợp M, đối xứng G qua I, A di động Dựng hình bình hành CBGN Tìm tập hợp N A di động Hớng dẫn: Tìm tập hợp điểm G Giải: Ta có BC cố định nên I cố định Cách 1: Chúng ta đà biết G ảnh điểm A phép vị tự H(I; ) Do A chạy đờng tròn (O; R), A B, C tập hợp điểm G R ) đờng tròn (O; ngoại trừ hai điểm B' C' Đờng tròn(O' ; R ) ảnh đờng tròn (O; R) đà cho phép vị tự H(I; ); điểm O', B', C' theo thứ tự ảnh điểm O, B , C phép tự vị đó, lu ý O' OI M điểm đối xứng điểm G qua I nên tập hợp điểm M đờng tròn (O'' ; R R ), ảnh đờng tròn (O' ; ) phép đối 3 xứng tâm S(I), không kể hai điểm B' C' (Hình ) *) Cách 2: uur Ta cã: IG = uur r uuur uuur r uu uu IA ; IM = - IG ⇔ IM = IM = IA 3 Ta suy M ảnh A phép vị tự nghịch (phép vị tự âm) H (I; - ) Do ta có tập hợp điểm M đờng tròn (O'' ; đờng tròn (O; R) cho phÐp bëi vÞ tù H (I; - R ), ảnh ) không kể hai điểm B' vµ C' (Lu ý r»ng B' vµ C' theo thứ tự ảnh B c phép vị tự trên) Cách 1: uuur uuur CBGN hình bình hành nên ta có: GN = BC uuur Ta suy N ảnh G phÐp tÞnh tiÕn T ( BC ) Do ta có tập hợp điểm N đờng tròn (O'' ; đờng tròn (O' ; R ), ảnh cđa uuur R ) cho phÐp bëi tÞnh tiÕn T ( BC ), không kể hai điểm B'' , C '' (B'' , C ' theo thø tù ảnh B C phép uuur tịnh tiÕn T ( BC )) *) C¸ch 2: Theo c¸c dựng, ta có CMBG hình bình hành uuur uuuu r ⇒ BG = - CM uuur uuur CBGN hình bình hành nên ta có : BG = - CN uuur uuuu r ⇒ CN = - CM Do N ảnh điểm M phép đói xứng S(I) đpcm Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, tam giác ABD nội tiếp đờng tròn (O) tâm O bán kính R, A cố định, B D di động cho BD = 2a, a đô dài đà biết Chứng minh trực tâm H BCD cố định Tìm tập hợp trực tâmH' ABD Tìm tập hợp đỉnh C hình bình hành ABCD Giải Gọi I tâm hình bình hành ABCD tam giác BCD DAB đối xứng qua I Do H H' đối xứng qua I BH = DH' vµ BH // DH' uuur uuur ⇒ BH = KO , K trung điểm AB suy H điểm đối tâm A đờng tròn (O; R) Vậy H cố định Ta có OI ⊥ BD ⇒OI = OB  IB = R2 a2 Suy I nằm đờng tròn() tâm (O), bán kính = uuuur R2 a2 uuu r * HH ' = HI Suy H' ảnh I phép vị tự H( H; 2) tâm H tỉ số vị tự k = Do tập hợp điểm H' đờng tròn (), ảnh đờng tròn () cho phép vị tự H(H; 2) uuur uuur Ta lại có: HA = HO Ta suy () đờng tròn tâm A bán kính r = = R  a Ta cã H vµ H' , C A đối xứng qua I uuuur uuur Suy H 'C = AH uuur C lµ ¶nh cđa H' phÐp tÞnh tiÕn T( AB ) Do H' vạch đờng tròn (), tâm A, b¸n kÝnh r = R  a ; C vạch đờng tròn () tâm H bán kính r, ảnh () cho phép uuur tịnh tiến T( AH ) Vậy tập hợp điểm C đờng tròn () tâm H, bán kính r = R2 a2 Điều kiện: a < R Bài 4: Trong mặt phẳng (Oxy), cho đờng tròn (C) tâm I bán kính