Tổng hợp công thức toán trung học phổ thông

TỔNG HỢP CƠNG THỨC TỐN THPT Th.S Nguyễn Viết Hiếu BRVT 089908.3939 viethieu220284@gmail.com Face:viethieu220284 Zalo:089908.3939 LỜI TỰA Tác giả xin cám ơn quý thầy cô, em học sinh đọc nghiên cứu tài liệu Tác giả viết tài liệu với mong muốn góp phần nhỏ giúp em học sinh việc học mơn Tốn THPT Thơng qua tài liệu tác giả mong nhận chia từ quý thầy cô giảng dạy Viết tài liệu thời gian ngắn, kinh nghiệm chưa nhiều nên khơng thể tránh thiếu sót, tác giả mong nhận đóng góp quý độc giả Xuyên Mộc, 9/2021 I HÀM SỐ Face: viethieu220284 1.Sự đồng biến, nghịch biến hàm số Cho K khoảng, khoảng đoạn hàm số y  f  x  xác định K +Định lí 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm K -Nếu f '  x   0, x  K hàm số đồng biến K -Nếu f '  x   0, x  K hàm số nghịch biến K +Định lí 2: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm K -Nếu f '  x   0, x  K f '  x   xảy hữu hạn điểm hàm số đồng biến K -Nếu f '  x   0, x  K f '  x   xảy hữu hạn điểm hàm số nghịch biến K ax  b đb khoảng  ;   cx  d  f '  x   0, x   ;   ad  bc     d  d d     ;    c   or  c    c ax  b +Hs f  x   nb khoảng  ;   cx  d  f '  x   0, x   ;   ad  bc     d  d      ;    c  c ax  b +Hs f  x   đồng biến  ;   cx  d  f '  x   0, x   ;   ad  bc     d  d d     ;    c   or  c     c +Hs f  x   5.Cực trị hàm số +Cho hs y  f  x  đạt cực đại x x0 x x điểm cực đại hàm số y  f  x  y0  f  x0  giá trị cực đại (cực đại) hs M  x0 ; y0  điểm cực đại đths y  f  x  +Cho hs y  f  x  đạt cực tiểu x x2 x x điểm cực tiểu hàm số y  f  x  Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 2.Tìm điều kiện a, b, c để hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d đồng biến, nghịch biến f '  x   3ax2  2bx  c +Hs y  f  x  đồng biến  f '  x   0, x  a b c a 0 +Hs y  f  x  nghịch biến  f '  x   0, x  a b c a y 3ac 3.Tìm điều kiện để hàm số ax  b f  x   c  0; ad  bc   cx  d đồng biến, nghịch biến ad  bc f ' x    cx  d  ax  b đồng biến cx  d khoảng xác định d  f '  x   0, x    ad  bc  c ax  b +Hs f  x   nghịch biến cx  d khoảng xác định d  f '  x   0, x    ad  bc  c +Hs f  x   y b2 y 0 4.Cho hs y  f  x  liên tục  a; b b/ Có giá trị nguyên âm 5x m  f  x  , x   a; b  m  max f  x  tham số m để hs y m  f  x  , x   a; b  m  f  x  đồng biến khoảng  0;  ? BT1a/Có giá trị nguyên tham số m để hàm số x2 đồng biến khoảng y x  5m y'  a ;b   a ;b  (; 10) ? y '  5m   x  5m , x  5m Hs đồng biến (; 10)  y '  0, x  (; 10)  5m  (; 10) 5m     m2 5m  10 3x m x3 mx x6 Hs đb khoảng  0;  y' 0, x  0;  m 3x , x x6  0;     m  max  3 x    0;   x  m KL: số nguyên âm m thỏa Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 +Định lí 1: Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  đạt cực trị x0   a; b  f '  x0   +Định lí 2: Giả sử hs y  f  x  liên tục khoảng K   x0  h; x0  h  có đạo hàm K K \ x0  , với h y2  f  x2  giá trị cực tiểu (cực tiểu) hs M  x2 ; y2  điểm cực tiểu đths y  f  x  Face: viethieu220284 Trang Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 +Định lí 3: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp khoảng  a; b  x0   a; b  𝑓 ′ (𝑥0 ) = Nếu { hàm số y  f  x  𝑓′′(𝑥0 ) > đạt cực tiểu x 𝑓 ′ (𝑥 ) = Nếu { ′ hàm số y  f  x  𝑓 ′(𝑥0 ) < đạt cực đại x Cực trị hàm số bậc  A  0 y  f  x   Ax3  Bx2  Cx  D AC y' 0 + Đths có đ.cực trị nằm phía Oy y ' có hai nghiệm trái dấu a.c  b  b     B   ;   ;   , C   2a 4a   2a 4a  với   b2  4ac Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939  f  x   M , x  D  x0  D : f  x0   M Kí hiệu: M  max f  x  D ̂ = 𝛼, có cos   Đặt 𝐵𝐴𝐶 -Tam giác ABC vuông cân ̂ = 1200 -Tam giác ABC có 𝐵𝐴𝐶  3b3  8a  -Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp: a  cực tiểu   b  AB AC.BC b  8a  4S 8ab -Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp: r 2S  AB  BC  AC +Hàm số có điểm cực tiểu hai +Khi hs có điểm cực trị ( ab  ) đths có điểm cực trị A  0; c  , b2  b3  a 1     8a   +Tam giác ABC cân A, AB  AC  b  8ba b ; BC   16a 2a Trang Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 b5 Diện tích ABC S   32a3 R -Số m đgl giá trị nhỏ hs y  f  x  D b3  8a b3  8a  b3  24a  +Hs có điểm cực trị  a.b  ( a, b trái dấu) +Hs có 1điểm cực trị  a.b  +Hàm số có điểm cực đại điểm +Đths bậc có hai điểm cực trị nằm phía trục Ox f(x) = có nghiệm phân biệt 8.Giá trị lớn nhất, nhỏ hs +Cho hàm số y  f  x  xác định tập hợp D - Số M đgl giá trị lớn hs y  f  x  D A -Tam giác ABC Face: viethieu220284 B +Hs ko có cực trị  b3  8a  a  điểm cực đại   b  A y'  ax  bx  c + Pt đường thẳng qua điểm cực trị B1 Tìm đk hs có điểm cực trị B2 C1: Lấy y chia cho y’ ta thương q  x  dư r  x   mx  n Ptđt qua điểm cực trị: y  mx  n C2: Ptđt qua điểm cực trị đths: f '  x  f ''  x  y  f  x  18 A 7.Cực trị hàm trùng phương 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) x  y'     b x   2a +Đths trùng phương a f '  x   Ax  Bx  C A y '  4ax3  2bx  x  2ax  b  +Hs có điểm cực trị y ' có hai nghiệm phân biệt  f  x   m, x  D  x0  D : f  x0   m Kí hiệu: m  f  x  D +Định lí: Mọi hàm số liên tục đoạn  a; b có GTLN, GTNN đoạn +PP tìm GTLN, GTNN hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b B1: Tính f '  x  Tìm x1 ; x ; ; x n thuộc khoảng  a; b  thỏa f '  x   hay f '  x  khơng xác định B2: Tính f  a  , f b  , f  x1  , , f  xn  B3: Tìm số lớn M, số nhỏ m số B2 Kết luận: M  max f  x  ,  a ;b  m  f  x  a ;b +Ta sử dụng BBT để tìm GTLN,GTNN hàm số khoảng Zalo: 089908.3939 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 BT2:Tìm giá trị nhỏ hàm số f  x   x3  24x đoạn  2;19 a Thể tích khối hộp: V   a  x  x  x  4ax  a x Đk:  x  f '  x   3x2  24 x  2 f ' x      x  2   2;19 Ta có: f  2   40 ; f 19  6403 a  a  Có V   12  x   x   ,  6  a V    x  f 2  32 Lập bảng biến thiên hs V=V(x) KL: f  x   32 2a a  2;19 max V  x   x   a 27 BT3: Cho nhôm hình vng  0;  cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn 9.Đường tiệm cận đứng, tiệm cận hình vng nhau, gập nhơm lại hình để ngang đths y  f  x  hộp không nắp Tính cạnh + y y0 TCN đths y  f  x  hình vng bị cắt cho thể tích thỏa hai đk: khối hộp lớn   lim y x y0 lim y ; y0 x +Đường thẳng x +Đths biến ax  b f  x   c  0; ad  bc   có cx  d a đường tiệm cận ngang y c d đường tiệm đứng x c 10.Đồ thị hàm số +Đths bậc y  ax3  bx2  cx  d  a  0 x0 đgl tiệm cận đứng đths y  f  x  thỏa đk: ; lim y lim y x lim y Gọi x cạnh hình vng bị cắt x ad bc lim y x x0 M  x0 ; y0  là: y  f '  x0  x  x0   y0 ax   a , b, c  bx  c có bảng biến thiên sau: BT4 Cho hs f  x   11.PT tiếp tuyến đồ thị hàm số   Trong 3số a, b, c có số dương? 