Kiến thức: Số hữu tỉ là số viết đ¬ược dư¬ới dạng với a, b Z , b 0. Tập hợp các số hữu tỉ kí hiệu là Q. Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số hữu tỉ Việc biểu diễn số hữu tỉ trên trục số không phụ thuộc vào cách chọn phân số xác định nó. Để so sánh hai số hữu tỉ x và y ta làm như¬ sau: + Viết x, y d¬ưới dạng phân số có cùng mẫu d¬ương: x = ; y = + So sánh các số nguyên a và b. Nếu a < b thì x < y Nếu a > b thì x > y Nếu a = b thì x = y Cộng, trừ số hữu tỉ: Với x = ; y = ( a, b, m Z ; m >0) ta có: Quy tắc chuyển vế: Với x, y, z Q thì : x + y = z => x = z – y Bài tập áp dụng: Bài 1: Viết các số sau đây dư¬ới dạng phân số có mẫu là 20: 1 ; 2; 0; ; Bài 2: So sánh các số hữu tỉ sau: a. x = và y = ; b. x = và y = ; c. x = 0,75 và y = Bài 3: Cho hai số hữu tỉ và ( a, b, m Z ; m >0) . CMR nếu < thì < < => Nhận xét: Giữa hai điểm hữu tỉ khác nhau bất kì bao giờ cũng có ít nhất 1 điểm hữu tỉ nữa và do đó có vô số điểm hữu tỉ. Bài 4: So sánh các số hữu tỉ sau: a. và ; b. và ; c. và Hdẫn: So sánh qua các số hữu tỉ trung gian: 1 ; 0 ; 1 Bài 5: Tìm phân số (x Z ) sao cho < < . Hdẫn: Từ < < => < < nên 7x < 36 < 7x + 7 => x < < x + 1 => x = 5. Vậy phân số phải tìm là : Bài 6: Tính a. b. + 0,75 c. d. e. g. Bài 7: Tìm x biết a. x + = b. x = c. –x = d. x + = Bài 8: Thực hiện phép tính hợp lý A = B = Hdẫn: Ở biểu thức A ta nhóm các số hữu tỉ có cùng mẫu vào các nhóm rồi thực hiện. Kết quả: A = Ở biểu thức B ta nhóm như¬ sau: B =
Toán học SỐ HỮU TỈ, CỘNG TRỪ SỐ HỮU TỈ Kiến thức: - Số hữu tỉ số viết dạng a với a, b Z , b Tập hợp số hữu b tỉ kí hiệu Q - Các phân số biểu diễn số hữu tỉ - Việc biểu diễn số hữu tỉ trục số không phụ thuộc vào cách chọn phân số xác định - Để so sánh hai số hữu tỉ x y ta làm sau: + Viết x, y dạng phân số có mẫu dương: x = a b ;y= m m + So sánh số nguyên a b Nếu a < b x < y Nếu a > b x > y Nếu a = b x = y - Cộng, trừ số hữu tỉ: Với x = a b ab m m m a b a b x y m m m a b ;y= ( a, b, m Z ; m >0) ta có: m m x y - Quy tắc chuyển vế: Với x, y, z Q : x + y = z => x = z – y Bài tập áp dụng: Bài 1: Viết số sau dạng phân số có mẫu 20: ; -2; 0; 3 ; Bài 2: So sánh số hữu tỉ sau: a x = 3 y = ; 7 11 b x = 213 18 y = ; 300 25 c x = 0,75 y = 3 a b ( a, b, m Z ; m >0) m m a b a ab b CMR < < < m m m m m Bài 3: Cho hai số hữu tỉ => Nhận xét: Giữa hai điểm hữu tỉ khác có điểm hữu tỉ có vô số điểm hữu tỉ Bài 4: So sánh số hữu tỉ sau: a 19 ; 18 b 75 ; 4003 106 c 2000 2003 2001 2002 Hdẫn: So sánh qua số hữu tỉ trung gian: ; ; -1 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học Bài 5: Tìm phân số x x x 1 (x Z ) cho < < 9 x x 1 7x 7x 36 < < => < < nên 7x < 36 < 7x + 9 63 63 63 36 => x < < x + => x = Vậy phân số phải tìm : Hdẫn: Từ Bài 6: Tính 3 5 1 d 4 + 0,75 15 1 1 e ( ) 23 a b Bài 7: Tìm x biết a x + = b x - 3 = c –x - 3 = 15 10 21 11 36 30 7 g ( ) ( ) c d x + 1 = Bài 8: Thực phép tính hợp lý A = 2 2 3 2 23 B= 11 97 35 44 2 Hdẫn: Ở biểu thức A ta nhóm số hữu tỉ có mẫu vào nhóm thực Kết quả: A = 5 Ở biểu thức B ta nhóm sau: B = 3 2 23 11 97 35 44 3 3 23 2 35 11 44 97 21 15 12 33 23 2 35 44 97 2 2 (1) 97 97 Bài 9: Tính tổng: 1 1 \ 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 ; ; … ; Hdẫn: a, Có 1.2 2.3 99.100 99 100 1 100 99 1 1 A= + +…+ =199 100 100 100 100 2 A= www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học SỐ HỮU TỈ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ Kiến thức: Nhân hai số hữu tỉ: a a c a.c c y = ( b 0, d 0) ta có: x.y = b b d bd d Với x = Chia hai số hữu tỉ: a a c a d a.d c y = (y 0) ta có: x:y = : b b d b c bc d Với x = Lưu ý: Thương phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y 0) gọi tỉ số số x y, kí hiệu là: x : y x y Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ đợc xác định sau: x x x x x > Nhận xét: x Q ta có: x 0; x x; x = x Bài tập: Bài 1: Tính: 3 32 11 d : 25 7 e 1, 25 : a ) 12 f : ( 2 ) 5 c (3).