TỔNG hợp KIẾN THỨC TOÁN THCS

TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM TNG HP KIN THC TON THCS I - Cỏc loi phng trỡnh Phng trỡnh bc nht - Phng trỡnh bc nht l phng trỡnh cú dng ax + b = (a ) - Phng trỡnh cú nghim nht x = b a - Chỳ ý: Nu phng trỡnh cha tham s ta chuyn v dng Ax = B v xột cỏc trũng hp sau: Nu A phng trỡnh cú nghim x = B A Nu A = , B phng trỡnh tr thnh 0.x = B => phng trỡnh vụ nghim Nu A = 0, B = => phng trỡnh vụ s nghim Phng trỡnh tớch - Phng trỡnh tớch cú dng A(x).B(x) = - Cỏch gii: A(x).B(x) = A(x) = hoc B(x) = A( x ) - Trỡnh by gn : A(x).B(x) = B( x ) A( x ) - M rng: A(x).B(x).C(x) = B( x ) C( x ) Phng trỡnh cha n mu - Gii phng trỡnh cha n mu ta thc hin theo bc: Bc 1: Tỡm KX ca phng trỡnh Bc 2: Quy ng mu hai v ca phng trỡnh ri kh mu Bc 3: Gii phng trỡnh va nhn c Bc 4: (kt lun) Trong cỏc giỏ tr ca n tỡm c bc 3, cỏc giỏ tr tha KX chớnh l nghim ca phng trỡnh ó cho, giỏ tr ca x khụng thuc KX l nghim ngoi lai (loi i) Phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i A A A A < - nh ngha: A - Cỏc dng phng trỡnh f ( x) f ( x) f ( x) k( k 0) f ( x) k TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Hay f ( x) g( x) f ( x) g( x) , a v phng trỡnh tớch 2 f(x) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x) g( x) hoc f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) g( x ) Hoc f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) g( x ) 2 f ( x ) g( x ) Hoc - Chỳ ý: A A ; A A v A B A B A B Phng trỡnh vụ t f ( x) A( A 0) f ( x) A (vi f(x) l mt a thc) f(x) f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x )2 f(x) f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) *)Lu ý: Hu ht gii phng trỡnh cha n cn, ta cn xỏc nh iu kin cú ngha ca phng trỡnh v cỏc iu kin tng ng Nu khụng cú th th li trc tip Phng trỡnh trựng phng Phng trỡnh trựng phng l phng trỡnh cú dng: ax bx c (a 0) t x2 = t ( t ), phng trỡnh trựng phng tr thnh phng trỡnh bc hai n t : at bt c (*) Gii phng trỡnh (*), ly nhng giỏ tr thớch hp tha t Thay vo t x2 = t v tỡm x = ? Phng trỡnh bc cao a) Phng trỡnh bc ba dng: ax3 + bx2 + cx + d = Hng dn: Nhm nghim (nu cú nghim nguyờn thỡ nghim ú l c TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM ca hng t t d) hoc dựng s Hooc- ne hoc dựng mỏy tớnh tỡm nhanh nghim nguyờn ca phng trỡnh, ó bit mt nghim thỡ d dng phõn tớch VT di dng tớch v gii phng trỡnh tớch (hoc chia a thc) b) Phng trỡnh bc bn dng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = Hng dn: Phng phỏp tng t nh phng trỡnh bc ba trờn c) Phng trỡnh bc bn dng: c x + ax + bx + cx + d = (vi d = ) a Phng phỏp: Vi x = 0, thay vo phng trỡnh v kim tra xem x = cú l nghim hay khụng ? Vi x Chia c hai v cho x2, sau ú ta t t = x + c ax d) Phng trỡnh bc dng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (vi a + b = c + d = m) Phng phỏp: t t = x2 + mx + ab cd e) Phng trỡnh bc bn dng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (vi ab = cd = k) Phng phỏp: Chia c hai v cho x2 t t = x + k x II- Bt phng trỡnh bc nht mt n 1) nh ngha: Mt bt phng trỡnh dng ax + b > (hoc ax + b < 0) vi a c gi l mt bt phng trỡnh bc nht mt n 2) Cỏch gii: ax + b > ax > - b Nu a > thỡ x b a Nu a < thỡ x b a 3) Kin thc cú liờn quan: Hai bt phng trỡnh c gi l tng ng nu chỳng cú cựng nghim v dựng kớ hiu ch s tng ng ú Quy tc chuyn v: Khi chuyn mt hng t (l s hoc a thc) t v ny sang v ca bt phng trỡnh ta phi i du hng t ú => ta cú th xúa hai hng t ging hai v Quy tc nhõn: Khi nhõn hai v ca mt bt phng trỡnh vi cựng mt s khỏc 0, ta phi: Gi nguyờn chiu BPT nu s ú dng; i chiu BPT nu s ú õm 4) Tớnh cht c bn ca bt ng thc - Vi mi s thc a, b, c ta cú : a > b a + c > b + c TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM - Vi mi s thc a, b, c, d ta cú : a > b, b > c => a > c (t/c bc cu) a > b, c > d => a + c > b + d a > b > 0, c > d > => ac > b - Vi mi s thc a, b, c, + Nu c > thỡ a > b ac > bc + Nu c < thỡ a > b ac < bc - Vi a, b l hai s thc : a > b a - Nu a 0,b thỡ a > b a - Giỏ tr tuyt i ca mt biu thc A A, A A A, A < b v a > b a3 b3 2 b v a > b a b Ta cú: A2 0, |A| 0, A A - Bt ng thc Cụ - si: Cho a, b l hai s thc khụng õm, ta cú: a b ab Du = xy a = b III Cỏc dng bi cú liờn quan n biu thc hu t, cn bc hai, cn bc ba Dng : Rỳt gn v tớnh giỏ tr cỏc biu thc hu t - Khi thc hin rỳt gn mt biu thc hu t ta phi tuõn theo th t thc hin cỏc phộp toỏn : Nhõn chia trc, cng tr sau Cũn nu biu thc cú cỏc du ngoc thỡ thc hin theo th t ngoc trũn, ngoc vuụng, ngoc nhn - Vi nhng bi toỏn tỡm giỏ tr ca phõn thc thỡ phi tỡm iu kin ca bin phõn thc c xỏc nh (mu thc phi khỏc 0) Dng : Tỡm iu kin biu thc cú ngha - Biu thc cú dng A xỏc nh (cú ngha) B B - Biu thc cú dng A xỏc nh (cú ngha) A - Biu thc cú dng A xỏc nh (cú ngha) B > B B C - Biu thc cú dng A - Biu thc cú dng A B xỏc nh (cú ngha) C A C xỏc nh (cú ngha) A C Dng : Rỳt gn cỏc biu thc cha cn bc hai, cn bc ba Lớ thuyt chung: a) Cỏc cụng thc bin i cn thc A 1) A 2) AB A B ( với A B 0) TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI A B 3) 4) A S 29 V PHM HM (với A B > 0) B A B A 5) A B B (với B 0) A B (với A B 0) A B A B (với A < B 0) 6) A B 7) A B B AB (với AB B 0) A B B 8) C A B 9) C A C (với B > 0) A B (với A A B ) A B C A B A B B (với A , B A B) *) Lu ý: rỳt gn biu thc cha cn thc bc hai ta lm nh sau : - Quy ng mu s chung (nu cú) - a bt tha s ngoi du cn (nu cú) - Trc cn thc mu (nu cú) - Thc hin cỏc phộp tớnh ly tha, khai cn, nhõn, chia , theo th t ó bit lm xut hin cỏc cn thc ng dng - Cng, tr cỏc biu thc ng dng (cỏc cn thc ng dng) b) Cỏc hng ng thc quan trng, ỏng nh: 1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a b)2 a a.b b 2 (a,b 0) 2) (a - b) = a - 2ab + b ( a b)2 a a.b b (a,b 0) 3) a - b = (a + b).(a - b) a b ( a b).( a b) 3 2 4) (a + b) = a + 3a b + 3ab + b 5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 6) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a a b b a3 b3 (a,b 0) a b 3 ( a b)(a ab b) (a,b 0) ( a b)(a ab b) (a,b 0) 7) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a a b b a3 b3 a b 8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 9) ( a b c)2 a b c ab ac bc (a,b,c 0) TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI 10) S 29 V PHM HM a2 a IV Cỏc dng toỏn v hm s Lí THUYT CHUNG 1) Khỏi nim v hm s (khỏi nim chung) Nu i lng y ph thuc vo i lng thay i x cho vi mi giỏ tr ca x ta luụn xỏc nh c ch mt giỏ tr tng ng ca y thỡ y c gi l hm s ca x v x c gi l bin s *) Vớ d: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + ; *) Chỳ ý: Khi i lng x thay i m y luụn nhn mt giỏ tr khụng i thỡ y c gi l hm hng *) Vớ d: Cỏc hm hng y = 2; y = - 4; y = 7; 2) Cỏc cỏch thũng dựng cho mt hm s a) Hm s cho bi bng b) Hm s cho bi cụng thc - Hm hng: l hm cú cụng thc y = m (trong ú x l bin, m ) - Hm s bc nht: L hm s cú dng cụng thc y = ax + b Trong ú: x l bin, a,b , a a l hờ s gúc, b l tung gc Chỳ ý: Nu b = thỡ hm bc nht cú dng y = ax ( a ) - Hm s bc hai: L hm s cú cụng thc y = ax2 + bx + c (trong ú x l bin, a,b,c , a ) Chỳ ý: Nu c = thỡ hm bc hai cú dng y = ax2 + bx ( a ) Nu b = v c = thỡ hm bc hai cú dng y = ax2 ( a ) 3) Khỏi nim hm ng bin v hm nghch bin Cho hm s y = f(x) xỏc nh vi mi x Vi x1, x2 bt kỡ thuc R a) Nu giỏ tr ca bin x tng lờn m giỏ tr tng ng f(x) cng tng lờn thỡ hm s y = f(x) c gi l hm ng bin Nu x1 x2 mà f(x1 ) < f(x2 ) thỡ hm s y = f(x) ng bin trờn R b) Nu giỏ tr ca bin x tng lờn m giỏ tr tng ng f(x) gim i thỡ hm s y = f(x) c gi l hm nghch bin Nu x1 x2 mà f(x1 ) > f(x2 ) thỡ hm s y = f(x) nghch bin /R 4) Du hiu nhn bit hm ng bin v hm nghch bin a) Hm s bc nht y = ax + b ( a ) - Nu a > thỡ hm s y = ax + b luụn ng bin trờn - Nu a < thỡ hm s y = ax + b luụn nghch bin trờn b) Hm bc hai mt n s y = ax2 ( a ) cú th nhn bit ng bin v nghch bin theo du hiu sau: - Nu a > thỡ hm ng bin x > 0, nghch bin x < TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM - Nu a < thỡ hm ng bin x < 0, nghch bin x > 5) Khỏi