Tong hop kien thuc toan cap III full

Giaùo vieân Th.S NGUYEÃN VUÕ MINH Đt : 0914449230 TÓM TẮT CÔNG THỨC TAØI LIEÄU NAØY CUÛA …………….......................………………… BIEÂN HOØA, 25082016 LÖU HAØNH NOÄI BOÄ NHÔÙ 1: PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT A.x = B • A  0 : phöông trình coù nghieäm duy nhaát • A = 0 vaø B  0 : phöông trình voâ nghieäm • A = 0 vaø B = 0 : phöông trình voâ soá nghieäm Ax > B • A > 0 : • A < 0 : • A = 0 vaø B  0 : voâ nghieäm • A = 0 vaø B < 0 : voâ soá nghieäm NHÔÙ 2 : PHÖÔNG TRÌNH BAÄT HAI MOÄT AÅN ax2 + bx + c = 0 ( a  0)  = b2 – 4ac

NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT A.x = B

• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất x = B A

• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm

• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm

• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm

• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm

NHỚ 2 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN

21

∆+

−

a

b x

22

x

22

/ /

1

∆+

−

a

b x

/ /

x

/ 2

1 = = −

TỔNG HỢP KIẾN THỨC TỐN ƠN THI ĐẠI HỌC

♥ Chú ý: a + b + c = 0 : nghiệm x1 = 1, x2 =

a c

f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a

NHỚ 4 : DẤU TAM THỨC f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0)

(Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)

NHỚ 5 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực

1/ Muốn có x1 < α < x2 ta phải có a.f(x) < 0

2/ Muốn có x2 > x1 > α ta phải có

0)(0α

α

S af

3/ Muốn có x1 < x2 < α ta phải có

0)(0α

α

S af

4/ Muốn có x1< α < β < x2 ta phải có    ( ( β ) ) < < 0 0

α

af af

5/ Muốn có x1< α < x2 <β ta phải có    ( ( β ) ) < > 0 0

α

af af

2 1

x x

x x

β α

β α

2

0)(

0)(0

S af af

1/ Muốn có x1 < 0 < x2 ta phải có P < 0

2/ Muốn có x2 > x1 > 0 ta phải có 

S P

3/ Muốn có x1 < x2 < α ta phải có 

S P

NHỚ 6 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

B B

0 hayB A

B A B

A B

B B

A

000

NHỚ 8 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

B

B A B

B A B

)()()

()(

x

x g x f x

x g x f x

g x f

NHỚ 9 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

B B

B A

b a

0 ,

c bc ac

c bc ac

b a

d c

b a

b a

3/ BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3, , an

n

n

n

a a

a

a n

a a

a a

3 2 1 3

2

hay

n n n

n

a a

a a

a a

2 1

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = = an

NHỚ 11 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

Sinx

Cosx

x Cos x

Tan2 12

x Sin x

• Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1

• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1

B CÔNG THỨC CỘNG

C CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI :

2

sin 2 2 sin cos

2 tan tan 2

1 tan

u u

a Sin = −

⇒ 1 − Cos 2 a = 2 Sin2a

2

21

a Cos = +

2 1 sin sin [cos( ) cos( )]

2 1 sin cos [sin( ) sin( )]

2 1 cos sin [sin( ) sin( )]

G CUNG LIÊN KẾT :

Cos đối Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – SinαSin bù Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – CosαPhụ chéo Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα

Khác π Tan Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα

Sai kém π/ 2 Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα

NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

π 2

2

k v u

k v u

k ∈ Z Cosu = Cosv ⇔ u = ± v + k 2 π

B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos

Dạng a.sinx + b.cosx = c ( a2 + b2 ≠ 0 )

☻ phương trình có nghiệm 2 2 2

c b

Phương pháp : Chia hai vế cho 2 2

b

a +

b a

b Cos

b a

a

= +

c x

Sin

+

=

C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1/ Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a ≠ 0

aSin2x + bSinx + c = 0 ( đặt t = Sinx , t ≤ 1)

aCot ( đặt t = Cotx , x ≠ k π )

2/ Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx

Dạng: aSin2x+bSinxCosx +cCos2x = 0 (1)

Hay aSin3x + bSin2xCosx + cSinxCos2x + dCos3x = 0 (2)

Phương pháp :

♣ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ?

♣ Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương

trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với tanx

3/ Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:

Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

4(

=+

0 2

1 (*)

2

= +

− +

1 (*)

2

= +

− +

K A

(*)

NHỚ 14: HỆ THỨC LƯỢNG

Tam giác thường ( các định lý)

2 2

2 = + −

•

bc

a c

b CosA

2

2 2

2 + −

=Hàm số Sin •

R SinC

c SinB

b SinA

a

2,

Diện tích

• S ah a bh b ch c

2

12

12

1 2

( 2 )

( p a Tan A p b Tan B p c Tan C p

b SinA

a S

abc R

2 2

2

=

• a, b, c : cạnh tam giác

• A, B, C: góc tam giác

• h a : Đường cao tương ứng với cạnh a

• m a : Đường trung tuyến vẽ từ A

• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác

•

2

c b a

= Nữa chu vi tam giác

NHỚ 15: HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC VUƠNG

•

AC AB BC

AH

CH BH AH

.