( b 0, 23 Bài 2: Thực phép tính: 10 10 a 4 11 33 d : 12 36 3 b : 5 45 e 23 18 c 3 12 : ( ) 25 f 26 13 : 10 3 1 1 g : 2 115 8 Đáp số: a b 42 f -8 www.fb.com/n.v.tiens 7 7 d e 7 25 22 15 35 42 15 1135 g : 43 86 3 2 c 0986 915 960 Toán học Bài 3: Tìm x biết: 3 21 x 10 11 x 0, 25 d 12 a 31 33 5 e x : 4 b x : 1 4 64 8 => x = 33 11 4 43 43 43 : => x c .x => x => x 5 35 35 49 11 11 7 x => x : d => x 12 12 12 11 56 100 105 51 51 51 => x e x : => x : => x : => x 4 140 140 140 560 Đáp số: a x = 7 2 c x Bài 4: Thực phép tính cách hợp lí: 3 36 0, 75 13 13 2 c : : 11 11 a b x = 5 49 5 : 9 3 d : : 26 13 10 b : Hdẫn: 3 68 3 36 3 68 36 3 104 3 6 13 13 13 13 13 41 49 5 2 b : 10 14 c : 5 9 11 3 3 26 2 26 2 28 d : : 8 26 7 3 a Bài 5: Tính giá trị biểu thức sau: 4 4 2 1 0, 0, 25 11 37 A= 19 23 B= 7 8 1, 0,875 0, 11 37 19 23 1 1 4 19 23 4 1 Hdẫn: A = 1 1 19 23 1 1 0, 11 37 22 0 B= 1 1 1 7 0, 11 37 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học Bài 6: Tìm x biết: 1 e x b 1,75 x 3, 21 a x = Hdẫn: a x = c x 1,5 f x 2x d 1,5 x 2,81 1,09 g 3x x b x = 1,75 + 3,21 => x = 4,96 => x = 4,96 c x – 1,5 = x – 1,5 = -2 => x = 3,5 x = -0.5 d 1,5 x = 2,81 + 1,09 =>1,5 x = 3,99 => x = 3,99 : 1,5 => x = 2,66 => x = 2,66 1 1 1 1 = => x = =>x - = x - = 6 6 6 => x = x=0 f => x = 2x = (Vì x x Q; 2x x Q) e x => x = x = 1,5 (vô lí) nên giá trị x thảo mãn g => 3x = x => 3x – = – x 3x – = -(4 - x) => 4x = 2x = -2 => x = 1,5 x = -1 Bài 7: Tính nhanh 2 1 1 A = (2 + + + …+ 100) : 0, : 2 100 5 2 10 6 6 Hdẫn: Có : 0, = 5 5 7 7 7 => A = Bài8: Tính tích sau: 15 9999 16 10000 A= 1 1 B = 1 1 1 1 1 2007 2008 Hdẫn: 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101 1.2.3 99 3.4.5 101 101 16 10000 2.2 3.3 4.4 100.100 2.3.4 99 2.3.4 100 A= B= 1 2 3 2006 2007 1 2007 2008 2008 Chúc em học tốt! www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ KIẾN THỨC: - Ta có: xn = x.x.x…x ( x Q; n N; n > 1) n thừa số - Tính chất: x Q ta có: xm xn = xm+n (x.y)n = xn yn (xm)n = xm.n xm : xn = xm-n (x; m n) n n (x:y)n = x : y (y 0) BÀI TẬP: Bài 1: Tính a ( 2 ) 3 2 2 g: ( )2 ( )3 3 b ( )3 f (-0,2)3 15 105 h 6 25 c ( 2 )4 d (-0,375)0 i e (-0,2)2 (54 53 )3 1254 Hƣớng dẫn: 155.105 (15.10)5 1505 h 6 = 6 (6.25) 150 150 25 53.(5 1) 1253.43 64 (54 53 )3 i = 1254 1254 125 1254 Nhận xét: + Luỹ thừa với số mũ chẵn số âm số dương + Luỹ thừa với số mũ lẻ số âm số âm Bài 2: a, Viết số sau dạng luỹ thừa số 3: 1 1 ;243; 81; ;3; 729; ; 9; 27 243 729 b, Trong số trên, số viết dạng luỹ thừa số -3 ? Đ/số: 1 ; 81; 729; 9; 729 * Lưu ý: Các luỹ thừa với số mũ chẵn số x viết dạng luỹ thừa số –x (với x 0) www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 7 Bài 3: Ta thừa nhận tính chất: a 0, a 1, am = an m = n Dựa vào tính chất tìm số n cho: a 3n-1 = 243 1 d n5 b 81 c 32 2n 2 n1 e 2-1 2n + 2n = 25 Hdẫn: a 3n-1 35 = => 3n+4 = 30 => n + = => n = -4 n n c 2 b = => = => n = n5 n1 1 => 2n – = => n = 2 1 d n – = => n = 3 3 e 2n ( + 4) = 25 => 2n = 25 =>n = Bài 4: Tìm x biết: a x 2 b ( 2x - 1) = -8 Hdẫn: a => x x c ( x - 2) = 1 d x 16 b ( 2x - 1)3 = (-2)3 => 2x – = -2 => x = -1,5 c Có = 12 = (-1)2 nên ta có x – = x – = -1 => x = x = 2 1 1 1 1 d Có nên ta có x x => x = x = 4 4 16 Bài 5: So sánh số sau: a 227 318 b* 321 231 c* 9920 999910 Hdẫn: a Có 227 = 23.9 = 89; 318 = 32.9 = 99 Vì < nên 89 < 99 hay 227 < 318 b Có 321 =3 320 ; 320 = 32.10 = 910 ; 231 =2 230 230 = 23.10 = 810 Lại có: > 2; 910 > 810 => 3.910 > 810 hay 321 > 231 c Có 9920 = 9910 9910 ; 999910 = (99.101)10 = 9910.10110 mà 9910 < 10110 nên 9920 < 999910 Bài 6: Chứng minh rằng: a 278 – 321 26 b 812 – 233 – 230 55 Ta có: a 278 – 321 = (33)8 – 321 = 321 (33 -1) = 321 26 Mà 26 26 nên 321 26 26 hay 278 – 321 26 b 812 – 233 – 230 = (23)12 – 233 – 230 = 230 (26 – 23 - 1) = 230 55 Mà 55 55 nên 230 55 55 hay 812 – 233 – 230 55 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học Bài 7: Tính A = (100 - 1).