nim v th hm s th ca hm s y = f(x) l hp tt c cỏc im biu din cỏc cp giỏ tr tng ng (x; f(x)) trờn mt phng to Chỳ ý: Dng th: a) Hm hng th ca hm hng y = m (trong th ca hm hng x = m (trong ú ú x l bin, m ) l mt ũng y l bin, m ) l mt thng luụn song song vi trc Ox ũng thng luụn song song vi trc Oy b) th hm s y = ax ( a ) l mt ũng thng (hỡnh nh hp cỏc im) luụn i qua gc to *) Cỏch v: Ly mt im thuc th khỏc O(0 ; 0), chng hn im A(1 ; a) Sau ú v ũng thng i qua hai im O(0 ; 0) v A(1 ; a) ta c th hm s y = ax ( a ) c) th hm s y = ax + b ( a,b ) l mt ũng thng (hỡnh nh hp cỏc im) ct trc tung ti im (0; b) v ct trc honh ti im ( b , 0) a TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM *) Cỏch v: Cú hai cỏch v c bn +) Cỏch 1: Xỏc nh hai im bt kỡ no ú thuc th, chng hn nh sau: Cho x = => y = a + b, ta c A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta c A(-1 ; - a + b) V ũng thng i qua hai im A v B ta c th hm s y = ax + b ( a,b ) +) Cỏch 2: Tỡm giao im ca th vi cỏc trc ta , c th: Cho x = => y = b, ta c M(0 ; b) Oy Cho y = => x = b , ta c N( b ; 0) Ox a a V ũng thng i qua hai im M v N ta c th hm s y = ax + b ( a,b ) d) th hm s y = ax2 ( a ) l mt ũng cong Parabol cú nh O(0;0) Nhn trc Oy lm trc i xng - th phớa trờn trc honh nu a > - th phớa di trc honh nu a < y y O x a0 x O 6) *) + + + + *) + V trớ tng i ca hai ũng thng Hai ũng thng y = ax + b ( a ) v y = ax + b ( a' ) Trựng nu a = a, b = b Song song vi nu a = a, b b Ct nu a a Vuụng gúc nu a.a = -1 Hai ũng thng ax + by = c v ax + by = c (a, b, c, a, b, c 0) Trựng nu a b c a' b' c' + Song song vi nu a b c a' b' c' + Ct nu a b a' b' 7) Gúc to bi ũng thng y = ax + b ( a ) v trc Ox Gi s ũng thng y = ax + b ( a ) ct trc Ox ti im A Gúc to bi ũng thng y = ax + b ( a ) l gúc to bi tia Ax v tia AT (vi T l mt im thuc ũng thng y = ax + b cú tung dng) - Nu a > thỡ gúc to bi ũng thng y = ax + b vi trc Ox c tớnh theo cụng thc nh sau: tg a (cn chng minh mi c dựng) Nu a < thỡ gúc to bi ũng thng y = ax + b vi trc Ox c tớnh TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM b - theo cụng thc nh sau: 1800 vi tg a (cn chng minh mi c dựng) ax + y Yy = y T T (a < 0) (a > 0) O x A O x Yy A =a x+ b Phõn dng bi chi tit Dng 1: Nhn bit hm s Dng 2: Tớnh giỏ tr ca hm s, bin s Dng 3: Hm s ng bin, hm s nghch bin a) Hm s bc nht y = ax + b ( a ) - Nu a > thỡ hm s y = ax + b luụn ng bin trờn - Nu a < thỡ hm s y = ax + b luụn nghch bin trờn b) Hm bc hai mt n s y = ax2 ( a ) cú th nhn bit ng bin v nghch bin theo du hiu sau: - Nu a > thỡ hm ng bin x > 0, nghch bin x < - Nu a < thỡ hm ng bin x < 0, nghch bin x > Dng 4: V th hm s th ca hm s y = f(x) l hp tt c cỏc im biu din cỏc cp giỏ tr tng ng (x; f(x)) trờn mt phng to Chỳ ý: Dng th: a) Hm hng th ca hm hng y = m (trong th ca hm hng x = m (trong ú ú x l bin, m ) l mt ũng y l bin, m ) l mt thng luụn song song vi trc Ox ũng thng luụn song song vi trc Oy TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM b) th hm s y = ax ( a ) l mt ũng thng (hỡnh nh hp cỏc im) luụn i qua gc to *) Cỏch v: Ly mt im thuc th khỏc O(0 ; 0), chng hn im A(1 ; a) Sau ú v ũng thng i qua hai im O(0 ; 0) v A(1 ; a) ta c th hm s y = ax ( a ) c) th hm s y = ax + b ( a,b ) l mt ũng thng (hỡnh nh hp cỏc im) ct trc tung ti im (0; b) v ct trc honh ti im ( b , 0) a *) Cỏch v: Cú hai cỏch v c bn +) Cỏch 1: Xỏc nh hai im bt kỡ no ú thuc th, chng hn nh sau: Cho x = => y = a + b, ta c A(1 ; a + b) Cho x = -1 => y = - a + b, ta c A(-1 ; - a + b) V ũng thng i qua hai im A v B ta c th hm s y = ax + b ( a,b ) +) Cỏch 2: Tỡm giao im ca th vi cỏc trc ta , c th: Cho x = => y = b, ta c M(0 ; b) Oy TRấN CON NG THNH CễNG KHễNG Cể DU CHN CA NHNG K LI BING 10 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM 24 Cỏc cỏch chng minh hai tam giỏc vuụng ng dng : Trũng hp 1: Nu hai tam giỏc vuụng cú mt gúc nhn bng thỡ chỳng ng dng B' C' A' Trũng hp 2: Nu hai cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng ny t l vi hai cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng thỡ chng ng dng LP S S Trũng hp 3: Nu cnh gúc vuụng v cnh huyn ca tam giỏc vuụng ny t l vi cnh gúc vuụng v cnh huyn ca tam giỏc vuụng thỡ hai tam giỏc ng dng 25 Mt s cng thc tớnh din tớch, th tớch Hỡnh hp ch nht l hỡnh cú mt l nhng hỡnh ch nht (cú mt, nh, 12 cnh) Din tớch xung quanh: Sxq= 2(a+b)c Din tớch ton phn: c Stp= 2(ab+ac+bc) Th tớch: V= abc Trong ú a, b l hai b cnh ỏy, c l chiu cao a 58 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM Hỡnh lp phng l hỡnh hp ch nht cú mt l nhng hỡnh vuụng Din tớch xung quanh: Sxq= 4a2 Din tớch ton phn: Stp= 6a2 Th tớch: V= a3 Trong ú a l cnh hỡnh lp phng a a a Hỡnh lng tr ng: Hỡnh cú cỏc mt bờn l nhng hỡnh ch nht, ỏy l mt a giỏc p Din tớch xung quanh: Sxq= 2p.h (p: na chu vi ỏy, h: chiu cao) Din tớch ton phn: Stp= Sxq+2S h Th tớch: V= S.h (S l din tớch ỏy) p LP IV LP H thc lng tam giỏc vuụng Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, ũng cao AH nh lớ Pi-ta-go: BC AB2 AC AB2 BC.BH ; AC BC.CH A b AH BH CH AB.AC BC.AH AH AB2 h c B AC C b' c' H T s lng giỏc ca gúc nhn a nh ngha: Cho tam giỏc vuụng cú gúc nhn sin a caùnh ủoỏi ; caùnh huyen cosa caùnh ke ; caùnh huyen tan a caùnh ủoỏi ; caùnh ke cot a caùnh ke caùnh ủoỏi A i k B C huyn 59 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI Ch ý: S 29 V PHM HM Cho gúc nhn Ta cú: sin 1; cos Cho gúc nhn , Nu sin a sin b (hoc cos cos , hoc tan a tan b , hoc cot a cot b ) thỡ a b b T s lng giỏc ca hai gúc ph nhau: Nu hai gúc ph thỡ sin gúc ny bng csin gúc kia, tang gúc ny bng ctang gúc c T s lng giỏc ca cỏc gúc c bit: T s LG 300 450 600 sina 2 cos 2 2 tana 3 kx cota 3 d Mt s h thc lng giỏc sin tan ; cos sin2 cos2 ; 900 LP cot cos ; sin tan2 tan a cot a ; cos ; cot a sin2 a Ch ý: T vit cỏc t s lng giỏc ca mt gúc nhn tam giỏc, ta b k hiu ^ i Chng hn, vit sin A thay cho sin , Mt s h thc v cnh v gúc tam giỏc vuụng Trong tam giỏc vuụng, mi cnh gúc vuụng bng: a Cnh huyn nhõn vi sin gúc i hoc nhõn vi cụsin gúc k b Cnh gúc vuụng nhõn vi tang gúc i hoc nhõn vi cụtang gúc k S xỏc nh ũng trũn Tớnh cht i xng ca ũng trũn Mt ũng trũn c xỏc nh bit tõm O v bỏn kớnh R ca ũng trũn ú (kớ hiu (O;R)), hoc bit mt on thng l ũng kớnh ca ũng trũn ú Cú vụ s ũng trũn i qua hai im Tõm ca chỳng nm trờn ũng trung trc ca on thng ni hai im ú Qua ba im khụng thng hng, ta v c mt v ch mt ũng trũn Chỳ ý: Khụng v c ũng trũn no i qua ba im thng hng 60 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM ũng trũn i qua ba nh ca tam giỏc gi l ũng trũn ngoi tip tam giỏc, tam giỏc gi l tam giỏc ni tip ũng trũn ũng trũn l hỡnh cú tõm i xng Tõm ca ũng trũn l R tõm i xng ca ũng trũn ú O ũng trũn l hỡnh cú trc i xng Bt kũng kớnh no cng l trc i xng ca ũng trũn Tõm ca ũng trũn ngoi tip tam giỏc vuụng l trung im A ca cnh huyn Nu mt tam giỏc cú mt cnh l ũng kớnh ca ũng trũn ngoi tip thỡ tam giỏc ú l tam giỏc vuụng C B O ũng kớnh v dõy ca ũng trũn nh lớ 1: Trong cỏc dõy ca mt ũng trũn, dừy ln nht l ũng kớnh nh lớ 2: Trong mt ũng trũn, ũng kớnh vuụng gúc vi mt dõy thỡ i qua trung im ca dõy y M B nh lớ 3: Trong mt ũng trũn, ũng kớnh i qua trung im ca mt dõy khụng i qua tõm thỡ vuụng gúc vi dừy y O N LP A Liờn h gia dõy v khong cỏch t tõm n dõy nh lớ 1:Trong mt ũng trũn: I B Hai dõy bng thỡ cỏch u tõm C H Hai dõy cỏch u tõm thỡ bng K O A D nh lớ 2: Trong hai dõy ca mt ũng trũn Dõy no ln hn thỡ dừy ú gn tõm hn M N I Dõy no gn tõm hn thỡ dõy ú ln hn V trớ tng i ca ũng thng v ũng trũn: d l khong cỏch t tõm ca ũng trũn n ũng thng, R l bỏn kớnh S chung V trớ tng i ca ũng thng v ũng trũn ũng thng v ũng trũn ct ũng thng v ũng trũn tip xỳc ũng thng v ũng trũn khng giao 61 im H thc gia d v R dR TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI d d O S 29 V PHM HM d R R R O nh lớ: Nu mt ũng thng a l tip tuyn ca mt ũng trũn (O) thỡ nỳ vuụng gúc vi bỏn kớnh i qua tip im O a Du hiu nhn bit tip tuyn ca ũng trũn Nu