2b -TCĐ: x c -TCN: y a b -Hs đồng biến khoảng xác định: ac b b KL:Trong số a, b, c có số dương Face: viethieu220284 ;   x hoành độ tiếp điểm y0 tung độ tiếp điểm f '  x0  hệ số góc tiếp tuyến M  x0 ; y0  Cho đường thẳng d: y ax  Tiếp tuyến có hệ số góc k f '  x0   k  b Tiếp tuyến song song với đt d f '  x0   a (viết pttt kiểm tra song song hay trùng d, trùng loại)  Tiếp tuyến vng góc với đt d f '  x0    a 12.Tương giao hai đồ thị hàm số Trang Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 bc x0 x0 PTTT đths y  f  x  điểm +Đths trùng phương (7 Cực trị hstp) ax  b +Đths f  x    c  0; ad  bc   cx  d ad x x0 12a/Dựa vào đths y f ( x ) , biện luận theo m số nghiệm pt f ( x ) m +Số no pt f ( x ) m số giao điểm đths y f ( x ) đth y m +Lập BBT, vẽ đths y f ( x ) +Dựa vào đths y f ( x ) biện luận BT5 Tìm m để pt x x m có nghiệm +Số no pt cho số giao điểm đths y x x đt y m 2x +Xét hs y 6x y' 6x y' x Lập BBT + pt x x m m có nghiệm m 12b/ Tìm tọa độ giao điểm 2đths y  f  x; y  g  x B1: Lập pt hoành độ giao điểm 2đths: f  x   g  x  (*) B2: PT(*) vô nghiệm, 2đths ko cắt PT(*) có n nghiệm pb x1 ; x ; ; x n Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 KL: 2đths cắt n điểm pb 𝐴1 (𝑥1 ; 𝑓(𝑥1 )), … , 𝐴𝑛 (𝑥𝑛 ; 𝑓(𝑥𝑛 )) BT6 Tìm m để đths f  x   2x3  mx2  mx  cắt trục Ox ba điểm phân biệt Giải: pt hoành độ giao điểm: 2x mx 2 mx 𝑥=1 ↔ [ (2 2𝑥 + − 𝑚)𝑥 + = 0(∗) Ycbt pt (*) có nghiệm pb khác m m 12c/Tương giao đường thẳng d: ax  b y kx m đths y  cx  d +Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn a;b Pt f  x   m có nghiệm  a; b  f  x   m  max f  x   a ;b  a ;b m  f  x  , x   a; b  m  max f  x   a ;b   Pt hoành độ giao điểm d (C): ax b kx m Ax Bx C (5) cx d  d cắt (C) hai điểm pb pt (5) d có hai nghiệm pb khác c  Khi d cắt (C) hai điểm phân biệt 𝑀(𝑥1 ; 𝑘𝑥1 + 𝑚), 𝑁(𝑥2 ; 𝑘𝑥2 + 𝑚) với x1 ; x2 hai nghiệm phân biệt pt (5) k x2 MN x1 k2 khoảng  a; b  u, v   a; b  f u   f  v   u  v f u   f  v   u  v f u   f  v   u  v +Cho hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  a; b  u, v   a; b  f u   f  v   u  v f u   f  v   u  v A f u   f  v   u  v Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 m  f  x  , x   a; b   m  f  x   a;b (Nếu tồn f  x  )  a ;b  m  f  x  , x   a; b   m  inf f  x   a ;b  (Nếu không tồn f  x  )  a ;b  m  f  x  , x   a; b  m  f  x  BT7 Xét số thực dương x , y thỏa +Cho hs y  f  x  liên tục khoảng (𝑎; 𝑏) m  f  x  , x   a; b   m  max f  x  mãn log3 (nếu tồn max f  x  ) A Pmin   a ;b  13.Đặc biệt +Cho hàm số y  f  x  đồng biến  xy  3xy  x  y  Tìm x  2y giá trị nhỏ Pmin P  x  y log  xy  xy  x  y   x  2y log3   3xy     3xy   log  x  y    x  y   * Xét hàm số f  t   log t  t , t    0, t  , nên t ln hs y  f  t  đồng biến  0;   Có f '  t   *  f   3xy   f  x  y  (Câu 47 đề 101, THPTQuốc Gia 2017)   xy  x  y  y (nếu không tồn max f  x  ) 11  19 11  19 B Pmin  9 18 11  29 11  C Pmin  D Pmin  BT8.Có giá trị m nguyên để pt Đặt u  sin x, 1  u  , có pt m  m  3sin x  sin x có nghiệm thực? (Câu 35, Đề MH2018) Giải: m  u  3u ycbt   u  3u   m  max  u  3u   a;b  a ;b  m  f  x  , x   a; b   m  sup f  x   a ;b   a ;b  3 m  3 m  3sin x  sin x   m  3sin x   3 m  3sin x  sin3 x  3sin x  f  m  3sin x   f  sin x  (với f  t   t  3t , t  , f '  t   3t   0, t  nên hs f  t   t  3t đồng biến )  m  3sin x  sin x  m  sin x  3sin x Face: viethieu220284 Giải: Đk: x  0, y  0, xy  1;1 3 x 3x  Suy ra: P  x   x 3x  Pmin  11  ĐA: D  1;1 m KL: số nguyên m BT9 Cho hs f  x  , hs y  f '  x  liên tục có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất m để bpt f  x   x  m nghiệm với x   0;  Giải: Xét hs g  x   f  x   x, x   0;2  g '  x   f '  x    0, x   0;2  Hs y  g  x  nghịch biến  0;  Trang Bpt f  x   x  m no x   0;   m  g ( x), x   0;   m  f  2  Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 II.HÀM SỐ MŨ, HS LŨY THỪA, HS LOGARIT Face: viethieu220284 a  n le  an    a  n chan  6.Tính chất lũy thừa với mũ số thực Cho a, b  0;  ,   1.Lũy thừa mũ số nguyên Cho số thực a số nguyên dương n a n  a.a .a (n thừa số a ) an  n  a  0 a0  1 a  0 a 2.Lũy thừa mũ số hữu tỉ m n  a  0, m  am  a n Điều kiện xác định ;n *  A n n + n chẵn: Điều kiện A  + n lẻ: Điều kiện A xác định Phương trình x n  b  n  * *  ;n  n a a   a       + n lẻ: x  b  x  n b + n chẵn: x n  b(b  0) Vô nghiệm n xn   x  Tính chất n n  n, k  n * n  a n n m  a n ; n, k  a  n k m n a a   a/Txđ hs lũy thừa y  x tùy thuộc  b/Đạo hàm hàm số lũy thừa x    x 1   1 u  c/Đồ thị hs lũy thừa y  x  0;    a.b    a b  a a  b   b   +Nếu a  a  a      +Nếu  a  a  a      7.Công thức logarit + a  b    log a b   a  1; b  0 0  a  b    log a b b + log a b  log c b log c a   a  1;     a  1; b  0   a, c  1; b  0 Trục Ox TCN đths y  a x + Đạo hàm hàm mũ: ex   ex eu   eu u  x x    a   u.a ln a u + log a b  +a log b c   a, b  1 log b a  c logb a   a, b, c  1  0  a   + log a  b1.b2   log a b1  log a b2    b ; b      0  a   b  + log a    log a b1  log a b2    b ; b    b2     0  a   + log a b   log a b    b  0;    + log a  b       0  a   log a b      b  0;    0  a       b  0;   +Chú ý: log a  b  ;   * ;  chẵn   9.Hàm số mũ y  a x   a  1 +TXĐ: +Tập giá trị:  0;  (Vì a x  0, x  ) +HS đồng biến a  +HS nghịch biến  a  + Đths mũ y  a x   a  1    a   a ln a + loga b.logb c  loga c   a, b  1; c  0  + log a b  + loga  0; loga a    a  1 +a nk 8.Hàm số lũy thừa y  x     u    u  + log a a   a  n b b a b  ab n  a + loga b có điều kiện  b  0: x  b  x   b n a  a  a    a Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939  log a b    b   2log b   a  1; b  0 log a b2  2log a b   a  1; b   log a a Kí hiệu: log10 b  log b  lg b ; loge b  ln b u u  ln u    u    log a x    x  0 x ln a u  log a u   u  0 u ln a  ln x   1x ( x  0)   ln u   uu  u    loga x   x ln1 a  x  0   loga u   u lnu a u  0 +Đồ thị hs y  log a x   a  1 u 10.Hs logarit y  log a x   a  1 +TXĐ:  0;  +Tập giá trị: +HS đồng biến  0;  a  +HS nb  0;   a  +Đạo hàm:  ln x    x   x Trang + Trục Oy TCĐ đths y  loga x + Chú ý: Đồ thị hs y  a x y  loga x (0  a  1) đối xứng qua đt y  x Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 11.a/Pt mũ a x  b   a  1 a f  x f  x a g  x  125  x   12  x  3x  log5 125    x  b/ 2  0, 25  x 1  3.   x 1  2   2 7x (Đk: x  1 ) 7x 2 x 1  N   2x 1  x  3.  2  x   N   x 1   Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939  PP3: Logarit hóa (Lấy logarit vế) Bài Giải pt a/  Lấy logarit số hai vế ta pt: x2 x  log3 3x.2 x   log x   x 1  x.log3 2     x   log b/ 5x.8 x 1 x  500 (Đk: x  ) x 3 x x 3 x  5x.2  53.22  5x 3.2  Lấy logarit số hai vế ta pt:  x  3 N   x  3 1  log5 2     x   x   log  N  Bài 5.Giải pt: a/ log3 x  log9 x  log27 x  11 Đk: x>0 pt  log3 x  log32 x  log33 x  11  log3 x   x  729( N ) b/ log2  x  5  log2  x  2  Đk: x>5 pt  log  x   x     x  (N )   x   x    23    x  3 ( L) PP2: Đặt ẩn phụ  1 Bài Giải pt a)  log x  log x Đk: x  0; x  105 ; x  101 pt  log x  5log x    x  100  N  log x    log x   x  1000  N  Face: viethieu220284  a  f  x     a2  f  x  25 x  10 x  2.4 x  (Chia hai vế cho 25 x 4x ) 2 f  x  f  x  g  x x 3 x f  x f x f x  3         Bài Giải pt sau: a) x  4.3x  45   32 x  4.3x  45  3x  9 VN    x  log3 x 3  2x    24    x   5  2 x x (HS f  t   2t  t đb            28   x  log 10; x  log    27  PP3: Mũ hóa Giải pt log  x   x   Đk:   x x  0 N  pt   x  22 x    x   N  PP4: Hàm số biến thiên Bài Giải pt: a) log3   1 x  3x      5 Trang   f x  x  f 8  x  x   x2  x   x    x  2 12 a/Pt logarit loga x  b   a  1 log a x  b  x  ab b/ Phương pháp giải pt logarit PP1: Đưa số  log a f  x   log a g  x   a  1 x 1 Đk:  x  pt  log3 3x  log3 3 3x      x x  log3   log3      )   f  x  g  x    f ( x)  0( g ( x)  0) + loga f  x   b  f  x   ab b) log3 3x  log3 3x1   Đk: x  u  x 1   v  x   x  x  x 8   x    u  1 v  4  1   x 8   x  x x 40 f   x   4x ln  6x ln  Ta có: x=0;x=2 nghiệm KL: Tập nghiệm S  0;2 x e/ x  x  4.2 x  x  22 x   Đặt u  x  x ; v  22 x ; u.v  x  x Pt trở thành: u.v  4u  v   +Hs g  x   11  x nghịch biến +x=2 nghiệm pt cho KL:x=2 nghiệm pt b) x  x  25 x  Xét hs f  x   4x  6x  25x   2x 2 4  x  1   x x   1VN   x   98 2x x   3.2 x x x PP4 Phương pháp hàm số Bài Giải pt a) 3x  11  x +Hs f  x   3x đồng biến c) x  x2  x  x  2 2 5  24  24   98   24   5 2 x  x0 d/ x  x  22 x  x   