(100 - 22).(100 - 32)…(100 - 502) B = + + 32 + 33 + …+ 3100 + Ta có: 100 – 102 = 100 – 100 = A = (100 - 1).(100 - 22).(100 - 32)…(100 - 502) A = (100 - 1).(100 - 22).(100 - 32)… …(100 - 502) = + Có 3B = + 32 + 33 + …+ 3100 + 3101 => 3B – B = 3101 – hay 2B = 3101 – => B = www.fb.com/n.v.tiens 3101 - 0986 915 960 Toán học TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU KIẾN THỨC Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số - Ta viết: a c b d a c a : b = c : d b d (a, b, c, d số hạng tỉ lệ thức) a d số hạng (ngoại tỉ); b d số hạng (trung tỉ) - Tính chất : a Nếu a c a.d = b c b d b Nếu ad = bc a, b, c, d khác ta suy tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b ; ; ; b d c d b a c a Tính chất dãy tỉ số nhau: a c ac ac (b d 0; b d 0) b d bd bd Tính chất mở rộng cho dãy tỉ số nhau, chẳng hạn: a c e ace ace b d f bd f bd f (Giả thiết tỉ số có nghĩa) BÀI TẬP: Bài 1: Thay tỉ số số hữu tỉ tỉ số số nguyên 11 :1, 32 c : 25 14 189 14 100 20 20 : 27 Ví dụ: 1,4 : 1,89 = : 10 100 10 189 27 a 1,4 : 1,89 b Bài 2: Từ tỉ số sau lập tỉ lệ thức không? a 5,4 : 13,5 = :15 c 15 : 21 2,5 : 3,9 : 1,5 = : 13 12 d 1, : 2,85 : 17 b Hdẫn: Tính tỉ số so sánh, tỉ số ta lập tỉ lệ thức, không ta lập tỉ lệ thức www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 10 Bài 3: Tìm x biết: x 3 18 3, d : 0, 01 0, 75 : x a b 2,5 : 7,5 = x : 3,5 e 72 x x 18 5 c : x 0, 25 : 2 f 0,3: x x : 2,7 Hdẫn: Dùng tính chất tỉ lệ thức để lập tích ngoại tỉ tích trung tỉ, sau tìm x Ví dụ: a Từ x 3 18 (-3) 54 => x 3,6 = 18 (-3) => x = = -15 18 3, 3,6 3, Bài 4: Lập tất tỉ lệ thức từ số sau: a 4,4 ; 9,9; 0,84; 1,89 b 0,03; 6,3; 0,27; 0,7 Hdẫn: Nếu số lập thành tỉ lệ thức tích số phải tích hai số kia, để kiểm tra xem số lập thành tỉ lệ thức ta so sánh tích số nhỏ với số lớn tích hai số lại Nếu tích ta lập tỉ lệ thức từ đẳng thức dựa vào tính chất tỉ lệ thức Ví dụ: a Có 9,9 0,84 = 8,316; 4,4 1,89 = 8,316 => 9,9 0,84 = 4,4 1,89 => ta có tỉ lệ thức sau: 9,9 1,89 9,9 4, 0,84 1,89 0,84 4, ; ; ; 4, 0,84 1,89 0,84 4, 9,9 1,89 9,9 Bài 5: a Tính hai cạnh hình chữ nhật biết tỉ số cạng : chu vi 90cm? b Tính góc tam giác biết góc tỉ lệ với 1:2:6 tổng góc 1800 ? Hdẫn: a Gọi độ dài cạnh hình chữ nhật a b ( cm; a, b >0) Theo ta có: a : b = : 2(a+b) = 90 Từ a : b = : => a b ; a + b = 45 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b a b 45 => a = = 18; b = = 27 23 độ dài hai cạnh hcn 18cm 27cm b Làm tương tự, kết quả: số đo góc là: 200; 400; 1200 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 97 Bài 4: Sử dụng quan hệ góc cạnh đối diện để chứng minh định lí: Trong tam giác cân, hai góc đáy HD Tam giác ABC cân A nên AB = AC => Cˆ Bˆ (ĐL1) Bài 5: Sử dụng quan hệ đường xiên hình chiếu để chứng minh toán sau: Cho tam giác ABC cân A, kẻ AH BC (H BC) Chứng minh HB = HC HD Từ điểm A nằm ngòai đường thẳng BC Có AB = AC ( gt) Mà AB có hình chiếu HB Và AC có hình chiếu HC Nên HB = HC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M Chứng minh BM BC HD Chứng minh Nếu M C => MB BC nên MB = BC (1) Nếu M A => MB BA nên AB < BC (ĐL1) (2) Nếu M nằm hai điểm A C Ta có AM hình chiếu BM AC hình chiếu BC Vì M nằm hai điểm A C nên AM < AC => BM < BC ( ĐL2) (3) Từ (1),(2)&(3) => BM BC ( ĐPCM) Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm N , cạnh AB lấy điểm M (N A,C; M A,B) Chứng minh rằng: a) BC > MC