Luyện Tập Hàm Số Liên Tục Toán Lớp 11

ÔN THI THPT QG TOÁN 11 GIẢI TICH LỚP LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC 11 GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN BÀI LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC ÔN THI THPT QG TOÁN 11 LỚP GIẢI TICH LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC 11 GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN Bài LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC I DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp giải Bài tập vận dụng II DẠNG 2: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp giải Bài tập vận dụng III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QG I TOÁN 11 GIẢI TICH LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC DẠNG 1: Xét tính liên tục hàm số điểm PHƯƠNG PHÁP Xét tính liên tục hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) điểm 𝒙𝟎 Bước 1: Tính 𝑓(𝑥0 ) Bước 2: Tính 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) 𝒙→𝒙𝟎 Bước 3: So sánh 𝑓(𝑥0 ) 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0 Nếu 𝒇(𝒙𝟎 ) = 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) hàm số liên tục điểm𝒙𝟎 𝒙→𝒙𝟎 Nếu 𝒇(𝒙𝟎 ) ≠ 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) hàm số khơng liên tục (hay gián đoạn) điểm𝒙𝟎 𝒙→𝒙𝟎 ƠN THI THPT QG TỐN 11 GIẢI TICH LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài tập – sgk/140 Xét tính liên tục hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟏 điểm 𝒙𝟎 = 𝟑 𝟑 Bài giải Ta có: 𝒇 𝟑 = 𝟑𝟐 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟑 𝒙→𝟑 𝟑 𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟑𝟐 Vì 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 = 𝒇(𝟑) nên hàm số liên tục 𝒙𝟎 = 𝟑 𝒙→𝟑 ƠN THI THPT QG TỐN 11 GIẢI TICH LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài tập – sgk/140 𝟑 Trong biểu thức xác định 𝒙 −𝟖 , 𝒏ế𝒖 𝒙 ≠ 𝟐 𝒈 𝒙 trên, cần thay số 𝟓 Cho hàm số 𝒈 𝒙 = ൞ 𝒙 − 𝟐 𝟓 , 𝒏ế𝒖 𝒙 = 𝟐bởi số hàm số liên Xét tính liên tục hàm số điểm 𝒙𝟎 =tục 𝟐 𝒙𝟎 = 𝟐 ? Bài giải Ta có: 𝒈 𝟐 = 𝟓 𝟑 𝒙 −𝟖 𝟐 𝒍𝒊𝒎𝒈 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟏𝟐 𝒙→𝟐 𝒙→𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒙→𝟐 𝐕ì: 𝒍𝒊𝒎𝒈 𝒙 ≠ 𝒈(𝟐) 𝒙→𝟐 nên hàm số gián đoạn 𝒙𝟎 = 𝟐 Chú ý: Trong biểu thức xác định 𝒈 𝒙 trên, cần thay số 𝟓 số 𝟏𝟐 hàm số liên tục 𝒙𝟎 = 𝟐 ƠN THI THPT QG TỐN 11 GIẢI TICH LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài tập 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟏 , 𝒏ế𝒖 x>1 Cho hàm số 𝒇(𝒙) = ൞ 𝒙−𝟏 𝒎𝒙 + 𝟐 , x ≤ 𝟏 Tìm tất giá trị thực tham số 𝒎 để hàm số liên tục điểm 𝒙𝟎 = 𝟏 Bài giải Ta có: 𝒇(𝟏) = 𝒎 + 𝟐 Để hàm số liên tục 𝒙𝟎 = 𝟏 𝒍𝒊𝒎−𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎− 𝒎𝒙 + 𝟐 = 𝒎 + 𝟐 𝒍𝒊𝒎+𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎−𝒇 𝒙 = 𝒇 𝟏 𝒙→𝟏 𝒙→𝟏 𝟓 𝟑 ⇔ 𝒎+𝟐 = ⇔ 𝒎 = − 𝟒 𝟒 𝒙→𝟏 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟏 𝒍𝒊𝒎+𝒇 𝒙 = 𝒍𝒊𝒎+ 𝒙→𝟏 𝒙→𝟏 𝒙−𝟏 𝒙 − 𝟏 𝟒𝒙 + 𝟏 𝟓 = 𝒍𝒊𝒎+ = 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 + 𝟏 𝟒 ÔN THI THPT QG I TOÁN 11 GIẢI TICH LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC DẠNG 2: Xét tính liên tục hàm số tập xác định ĐỊNH LÍ a Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực b Hàm số phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức) hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định chúng ƠN THI THPT QG TỐN 11 GIẢI TICH LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC DẠNG 2: Xét tính liên tục hàm số tập xác định PHƯƠNG PHÁP II 𝒉(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 ≠ 𝒙𝟎 * DẠNG 1: Cho hàm số 𝒇 𝒙 = ቊ 𝒈(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 = 𝒙𝟎 + Bước 1: Tìm tập xác định + Bước 2: Với 𝒙 ≠ 𝒙𝟎 xét tính liên tục hàm số 𝒇(𝒙) = 𝒉( 𝒙) + Bước 3: Xét tính liên tục hàm số điểm 𝒙 = 𝒙𝟎 𝒉(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 > 𝒙𝟎 * DẠNG 2: Cho hàm số 𝒇 𝒙 = ቊ 𝒈(𝒙), 𝒏ế𝒖 𝒙 ≤ 𝒙𝟎 + Bước 1: Tìm tập xác định + Bước 2: Với 𝒙 > 𝒙𝟎 xét tính liên tục hàm số 𝒇(𝒙) = 𝒉(𝒙) + Bước 3: Với 𝒙 < 𝒙𝟎 xét tính liên tục hàm số 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) + Bước 4: Xét tính liên tục hàm số điểm 𝒙 = 𝒙𝟎 ÔN THI THPT QG TOÁN 11 GIẢI TICH LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài tập – sgk/140 𝟑𝒙 + 𝟐 𝐧ế𝐮 𝒙 < −𝟏 Cho hàm số 𝒇 𝒙 = ቊ 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝐧ế𝐮 𝒙 ≥ −𝟏 có đồ thị hình bên: a) Từ đồ thị nhận xét tính liên tục hàm số x−1&x=−1? b) Xét tính liên tục hàm số tập xác định Bài giải a) Từ đồ thị ta thấy hàm số liên tục x−1, x=−1 hàm số gián đoạn b) Khi 𝒙 < −𝟏, ta có 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟐 liên tục Khi 𝒙 > −𝟏, ta có 𝒇 𝒙 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 liên tục ƠN THI THPT QG TỐN 11 GIẢI TICH LUYỆN TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài tập – sgk/140 3𝑥 + 𝑥 < −1 Cho hàm số 𝑓 𝑥 = ቊ 𝑥 − 𝑥 ≥ −1 có đồ thị hình bên: a) Từ đồ thị nhận xét tính liên tục hàm số x−1&x=−1? b) Xét tính liên tục hàm số tập xác định Bài giải Khi 𝒙 = −𝟏, 𝑻𝒂 𝒄ó 𝒇 −𝟏 = 𝟎 Ta có 𝒍𝒊𝒎−𝒇(𝒙) = −𝟏; 𝒍𝒊𝒎+𝒇(𝒙) = 𝟎 nên hàm số không tồn 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟏 𝒙→−𝟏 Hàm số gián đoạn 𝒙 = −𝟏 𝒙→−𝟏 Vậy hàm số liên tục −∞; −𝟏 , −𝟏; +∞ gián đoạn 𝒙 = −𝟏 LỚP 11 BÀI GIẢI TÍCH Chương IV GIỚI HẠN 1) Hàm số liên tục điểm Hàm số 𝑓 𝑥 gọi liên tục điểm 𝑥0 lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 𝑥→𝑥0 Hàm số 𝑓 𝑥 không liên tục điểm 𝑥0 gọi gián đoạn điểm 𝑥0 Hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 gọi liên tục đoạn 𝑎; 𝑏 liên tục khoảng (𝑎; 𝑏) lim+ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 , lim− 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑏 𝑥→𝑎 𝑥→𝑏 2) Hàm số liên tục khoảng Định nghĩa: Định lý 1: Định lý 2: => Xét tính liên tục hàm số điểm TXĐ hàm số LỚP ĐS> 11 LỚP BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC 11 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN Bài HÀM SỐ LIÊN TỤC I HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa II HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa III MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lý Định lý Định lý LỚP ĐS> 11 III BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí 𝒇 𝒙 𝒍𝒊ê𝒏 𝒕ụ𝒄 𝒕𝒓ê𝒏 [𝒂; 𝒃] ቊ 𝒇 𝒂 𝒇 𝒃 < 𝟎 Ví dụ ⇒ ∃𝒄 ∈ 𝒂; 𝒃 : 𝒇 𝒄 = 𝟎 Phương trình 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 = 𝟎 có nghiệm khoảng nào? A (-3;-2) B (0;1) C (-2;-1) D (2;3) 𝟓 Bài giải Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3𝑥 + 23 liên tục R nên liên tục đoạn [−2; −1] Ta có: 𝑓(−2) = −3 ; 𝑓(−1) = 25 Suy 𝑓(−2) 𝑓(−1) < Vậy phương trình 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟐𝟑 = 𝟎 có nghiệm khoảng (-2;-1) 𝟓 LỚP 11 BÀI Chương IV ĐS> HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ Khẳng định sau đúng? 