x  x   2x  x  3 b)  24   24  98 x x 5 5     20 2 2  b(b  0)  f  x   log a b Bài Giải pt a) x 1 x 1 a Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 + b  : a x  b  x  + b  : a x  b  x  log a b b/Phương pháp giải phương trình mũ PP1: Đưa số   a  1 a c) 25  10 x  22 x1 PP2: Đặt ẩn phụ x x  x 1 2 Đặt u  x  3x  2, u  Pttt: log  u    5u  Hs f  u   log3  u    5u đồng biến 0;  f 1  + u  nghiệm    KL: Tập nghiệm S      b) log2 x  log3  x  1  Đk: x  Hs f  x   log2 x  log3  x  1 đồng biến 1;  ; f  4  KL: x=4 nghiệm Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 Zalo: 089908.3939 d/Bpt logarit loga x  b   a  1 Đk: x  + a  : log a x  b   x  ab 1 x  c) x  21 x  log    x  Đk:  x  pt  2x  log2 x  21 x  log2 1  x  +  a  : log a x  b  x  ab e/Công thức BPT mũ, logarit +Hs f  t   2t  log2 t đồng biến f x g x + a  : a    a    f  x   g ( x) khoảng  0;1  f  x   g ( x) log a f  x   log a g  x     g ( x)  Pt  f  x   f 1  x  13 BPT MŨ, BPT LOGARIT a/Bpt mũ a x  b   a  1  x 1 x  x  f x g x +  a  : a    a    f  x   g ( x)  f  x   g ( x) log a f  x   log a g  x     f ( x)  Bài Giải bpt sau: + b  : ax  b  x  + b  0; a  : a x  b  x  log a b + b  0;0  a  : a  b  x  log a b b/Bpt mũ a x  b   a  1 a/ x 0 x2 b/ log  x  x   3 +  a  : log a x  b   x  ab 14 Lãi suất kép a/Một người gửi số tiền A đồng vào ngân hàng với lãi suất r /năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Hỏi người lĩnh tiền sau n năm ( n * ), khoảng thời gian không rút tiền lãi suất không thay đổi? Giải: Giả sử n  +Sau năm thứ 1, số tiền lĩnh là: T1  A 1  r  +Sau năm thứ 2, số tiền lĩnh là: + Tương tự, sau n năm, số tiền lĩnh là: n b/BT: Một người gửi triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn năm với lãi suất 7,56% /năm Hỏi sau năm người gửi có nhiều 12 triệu đồng từ số tiền gởi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)? Giải: A  6.106 ; r  7,56% Sau n năm, số tiền thu A 1  r  n Face: viethieu220284 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Theo đề: A 1  r   A   x  3 x     x2  5x   1 x  Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm bpt là: S  3;4  5 x  10  Đk:   x  2 x  6x   Bpt  x  10  x  x   x  x    2  x  Đối chiếu điều kiện, tập nghiệm bpt là: S   2;1 17.Độ pH dung dịch pH   log  H   n  n  log1 r   9,51 (năm) Vì n số tự nhiên nên ta chọn n  10 KL: 10 năm 15 Trong Vật lí, phân rã chất phóng xạ biểu diễn CT: t T Trong đó: m0 khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t  ) + m  t  khối lượng chất phóng xạ thời điểm t + T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để số nguyên tử chất phóng xạ bị biến thành chất khác) 16.Số chữ số số tự nhiên x : log x  Với log x phần nguyên log x Vd: Số chữ số 22008 bằng: log 22008     2008log 2   604,468   605 Trang x    x  x   2  x     2  x  x  2x  c/ x  2.52 x  10 x  2.25x  10 x  x  1 m  t   m0   2 2x 5 5  2        2 2 x      2 1   x  log   x  2    1VN      c/ log2  x  3  log2  x  2  Đk: x  Bpt  log  x  3 x     d/ log0,5  5x  10  log0,5 x2  x  + b  0;0  a  : a x  b  x  log a b c/Bpt logarit loga x  b   a  1 Đk: x  + a  : log a x  b  x  ab Tn  A 1  r    x  2x  2 + b  : a x  b  x  + b  0; a  : a x  b  x  log a b T2  T1 1  r   A 1  r  x2  x Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939  H   :nồng độ ion H  dung dịch + pH  : dung dịch có tính axit + pH  : dung dịch có tính bazơ + pH  : dung dịch trung tính 18 Độ chấn động M địa chấn biên độ I đo thang độ Richte (Charles Francis Richter, nhà địa vật lí Mĩ, 1900 – 1985) xác định bởi: I M  ln ( I biên độ dao I0 động bé 1 m máy đo địa chấn, đặt cách tâm địa chấn 100km, I lấy làm chuẩn) 19 Mức cường độ âm tính theo I CT: L  dB   10log (Graham Bell) I0 + I cường độ âm, tức lượng truyền sóng âm đơn vị thời gian qua đơn vị diện tích bề mặt vng góc với phương sóng truyền (đơn vị: W / m ) + I  1012 W / m2 cường độ âm ngưỡng nghe Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1/  0dx  C 20/  f  x  dx  F  x   C ( F '  x   f  x  ) 39/  f '  x  dx  f  x   C 2/ 1dx  x  C 21/  k f  x  dx  k  f  x  dx  k   40/ k f  x  dx  k f  x  dx (với k số)   3/  x dx   1 x  C   1  1 1  C (n  2) 4/  n dx  x  n  1 xn1 5/  x  1 (ax  b) 22/  (ax  b) dx  C a  1 1 1 23/  dx  C n a  n  1  ax  b n1  ax  b  24/  dx  x  C Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 6/  n n n 1 dx  x C n 1 x d7/  xdx  8/  n x x C n n xdx  x x C n 1 9/  dx  ln | x | C x 10/  x Ax C ln A 13/  sin xdx   cos x  C 14/  cos xdx  sin x  C 15/  dx   cotx  C sin x 16/  dx  tanx  C cos x 17/  tan xdx   ln cos x  C dx x  arctan  C x k k k  k  0 41/   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx b b b a a a 42/   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx b 43/  f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  (Newton–Leibniz) b a b 44/  udv  uv   vdu b a a b b 45/  udv  uv a   vdu b a a a 46/  f  x  dx    f  x  dx 47/  f  x  dx  a b c b a a c n 27/  n ax  bdx   ax  b  n ax  b  C a n 1 49/   ax  b  cx  d  50/  1 xa dx   dx  ln C x a 2a x  a  x  a  x  a  1 dx  ln ax  b  C ax  b a  ax  b  dx  1 C a ax  b dx  ax  b ln C ad  bc cx  d 51/Hs y  f  x  liên tục [𝑎; 𝑏].Diện tích hình phẳng giới hạn đths y  f  x  , trục Ox hai đt x  a; x  b tính ax  b e C b a CT: S   f  x  dx ax  b A c d a 31/  Aax b dx  C a ln A (Chú ý với hình vẽ thì: 32/  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C c d b a S  f ( x ) dx  f ( x ) dx  a c d f ( x)dx ) 33/  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a 1 34/  dx   cot (ax  b)  C  52/Hs y  f  x  sin (ax  b) a liên tục [𝑎; 𝑏] Diện tích hình 1 35/  dx  tan( ax  b)  C phẳng giới hạn cos (ax  b) a đths y  f1  x  36/  tan  ax  b  dx   ln cos  ax  b   C , đths y  f2  x  a e ax  b dx  38 /  dx  ax  b   k  0 k  1 ax  b arctan C a k k hai đt x  a; x  b tính cơng thức: b  S   f1  x   f  x  dx a 53/Hàm số y  f  x  liên tục [𝑎; 𝑏] Gọi (H) hình phẳng giới hạn đths y  f  x  , trục Ox hai đt x  a; x  b Thể tích khối trịn xoay thu quay hình phẳng (H) quanh b a 48/  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx (với a  c  b ) 37/  cot  ax  b  dx  ln sin  ax  b   C a a trục Ox là: V     f  x   dx a Trang Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 18/  cot xdx  ln sin x  C b 26/  ax  bdx   ax  b  ax  b  C a 30/ x  A dx  19 /  n n n 1 dx   ax  b   C 25/  n a n 1 ax  b 29/  11/  e dx  e  C 12/ 28/  1 dx    C x x x dx  ax  b  C a ax  b Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 n b Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Hình vẽ đẹp họa sĩ Maurits Comelis Escher + Hình đối xứng Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 +Nếu phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác A’B’C’ +Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, đỉnh biến thành đỉnh, cạnh biến thành cạnh +Hai hình đgl đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình hocthoi.net Wikiwand.com Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 + Hình Fractal scp-foundation-database.fandom.com/wiki/SCP-001 https://vuihocly.wordpress.com/2011/12/18/hin h-hoc-fractal/ khoahoc.tv Ảnh: Huanqiu vi.mathigon.org/course/fractals/introduction sprott.physics.wisc.edu/fractals/carlson Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Trang 17 vi.mathigon.org/course/fractals/introduction Face: viethieu220284 1.Cách xác định mặt phẳng +Mp hoàn toàn xác định biết qua điểm pb khơng thẳng hàng +Mp hồn tồn xác định biết qua điểm chứa đường thẳng không qua điểm IX HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2.Hình chóp, hình tứ diện +Hình chóp hình chóp có đáy đa giác hình chiếu đỉnh mặt đáy trùng với tâm đa giác đáy 3.Hình lăng trụ +Mp hoàn toàn xác định biết chứa đường thẳng cắt +Mp hồn tồn xác định biết chứa đường thẳng song song +Hình lăng trụ có đáy hình bình hành hình hộp +Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng, có đáy đa giác 5.4VTTĐ 2đt a; b không gian TH1: a cắt b M TH2: a / / b 7.