mt ũng thng v mt ũng trũn ch cú mt im chung thỡ ũng thng ú l tip tuyn ca ũng trũn I Nu khong cỏch t tõm ca mt ũng trũn n ũng thng bng bỏn kớnh ca ũng trũn thỡ ũng thng ú l tip tuyn ca ũng trũn Du hiu ny cũn c A phỏt biu thnh nh lớ: M Nu mt ũng thng i qua mt im 1 ca ũng trũn v vuụng gúc vi bỏn kớnh i O qua im ú thỡ ũng thng y l mt tip tuyn ca ũng trũn Tớnh cht ca hai tip tuyn ct LP B nh lớ: Nu hai tip tuyn ca mt ũng trũn ct ti mt im thỡ: im ú cỏch u hai tip im Tia k t im ú i qua tõm l tia phõn giỏc ca gúc to bi hai tip tuyn Tia k t tõm i qua im ú l tia phõn giỏc ca gúc to bi hai bỏn kớnh i qua cỏc tip im A O ũng trũn ni tip tam giỏc: ũng trũn tip xỳc C B vi ba cnh ca mt tam giỏc gi l ũng trũn ni tip tam giỏc, cũn tam giỏc gi l ngoi tip ũng trũn (Tõm ca ũng trũn ni tip tam giỏc l giao im ca cỏc ũng phõn giỏc cỏc gúc ca tam giỏc) ũng trũn bng tip tam giỏc: ũng trũn tip xỳc vi mt cnh ca mt tam giỏc v tip xỳc vi cỏc phn ko di ca hai cnh gi l ũng trũn bng tip tam giỏc Tõm ca ũng trũn bng tip tam giỏc gúc A l giao im ca hai ũng phõn giỏc cỏc gúc ngoi ti B v C, hoc l giao im O 62 A B C TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM ca ũng phõn giỏc gúc A v ũng phõn giỏc gúc ngoi ti B (hoc C) 10 V trớ tng i ca hai ũng trũn Cho (O ; R) v (O; r) vi R >r V TR S IM CHUNG HốNH H THC A O Ct O' r A, B c gi l R r < OO< R + r giao im O' A gi l tip im R B Tip ngoi xỳc A O R r OO = R + r LP Tip xỳc O' O r A A gi l tip im OO = R r > 0 OO > R + r OO < R r R Khng giao ((O) v (O) ngoi nhau) Khng giao ((O) ựng (O) ) r O O' R O R O' r Tớnh cht ũng ni tõm Cho hai ũng trũn (O) v (O) cú tõm khng trựng ũng thng OO gi l ũng ni tõm, on thng OO gi l on ni tõm 63 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI nh lớ: S 29 V PHM HM Nu hai ũng trũn ct thỡ hai giao im i xng vi qua ũng ni tõm, tc l ũng ni tõm l ũng trung trc ca dõy chung Nu hai ũng trũn tip xỳc thỡ tip im nm trờn ũng ni tõm Tip tuyn chung ca hai ũng trũn: Tip tuyn chung ca hai ũng trũn l ũng thng tip xỳc vi c hai ũng trũn ú O' O 11 Gúc tõm: Gúc tõm l gúc cú nh trựng vi tõm ũng trũn c gi l gúc tõm Hai cnh ca gúc tõm ct ũng trũn ti hai im, ú chia ũng trũn thnh hai cung Vi cỏc gúc (00< < 1800) thỡ cung nm bũn gúc c gi l cung nh v cung nm bờn ngoi gúc c gi l cung ln m A m cung AmB: cung nh cung AnB: cung ln A O B O B n n = 180 => AmB, AnB l na ng trũn Cung nm bũn gúc gi l cung b chn (VD: , hoc gúc ũng trũn (O,R) cú: l cung b chn bi gúc Nu l gúc bt ta núi gúc bt chn na chn cung nh chn S o ca na ũng trũn bng 1800 S o ca cung AB kớ hiu l s Ch ý: Cung nh cú s o nh hn 1800 Cung ln cú s o ln hn 1800 Khi hai mỳt trựng ta cú cung khụng vi s o 00 v cung c ũng trũn cú s o 3600 Hai cung c gi l bng nu chỳng cú s o bng Trong hai cung, cung no cú s o ln hn c gi l cung ln hn nh lớ: Nu C l mt im nm trờn cung AB thỡ: s = s + s 64 LP TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM 12 Liờn h gia cung v dõy nh lớ 1: Vi hai cung nh mt ũng trũn B hay hai ũng trũn bng nhau: Hai cung bng cng hai dõy bng Hai dõy bng cng hai cung bng a A C nh lớ 2: Vi hai cung nh mt ũng trũn hay hai ũng trũn bng nhau: b Cung ln hn cng dõy ln hn Dõy ln hn cng cung ln hn D B 13 Gúc ni tip Gúc ni tip l gúc cú nh nm trờn ũng trũn v hai cnh cha hai dừy cung ca ũng trũn ú Cung nm bờn gúc c gi l cung b chn nh lớ: Trong mt ũng trũn, s o ca gúc ni tip bng na s o ca cung b chn d a O A C9 LP 1 c b D H qu: Trong mt ũng trũn: Cỏc gúc ni tip bng chn cỏc cung bng Cỏc gúc ni tip cựng chn mt cung hoc chn cỏc cung bng thỡ bng Gúc ni tip (nh hn hoc bng 900) cú s o bng na s o ca gúc tõm cựng chn mt cung Gúc ni tip chn na ũng trũn l gúc vuụng 14 Gúc to bi tia tip tuyn v dừy cung Gúc to bi tia tip tuyn v dừy cung l gúc cú nh ti tip im, mt cnh l tia tip tuyn v cnh cha dõy cung nh lớ: S o ca gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung bng na s o ca cung b chn B x n O A H qu: Trong mt ũng trũn, gúc to bi tia tip tuyn v dừy cung