𝒙𝟐 +𝟏 A Hàm số 𝒇 𝒙 = 𝟐 liên tục ℝ B Hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙 −𝟏 C Hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙+𝟐 𝒙−𝟐 liên tục ℝ D Hàm số 𝒇 𝒙 = 𝒙+𝟐 𝒙𝟐 +𝒙+𝟏 𝒙+𝟏 𝟐𝒙−𝟏 liên tục ℝ Bài giải A Hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 +1 𝑥 −1 B Hàm số 𝑓 𝑥 = có TXĐ 𝐷 = ℝ\ ±1 nên không liên tục ℝ 𝑥+2 𝑥 +𝑥+1 C Hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥+2 𝑥−2 D Hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥+1 2𝑥−1 có TXĐ 𝐷 = ℝ nên liên tục ℝ có TXĐ 𝐷 = 2; +∞ nên không liên tục ℝ liên tục 𝐷= −1; ∪ ; +∞ liên tục ℝ LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ Hàm số hàm số không liên tục ℝ? 𝑨 𝒚 = 𝒙 𝑪.𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒙 𝑩 𝒚 = 𝒙+𝟏 𝒙 𝑫 𝒚 = 𝒙 +𝟏 Bài giải TXĐ hàm số 𝑦 = 𝑥 𝑥+1 𝐷 = ℝ\{−1} Hàm số liên tục khoảng xác định Hàm số 𝑦 = 𝑥 𝑥+1 không liên tục ℝ Chọn B −∞; −1 𝑣à −1; +∞ LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ Cho hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) khẳng định sau đúng? A Nếu 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) < 𝟎 hàm số liên tục khoảng (𝒂; 𝒃) B Nếu 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) > 𝟎 hàm số liên tục khoảng (𝒂; 𝒃) C Nếu hàm số liên tục đoạn [𝒂; 𝒃] 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) < 𝟎 D Nếu hàm số liên tục đoạn [𝒂; 𝒃] 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) < 𝟎 phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎 có nghiệm Bài giải Dựa vào định lí ta chọn đáp án D LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ Trong khẳng định đây, khẳng định sai? A Hàm số 𝒚 = 𝒙𝟐 +𝟑𝒙+𝟐 𝒙+𝟐 liên tục khoảng −∞; −𝟐 𝒗à −𝟐; +∞ B Hàm số 𝒚 = 𝒕𝒂𝒏𝒙 liên tục R C Phương trình 𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟐 = 𝟎 có nghiệm nằm khoảng (−𝟐; 𝟓) 𝟓 𝟒 D Hàm số 𝒚 = 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝒙 liên tục R Bài giải Dựa vào định lí ta chọn đáp án B LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ ; Cho bốn hàm số 𝒇𝟏 𝒙 = 𝒙 − 𝟏, 𝒇𝟐 𝒙 = 𝒙, 𝒇𝟑 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 , 𝒇𝟒 𝒙 = ; 𝒙𝟐 −𝟏 ቐ 𝒙−𝟏 𝟐 Hỏi bốn hàm số có hàm số liên tục ℝ? ; A B C.3 𝒙 ≠ 𝟏 𝒙 = 𝟏 D.4 Bài giải Hàm số 𝑓1 𝑥 = 𝑥 − 𝑓3 𝑥 = tan 𝑥 khơng có TXĐ ℝ nên không liên tục ℝ Hàm số 𝑓2 𝑥 = 𝑥 hàm đa thức nên liên tục ℝ Hàm số 𝑦 = 𝑓4 𝑥 có TXĐ ℝ hàm số liên tục khoảng Ta cần xét tính liên tục hàm số 𝑦 = 𝑓4 𝑥 𝑥 = Ta có 𝑓4 = lim 𝑓4 𝑥 = 𝑥→1 𝑥 −1 lim 𝑥→1 𝑥−1 −∞; 1; +∞ = lim 𝑥 + = = 𝑓4 Nên hàm số liên 𝑥→1 tục 𝑥 =1 liên tục ℝ Vậy có hàm số liên tục ℝ LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ Cho hàm số 𝒇(𝒙) xác định đoạn [𝒂; 𝒃] Mệnh đề sau đúng? A Nếu hàm số 𝒇(𝒙) liên tục đoạn [𝒂; 𝒃] 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) > 𝟎 phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎 khơng có nghiệm khoảng (𝒂; 𝒃) B Nếu 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) < 𝟎 phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎 có nghiệm khoảng (𝒂; 𝒃 C Nếu hàm