b) MN < BC HD a) Ta có AM hình chiếu CM AB hình chiếu BC Vì M nằm hai điểm A B nên AM < AB => CM < BC ( ĐL2) (1) b) Ta có AN hình chiếu NM AC hình chiếu MC Vì N nằm hai điểm A C nên AN < AC => NM < MC ( ĐL2) (2) Từ (1) (2) => MN < BC www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 98 Bài 8: Cho điểm D nằm cạnh BC ABC Chứng minh rằng: AB AC BC AB AC BC AD 2 HD a) Trong tam giác ABD ta có AB – BD < AD (1) Trong tam giác ACD ta có AC – CD < AD (2) Từ (1) (2) => AB – BD + AC – CD < 2AD AB + AC – (BD + DC) < 2AD AB + AC – BC < 2AD => AB AC BC AD (*) b) Trong tam giác ABD ta có AB + BD > AD (1) Trong tam giác ACD ta có AC + CD > AD (2) Từ (1) (2) => AB + BD + AC + CD > 2AD AB + AC + (BD + DC) > 2AD AB + AC + BC > 2AD AB AC BC AD (**) AB AC BC AB AC BC AD Từ (*) (**) => 2 => Bài 9: Cho tam giác ABC, M điểm tùy ý nằm bên tam giác ABC Chứng minh MB + MC < AB + AC HD Chứng minh Trong tam giác IMC có MC < MI + IC Cộng MB vào vế Ta MC + MB < MI + IC + MB MC + MB < MI + MB + IC MC + MB < IB + IC (1) Trong tam giác IBA có IB < IA + AB Cộng IC vào vế Ta IB + IC < IA + AB + IC IB + IC < IA + IC + AB IB + IC < AC + AB (2) Từ (1) & (2) => MB + MC < AB + AC Bài 10: Cho tam giác ABC có AC > AB Nối A với trung điểm M BC Trên tia AM lấy điểm E cho M trung điểm đoanh thẳng AE Nối C với E a) So sánh AB CE b) Chứng minh: AC AB AC AB AM 2 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 99 HD Chứng minh a) So sánh AB CE Xét tam giác ABM tam giác ECM Có AM = ME (gt) BAˆ M EMˆ C (đđ) MB = MC (gt) Vậy tam giác ABM = tam giác ECM (cgc) => AB = CE b) Chứng minh: AC AB AC AB AM 2 xét tam giác AEC có AE > AC - EC Mà AE = 2AM (M trung điểm AE) Và EC = AB (cmt) Vậy 2AM > AC - AB => AM > AC AB (1) xét tam gíc AEC có AE < AC + EC Mà AE = 2AM (M trung điểm AE) Và EC = AB (cmt) Vậy 2AM < AC + AB => AM < Từ (1) (2) => AC AB AC AB AM 2 AC AB (2) FOREVER THANDIEU2 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 100 TÍNH CHẤT CÁC ĐƢỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƢỜNG PHÂN GIÁC, ĐƢỜNG TRUNG TRỰC, ĐƢỜNG CAO CỦA TAM GIÁC 1/ Tóm tắt lý thuyết: + Đƣờng trung tuyến đường xuất phát từ đỉnh qua trung điểm cạnh đối diện tam giác A A P B C M N G B C M AM trung tuyến ABC MB = MC + Một tam giác có đường trung tuyến Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm Điểm cách đỉnh 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh GA GB GC AM BN CP + Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác + Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền + Đƣờng phân giác tam giác đường thẳng xuất phát từ đỉnh chia góc có đỉnh hai phần A A A F J K E O B D C B I D C B C + Một tam giác có ba đường phân giác Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác (giao điểm tâm đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác) + Trong tam giác cân, đường phân giác kẻ từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy + Đƣờng trung trực đoạn thẳng đường vuông góc trung điểm đoạn thẳng www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 101 + Đƣờng trung trực tam giác đường trung trực cạnh tam giác Một tam giác có ba đường trung trực Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác A m m O A B C B B A + Các điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng AB cách hai đầu đoạn thẳng AB + Tập hợp điểm cách hai đầu đoạn thẳng AB đường trung trực đoạn thẳng AB + Đọan vuông góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đƣờng cao tam giác + Một tam giác có ba đường cao Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác H AH A E F E F A H B D C B D B C D C 2/ Bài tập: Bài tập 1: Cho hình vẽ Hãy điền vào chỗ trống (…) cho kết đúng: a) GM = …… GA; GN = …… GB; GP = …… GC A