.2

2

1 1

1

AC AB

H

A

NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghĩa 1:

Hàm số y = f (x ) gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :

1/ f (x ) xác định tại điểm x = a

Nếu f (x)liên tục trên [a, b] và f (a).f (b) <0thì tồn tại ít nhất một

điểm c∈ (a, b) sao cho f (c) = 0

NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ

1/ Định nghĩa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố định) Hàm số mũ là hàm số xác

NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT

1/ Định nghĩa :

a) Cho a > 0,a ≠1, N > 0

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N Ký hiệu : log a N = M

b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = log a x ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1)

2/ Tính chất và định lý cơ bản về logarit : Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn TC1 : loga N = M ⇔ aM = N TC2 : loga aM = M , aloga M =M TC3 : loga 1 = 0, log a a = 1 TC4 : loga (MN) = loga M + loga N TC5 : M N N M a a a log log log = − TC6 : Đổi cơ số b a a N N b a c c a log 1 log ; log log log = = 3/ Đồ thị : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

0 x 0 x

4/ Phương trình Logarit : ) ( ) ( ) ( log ) ( loga f x = a g x ⇔ f x = g x

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a ≠ 1 )

5/ Bất phương trình Logarit : loga f (x) < loga g(x) (*)

0 )

( (*) 1

x g x

f

x f

(

0 )

( (*) 0 1

x g x

f

x g

a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM

I/ Định nghĩa đạo hàm :

Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x 0 ∈ ( a, b) Ta nói f(x)

có đạo hàm tại x 0 nếu giới hạn ∆ → 0

∆

∆

x khi x

y

tồn tại

x

x f x x

f x

y x

lim lim

)

0 0

0 '

∗ Đạo hàm bên trái :

x

y x

'

lim)

∗ Đạo hàm bên phải :

x

y x

'

lim)

 Cho y = f(x) xác định trên (a, b)

y = f(x) có đạo hàm tại x 0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘ (x 0 + ) = f ’ (x 0 – )

II/ Qui tắc tính đạo hàm :

III/ Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :

Cơng thức hàm cơ bản Cơng thức hàm mở rộng ( u)

(sin u)' u '.cos u (cos u)' u '.sin u

1 (tan u)' u '.(1 tan u) u '

cos u 1 (cot u)' u '.(1 cot u) u '

=

=

a

1 (ln x) '

x

1 (log x) '

NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c , c ∈ (a, b)

b

a F b F a x

F dx

b

a vdu v

u udv [ ]

với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]

3/ Đổi cơ số :

x f

b a

) ( ) ( )

a b

dx x f dx

c) ∫ = ∫ + ∫

b c

c a

b a

dx x f dx

x f dx

b a

dx x g dx

x f dx

x g x

[

b a

b a

R K dx

x f K dx x

c

x dx x

a dx b

+

+

=+

∫( ) 1.( 1) +

1

α

α α

11

1(

1)

b ax a

b ax dx

5 ∫ = Ln x +c

x dx

+b a Ln ax b c ax

a dx

e ax b 1 ax b

Lna

a dx a

x x

11 ∫Sinxdx = −Cosx+c

12 ∫ + = − Cos ax + b + c

a dx

b ax

13 ∫ Cosxdx = Sinx + c

14 ∫ + = Sin ax+b +c

a dx b ax

15 ∫ =Tanx+c

x Cos

dx

2

16 ∫ = −Cotx +c

x Sin

x arcTan a

a x

dx 12 2

a

dx

2

12 2

a dx

h x

2 2

2 2

2

a c

a

x arcSin

a x

a

x dx x a

24 ∫ x2 +h dx = x x2 +h + h Ln x + x2 +h +c

22

NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HỢP _ CHỈNH HỢP

 K

n

K n

∗ z = r.(Cosα + i.Sinα)

z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ) z, z’ ≠ 0 z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)]

)]

( )

(

[ ' ' = Cos α − β + iSin α − β

r

r z

z

2/ MoaVrơ :

) (

)]

(

3/ Căn bậc n của số phức z = r.( Cosα + i.Sinα) :

)

2

2(

n

K Sin

i n

K Cos

r

với K = 0, 1, 2, , n – 1

NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

• M(x, y) ⇔ OM→ = xe→1+ ye→2

• Cho A( x A , y A )

B( x B , y B ) 1) AB→ = ( xB − xA , yB − yA)

) ,

B A

y y

y

x x x

4) Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :

k

x k x x

B A

B A

1.1

• Phép toán : Cho →a = ( a1, a2); b→ =(b1,b2)

1 1

b a

b a b

2 2

2 1

2 2 1 1

,

b b a

a

b a b a b

a Cos

++

y

t a x

x

2 0

1 0

2/ Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A 2 + B 2 ≠ 0)