số 𝒇(𝒙) liên tục, tăng đoạn [𝒂; 𝒃] 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) > 𝟎 phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎 khơng có nghiệm khoảng (𝒂; 𝒃) D Nếu phương trình 𝒇(𝒙) = 𝟎 có nghiệm khoảng (𝒂; 𝒃) hàm số 𝒇(𝒙) phải liên tục (𝒂; 𝒃) Bài giải Chọn C Vì 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑏) > nên 𝑓(𝑎) 𝑣à 𝑓(𝑏) dương âm Mà 𝑓(𝑥) liên tục, tăng [𝑎; 𝑏] nên đồ thị hàm 𝑓(𝑥) nằm nằm trục hoành đoạn [𝑎; 𝑏] hay phương trình 𝑓(𝑥) = khơng có nghiệm khoảng (𝑎; 𝑏) LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ Phương trình có nghiệm khoảng (0;1)? 𝟐 𝑨 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟒 = 𝟎 𝑪 𝟑𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓 = 𝟎 𝟓 𝟕 𝑩 𝒙 − 𝟏 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 𝑫 𝟑𝒙𝟐𝟎𝟏𝟕 − 𝟖𝒙 + 𝟒 = 𝟎 Bài giải Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 3𝑥 2017 − 8𝑥 + Hàm số liên tục đoạn 0; 𝑓 𝑓 = −1 = −4 Suy 𝑓 𝑓 < Vậy phương trình 3𝑥 2017 − 8𝑥 + = có nghiệm khoảng 0; LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ Số nghiệm thực phương trình 𝟐𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟏 = 𝟎 thuộc khoảng (−𝟐; 𝟐) 𝟑 A B C Bài giải Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 6𝑥 + liên tục ℝ nên liên tục đoạn [−2; 2] Ta có: 𝑓(−2) = −3 ; 𝑓(0) = 1; 𝑓(1) = −3; 𝑓(2) = Suy 𝑓(−2) 𝑓(0) < 0; 𝑓(0) 𝑓(1) < 0; 𝑓(1) 𝑓(2) < Vậy phương trình 2𝑥 − 6𝑥 + = có nghiệm khoảng (-2;2) D LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 10 Cho phương trình 𝟐𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 𝟏 Chọn khẳng định khẳng định sau A Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng (−𝟏; 𝟏) 𝟒 𝟐 B Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng (−𝟐; 𝟎) C Phương trình (1) có nghiệm khoảng (−𝟐; 𝟏) D Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng (𝟎; 𝟐) Bài giải Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 5𝑥 + 𝑥 + liên tục ℝ nên liên tục đoạn [0; 2] Ta có: 𝑓(0) = ; 𝑓(1) = −1; 𝑓(2) = 15 Suy 𝑓(0) 𝑓(1) < 0; 𝑓(1) 𝑓(2) < Vậy phương trình 2𝑥 − 5𝑥 + 𝑥 + = có nghiệm khoảng (−2; 2) LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 11 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số m 𝟑 𝟐 𝟓 𝒃)𝒎 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝒂) 𝟏 − 𝒎 𝒙 − 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝟎 𝟒 𝟐 𝒅) 𝟏 − 𝒎 𝒄)𝒙 + 𝒎𝒙 − 𝟐𝒎𝒙 − 𝟐 = 𝟎 𝟐 𝒙+𝟏 𝟑 𝟐 +𝒙 −𝒙−𝟑=𝟎 Bài giải a) Xét hàm số 𝑓 𝑥 = − 𝑚 𝑥 − 3𝑥 − liên tục ℝ nên liên tục đoạn [−1; 0] Ta có: 𝑓(0) = −1 < 0, 𝑓(−1) = 𝑚 + > Suy 𝑓(−1) 𝑓(0) < Vậy phương trình − 𝑚 𝑥 − 3𝑥 − = có nghiệm khoảng (−1; 0) hay phương trình cho ln có nghiệm với giá trị tham số m Tương tự b) PT có nghiệm (1;2) d) PT có nghiệm (-2;-1) c) PT có nghiệm (0;2) LỚP 11 ĐS> BÀI Chương IV HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ 12 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số m 𝒃)𝒎 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟐 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟓 𝒙 + 𝟏 𝒂)𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒎𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 = 𝟎 Bài giải a) Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑚𝑐𝑜𝑠2𝑥 liên tục ℝ nên liên tục đoạn Ta có: 𝑓 𝜋 = 3𝜋 ;𝑓 =− 2 Suy 𝑓 𝜋 𝑓 3𝜋