b) AM = …… GM; BN = …… GN; CP = …… GP a) 1 ; ; 2 P b) ; ; B G N M C Bài tập 2: Cho ABC có BM, CN hai đường trung tuyến cắt G Kéo dài BM lấy đoạn ME = MG Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG Chứng minh: a) EF = BC b) Đường thẳng AG qua trung điểm BC www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 102 Bài tập 3: Kéo dài trung tuyến AM ABC đoạn MD có độ dài 1/3 độ dài AM Gọi G trọng tâm ABC So sánh cạnh BGD với trung tuyến ABC Bài tập 4: Cho ABC vuông A Gọi M trung điểm BC G trọng tâm ABC Biết GM = 1,5cm AB = 5cm Tính AC chu vi tam giác ABC Bài tập 5: Cho ABC cân A Các đường cao BH CK cắt I Chứng minh AI phân giác góc BAC Bài tập 6: Cho xOˆ y 90 tam giác ABC vuông cân A, có B thuộc Ox, C thuộc Oy, A O thuộc hai nửa mặt phẳng đối có bờ BC Chứng minh OA tia phân giác góc xOy Bài tập 7: Các phân giác tam giác ABC cắt tạo thành EFG a) Tính góc EFG theo góc ABC b) Chứng minh phân giác ABC qua điẻnh E, F, G Bài tập 8: Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy hai điểm A B Tìm tia Oy điểm C cho CA = CB Bài tập 9; Cho tam giác ABC có AC > AB, phân giác góc A cắt BC D AC lấy điểm E cho AB = AE Chứng minh AD vuông góc với BE BÀI TẬP TỰ LUYÊN Bài : Cho ABC cân A, đường cao AH Biết AB=5cm, BC=6cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BH, AH? b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm A,G,H thẳng hàng? c) Chứng minh: ABˆ G ACˆ G ? Bài 2: Cho ABC cân A Gọi M trung điểm cạnh BC a) Chứng minh : ABM = ACM b) Từ M vẽ MH AB MK AC Chứng minh BH = CK c) Từ B vẽ BP AC, BP cắt MH I Chứng minh IBM cân Bài : Cho ABC vuông A Từ điểm K thuộc cạnh BC vẽ KH AC Trên tia đối tia HK lấy điểm I cho HI = HK Chứng minh : a) AB // HK b) AKI cân c) BAˆ K AIˆK d) AIC = AKC www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 103 Bài : Cho ABC cân A ( Aˆ < 900), vẽ BD AC CE AB Gọi H giao điểm BD CE a) Chứng minh : ABD = ACE b) Chứng minh AED cân c) Chứng minh AH đường trung trực ED a) Trên tia đối tia DB lấy điểm K cho DK = DB Chứng minh ECˆB DKˆ C Bài : Cho ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Vẽ DH EK vuông góc với đường thẳng BC Chứng minh : a) HB = CK b) AHˆ B AKˆ C c) HK // DE d) AHE = AKD e) Gọi I giao điểm DK EH Chứng minh AI DE BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho ABC có góc A 600 Tia phân giác góc B cắt AC M, tia phân giác góc C cắt AB N Chứng minh BN + CM = BC Bài 2: Cho ABC vuông A, M trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy điểm K cho MK = MB Chứng minh rằng: a) KC vuông góc với AC b) AK song song với BC Bài 3: Cho ABC, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB Trên tia đối tia BD, lấy điểm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AH = AK Bài 4: Cho ABC có AB = AC Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = AE Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) BE = CD b) KBD = KCE Bài 5: Cho ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh ID = IE Bài 6: Cho ABC Gọi M trung điểm AC, N trung điểm AB Trên tia đối tia MB lấy điểm E cho ME = MB, tia đối tia NC lấy điểm F cho NF = NC Chứng minh rằng: a) MAE = MCB b) AE = AF c) Ba điểm A, E, F thẳng hàng www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 104 Bài 7: Cho đoạn thẳng AB, D trung điểm AB Kẻ Dx vuông góc với AB Trên Dx lấy hai điểm M N (M nằm D N) Chứng minh rằng: a) NAD = NBD b) MNA = MNB c) ND phân giác góc ANB d) Góc AMB lớn góc ANB Bài 8: Cho ABC vuông A, M trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy điểm K cho MK = MB Chứng minh rằng: c) KC vuông góc với AC d) AK song song với BC Bài 9: Cho ABC, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB Trên tia đối tia BD, lấy