v gúc ni tip cựng chn mt cung thỡ bng 15 Gúc cú nh bờn ũng trũn l gúc cú nh nm bờn ũng trũn Ta quy c rng mi gúc cú nh bờn ũng trũn chn hai F cung, mt cung nm bũn gúc v cung nm bũn gúc E i nh ca nú H nh lớ: S o ca gúc cú nh bờn ũng trũn bng na tng s o hai cung b chn D x G y 65 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM 16 Gúc cú nh bờn ngoi ũng trũn: Gúc cú nh bờn ngoi M A ũng trũn l gúc cú nh nm ngoi ũng trũn, cỏc cnh u cú im chung vi ũng trũn x nh lớ: S o ca gúc cú nh bờn ngoi ũng trũn bng na hiu s o hai cung b chn C B D 17 Cung cha gúc Vi on thng AB v gúc tớch cỏc im M tho mún dựng trờn on AB Ch ý: Hai cung cha gúc M < 1800) cho trc thỡ qu l hai cung cha gúc (00< = y A B nỳi trũn l hai cung trũn i xng vi qua AB Hai im A, B c coi l thuc qu tớch Khi 900 thỡ hai cung l hai na ũng trũn ũng kớnh AB Nh vy, ta cú: Qu tớch cỏc im nhn on thng AB cho trc di mt gúc vuụng l ũng trũn ũng kớnh AB Cỏch v cung cha gúc: V ũng trung trc d ca on thng AB LP M m =900 B A V tia Ax to vi AB gúc V ũng thng Ay vuụng gúc vi Ax Gi O l giao im ca Ay vi d V cung , tõm O, bỏn kớnh OA cho cung ny nm na mt phng b AB n khng cha tia Ax Cỏch gii bi toỏn qu tớch: Mun chng minh qu tớch ( hp) cỏc im M tho tớnh cht l mt hỡnh H no ú, ta phi chng minh hai phn: Phn thun: Mi im cú tớnh cht u thuc hỡnh H Phn o: Mi im thuc hỡnh H u cú tớnh cht Kt lun: Qu tớch (tp hp) cỏc im M cú tớch cht l hỡnh H (Thụng thũng vi bi toỏn Tỡm qu tớch ta nờn d oỏn hỡnh H trc chng minh) 18 T giỏc ni tip Mt t giỏc cú bn nh nm trờn mt ũng trũn c gi l t giỏc ni tip ũng trũn (gi tt l t giỏc ni tip) nh lớ: Trong mt t giỏc ni tip, tng s o hai gúc i din bng 1800 Du hiu nhn bit t giỏc ni tip: T giỏc cú tng hai gúc i din bng 1800 T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc ca nh i din T giỏc cú bn nh cỏch u mt im (m ta cú th xỏc nh c) im ú l tõm ca ũng trũn ngoi tip t giỏc T giỏc cú hai nh k cựng nhỡn mt cnh cha hai nh cũn li di mt gúc bng 66 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI A A S 29 V PHM HM A A B O B B D D D C C B D C C T giỏc ABCD ni tip Hỡnh thang ni tip c ũng trũn l hỡnh thang cũn v ngc li 19 ũng trũn ngoi tip, ũng trũn ni tip ũng trũn i qua tt c cỏc nh ca mt a giỏc c gi l ũng trũn ngoi tip a giỏc v a giỏc c gi l a giỏc ni tip ũng trũn ũng trũn tip xỳc vi tt c cỏc cnh ca mt a giỏc c gi l ũng trũn ni tip a giỏc v a giỏc c gi l a giỏc ngoi tip ũng trũn nh lớ: Bt k a giỏc u no cng cú mt v ch mt ũng trũn ngoi tip, cú mt v ch mt ũng trũn ni tip 9.Cỏc cng thc Cụng thc tớnh di ũng trũn: C = R = d Rn Cụng thc tớnh di cung trũn: 1800 Din tớch hỡnh trũn: S R d Din tớch hỡnh qut trũn: S R n R 360 Trong ú: R l bỏn kớnh, l l di ca mt cung n0 IV HốNH TR - HốNH NN HốNH CU 1.Hỡnh tr: Khi quay hỡnh ch nht mt vũng quanh mt cnh c nh, ta c mt hỡnh tr Din tớch xung quanh: S xq Rh Din tớch ton phn: Stp = Sxq + 2.Sỏy Th tớch: V S h R h Trong ú: S l din tớch ỏy, h l chiu cao, R l bỏn kớnh ỏy 2.Hỡnh nún: Khi quay tam giỏc vuụng mt vũng quanh mt cnh gúc vuụng c nh thỡ c mt hỡnh nỳn Din tớch xung quanh: S xq R.l 67 LP TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM Din tớch ton phn: Stp = Sxq + SSỏy R R 3 Th tớch: Vnỳn =V Vtr = R 2h S.h ũng sinh: l h2 R Trong ú: h l chiu cao, R l bỏn kớnh ỏy, l l ũng sinh 3.Hỡnh nỳn ct: Khi ct hỡnh nún bi mt mt phng song song vi ỏy thỡ phn mt phng nm hỡnh nún l mt hỡnh trũn Phn hỡnh nỳn nm gia mt phng nún trũn v mt ỏy c gi l mt hỡnh nún ct Din tớch xung quanh: S xq ( R1 R2 )l Din tớch ton phn: Stp = Sxq + Sỏy ln + Sỏy nh Stp ( R1 R2 )l ( R R ) Th tớch: V 2 h( R12 R22 R1R2 ) Trong ú: h l chiu cao, R1, R2 l hai bỏn kớnh ỏy, l l ũng sinh 4.Hỡnh cu: Khi quay na hỡnh trũn tõm O, bỏn kớnh R mt vũng quanh ũng kớnh AB c nh thỡ c mt hỡnh cu Na ũng trũn phn quay nún trũn to nũn mt cu Din tớch : S R d Th tớch: V 2 R Trong ú: R l bỏn kớnh ca mt cu, d l ũng kớnh mt cu MI S VN LIấN QUAN TRONG CHNG MINH T giỏc ni tip: Du hiu nhn bit t giỏc ni