Đường thẳng song song mặt phẳng + Nếu đường thẳng d không nằm mp   d song song với đt d’ nằm   d song song với   Face: viethieu220284 +Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc mặt đáy +Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành đgl hình hộp đứng + Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật đgl hình hộp chữ nhật +Hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng đgl hình lập phương 4.Hình chóp cụt: A1 A2 A3 A4 A5 A'1 A'2 A'3 A'4 A'5 9.Định lí Thales +Ba mp đơi song song chắn cát tuyến đoạn thẳng BC AC   AB   tỉ lệ    A ' B ' B 'C ' A 'C '  TH4: a chéo b +Định lí: Cho đt a song song mp   6.Định lí giao tuyến 3mp hệ +Nếu 3mp cắt theo giao tuyến phân biệt giao tuyến đồng quy đôi song song với +Nếu 2mp phân biệt chứa 2đt song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đt trùng với 2đt Nếu mp    chứa a cắt   theo giao tuyến b b / / a 8.Hai mp song song +Nếu mp   chứa đường thẳng cắt a, b a, b song song với mp      / /    +Định lí: Cho hai mp song song Nếu mp cắt mp cắt mp hai giao tuyến song song với 10.Vectơ không gian Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ QT hình hộp: AB  AD  AA '  AC ' 11 Trong kg cho vectơ không đồng phẳng a, b, c Khi vectơ x ta tìm số m,n,p cho x  ma  nb  pc Ngoài số m,n,p Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Zalo: 089908.3939 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 TH3: a  b Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Trang 18 Face: viethieu220284 12.Góc đt a, b khơng gian góc đt a ', b ' qua điểm song song với a, b Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939          SC; AB  1200   SC; AB   600 +Cho u ; v vtcp 2đt a, b   u; v   14.Góc đt mặt phẳng Cho đt d mp   13.Đt vuông góc mặt phẳng +Nếu đt vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mp +Nếu d     d ;     900 +Nếu d ko vng   Nếu 00    900  a; b     d ;     d ; d ' Nếu 90    180  a; b   180   0 Vd.Cho hình chóp S.ABC có BC  a SA  SB  SC  AB  AC  a Tính góc đt AB SC +Định lí: 2mp vng góc với đường thẳng nằm mp vng góc với giao tuyến vng góc với mp +Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mp vng góc với đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng +Định lí: Nếu đường thẳng 1mp (khơng chứa đt đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với 18 Khoảng cách từ điểm đến mp + d  O;     OH H hcvg O   d  M;  P    d  N ;  P   19 K/c 2đt chéo ;  ' CT 1: d  ;  '  d  M ;    (   chứa  song song  ' )        c ; Tìm mp    c       a ;        b     ;       a; b  17.Diện tích hình chiếu đa giác Cho đa giác (H) nằm mp   có diện tích S (H’) hình chiếu vng góc (H) mp    Khi diện tích S’ (H’) là: S '  S cos  Face: viethieu220284 15.Hai mp vuông góc Định lí: Đk cần đủ để hai mp vng góc với mp chứa đường thẳng vng góc với mp DE / / BC AD AE DE   AB AC BC +MN cắt (P) I d  M;  P   MI  d  N ;  P   NI CT : d  ;  '   HK Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 16.Góc mặt phẳng +Góc 2mp góc 2đt vng góc 2mp +Cách xác định góc 2mp cắt Với d’ hcvg d mp   21 Cho đường tròn (O); cát tuyến đt (O) AMN ABC cắt A Ta có: AM AN  AB AC +MN // (P) Với  góc      Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 SC AB  SA  AC AB SC AB a 1   AS AB.cos AS ; AB   a cos SC; AB  (HK:đoạn vng góc chung ;  ' ) 20 Định lí Thales mặt phẳng +Nếu đt song song với cạnh tam giác cắt cạnh cịn lại định cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Trang 19 +Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), vẽ cát tuyến MBC tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) A Ta có: MB.MC  MA2 22 Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền cạnh huyền +Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh cạnh tam giác vng Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 X.ĐẠI SỐ TỔ HỢP Face: viethieu220284 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 3.Hoán vị +Số tổ hợp chập k   k  n  + Cho tập hợp A có n phần tử  n  1 n! n phần tử là: Cnk  Mỗi kết xếp thứ tự n k !. n  k ! phần tử tập hợp A đgl hốn vị k k Tính chất: An  Cn k!   k  n  n phần tử Cnk  Cnnk   k  n  +Số hoán vị n  n  1 phần tử Quy tắc cộng + Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m  n cách thực + Quy tắc cộng phát biểu dạng tập hợp: Nếu A, B hai tập hợp hữu hạn không giao  A  B    Cnk11  Cnk1  Cnk 1  k  n  là: Pn  n!  1.2.3 (n 1).n Quy ước: 0!  Phép thử, biến cố, xác suất: Chỉnh hợp +Tập hợp tất kết xảy + Cho tập hợp A có n phần tử  n  1 phép thử đgl không gian mẫu phép thử, kí hiệu  n  A  B   n  A  n  B  Kết việc lấy k phần tử khác +Biến cố tập không gian mẫu + Quy tắc cộng mở rộng cho từ n phần tử A xếp chúng theo thứ tự đgl chỉnh +Tập  biến cố (biến cố nhiều hành động không) hợp chập k n phần tử cho Quy tắc nhân +Tập  biến cố chắn + Một cơng việc hồn thành +Số chỉnh hợp chập k 1  k  n  +Cho A biến cố liên quan phép hai hành động liên tiếp Nếu có m cách n! thử Tập A   \ A đgl biến cố đối thực hành động thứ ứng n phần tử là: Ank  n  k !   biến cố A với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách 5.Tổ hợp: + Cho tập hợp A có n phần tử + A  B   A, B đgl hai biến cố hồn thành cơng việc  n  1 Mỗi tập gồm k phần tử xung khắc +Quy tắc nhân mở rộng cho A đgl tổ hợp chập k n phần tử nhiều hành động liên tiếp Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 cho +Định nghĩa cổ điển xác suất Tính chất xác suất: Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử với khơng gian mẫu  có  P     0; P     số hữu hạn kết đồng khả xuất Xác suất biến cố A là:   P  A   , với biến cố A P  A  n  A n   Nếu biến cố A, B xung khắc P  A  B   P  A  P  B  Với n  A  số phần tử A hay số khả thuận lợi cho biến cố A   P  A   P A n    số phần tử không gian mẫu Tam giác Pascal: Khai triển  x  y  n n   Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 *  x  y  x  y  x  y   x  xy  y  x  y   x3  3x y  3xy  y  x  y   x  x3 y  x y  xy  y  x  y   x5  x y  10 x3 y  10 x y  xy  y n  1: 1 n  2: n  3: 3 n  4: n  5: 10 10 5 Công thức nhị thức Newton  a  b n n1 n n 2 n n k n1 n  C a  C a b  C a b   C a b   C a.b n n k n k (1) n1 C b n n n n   Cnk a nk b k k 0 Trong vế phải (1) có  n  1 hạng tử; tính từ trái sang phải hạng tử có: số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n tổng số mũ a , b n Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a nk bk Face: viethieu220284 Trang 20 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 + 22 n  1  1 Đặc biệt: +  1  1  C  C  C   C n n n n n  +Cho tập hợp A có n phần tử n  *  n n 2n  C20n  C21n  C22n   C22nn (*)  1  1  C20n  C21n  C22n  C23n    1 C2kn   C22nn1  C22nn (**) 2n k Từ (*), (**) có: C20n  C22n  C24n   C22nn  C21n  C23n   C22nn1  22 n1  Số tập có phần tử A là: C  Số tập có k   k  n  phần tử + 22 n1  1  12 n1  C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1  C2nn11   C22nn11  n A là: Cnk Mà C20n1  C22nn11; C21n1  C22nn1; ; C2nn1  C2nn11 Số tất tập hợp A là: Suy ra: 22 n  C20n1  C21n1  C22n1   C2nn1  C2nn11   C22nn11 n C k 0 k n + Đa thức f  x    a  bx   a0  a1 x  a2 x   an x n  2n n  1  1  Cn0  Cn1  Cn2    1 Cnk  n k    1 C n n n BT1 Bạn H có áo màu khác ba quần kiểu khác Hỏi H có cách chọn quần áo? Giải: Hai áo ghi chữ a b, ba quần đánh số 1,2,3 Để chọn quần áo, ta phải thực liên tiếp hai hành động: HĐ1: Chọn áo Có hai cách chọn (chọn a b) HĐ2: Chọn quần Ứng với cách chọn áo có ba cách chọn quần (Chọn 1, 2, 3) Vậy số cách chọn quần áo là: 2.3 = cách Tổng tất hệ số khai triển đa thức f  x  bằng: T  a0  a1  a2   an  f 1   a  b  2.Cho đa giác lồi (H) có n cạnh ( n  ) n +Tổng tất hệ số từ khai triển biểu thức  x   là: 17 + Số vectơ khác có điểm đầu a17  a16   a1  a0  f 1  1 điểm cuối hai đỉnh (H) là: An2 Quy tắc cộng mở rộng cho tập hữu + Số tam giác có đỉnh đỉnh hạn A, B A  B   (H) là: Cn3 n  A  B   n  A  n  B   n  A  B  +Số đoạn thẳng có điểm đầu mút (Quy tắc bao hàm loại trừ) đỉnh (H) là: Cn2 BT4 Một tổ 10 học sinh chơi + Số đường chéo đa giác (H) là: môn thể thao cầu lơng bóng bàn Cn2  n Có bạn đăng kí chơi cầu lơng, bạn đăng kí chơi bóng bàn, có BT3 Từ khai triển biểu thức bạn đăng kí chơi mơn Hỏi có bao 17  3x   , tính tổng tất nhiêu bạn đăng kí chơi thể thao? Bao hệ số đa thức nhận nhiêu bạn khơng đăng kí chơi thể thao? 17 17 G: f  x    3x    a17 x   a1 x  a0 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Giải: Kí hiệu X tập hợp 10 học sinh BT5 Bài kiểm tra trắc nghiệm gồm tổ; A tập hợp học sinh đăng kí chơi 50 câu, câu có phương án trả cầu lơng; B tập hợp học sinh đăng kí lời có phương án trả lời chơi bóng bàn đúng, điểm cho câu trả lời 0,2 Bạn H làm chắn 30 câu 20 câu cịn lại bạn chọn ngẫu nhiên Tính gần xác suất bạn H điểm Giải: Số phần tử không gian mẫu: n     420 việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố + Nếu hai biến cố A, B độc lập với A B ; A B; A B độc lập với + Quy tắc: Nếu hai biến cố A B độc lập với P  A.B   P  A.P  B  A.B  A  B BT6 Một máy có hai động I II hoạt động độc lập với Xác suất Gọi A biến cố: “H điểm” để động I động II chạy tốt lần n  X   10; n  A   5; n  B   15 lượt 0,8 0,7 Hãy tính xác suất để n  A   C20 n  A  B   Vậy xác suất bạn H động không chạy tốt Giải: Gọi A bc “Động I chạy tốt”, B A  B tập hợp bạn đăng kí chơi thể điểm là: biến cố “Động II chạy tốt”, D thao C20 315 biến cố “Cả động không chạy P  A   20, 233% n  A  B   n  A  n  B   n  A  B   420 tốt” Số bạn không đăng kí chơi thể thao là: 9.Quy tắc nhân xác suất: P  D   P A.B  P A P B  6% + Hai biến cố A B đgl độc lập với n X   n  A  B        Trang 21 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 XI.CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1.CẤP SỐ CỘNG 3.CẤP SỐ NHÂN 7.Tổng CSN lùi vô hạn 5.Giới hạn dãy số  un  +  un  CSC (vô hạn) với +  un  CSN (vô hạn) với công un  ,công bội q, q  bằng:  Face: viethieu220284 công sai d: un 1  un  d , n  bội q: un 1  un * q, n  * +  un  CSC (hữu hạn, m phần tử) với công sai d un1  un  d , n 1, m  +  un  CSN (hữu hạn, m phần tử) với công bội q un1  un * q, n 1, m  4.Tính chất CSN  un  , có số 2.Tính chất CSC  un  có số hạng đầu u1 , công bội q: hạng đầu u1 , công sai d + un  u1 * q n 1 + un  u1   n  1 d u u + uk  k 1 k 1 , k  2 ( uk 1; uk ; uk 1 số hạng liên tiếp CSC  un  ) + Tổng n số hạng đầu CSC un  là: Sn  u1  u2   un  n  u1  un  n  n  1 d  nu1  lim * tiếp CSN  un  ) + Tổng n số hạng đầu CSN un  là: Sn  u1  u2   un Nếu q  Sn   u1  q n  1 q Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 9.Định lí giới hạn hữu hạn hs Nếu lim f  x   L; lim g  x   M x  x0 12 Giới hạn tích, thương hs lim  f  x   g  x   L  M lim  f  x  * g  x    L * M  f  x  L lim     M  0 x  x0 g  x    M Nếu f  x   0; lim f  x   L x  x0 lim f  x   lim f  x   L x  x0 x  x0 11.Giới hạn hàm số đặc biệt lim C  C , C số x   ,k nguyên dương xk lim xk   , k nguyên dương lim x  x  lim x k   , k  x   lim x k   , k  x    ,k chẵn  , k lẻ lim  un    a  b lim  un *   a * b u  a lim  n    b     b + Nếu un  lim un  a a  lim un  a 8.Nếu lim un  a lim   lim un 0 +Nếu lim un  a  ; lim   0, n u lim n   +Nếu lim un  a  ; lim   0, n u lim n   + Nếu lim un   lim  a  lim un    + Nếu lim un   lim  a  lim un    +Hs y  f  x  liên tục  x  x0 x  x0 lim  un    a  b u1 1 q 17.Đạo hàm Cho hs y  f  x  xác định  a;b x0   a; b Nếu tồn lim f  x   f  a  ; lim f  x   f b  lim f  x   f  x0  hữu hạn x a x b x  x0 10 lim f  x   L lim q  , q  6.Định lí giới hạn hữu hạn dãy số Nếu lim un  a;lim  b S  u1  u2   un   khoảng  a; b lim  f  x   g  x   L  M x  x0 x  x0 lim n  , k  lim C  C , C số lim qn  0, q   k đoạn  a; b liên tục x  x0 L  0; lim f  x   L  0, k  n + uk2  uk 1 * uk 1 , k  ( uk 1; uk ; uk 1 số hạng liên Nếu q=1 Sn  n.u1 nk 13 Hàm số liên tục +Hs y  f  x  xác định khoảng  a; b x0   a; b   Hs y  f  x  liên tục x0  lim f  x   f  x0  x  x0  lim f  x   lim f  x   f  x0   14 +Hàm số đa thức liên tục +Hàm số phân thức hữu tỉ hàm lượng giác liên tục khoảng xác định chúng 15.Cho hs y  f  x  y  g  x  liên tục x0 Khi đó: + Các hs y  f  x   g  x  ; y  f  x .g  x  liên tục x0 f  x liên tục x0 + Hàm số y  f  x  liên tục +Hs y  g  x khoảng liên tục g  x0   điểm thuộc khoảng “Đồ thị hs liên tục khoảng 16 Nếu hs y  f  x  liên đường liền nét tục  a; b khoảng đó” f  a  f b   pt f  x   có nghiệm thuộc khoảng  a; b Trang 22 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 y '  x0   f '  x0   lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 18 Định lí: Nếu hs y  f  x  có đạo hàm x0 liên tục điểm 19 Pt tiếp tuyến đths y  f  x  điểm M  x0 ; y0  là: y  f '  x0  x  x0   y0 + x0 hoành độ tiếp điểm + y0 tung độ tiếp điểm d + f '  x0    f  x   x  x dx hệ số góc tiếp tuyến Chú ý: cho đt d: y  ax  b +Tiếp tuyến vuông góc d f '  x0    a +Tiếp tuyến //d  f '  x0   a (Tìm x0 , viết pttt, loại tt  d ) Face: viethieu220284 20 CÔNG THỨC ĐẠO HÀM Đạo hàm hàm sơ cấp ′ 1 ( ) = − (𝑥 ≠ 0) 𝑥 𝑥 ′ (𝑥 > 0) (√𝑥) = √𝑥 Đạo hàm hàm sơ cấp (𝐶)′ = (C số) ′ 𝑢′ ( ) = − (𝑢 ≠ 0) (𝑥)′ = 𝑢 𝑢 𝑢 ′ 𝑢′ 𝑣 − 𝑣 ′ 𝑢 𝑢′ ′ (𝑣 ≠ 0) ( ) = (𝑢 > 0) (√𝑢) = 𝑣 𝑣2 2√𝑢 (𝑢 𝑣)′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢 𝑣 ′ (𝑢𝛼 )′ = 𝛼 𝑢𝛼−1 𝑢′ (𝑢 𝑣 𝑤)′ = 𝑢′ 𝑣 𝑤 + 𝑢 𝑣 ′ 𝑤 + 𝑢 𝑣 𝑤 ′ ′ 𝑢 ′ 𝑛 (𝑘 𝑢)′ = 𝑘 𝑢′ (k số) ( √𝑢 ) = 𝑛 𝑛−1 𝑛 √𝑢 (𝑠𝑖𝑛𝑢)′ = 𝑢′ 𝑐𝑜𝑠𝑢 21 Ý nghĩa vật lí đạo hàm (𝑐𝑜𝑠𝑢)′ = −𝑢′ 𝑠𝑖𝑛𝑢 Xét chuyển động thẳng có pt quãng 𝑢′ đường chuyển động theo thời gian t (𝑡𝑎𝑛𝑢)′ = = 𝑢′ (1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑢) s  s t  (Với s  s t  hàm số có 𝑐𝑜𝑠 𝑢 (𝑐𝑜𝑠𝑢 ≠ 0) đạo hàm cấp hai) −𝑢′ +Vận tốc tức thời chuyển động ′ (𝑐𝑜𝑡𝑢) = 𝑠𝑖𝑛2 𝑢 thời điểm t0 v t0   s ' t0  = −𝑢′ (1 + 𝑐𝑜𝑡 𝑢) (𝑠𝑖𝑛𝑢 ≠ 0) (𝑥 𝛼 )′ = 𝛼 𝑥 𝛼−1 𝑛 ′ ( √𝑥 ) = 𝑛 𝑛 √𝑥 𝑛−1 (𝑠𝑖𝑛𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ = − 𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑡𝑎𝑛𝑥)′ = = + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0) ′ (𝑐𝑜𝑡𝑥) = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = −(1 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥) (𝑠𝑖𝑛𝑥 ≠ 0) Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 (𝑎 = 𝑎 𝑙𝑛𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 1) (𝑎 (𝑙𝑛𝑥)′ = (𝑥 > 0) 𝑥 (𝑙𝑛|𝑥|)′ = (𝑥 ≠ 0) 𝑥 (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥)′ = 𝑥 𝑙𝑛𝑎 (𝑥 > 0, < 𝑎 ≠ 1) (𝑙𝑜𝑔𝑎 |𝑥|)′ = 𝑥 𝑙𝑛𝑎 (𝑥 ≠ 0, < 𝑎 ≠ 1) ax Đặc biệt: cx ax dx 22.Vi phân: Cho hs y  f  x  xác (𝑒 𝑢 )′ = 𝑢′ 𝑒 𝑢 𝑥 ax + Gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 a t0   s '' t0  Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 𝑥 )′ Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 b d a b c (cx d d )2 bx c dx e bx ex c f d e Xét hàm số y  x , x  x0   x0   0,01 số gia x0  Face: viethieu220284 ad bc (cx d ) b 2aex d (dx e ) b giá trị 3,99 = 𝑢 𝑎 𝑙𝑛𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 1) x   a; b  Giả sử x số gia x Vi phân hàm số y  f  x  x ứng với số gia x là: dy  df  x   f '  x . x 23 Ứng dụng vi phân tính gần đúng: 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 ) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 ) ∆𝑥 24 Đạo hàm cấp n:  n n 1 f    x    f    x    Zalo 089908.3939 a 23.