điểm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh AH = AK Bài 10: Cho ABC có AB = AC Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD = AE Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh rằng: a) BE = CD b) KBD = KCE Bài 11: Cho ABC Gọi M trung điểm AC, N trung điểm AB Trên tia đối tia MB lấy điểm E cho ME = MB, tia đối tia NC lấy điểm F cho NF = NC Chứng minh rằng: a) MAE = MCB b) AE = AF c) Ba điểm A, E, F thẳng hàng Bài 12: Cho đoạn thẳng AB, D trung điểm AB Kẻ Dx vuông góc với AB Trên Dx lấy hai điểm M N (M nằm D N) Chứng minh rằng: a) NAD = NBD b) MNA = MNB c) ND phân giác góc ANB d) Góc AMB lớn góc ANB THANDIEU2 – FOREVER 812 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 105 THỐNG KÊ 1/ Tóm tắt lý thuyết Bảng thống kê số liệu - Khi quan tâm đến vấn đề , người ta quan sát , đo đạc, ghi chép lại số liệu đối tượng quan tâm để lập nên bảng số liệu thống kê Dấu hiệu , đơn vị điều tra - Vấn đề mà người điều tra nghiên cứu , quan tâm gọi dấu hiệu điều tra - Mỗi đơn vị quan sát đo đạc đơn vị điều tra - Mỗi đơn vị điều tra cho tương ứng số liệu giá trị dấu hiệu - Tập hợp đơn vị điều tra cho tương ứng dãy giá trị dấu hiệu Tần số giá trị , bảng tần số - Số lần xuất giá trị dãy giá trị dấu hiệu tần số giá trị -Bảng kê giá trị khác dãy tần số tương ướnlà bảng tần số Số trung bình cộng , mốt dấu hiệu - Là giá trị trung bình dấu hiệu - Mốt dấu hiệu giá trị có tần số lớn bảng tần số Bài tập Bài 1: Tổng số điểm môn thi học sinh phòng thi cho bảng 32 35 30 30 19 30 22 28 31 30 22 28 30 30 35 22 39 30 31 32 22 35 30 28 a/ Dấu hiệu gì? Số tất giá trị bao nhiêu? , số GT khác dấu hiệu ? b/ Lập bảng tần số , rút nhận xét c/ Tính trung bình cộng dấu hiệu , tìm mốt Giải : a) Dấu hiệu Tổng số điểm môn thi học sinh phòng thi, Số giá trị 24, số giá trị khách : www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học b) 106 Bảng tần số Điểm thi (x) 19 22 28 30 31 32 35 39 Tần số (f) (n) 2 N = 24 Tích (x.n) 19 88 84 240 32 64 105 39 X 671 28 24 M = 30 Tổng: 671 Nhận xét Tổng số điểm môn thi học sinh phòng thi từ 19 đến 39 Điểm thấp 19 Điểm cao 39 Số HS đạt 30điểm chiếm tỉ lệ cao Bài 2: Lớp 7A góp tiền ủng hộ đồng bào bị thiên tai Số tiền góp bạn thống kê bảng ( đơn vị nghìn đồng) 5 2 3 4 10 5 2 a/ Dấu hiệu gì? b/ Lập bảng “tần số”, tính trung bình cộng Giải a/ Dấu hiệu tiền ủng hộ đồng bào bị thiên tai bạn HS lóp 7A b) bảng tần số Số tiền (x) Tần số Tích (x.n) (n) 5 12 24 108 24 =3 X 36 20 5 25 10 10 Tổng: 108 N = 36 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 107 Bài 3: Số bàn thắng trận đấu vòng đấu bảng vòng chung kết World Cup 2002 ghi bảng 4 2 2 4 2 2 a/ Dấu hiệu gì? Có trận đấu vòng đầu bảng 2 b/ Lập bảng “tần số” rút vài nhận xét vòng đấu bảng Giải a/ Dấu hiệu Số bàn thắng trận đấu vòng đấu bảng vòng chung kết World Cup 2002, có 48 trận đấu vòng đầu bảng b) Bảng tần số Nhận xét : Số bàn Tần số Số bàn thắng từ : đến thắng (n) Số bàn thắng nhât (x) Số bàn thắng nhiều 2 Số trận đấu có bàn thắng chiếm tỉ lệ cao Đa số trận có từ đến bàn thắng 16 8 N = 48 Bài : Thời gian làm tập hs lớp tính phút đươc thống kê bảng sau: 7 6 10 8 8 10 11 9 7 8 a- Dấu hiệu gì? Số giá trị bao nhiêu? b- Lập bảng tần số? Tìm mốt dấu hiệu?Tính số trung bình cộng? c- Vẽ biểu đồ đoạn thẳng? Giải www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 108 a) Dấu hiệu điều tra thời gian làm tập hs lớp tính phút Số giá trị dấu hiệu 32 b) Bảng tần số Thời gian Tần số Tích (x.n) (x) (n) 15 234 6 36 X 7,3 32 35 M0= 8 64 45 10 20 11 11 N = 32 c) d) Tồng: 234 HS tự vẽ Bài 5: Số bão hàng năm đổ vào lãnh thổ Việt Nam 20 năm cuối kỷ XX ghi lại bảng sau: 3 6 4 2 a/ Dấu hiệu gì? b/ Lập bảng “tần số” tính xem vòng 20 năm, năm trung bình có bão đổ vào