R tiếp xúc với Oy O, AB đờng kính (C), song song với Oy, (xA > 0) ; () đờng tròn tâm J lu động tiếp xúc với AB điểm E tiếp xúc với nửa đờng tròn AOB F Chứng tỏ FE qua điểm cố định Tìm tập hợp (P) điểm J Có nhận xét gì? Viết phơng trình (C) () Giải Hai đờng tròn () (C) tiếp xúc với điểm F nên F tâm phép vị tự thuận (phép vị tự dơng) biến đờng tròn (C) tâm I(R; O) bán kính R thành đờng tròn () tâm J Suy ra: F, I , J thẳng hàng uur uur Các véc tơ bán kính IK JE hớng, K giao điểm (C) Ox, k O, nên hai vecto đối xứng phép vị tự Suy ra: F, E , K thẳng hàng Vậy FE qua điểm cố định K 2 Ta có: JE // Ox ⇒JE ⊥ Oy t¹i H JH = EH - EJ = R - FJ = JI Suy J nằm parabol có tiêu điểm I, đờng trục chuẩn trục tung Oy Giới hạn : J nằm nửa đờng tròn (AOB) giới hạn hai điểm A B Vậy tập hợp (P) điểm J cung parabol ASB, đỉnh S trung điểm OI Đờng tròn (C) có tâm I(R; O) bán kính R nên phơng trình (C) là: (x - R)2 + y2 = R2 ⇔ x2 + y2 - 2Rx = Gọi (x; y) tọa độ J Ta cã: JI = JH ⇒JI2 = JH2 ⇔ (R - x)2 + y2 = x2 ⇒y2 = 2Rx - R2 Víi x � R , y �R VËy: Phơng trình (P) y2 = 2Rx - R2 Bài 5: Cho đờng tròn ( O, R) điểm A cố định thuộc đờng tròn Với điểm M nằm đờng tròn (O, R) ta kẻ tới đờng tròn (O, R) tiếp tuyến MT ( T tiếp điểm) Tìm tập hợp điểm M cho MT = kMA, k số dơng cho trớc Giải Ta kí hiệu A' điểm chung thứ đờng thẳng MA với đờng tròn (O, R) Ta cã MT2 = MA MA' ⇔= MA MA' = k2 MA2 ⇔ MA(MA'- k2MA) = ⇔ MA' = k2MA (vì MA khác không với M không trïng víi A) uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur ⇔ MA' = k2 MA ( MA ��MA' ) uuuu r uuur uuuu r ⇔ MA' + AA' = k2 MA ⇔ AA' = (1 - k2) AM uuur r NÕu k = 1, th× AA' = , A' A trùng tập hợp M tiÕp tun cđa (O) t¹i A uuuu r uuur ' , M ảnh A ' phÐp NÕu k ≠ th× AM = k AA vị tự H Tập hợp M trờng hợp môtj đờng tròn ảnh � �A, � � 1 k � cña đờng tròn (O) phép tự vị Bài 6: Cho đờng tròn (O, R) đờng kính PQ cố định đờng tròn Trên tia PQ ta lấy điểm S cố định ( khác P Q) Với điểm A thuộc đờng tròn ta dựng tia Px vuông góc với tia PA nằm phía với đờng thẳng PQ Gọi B giao điểm Px SA Tìm tập hợp điểm B, điểm A di động đờng tròn (O , R) Giải Gọi B' giao điểm thứ hai Px với đờng tròn (O), AB' đờng kính đờng tròn (O) Gọi d đờng thẳng qua B d // AB', O' giao điểm d PQ Ta thấy hai tam giác OPB' O'PB đồng dạng mà tam giác OPB' cân O, nên tam giác O'PB cân O' Từ đẳng thức SO ' O ' B SO ' O ' P SO ' SO '  SP SP  �  �  � SO '  SO (*) SO OA SO R SO R SO  R ta đặt k = SP , k số không đổi (*) đợc viết lại dới SO  R d¹ng vÐcto uuur uuu r SO ' = k SO (**) HÖ thøc (**) chøng tá r»ng O' ảnh O phép vị tự tâm S, hệ số vị tự k= SP , O' cố định Mặt khác, từ SO R SB SO '  ta suy SA SO uur uur SB = k SA B ảnh A phép vị tự Tập hợp điểm B đờng tròn (O') ảnh (O) phép vị tự H  s ,k  víi k = SP SO R Bài Cho hai đờng tròn (O) (O') tiếp xúc với M k số thực khác không cho trớc Một đờng thẳng d qua M cắt đờng tròn (O), (O') tơng ứng A A' (khác M) Tìm tập uuu r uuur hợp điểm P d cho PA = k PA' Giải Từ điều kiện đà cho ta cã uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur MA - MP = k( MA' - MP ) ⇔ (k- 1) MP = k MA' - MA (*) uuuu r Vì hai đờng tròn vị tự, nên tån t¹i sè MA' λ cho uuuu r uuur MA' = λ MA (**) Tõ (*) vµ (**) ta suy uuur uuur (k- 1) MP = (kλ - 1) MA uuu r (***) uuur NÕu k = 1, PA = PA' A A' trùng Điều trái với giả thiết Vậy - k ≠ vµ tõ (***) ta cã uuur uuur k 1 MP = β MA , β= 1 k Đẳng thức chứng tỏ P ảnh A phép vị tự tâm M, hệ số = k Tập hợp P đờng tròn trừ điểm ảnh k M phép vị tự Bài 8: Cho hai đờng tròn (O) (O') tiếp xúc với A ( (O') nằm (O)) BC dây cung (O) BC dây cung (O) tiếp xúc với (O') Tìm tập hợp tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, dây BC thay đổi Giải Gọi M tiếp điểm BC với đờng tròn(O') Phép vị tự tâm A biến (O') (O), biến M M' thuéc (O) vµ O'M // OM' Râ rµng AM tia phân giác góc BAC tâm I đờng tròn nội tiếp tam giác ABC nằm AM Vì BI phân giác góc B, nên ta có AB AI   BM IM AB BA.BB ' Ta lại có AB = k.AB' (k hệ số vị tự biến (O') thành (O) k > 0), BB' = (1 - k) AB Tóm lại AB BA.BA' AI (ta đặt IM k  1 k q uuuu uur r = q), nªn AI = hay AM 1 q 1 k q uur uuuu r AI = λ AM , = q Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O; R) M điểm di động cung BC Trên tia ®èi cđa tia BM lÊy mét P cho BP = MC tia đối tia CM lấy điểm mQ cho CQ = MB Tìm tập hợp điểm P Q Hớng dẫn Chứng minh MB + MC = MA Giải Trên dây AM, lấy ®o¹n AD = BM Ta chøng minh r»ng DM = MC Hai tam giác BCM ACD có: B1  A1 (cïng cung ch¾n MC) BC = AC (gt) BM = AD nªn b»ng  BCM =  ACD ⇒ MC = CD Ta l¹i cã � AMC = � ABC = 60 nªn  MCD tam giác Suy DM = MC Do ®ã ta cã : MB + MC = MA Suy MP = MQ = MA , � AMB = uuur � AMC = 60 uuur Gi¶ sư ( AB ; AC ) = 600 �AP  AM ( AM ; AP )  600 � Tam gi¸c AMP Ta có uuuuruuur Suy P ảnh cđa M phÐp quay R( A;- 600) Do ®ã: Khi M chạy cung CB tập hợp điểm P cung BC ', ảnh cung CB cho phép quay R( A;- 600), nằm đờng tròn (O'; R) với O' ảnh O phép quay Lu ý O' (O; R) Tơng tự: Tập hợp điểm Q cung CB', ảnh cña cung BC cho bëi phÐp quay R( A;600) ,n»m đờng tròn (O'' ; R) với O'' ảnh O O'' (O) Bài 10 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M nằm tam giác cho MA2 + MB2 = MC2 Giải Phép quay