Ứng dụng vi phân tính gần định  a; b có đạo hàm 𝑢 ′ 𝑢′ ′ (𝑙𝑛𝑢) = (𝑢 > 0) 𝑢 ′ 𝑢 (𝑙𝑛|𝑢|)′ = (𝑢 ≠ 0) 𝑢 𝑢′ (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢)′ = 𝑢 𝑙𝑛𝑎 (𝑢 > 0, < 𝑎 ≠ 1) 𝑢′ (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢)′ = 𝑢 𝑙𝑛𝑎 (𝑢 ≠ 0, < 𝑎 ≠ 1) adx 2 𝑢 )′ x2 (dx y'  x c adx e a c d f ex Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 x 2aex be (dx e ) b c e f (𝑎𝑒−𝑏𝑑)𝑥 +2(𝑎𝑓−𝑑𝑐)𝑥+(𝑏𝑓−𝑒𝑐) f )2 Ta có cơng thức tính gần 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥 ) ≈ 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓′(𝑥0 ) ∆𝑥 Trang 23 dc (𝑑𝑥 +𝑒𝑥+𝑓)2 3,99  f   0,01  f    f '  .  0,01 Vậy: 3,99     0,01  1,9975 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284XII.TẬP Giao tập hợp A  B   x x  A va x  B Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 HỢP, HÀM SỐ, PT, BẤT PT, THỐNG KÊ, LƯỢNG GIÁC Hiệu tập hợp Các tập hợp số  a;     x  x  a x  A x A B   x  B Hợp tập hợp A  B   x x  A hoac x  B x  A x A B   x  B A \ B   x x  A va x  B + Tập hợp số tự nhiên  0;1;2;3;4;  x  A x A \ B   x  B  1;2;3;4;  +Tập hợp số nguyên   ; 3; 2; 1;0;1;2;3;  +Tập hợp số hữu tỉ m    m  ; n  ; n  0 n  +Tập hợp số thực + Tập hợp số phức * + Khi B  A A \ B đgl phần bù B A, kí hiệu CA B  A \ B  Các tập thường gặp : + Khoảng  a; b    x  a  x  b Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 +Đồ thị hs chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Tập xác định hàm số y  f  x  tập hợp tất số thực x cho biểu thức f  x  có nghĩa +Chú ý: A, B hai đa thức A xác định  A  A xác định  B  B A xác định  B  B Hs y  f  x  đgl hàm đồng (Đths y  x ) + Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng biến khoảng  a; b   f  x1   f  x2  +Hs y  f  x  đgl hàm nghịch biến khoảng  a; b x1; x2   a; b thỏa x1  x2  f  x1   f  x2  Hs y  f  x  với tập xác định D gọi hàm số chẵn x  D  x  D f  x  f  x Hs y  f  x  với tập xác định D gọi hàm số lẻ x  D  x  D f  x   f  x Face: viethieu220284 (Đths y  x ) Hs bậc y  ax  b  a  0 + Txđ: D  + a  : hs đồng biến + a  : hs nghịch biến + Đths đường thẳng d qua điểm A 0; b , B 1; a  b  ( a hệ số góc đường thẳng d: y  ax  b ) 10.Đths y  b đt vng góc Oy A 0; b  11.Hsbậc 2: y  ax2  bx  c  a  0 + Txđ: D  b   + a  : hs nb  ;   2a    b  Hs đb   ;    2a  b   + a  : hs đb  ;   2a    b  Hs nb   ;    2a  +Đths bậc đường  b  parabol có đỉnh I   ;    2a 4a  b , trục đối xứng x   2a x  b + Đoạn  a; b    x  a  x  b + Nữa khoảng  a; b    x  a  x  b  a; b    x  a  x  b  a;     x  x  a  ;b    x  x  b a  +Pt có vơ no   b  13 Định lí Viet  a  0 +Nếu ptb2 ax  bx  c  có no x1 ; x2 x1  x2   x1.x2  c a 2 Chú ý: x1  x2   x1  x2   x1 x2 x13  x23   x1  x2   3x1 x2  x1  x2  x1  x2   x1  x2   4x1 x2 x1  x2   a B  14 A  B    A  B  A   B  12.Pt ax  b  +pt có no  a  b (No x   ) a a  +Pt có vơ số no   b  Trang 24 b a A  B + A  B   A  B  A A  + A    A A  B  + AB A  B  B   or A  0 + A B   A  B Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 x1; x2   a; b  thỏa x1  x2   a  bi a, b  ; i  1  ;b    x  Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 15.Pt bậc ax  bx  c   a  0 +Pt có nghiệm    +Pt vơ nghiệm    +Pt có no pb    +Pt có nghiệm kép    +Pt có no dương pb +Pt có no âm pb     b    S  x1  x2    a  c   P  x1 x2  a  Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939     b    S  x1  x2    a  c   P  x1 x2  a  +pt có no pb x1 ; x2 thỏa x1    x2 17.Bđt Cauchy ab  ab (Dấu “=” xảy  a  b ) + a, b      x1    x2     +pt có no pb x1 ; x2 thỏa x1  x2   + 11 , a, b  a b a b +    , a, b, c  a b c abc      x1    x2       x1      x2     +pt có no pb x1 ; x2 thỏa   x1  x2 abc  abc (Dấu “=” xảy  a  b  c ) 18.Bđt Bunhiacopxki +  ax  by  cz 2   a2  b2  c2  x2  y  z  + a, b, c  a, b, c, x, y, z       x1    x2       x1      x2     Dấu “=” xảy +x a f  x   0, x  “phải cùng, trái trái” 19.Tam thức bậc hai f  x   ax2  bx  c  a  0 +   (Pt f  x   vô no) +   (pt f  x   có nghiệm kép x   b ) 2a “Trong trái,ngoài cùng” 20 Tam thức không đổi dấu f  x   ax2  bx  c  a  0 + f  x   0, x  a     Face: viethieu220284 21 A   A  B  B   A  B   A  B  A  B   + A  B  A2  B2   A  B  A  B   A  B  A  B + A B A  B  A  B A  B A  B + A B A   B   A  B + A B A   + A  B  B   A  B A  + A B  A  B A  + A B  A  B B    A  + AB B     A  B B    A  + AB B     A  B + A  B  A2  B2 + A B Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 +   (pt f  x   có nghiệm 2no pb x1; x2  x1  x2  ) f  x   0, x  a     a     a     Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 f  x   ax  b  a  0 +x f  x   0, x  y2  x  y   , a, b  0; x; y  b ab  Dấu “=” xảy 16.Tính chất đẳng thức +Pt có 2no trái dấu  ac  18.Nhị thức bậc 22 Trong mp Oxy, tập hợp điểm có tọa độ no bpt ax  by  c đgl miền nghiệm + Quy tắc biểu diễn miền nghiệm bpt ax  by  c B1: Vẽ đt  : ax  by  c B2: Lấy điểm M  x0 ; y0  không thuộc  B3 Tính ax0  by0 so sánh ax0  by0 với c B4 KL: Nếu ax0  by0  c mp bờ  chứa M0 miền no bpt ax  by  c + Nếu ax0  by0  c mp bờ  không chứa M miền no bpt ax  by  c Trang 25 a b c   x y z x y  a b  y2  x  y    , x, y    23 Thống kê +Tần số n, tần suất f +Biểu đồ hình cột, hình quạt, đường gấp khúc +Số trung bình cộng x n1 x1  n2 x2   nk xk n  f1 x1  f x2   f k xk x ( ni ; fi tần số, tần suất giá trị xi ) + n1  n2   nk  n số số liệu thống kê n1c1  n2 c2   nk ck n  f1c1  f 2c2   f k ck x ( ni ; fi ; ci tần số, tần suất, giá trị đại diện lớp ghép thứ i + n1  n2   nk  n số số liệu thống kê) + Số trung vị M e Sắp số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng) Số trung vị số liệu thống kê cho số đứng dãy số phần tử lẻ trung bình cộng số đứng dãy số phần tử chẵn Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 +Mốt bảng phân bố tần số giá trị có tần số lớn kí hiệu M O +Phương sai dãy số liệu s     n1 x1  x   nk xk  x   n   f1 x1  x   f k xk  x     n   f1 c1  x   f k ck  x  27.Cos đối, sinbù, phụ chéo + cos   x   cos x (cos đối) n1 c1  x   nk ck  x 2  sin   x    sin x 31.CT nhân cos3x  4cos3 x  3cos x sin x  3sin x  4sin x 32.CT bđ tổng thành tích uv u v cos 2 uv u v cos u  cos v   2sin sin 2 uv u v sin u  sin v  2sin cos 2 uv u v sin u  sin v  2cos sin 2 cos u  cos v  2cos 33.CT BĐ tích thành tổng cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b  sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b  sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  x 2t 34.CT t  tan tan x  1 t2 1 t2 2t cos x  sin x  1 t2 1 t2 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 sin x  cos x  sin x tan x   cos x   cos x cos x cot x   sin x   sin x  cos x cos x   cos 2x tan x   cos x tan a  tan b  tan a.tan b tan a  tan b tan  a  b    tan