nước ta ? Tìm mốt c/ Biểu diễn biểu đồ đoạn thẳng bảng tần số nói Giải a/ Dấu hiệu số bão hàng năm đổ vào lãnh thổ Việt Nam 20 năm cuối kỷ XX Số bảo (x) Tần số (n) Tích (x.n) 2 1 N = 20 21 16 10 12 Tổng: 82 X 82 4,1 20 M0= c) HS tự vẽ www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 109 Bài6: Tiền lượng tháng nhân viên Công ty thống kê bảng với đơn vị nghìn đồng Hãy điền tiếp vào cột 2, tính số trung bình cộng Mức lương (x) (1) Giá trị trung Tần số Tích (2)x(3) (n) (3) (4) tâm (2) Trên 1200 - 1400 Trên 1400 - 1600 Trên 1600 - 1800 Trên 1800 - 2000 Trên 2000 - 2200 Trên 2200 - 2400 Trên 2400 - 2600 Trên 2600 - 2800 3800 1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500 2700 3800 14 18 15 N = 75 7800 7500 11900 26600 37800 34500 15000 8100 3800 Tổng: X 153000 75 = 2040 Bài 7: Khối lượng học sinh lớp 7C ghi bảng (đơn vị kg) Tính số trung bình cộng Khối lượng x (1) Giá trị trung tâm (2) Tần số (3) Trên 24 - 28 Trên 28 - 32 Trên 32 - 36 Trên 36 - 40 Trên 40 - 44 Trên 44 - 48 Trên 48 - 52 26 30 34 38 42 46 50 12 40 Tích (2) x (5) (3) (4) 52 240 1470 408 X 40 342 =36,75 210 138 50 1470 Bài tập tự luyện BẢNG SỐ LIỆU THỐNG KÊ BAN ĐẦU BẢNG TẦN SỐ BIỂU ĐỒ Bài 1: Tổng số điểm môn thi học sinh phòng thi cho bảng 32 35 30 30 22 30 30 22 31 19 28 22 30 39 32 30 31 28 35 30 22 a/ Dấu hiệu gì? Số tất giá trị bao nhiêu? b/ Lập bảng tần số c/ Từ bảng “tần số” biểu diễn biểu đồ hình chữ nhật www.fb.com/n.v.tiens 35 30 28 0986 915 960 Toán học 110 Bài 2: Chiều cao 40 học sinh lớp 7C ghi bảng (đơn vị đo: cm) 140 145 131 137 143 136 152 144 135 144 134 142 152 139 148 152 136 141 143 135 144 135 136 147 146 149 144 139 133 152 139 133 142 154 155 136 144 136 134 144 Ta nhận thấy dấu hiệu X lấy nhiều giá trị khác giá trị lại gần ta nhóm giá trị thành lớp Hãy lập bảng “ tần số ghép lớp” theo cột sau: Cột 1: Chiều cao (theo lớp sau: Trên 130cm - 135cm; 135cm - 140cm; 140 cm - 145cm; 145cm - 150 cm; 150cm - 155cm) Cột 2: Giá trị trung tâm lớp (là trung bình cộng hai giá trị xác định lớp) Cột 3: Tần số lớp Cột 4: Tần suất tương ứng Bài 3: Lớp 7A góp tiền ủng hộ đồng bào bị thiên tai Số tiền góp bạn thống kê bảng ( đơn vị nghìn đồng) 4 2 10 a/ Dấu hiệu gì? b/ Lập bảng “tần số” 3 3 5 2 Bài 4: Số bàn thắng trận đấu vòng đấu bảng vòng chung kết World Cup 2002 ghi bảng 4 2 2 2 1 2 2 a/ Dấu hiệu gì? Có trận đấu vòng đầu bảng b/ lập bảng “tần số” rút vài nhận xét vòng đấu bảng Bài 5: Để khuyến khích dùng Internet người ta quy định hàng tháng, thời gian truy nhập Internet nhiều mức cước rẻ Bảng cho giá cước Thời gian - dùng Trên Trên 15 đến 15 giờ đến 30 Mức cước 150đ/ phút 130đ/ phút 100đ/phút Hãy biểu diễn bảng biểu đồ hình chữ nhật www.fb.com/n.v.tiens Ttên 30 Ttên 50 đến 50 giờ 70đ/phút 40đ/ phút 0986 915 960 Toán học 111 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG - MỐT Bài 1: Tiền lượng tháng nhân viên Công ty thống kê bảng với đơn vị nghìn đồng Hãy điền tiếp vào cột 2, tính số trung bình cộng Mức lương (x) Giá trị trung Tần số Tích (2)x (3) (1) (f) (4) tâm (3) (2) Trên 1200 - 1400 Trên 1400 - 1600 Trên 1600 - 1800 Trên 1800 - 2000 14 Trên 2000 - 2200 18 Trên 2200 - 2400 15 Trên 2400 - 2600 Trên 2600 - 2800 3800 N = 75 X Bài 2: Một xe ôtô chạy từ A đến B gồm chặng: Chặng 1, xe chạy với vận tốc 45km/h giờ; chặng 2, xe chạy với vận tốc 60km/h 45 phút; chặng 3, xe chạy với vận tốc 50km/h giờ; chặng 4, xe chạy với vận tốc 40km/h 45 phút Tính vận tốc trung biìn quãng đường AB Bài 3: Khối lượng học sinh lớp 7C ghi bảng (đơn vị kg) Tính số trung bình cộng Khối lượng x (1) Giá trị trung tâm (2) Trên 24 - 28 Trên 28 - 32 Trên 32 - 36 Trên 36 - 40 Trên 40 - 44 Trên 44 - 48 Trên 48 - 52 www.fb.com/n.v.tiens Tần số (3) Tích (2) x (5) (3) (4) 12 0986 915 960 [...]