R B ,60  ; M � M' A � C, ®ã MA = M'C, MB = MM' Tam giác MM'C vuông M' M'C2 + M'M2 = MA2 + MB2 = MC2 � 'C = 1500 Từ ta suy BM Mặt khác, từ  AMB =  CM'B 0 suy � AMB = 150 Chøng tá M thuéc cung chøa góc 150 dựng dây AB Tập hợp điểm M cung 1500 nằm tam giác ABC dựng dây AB, trừ A, B Đảo lại M điểm thuộc cung đó, phép quay R B ,60  � 'C cã sè ®o 1500 biÕn M � M' vµ cung � AMB thµnh cung BM � 'C = 1500 - 600 = 900 Tam gi¸c Vì tam giác BMM' đều, MM MM'C vuông M' M'M2 + M'C2 = MC2 Do MA = M'C, MM' = MB ta suy MA2 + MB2 = MC2 Bài 11: Cho tam giác ABC cố định uuur A không đổi ; B C di r động cho BC = a , không đổi a) Tìm tập hợp ®iĨm B vµ C b) Chøng tá r»ng ®êng cao BB' ABC luôn qua điểm cố định Hớng dẫn a) Vận dụng định lý hàm sin b) Gọi H trực tâm ABC Chứng minh H cố định Giải a) Dựng đờng tròn () tâm O ngoại tiếp tam giác ABC Gọi R bán kính đờng tròn () Theo định lí hàm sin, ta có R= EC a , không đổi 2sin 2sin Suy O chạy đờng tròn (A) tâm A, bán kính a R = 2sin   OBC c©n cã OB = OC = R � BC = a vµ BOC = 2 Ta suy ra: OBC di động nhng không thay đổi hình dạng luôn uuur uuur r Các vectơ OB OC có độ dài không đổi hợp vectơ a góc không đổi uuur uuur = 900 - nên vectơ OB OC vectơ có độ dài h- ớng không đổi uuuu r uuur uuuur uuuu r uuur uuuur Dùng AO1 = OB , AO2 = OC , vectơ AO1 AO2 cố định uuuu r Suy B ảnh O cho ( AO1 ) C ảnh O cho ( uuuur AO2 ) Khi O chạy đờng tròn (A; R) thif tập hợp điểm B đờng uuuu r tròn(O1; R), ảnh đờng tròn O cho ( AO1 ) Tập hợp điểm C đờng tròn (O2 ; R), ảnh đờng tròn (A) b) Gọi A' giao điểm thứ hai đờng tròn (O1) (O2) uuuuu r uuur O1O2  BC � � Ta cã �� AH BC O1O2 AH r Đờng tròn (O2) xem ảnh đờng tròn (O1) cho ( a ) Gọi D điểm đối tâm điểm H đờng tròn (O2) I giao điểm AH O1O2 uuur uuur uuur ⇒ AD = IO2 = BC � ⇒CD // AB, HCD = 900 ⇒ CH  AB Suy H trực tâm ABC D cố định nên H cố định Do đờng cao BB' ABC luôn qua điểm H cố định H, trực tâm ABC Các tài liệu tham khảo Sách giáo khoa hình học 11 - NXB Giáo dục Phép biến hình mặt phẳng - NXB Giáo dục Phép dời hình mặt phẳng lớp 11 - NXB §HQGHN ... bị: Phép biến hình Phép biến hình( trong mặt phẳng) quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định đợc điểm M' thuộc mặt phẳng Điểm M' gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Phép tịnh tiến r - Phép. .. - Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có bán kính, biến góc thành góc Phép quay Trong mặt phẳng. .. H, trực tâm ABC Các tài liệu tham khảo Sách giáo khoa hình học 11 - NXB Giáo dục Phép biến hình mặt phẳng - NXB Giáo dục Phép dời hình mặt phẳng lớp 11 - NXB §HQGHN