a.tan b tan  a  b   29.CT nhân đôi +  sin x  sin   x   sin   x   tan x  tan   x  cos   x    cos x + sin    x   cos x 2    cos   x    sin x 2   cot x  cot   x  tan   x    tan x 25 Cung có số đo   rad  đường trịn bán kính R có độ dài là: l   R 26.CT lượng giác cos  a  b  cos a.cos b  sin a.sin b sin x k chan sin  x  k      sin x k le cos x k chan cos  x  k      cos x k le cot   x    cot x + sin   x   sin x (sin bù)  sin x  2sin x.cos x  cos x  cos   x  tan   x    tan x +Độ lệch chuẩn: s  s 24 Độ radian:   rad   1800 Face: viethieu220284 cot  x  k   cot x  k  cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b  cot   x    cot x  + sin   x   cos x (phụ chéo)   tan   x    cot x 2    cot   x    tan x 2      cos   x   sin x 2     tan   x   cot x 2    cot   x   tan x   Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 + s2     + tan  x  k   tan x  k    tan x  cos x   cos x   cot x  sin x   sin x tan x.cot x  (sin x  0) 28 Công thức cộng sin  a  b  sin a.cos b  sin b.cos a sin  a  b   sin a.cos b  sin b.cos a 35.CT đặc biệt sin u  a  1  a  1   sin x  cos x  sin  x   4     cos  x   4    sin x  cos x  sin  x   4       cos  x   4  sin x  cos x   2sin x.cos x   sin 2 x   cos x 4 sin x  cos6 x   3sin x.cos x   sin 2 x   cos x 8 36 Pt sin x  a + Pt sin x  a có nghiệm  1  a   a  u  arcsin a  k 2  k  u    arcsin a  k 2 +Đb: sin u   u  k  k   +Pt sin x  a vô nghiệm  a  1   a 1 a  u  v  k 2 sin u  sin v   k  u    v  k 2  u    k 3600 sin u  sin    0 u  180    k 360   k 2  k    sin u  1  u    k 2  k  37.PT cos x  a + Pt cos x  a có nghiệm  1  a   a    2cos2  3x     2sin 3x  x x  sin 2 x x  2cos    2sin 2 cos x  cos 30 CT hạ bậc sin x   cos x  38.PT tan x  a +Đk cos x  tan u  a  u  arctan a  k  k    39.PT cot x  a +Đk sin x  cot u  cot v  u  v  k cot u  cot   u    k1800 cot u  a  u  arccot a  k  k   40 Pt a sin x  b cos x  c +Pt có nghiệm  a  b  c +Pt vô nghiệm  a  b  c +PP giải a  b  c :  B1: Chia vế cho a  b2 a u    k 3600 cos u  cos    0 u    k 360 cos u  a  1  a  1 Trang 26 sin x  2sin x.cos x x x sin x  2sin cos 2 cos6 x  cos2 3x   sin 3x  tan u  tan v  u  v  k tan u  tan   u    k1800 +Pt cos x  a vô nghiệm u  arccos a  k 2  k  u   arccos a  k 2  +Đb: cos u   u   k  k  cos u   u  k 2  k   Áp dụng: cos u  1  u    k 2  k  sin u   u   a  1   a 1 a  u  v  k 2 cos u  cos v   k  u  v  k 2 cos x  cos x  sin x  2cos x    2sin x a b 2 sin x  b a b  sin  x       Với cos   sin   cos x  c a  b2 a c a  b2 (*) a  b2 b a  b2 B2: Giải (*) Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 41.Giải pt đẳng cấp bậc sinx cosx a sin x  b sin x.cos x  c cos x  d B1: Kiểm tra cos x  thỏa pt hay ko Nếu cos x  thỏa  KL x   k  k   no pt Nếu cos x  ko thỏa, ta chuyển B2 B2: Xét cos x  Chia vế pt cho cos x ta pt: a tan x  b tan x  c  d 1  tan x  Giải pt trên.B3: Kết luận B1+B2 VdGiải cos x  3sin x   sin x + Ta có: cos x  ko thỏa pt +Xét cos x  , chia vế pt cho cos x ta pt: 2  tan x cos x  tan x  tan x   x  k  tan x      tan x    x    k  tan x  Vậy no pt  x  k ; x    k  k  45 Hàm số y  cot x  46 sin x  1  cos x 1  cos x  +TXĐ: D  +Tập giá trị: +Hs y  tan x tuần hồn chu kì T  +Đồ thị hàm số y  tan x : +Tập giá trị: +Hs y  cot x tuần hoàn chu kì T   +Đồ thị hàm số y  cot x : 2   cot a  cot b  cot a  cot b  sin  a  b  sin a.sin b  sin  a  b  sin a.sin b cos x  sin x  cos x 4  sin x   sin x  cos x  2  cos x  cos x cos3x  3cos x cos x  3sin x  sin3x sin x  cot x  AC BC AC tan B  AB AB BC AB cot B  AC 48.Hệ thức lượng ABC cos B  +Định lí sin AB  c; AC  b; BC  a Độ dài trung tuyến AM;BN;CP kí hiệu LLL ma ; mb ; mc +Định lí Cosin a  b  c  2bc.cos A b  a  c  2ac.cos B c  a  b  2ab.cos C b2  c  a 2bc a  c  b2 cos B  2ac a  b2  c cos C  2ab + cos A  mb2  mc2    b2  c2  a a  c2  b2   2 a  b2  c2   +Diện tích tam giác ABC Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 ma2  ABC vuông A, đường cao AH BC  AB  AC AB  BH BC ; AC  CH CB AH  BH CH AH BC  AB AC 1   AH AB AC AH  AB AC AB  AC r: bán kính đường tròn nội tiếp ABC a b c    2R sin A sin B sin C (R: bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) + Độ dài trung tuyến 47.Hệ thức lượng tam giác V cos2 x  1  sin x 1  sin x   sin x   sin x  cos x  sin B  43.Hàm số y  cos x +TXĐ: D  +Tập giá trị:  1;1 +Hs y  cos x tuần hồn chu kì T  2 +Đồ thị hs y  cos x : Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 44 Hàm số y  tan x  +TXĐ: D  \   k , k   \ k , k  42.Hàm số y  sin x +TXĐ: D  +Tập giá trị:  1;1 +Hs y  sin x tuần hồn chu kì T  2 +Đồ thị hs y  sin x : 1 S ABC  a.ha  b.hb  c.hc 2 ( ; hb ; hc LLL độ dài đường cao ABC kẻ từ đỉnh A, B,C) abc S ABC  pr S ABC  4R abc (Với p  chu vi ABC ) 1 S ABC  ab.sin C  ac.sin B 2  bc.sin A S ABC  p  p  a  p  b  p  c  (CT Herong) 49.Ứng dụng đo đạc BT1 Đo chiều cao tháp mà không đến chân tháp Giả sử CD  h chiều cao tháp C chân tháp Chọn điểm A,B mặt đất cho ba điểm A,B C thẳng hàng Ta đo khoảng cách AB góc ̂ , 𝐶𝐵𝐷 ̂ Chẳng hạn ta 𝐶𝐴𝐷 đo AB  24m ; ̂    630 𝐶𝐴𝐷 ̂    480 𝐶𝐵𝐷 Face: viethieu220284 Trang 27 Áp dụng ĐL sin vào ABD : AD AB  sin  sin D D      150 AB.sin  24.sin 480   68,91 sin D sin150 Trong tam giác vuông ACD : h  CD  AD.sin   61,4m AD  Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 + AB phương, hướng với CD + PQ phương, ngược hướng với RS +Khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ độ dài vectơ AB  AB Hai vectơ a b đgl chúng hướng độ dài, kí hiệu a  b 4.Tính chất phép tốn vectơ Với vectơ a ; b ; c tùy ý, với số h,k ta có: ab ba  a  b  c  a  b  c  a00a a Với hbh ABCD có tâm O, ta có: AB  DC ; AD  BC AO  OC ; OD  BO +Vectơ khơng vectơ có điểm đầu cuối trùng + Vectơ không phương, hướng với vectơ + AA  BB  Quy tắc tổng hiệu vectơ +QT điểm: AB  BC  AC +QT trừ: AB  AC  CB +QT hbh: Nếu ABCD hình bình hành AB  AD  AC   k a  b  ka  kb  h  k  a   ka   h ka   hk  a Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 1.Vectơ đoạn thẳng có hướng + Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ +Hai vectơ đgl phương giá chúng song song trùng XIII VECTƠ, CÁC PHÉP TỐN VECTƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG, XIV.HÌNH OXY 1a  a ;  1 a   a Vectơ đối Cho a Vectơ có độ dài ngược hướng với a đgl vectơ đối a , kí hiệu  a  AB  BA 6.Trung điểm đoạn thẳng AB + I trung điểm AB  IA  IB  10.Tích vơ hướng 2vectơ Điểm M  xM ; yM   OM  xM i  yM j a.b  a b cos a; b + Cho u   u1 ; u2  ; v   v1 ; v2  + Nếu a  0; b  thì: u  v   u1  v1 ; u2  v2  a  b  a.b  +Bình phương vô hướng k.u   ku1 ; ku2  , k  AB AC AB AC 14.Tích vơ hướng Oxy Cho a   a1 ; a2  ; b   b1 ; b2  u1  v1 uv u2  v2   a là: a  a 2 AB  AB 11 Tính chất tích vơ hướng + u v v  phương Với vectơ a ; b ; c tùy ý, u1  kv1 với số k ta có:  u  kv  k     u2  kv2 a.b  b.a 13 Trong mp Oxy, cho tam a b  c  a.b  a.c giác ABC có A xA ; yA  ; ka b  k a.b  a kb B  x ; y ;C  x ; y         a  a 0 a 0a0 12.Hệ trục tọa độ Oxy B B  C C + AB   xB  xA ; yB  y A  + I trung điểm AB x  xB  xI  A    y  y  A  yB I   Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939  +G trọng tâm tam giác ABC i  1;0  , j   0;1 a   a1 ; a2   a  a1.i  a2 j Face: viethieu220284 x  xB  xC  x  A   G   y  y A  yB  yC G    xB  xA    yB  yA   u  v   u1  v1 ; u2  v2   AB   Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939  MA  MB  2MI 7.Trọng tâm ABC + G trọng tâm ABC  GA  GB  GC   MA  MB  MC  3MG (M tùy ý) Đk cần đủ để a b b  0 phương có số k để a  k.b 9.Cho 3điểm phân biệt A,B,C + A,B,C thẳng hàng  AB phương AC  AB  k AC  k   +Cho đường thẳng  qua điểm M  x0 ; y0  có vtcp cos BAC  cos AB; AC  u   u1 ; u2  Pt tham số + a.b  a1b1  a2b2  x  x0  u1t  là:  t    y  y0  u2t +  có vtcp u   u1; u2  , u1  + a  a12  a22  có hệ số góc k  +Góc vectơ a; b  :   cos a; b  a.b a.b  a1b1  a2b2 a  a22 b12  b22 15 Đường thẳng Oxy + u đgl vectơ phương đường thẳng  u  giá u song song trùng  + u vtcp  k u  k   vtcp  u2 u1 +Cho đường thẳng  qua điểm M  x0 ; y0  có vtpt n   a; b  Pt tổng quát  là: a  x  x0   b  y  y0   +Đt  có 1vtcp u   u1 ; u2   có 1vtpt n   u2 ; u1  +Đt  có 1vtpt n   a; b   có 1vtcp u   b; a  + Đt  có hệ số góc k + n đgl vectơ pháp tuyến  có 1vtcp u  1; k  đường thẳng  u  giá u vng góc vtpt n   k ; 1  +Đt  có hệ số góc k pt  có dạng: y  kx  m + n vtpt  +Trục Ox: y  k n  k   vtpt  +Trục Oy: x  Trang 28 Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 x y a, b  Pt đt  :   a b 18 VTTĐ đt Cho đt 1 : a1 x  b1 y  c1  2 : a2 x  b2 y  c2  a x  b y  c1  +Xét hệ:  1 I  a2 x  b2 y  c2  21.