tip: - T giỏc cú tng hai gúc i bng 1800 - T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc ca nh i din - T giỏc cú nh cỏch u mt im - T giỏc cú hai nh k cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn li di mt gúc Chng minh hai gúc bng Cỏch chng minh: - Chng minh hai gúc cựng bng gúc th ba - Chng minh hai gúc bng vi hai gúc bng khỏc - Hai gúc bng tng hoc hiu ca hai gúc theo th t ụi mt bng - Hai gúc cựng ph (hoc cựng bự) vi gúc th ba - Hai gúc cựng nhn hoc cựng tự cú cỏc cnh ụi mt song song hoc vuụng gúc - Hai gúc so le trong, so le ngoi hoc ng v 68 LP TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM - Hai gúc v trớ i nh - Hai gúc ca cựng mt tam giỏc cõn hoc u - Hai gúc tng ng ca hai tam giỏc bng hoc ng dng - Hai gúc ni tip cựng chn mt cung hoc chn hai cung bng Chng minh hai on thng bng Cỏch chng minh: - Chng minh hai on thng cựng bng on th ba - Hai cnh ca mmt tam giỏc cõn hoc tam giỏc u - Hai cnh tng ng ca hai tam giỏc bng - Hai cnh i ca hỡnh bỡnh hnh (ch nht, hỡnh thoi, hỡnh vuụng) - Hai cnh bờn ca hỡnh thang cõn - Hai dõy trng hai cung bng mt ũng trũn hoc hai ũng bng Chng minh hai ũng thng song song Cỏch chng minh: - Chng minh hai ũng thng cựng song song vi ũng thng th ba - Chng minh hai ũng thng cựng vuụng gúc vi ũng thng th ba - Chng minh chỳng cựng to vi mt cỏt tuyn hai gúc bng nhau: + v trớ so le + v trớ so le ngoi + v trớ ng v - L hai dõy chn gia chỳng hai cung bng mt ũng trũn - Chỳng l hai cnh i ca mt hỡnh bỡnh hnh Chng minh hai ũng thng vuụng gúc Cỏch chng minh: - Chỳng song song song song vi hai ũng thng vuụng gúc khỏc - Chng minh chỳng l chõn ũng cao mt tam giỏc - ũng kớnh i qua trung im dõy v dõy - Chỳng l phõn giỏc ca hai gúc k bự Chng minh ba ũng thng ng quy Cỏch chng minh: - Chng minh chỳng l ba ũng cao, ba trung tuyn, ba trung trc, ba phõn giỏc (hoc mt phõn giỏc v phõn giỏc ngoi ca hai gúc kia) - Vn dng nh lớ o ca nh lớ Talet Chng minh hai tam giỏc bng Cỏch chng minh: * Hai tam giỏc thũng: - Trũng hp gúc - cnh - gúc (g-c-g) - Trũng hp cnh - gúc - cnh (c-g-c) - Trũng hp cnh - cnh - cnh (c-c-c) * Hai tam giỏc vuụng: - Cú cnh huyn v mt gúc nhn bng - Cú cnh huyn bng v mt cnh gúc vuụng bng - Cnh gúc vuụng ụi mt bng Chng minh hai tam giỏc ng dng Cỏch chng minh: * Hai tam giỏc thũng: - Cú hai gúc bng ụi mt - Cú mt gúc bng xen gia hai cnh tng ng t l 69 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM - Cú ba cnh tng ng t l * Hai tam giỏc vuụng: - Cú mt gúc nhn bng - Cú hai cnh gúc vuụng tng ng t l Chng minh ng thc hỡnh hc Cỏch chng minh: Gi s phi chng minh ng thc: MA.MB = MC.MD (*) - Chng minh: MAC MDB hoc MAD MCB - Nu im M, A, B, C, D cựng nm trờn mt ũng thng thỡ phi chng minh cỏc tớch trờn cựng bng tớch th ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tc l ta chng minh: MAE MFB MCE MFD MA.MB = MC.MD * Trũng hp c bit: MT2 = MA.MB ta chng minh MTA MBT 10 Chng minh t giỏc ni tip Cỏch chng minh: Du hiu nhn bit t giỏc ni tip: - T giỏc cú tng hai gúc i bng 1800 - T giỏc cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc ca nh i din - T giỏc cú nh cỏch u mt im - T giỏc cú hai nh k cựng nhỡn cnh cha hai nh cũn li di mt gúc 11 Chng minh MT l tip tuyn ca ũng trũn (O;R) Cỏch chng minh: - Chng minh OT MT ti T (O;R) - Chng minh khong cỏch t tõm O n ũng thng MT bng bỏn kớnh - Dựng gúc ni tip 12 Cỏc bi toỏn tớnh toỏn di cnh, ln gúc Cỏch tớnh: - Da vo h thc lng tam giỏc vuụng - Da vo t s lng giỏc - Da vo h thc gia cnh v gúc tam giỏc vuụng - Da vo cụng thc tớnh di, din tớch, th tớch 13 nh ngha v s xỏc nh ũng trũn Tp hp cỏc im cỏch O cho trc mt khong R khụng i gi l ũng trũn tõm O bỏn kớnh R K hiu: (O; R) xỏc nh c ũng trũn ta cú cỏc cỏch sau: 2.1 Bit tõm O v bỏn kớnh R 2.2 Bit im khụng thng hng nm trờn ũng trũn Cho (O; R) v im M Khi ú cú cỏc kh nng sau: 3.1 Nu MO > R thỡ M nm ngoi ũng trũn (O; R) 3.2 Nu MO=R thỡ M nm trũn ũng trũn (O;R) K hiu: M (O; R) 3.3 Nu MO < R thỡ M nm ũng trũn (O; R) 70 