... 2 7 2 2 81 Bài 3: Rút gọn biểu thức sau theo cách hợp lí: 2 2 a) A 8 2 8 2 2 6 8 3 17 5 17 5 33 3 3 3 ; 4 9 B 7 2 5 2 2 5 4. 22 154 9 2 2 2 ; b) 2 2 1 c) C 2 2 1 1 1 49 49 7 7 2 2 64 4 2 4 2 7 7 343 www.fb.com/n.v.tiens 5 5 ; d) D 1 196 2 21 2 2 25 5 204 374 0986 915 960 Toán học 7 17 Bài... Trong trường hợp số nguyên thì ta thay các chữ số bị bỏ đi bằng các chữ số 0 BÀI TẬP Bài 1: Giá trị (làm tròn đến hàng đơn vị) của biểu thức M = 1,85 x 4,145 là A 7, 6 B 7 C 7, 66 D 8 E Không có các kết quả trên Bài 2: Giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) của biểu thức H = 20,83 : 3,11 là A 6,6 B 6,69 C 6 ,7 D 6 ,71 E 6 ,70 9 Bài 3: Giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) của biểu thức N =... ( 7) 2 7 2 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 7 32 BÀI TẬP Bài 1: Thực hiện phép tính (bằng cách hợp lý nếu có thể) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 9 4 2,18 : 3 0,2 25 5 5 7 4 1,456 : 4,5 18 25 5 8 16 5 5,13 : 5 1 1,25 1 9 63 28 1 62 4 1 3 1,9 19,5 : 4 . 3 75 25 3 4 5 4 16 1 0,5 23 21 23 21 3 1 3 1 19 33 7 3 7 3 3 7) ... 99 7 0,6 x 0,6 x 99 99 99 63 4 7 6 7 5 35 x : x x 2,91(66) 4 10 4 3 12 Lấy chính xác đến 1 chữ số thập phân thì x 2,9 Giải: (1) 0,6 x Bài 6 Chứng tỏ rằng a 0,( 37) + 0,(62) = 1 Ta có: 0,( 37) = 37 62 37 62 99 1 và 0,(62) = Do đó: 0,( 37) + 0,(62) = + = 99 99 99 99 99 b 0,(33) 3 = 1 Ta có: 0,(33) = 33 1 1 Do đó: 0,(33) 3 = 3 1 99 3 3 www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán. .. 3 3 2 2 1 4,5 : 47, 375 26 18.0 ,75 .2,4 : 0,88 3 2 5 17, 81 : 1, 37 23 : 1 3 6 Bài 2: Tìm x biết 1) 3) 5) 2 7 2 : x 1 : 0,2 3 9 2) 3 2 1 2 x : 1 : 4 5 3 3 4 5 3x 2 3 4) 6) 2 7 1 3 9 0,03 x 2 4 : 0,4 x : 3 5 1 8 : x 2 : 0,02 4 0,04 x x 0,25 2 7) 9) 11) 13) 4 2 3 : 2 x 0,25 : 2 5 3 1 3 4 1 x 5 7 5 3 31 y : 1 8 33 2 x ... 5 7 3 x y 2 z 2,4 12) 4 x 5 y 7 y 3z 3x 4 y 2 z 106 Bài 4: 1) Số học sinh ba khối 7, 8,9 tỷ lệ với 10,9,8 Biết rằng số học sinh khối 8 ít hơn số học sinh khối 6 là 50 Tính số học sinh mỗi khối 2) Tổng kết năm học, ba khối 6 ,7, 8 của một trường có tất cả 480 học sinh giỏi Số học sinh giỏi của ba khối 6 ,7, 8 tỷ lệ với 5,4,3 Tính số học sinh giỏi mỗi khối 3) Ba lớp 7A1, 7A2, 7A3... 261 29 0,263 990 990 110 12423 12 5 678 9 5,12423 5 99900 11100 B BÀI TẬP Bài 1: Viết các phân số sau dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn 5 ; 64 2 ; 15 21 ; 75 ; 11 ; 37 13 ; 40000 4 121 ; ; 55 60 9 8 ; ; 1024 30 203 175 Bài 2: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản -5,12; 0, (72 ); 0,2(36); - 17, (23); 0,15( 279 ) Bài 3: Viết số thập phân dưới dạng phân số... : 4 7 4 7 3 1 1 0,5 : (3) : (2) 5 3 6 10) 5 2 2 4 1 1,008 : : 3 6 .2 9 17 25 7 4 11) 0 3 4 1 2 1 7 1 3 3 2 2 ( 0 , 6 ) 4 1 , 75 : 1 2 (0,2) 3 5 5 2 3 12) 1 121 1 25 16 1 5 5 16 25 1 : 1 1 : : : 5 24 5 144 64 5 196 7 21 49 ... b) 64 2 32 7 1,69 3 : 5 16 3 9 4 2 3 1 3 1 x 5 20 4 5 e) x 5 x 0 f) x 5 2x 7 Bài 13: Tìm x biết a) 1,69. 2 x b) 81 13 121 10 16 9 0,81. x 64 10 www.fb.com/n.v.tiens 2 2 2 c) x 2 x x 3 0 x 0 0986 915 960 Toán học 7 18 ĐẠI LƢỢNG TỈ LỆ THUẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƢỢNG TỈ LỆ THUẬN KIẾN THỨC - Nếu đại lượng... minh rằng: a/ f(10x) = 10f(x) b/ f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) c/ f(x1 - x2) = f(x1) - f(x2) Bài 7: Viết công thức của hàm số y = f(x) Biết rằng y tỷ lệ nghịch với x theo hệ số a =12 a/ Tìm x để f(x) = 4 ; f(x) = 0 b/ Chứng tỏ rằng f(-x) = -f(x) www.fb.com/n.v.tiens 0986 915 960 Toán học 7 27 MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Mặt phẳng toạ độ Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục Ox, Oy vuông góc với nhau và