Đường trịn (C) có tâm I  a; b có bk R Pt đường trịn (C):  x  a    y  b   R 2 +(I) có no  x0 ; y0  2 : a2 x  b2 y  c2  +(I) có vơ số no 1  2 +(I) vơ nghiệm 1 / / 2 Đặc biệt: Nếu a2 ; b2 ; c2  a b + 1 cắt 2   a2 b2 a b c + 1 / /     a2 b2 c2 2 có 1vtpt n2   a2 ; b2  Góc 2đt 1; 2 tính bởi: Thì 1; 2 cắt M0  x0 ; y0  + 1  2  a1 b1 c1   a2 b2 c2 19.Góc 2đt Cho đt 1 : a1 x  b1 y  c1  22.VTTĐ đường tròn (C) đường thẳng  : ax  by  c  (C) có tâm I  a; b bk R a   b2  c  Đt (C) có tâm 1 có 1vtpt n1   a1 ; b1  cos  1 ;    n1.n2 n1 n2  1  2  n1.n2   a1a2  bb 0 +Nếu 1 : y  k1 x  m1 2 : y  k2 x  m2 1 có 1vtpt n1   k1; 1 2 có 1vtpt n2   k2 ; 1 1  2  n1.n2   k1.k2  1 23.Tiếp tuyến đường trịn (C) có tâm I  a; b , bk R, vtpt IM   x0  a; y0  b  +Pt  :  x0  a  x  x0    y0  b y  y0   AB  HB  R  d  I ;   +Độ dài trục lớn: A1 A2  2a +Độ dài trục nhỏ: B1B2  2b +Đường thẳng  : Ax  By  C  tiếp xúc (E) A2 a  B b  C Face: viethieu220284 Trang 29 0  c  a c  a  b2 +Tiêu điểm: F1  c;0 , F2  c;0 +Tiêu cự: F1F2  2c +4 đỉnh: A1   a;0 , A2  a;0 B1  0; b  , B2  0; b  ax0  by0  c a  b2 + Khoảng cách đt song song 1 : ax  by  c1  Và 2 : ax  by  c2   c2  c1  d  1 ;    c1  c2 a  b2 24 Trong mp cho hai điểm cố định F1; F2 độ dài không đổi 2a , lớn F1F2 Elip tập hợp điểm M mp thỏa: MF1  MF2  2a +2 điểm F1; F2 tiêu điểm Elip Độ dài F1F2  2c tiêu cự Elip +Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật +Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật +Hình bình hành có đường chéo hcn 28.Dấu hiệu nhận biết hình +Tứ giác có cặp cạnh đối vng song song hbh +Hcn có hai cạnh kề +Tứ giác có cặp cạnh đối hình vng hbh +Hình chữ nhật có hai đường +Tứ giác có hai cạnh đối chéo vng góc h.vng song song +HCN có đường chéo hbh đường phân giác góc +Tứ giác có góc đối hình vng hbh +Hình thoi có góc vng +Tứ giác có hai đường chéo hình vng cắt trung điểm +Hình thoi có hai đường chéo đường hbh hình vng 27.Dấu hiệu nhận biết hcn 29.Dấu hiệu nhận biết hình +Tứ giác có 3góc vng hcn thoi c2  a  b2 d  M0;   a  b12 a22  b22 I  a; b bk R  a2  b2  c 25.PT tắc Elip (E): x2 y   0  b  a a b2 20.Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0  đến đt  : ax  by  c  a1a2  b1b2 +  qua M  x0 ; y0  có + d  I ;    R :  cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi H hcvg I  H trung điểm AB Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 điểm M  x0 ; y0   + d  I ;    R :  ko cắt (C) + d  I ;    R :  tiếp xúc (C) +Pt đường tròn (C): x  y  2ax  2by  c  Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 Face: viethieu220284 16.Đt đặc biệt Oxy Đường thẳng  : ax  by  c  + c  :  qua gốc O(0;0) + a  :  / /Ox   Ox + b  :  / /Oy   Oy 17 Đường thẳng  qua hai điểm A a;0 B  0; b  với 26.Dấu hiệu nhận biết hình bình hành: +Tứ giác có cạnh hình thoi +Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi + Hình bình hành có hai đường chéo vng góc hình thoi +Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi 30 Cho tam giác ABC Gọi D,E chân đường phân giác ngồi góc A ABC Ta có: AB DB AB EB ;   AC DC AC EC Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 G Polya (1887-1985) Giải toán nào?  Theo G.Polya giải toán khơng đơn tìm đáp số lời giải, mà “Giải tốn” bao qt tồn q trình suy ngẫm, tìm tịi lời giải, tìm mối liên hệ mật thiết giả thiết kết luận, giải tốn tìm hướng phát triển cho lời giải  bước giải toán theo G.Polya: 1.Understand, 2.Plan, 3.Solve, 4.Check UNDERSTAND  Đâu ẩn? Đâu kiện? Đâu điều kiện? Có thể thỏa mãn điều kiện tốn hay khơng? Điều kiện có đủ để xác định ẩn không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?  Vẽ hình Sử dụng kí hiệu thích hợp  Phân biệt phần khác điều kiện Có thể diễn tả điều kiện thành công thức không? PLAN  Bạn gặp toán lần chưa? Hay gặp tốn dạng khác?  Bạn có biết tốn liên quan khơng? Một định lí dùng khơng?  Xét kĩ chưa biết (ẩn) thử nhớ lại toán quen thuộc có ẩn hay có ẩn tương tự  Đây tốn có liên quan mà bạn có lần giải Có thể sử dụng khơng? Có thể sử dụng kết khơng? Hay sử dụng phương pháp? Có cần phải đưa thêm số yếu tố phụ sử dụng khơng?  Có thể phát biểu tốn cách khác không? Một cách khác nữa? Quay định nghĩa  Nếu bạn chưa giải toán đề ra, thử giải tốn có liên quan Bạn nghĩ tốn có liên quan mà dễ khơng? Một toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một tốn tương tự? Bạn giải phần tốn khơng? Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần Khi ẩn xác định đến chừng mực đó; biến đổi nào? Bạn từ kiện rút yếu tố có ích khơng? Bạn nghĩ kiện khác giúp bạn xác định ẩn khơng? Có thể thay đổi ẩn, hay kiện, hay hai cần thiết, cho ẩn kiện gần không?  Bạn sử dụng kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn điều kiện hay chưa? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu toán chưa? SOLVE  Khi thực giải bạn kiểm trạ lại bước giải.Bạn thấy rõ ràng bước chưa? Bạn chứng minh khơng? CHECK  Bạn kiểm tra lại kết quả? Bạn kiểm tra lại tồn q trình giải tốn khơng?  Có thể tìm kết cách khác khơng? Có thể thấy trực tiếp kết khơng?  Bạn sử dụng kết hay phương pháp giải cho toán khác không? Th.S Nguyễn Viết Hiếu 089908.3939 10 11 12 13 14 HÀM SỐ HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ LOGARIT NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG SỐ PHỨC THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHỐI TRỊN XOAY KHƠNG GIAN OXYZ PHÉP BIẾN HÌNH HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ĐẠI SỐ TỔ HỢP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM TẬP HỢP, HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BPT, THỐNG KÊ, LƯỢNG GIÁC VECTƠ, CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG HÌNH OXY Trang Trang Trang Trang 10 Trang 11 Trang 13 Trang 14 Trang 16 Trang 18 Trang 20 Trang 22 Trang 24 Trang 28 Trang 28 ... 089908.3939 Giải: Kí hiệu X tập hợp 10 học sinh BT5 Bài kiểm tra trắc nghiệm gồm tổ; A tập hợp học sinh đăng kí chơi 50 câu, câu có phương án trả cầu lông; B tập hợp học sinh đăng kí lời có phương... 2.3 = cách Tổng tất hệ số khai triển đa thức f  x  bằng: T  a0  a1  a2   an  f 1   a  b  2.Cho đa giác lồi (H) có n cạnh ( n  ) n +Tổng tất hệ số từ khai triển biểu thức  x ... dạng tập hợp: Nếu A, B hai tập hợp hữu hạn không giao  A  B    Cnk11  Cnk1  Cnk 1  k  n  là: Pn  n!  1.2.3 (n 1).n Quy ước: 0!  Phép thử, biến cố, xác suất: Chỉnh hợp +Tập hợp tất