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM Dõy cung l on thng ni hai im trờn ũng trũn ũng kớnh l dõy cung qua tõm Vy ũng kớnh l dõy cung ln nht mt ũng trũn Mun c/m cỏc im cựng nm trờn (O; R) ta ch khong cỏch t mi im n O u l R Cỏc cỏch khỏc sau ny xột sau ũng trũn qua hai im A v B cú tõm nm trờn trung trc ca AB ũng trũn ngoi tip tam giỏc vuụng cú tõm l trung im cnh huyn 14 Tớnh cht i xng xa ũng trũn ũng trũn l hỡnh cú mt tõm i xng l tõm ũng trũn ú ũng trũn cú v s trc i xng l mi ũng kớnh ca nú ũng kớnh vuụng gúc dõy cung thỡ i qua trung im v ngc li Hai dõy cung bng v ch chỳng cỏch u tõm Dừy cung no gn tõm hn thỡ di hn v ngc li Vn dng cỏc tớnh cht trờn ta cú th tớnh di cỏc on v c/m cỏc tớnh cht cng nh so sỏnh cỏc on thng da vo ũng trũn 15 Phng phỏp chng minh ba im thng hng Ta cú th ch ba im to thnh gúc bt (1800) Vn dng tớnh cht cỏc ũng ng quy C/m hai tia AB v AC trựng theo tiờn clit(cựng song song ũng) Ch im cựng nm trờn ũng no ú Cú th ch AB+BC=AC 16 Phng phỏp c/m hai on thng bng Dựng hai tam giỏc bng Dựng tớnh cht ca tam giỏc; hỡnh thang cũn; hỡnh bỡnh hnh; S dng tớnh cht ca ũng chộo cỏc hỡnh Tớnh cht ũng trung bỡnh S dng tớnh cht bc cu 17 Phng phỏp c/m hai ũng thng vuụng gúc Hai ũng thng vuụng gúc l hai ũng thng ct v cỏc gúc to thnh cú gúc vuụng 900 Cho im O v d ú cú nht mt ũng thng qua O v d Cho a//b ú nu c a thỡ c b Ngoi ta cũn dựng cỏc tớnh cht khc nh xem hai ũng thng l hai cnh ca tam giỏc vuụng Xột cỏc tớnh chttm giỏc cũn; tam giỏc vuụng; hỡnh thoi, hỡnh ch nht; c/m hai ũng thng vuụng gúc 18 C/m hai ũng thng song song Hai ũng thng song song l hai ũng thng khụng cú im chung (khụng lm c g) Hai ũng thng song song cú ũng thng ct qua v to cỏc cp: 2.1 So le bng 2.2 ng v bng 2.3 Cỏc gúc cựng phớa ng v Hai ũng thng cựng vuụng gúc ũng th ba thỡ song song Hai cnh i ca hỡnh bỡnh hnh thỡ song song 71 TRUNG TM GIA S BCH KHOA H NI S 29 V PHM HM Tớnh cht dũng trung bỡnh tam giỏc v hỡnh thang Cỏc tớnh cht ca cỏc hỡnh khc nh hỡnh hp ch nht Tớnh cht bc cu: ch a//b v b//c thỡ a//c 19 C/m cỏc ũng thng ng quy Cỏc ũng thng ng quy l cỏc ũng thng ú cựng i qua mt im Ta cú th ch mt im O no ú v c/m cỏc ũng thng cựng i qua nú Ta gi O l giao im hai ũng thng v ch ũng cũn li cng qua nỳ Ta dựng tớnh cht cỏc ũng chộo hỡnh bỡnh hnh; hỡnh ch nht ch cỏc ũng cựng i qua trung im cnh no ú Vn dng tớnh cht cỏc ũng ng quy tam giỏc Ta dng nh lớ Talet o v cỏc on song song 20 C/m h thc hỡnh hc Tc l ta phi i c/m mt ng thc ỳng t cỏc d kin bi cho Ta thũng dựng cỏc cụng thc ca tam giỏc vuụng nu bi xut hin gúc vuụng (xem phn trc) Ta dựng phng phỏp hai tam giỏc ng dng c/m t s bng v t t s ny ta suy ng thc cn c/m Ch ý l cú th s dng tớnh cht bc cu nhiu tam giỏc ng dng Vn dng cng thc din tớch v phõn tớch mt hỡnh thnh nhiu tam giỏc v cng din tớch li S dng tam giỏc bng chuyn cnh cn thit Dựng cỏc tớnh cht ca ũng trung bỡnh ,HBH; on chn bi cỏc ũng thng // 22 Tớnh gúc tớnh gúc ta dựng cỏc tớnh cht v gúc i nh; gúc k bự; gúc ph Cỏc tớnh cht v gúc ca tam giỏc; gúc v gúc ngoi Vn dng tớnh cht tng cỏc gúc tam giỏc; t giỏc Vn dng tớnh cht phõn giỏc; phõn giỏc v phõn giỏc ngoi vuụng gúc Vn dng tớnh cht ca gúc ni tip Vn dng tớnh cht cỏc tam giỏc ng dng Cỏc tớnh cht v gúc v hai ũng thng song song Cỏc tớnh cht ca hỡnh thang; hỡnh thang cũn; hỡnh bỡnh hnh; hỡnh thoi; 72 ... cộng trừ sau Còn biểu thức có dấu ngoặc thực theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc nhọn - Với toán tìm giá trị phân thức phải tìm điều kiện biến để phân thức xác định (mẫu thức phải khác 0)... kiện để biểu thức có nghĩa - Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) B  B - Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) A  - Biểu thức có dạng A xác định (có nghĩa) B > B B C - Biểu thức có dạng...  b  a  Bước 2: Theo hệ thức Vi – ét, ta có:   P  x1 x2  c a   Bước 3: Biến đổi điều kiện đề (là đẳng thức bất đẳng thức) để có tổng tích hai nghiệm, sau thay tổng tích hai nghiệm có đợc