• Pháp vectơ →n =(A,B)

• Vectơ chỉ phương a→ =(−B, A) ( hay →a = (B,−A) )

• Hệ số góc = − (B ≠ 0)

B

A

K 3/ Phương trình pháp dạng :

02

2 2

2 2

+

+ +

+

C y

B A

B x

B A

5/ Phương trình đường thẳng qua A(x A , y A ) và B(x B , y B ) :

(x – x A )(y B – y A ) = (y – y A )(x B – x A)

hay

A B

A A

B

A

y y

y y x

x

x x

7/ Phương trình chính tắc : x a x0 y − b y0

=

−



y y x

y a

x x

8/ Khoảng cách từ một điểm M(x 0 , y 0 ) đến Ax + By + C = 0 :

d(A;d) = 0 2 0 2

B A

C By

Ax

+

+ +

9/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng : d 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0

d 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

2

1 2

1

B

B A

A

2

1 2

1

B

B C

1

C

C A

1

x D

D d

0

y

D D

1 2

1 2

1 //

C

C B

B A

A d

2

1 2

1 2

1 2

1

C

C B

B A

A d

11/ Góc của hai đường thẳng d 1 và d 2 :

2

2 2

2 1

2 1

2 1 2 1

B A

B A

B B A A Cos

++

+

=ϕ

12/ Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 :

2 2

2 2

2 2

2 2

1

2 1

1 1

1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

+

++

±

=+

+

+

* Chú ý :

Dấu của n→1 n→2 Phương trình đường

phân giác góc nhọn tạo bởi d1, d2

Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2

C ĐƯỜNG TRÒN :

1/ Phương trình:

a Phương trình tổng quát của đường trịn:

Cho đường trịn (C) tâm I(a; b)

bán kinh R cĩ dạng tổng quát :

(x − a) + (y − b) = R

b Phương trình khai triển của đường trịn:

Ngồi ra cịn cĩ thể viết PT đường trịn dưới dạng khai triển:

2/ Phương trình tiếp tuyến tại M(x 0 ; y 0 ):

(x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Dạng 1)

x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Dạng 2)

3/ L ập phương trình đường trịn

Để lập phương trình đường trịn (C) ta thường cần phải xác định tâmI (a; b)

và bán kính R của (C) Khi đĩ phương trình đường trịn (C) là:

D ạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và cĩ tâm I nằm trên đường thẳng ∆

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

– Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆

– Bán kính R = IA

D ạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

– Tâm I của (C) thoả mãn: I d

D ạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

– Viết phương trình đường thẳng ∆′ đi qua B và vuơng gĩc với ∆ – Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆′

– Bán kính R = IA

D ạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2

Chú ý: Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi ∆1 và ∆2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 và ∆2

Nếu ∆1 // ∆2, ta tính R = 1d( 1, 2)

2 ∆ ∆ , và (2) được thay thế bới IA = R

D ạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và có tâm nằm trên đường thẳng d

– Tâm I của (C) thoả mãn: d(I, 1 ) d(I, 2 )

D ạng 9 (hay gặp) : (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường

tròn ngoại tiếp tam giác)

– Phương trình của (C) có dạng: 2 2

x + y + 2ax + 2by + = c 0 (*)

– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình

– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c ⇒ phương trình của (C)

Điều kiện tiếp xúc với Ax + By + C = 0 A2a2 + B2b2 = C2

NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

A B

A B

A B

x x x

y y y

z z z

k

y ky y

k

z kz z

B PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :

1/ Phương trình tham số : 00 1 12 1 1 22 2 1 2

n A B C

→

= Vectơ pháp tuyến (VPT)

Đặc biệt :

• By + Cz + D = 0 song song trục Ox

• Cz + d = 0 song song mặt phẳng Oxy

• Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ

• By + Cz = 0 chứa trục Ox

• z = 0 mặt phẳng Oxy

3/ Phương trình mặt phẳng qua M( x 0 , y 0 , z 0 ) ,có VPT n ( , , )A B C

Với m2 + n2 ≠ 0 và α cắt β

C PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1/ Phương trình tham số :

1/ Hai đường thẳng :

d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phươnga ( , a a a1 2, 3)

→

= d’ qua ' ' '

2/ Đường thẳng và mặt phẳng :

• d qua M(x 0 , y 0 , z 0) có Vectơ chỉ phương a ( ,a a a1 2, 3)

2/ Khoảng cách từ một điểm N(x’0, y’0, z’0) đến một đường thẳng d qua

M(x 0 , y 0 , z 0) và có VCP là a ( ,a a a1 2, 3)

3/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau d và d’ :

1

/ / / / / /

d

d

d d

d a d

d b d

α β

α β

β α

α

// '

//( ) ' ( )

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu cĩ) cũng song song với đường thẳng đĩ

'

/ / ' / /

4

b

a β

C B A

R

Q P

b

chắn tr6n hai cát tuyến bất kỳ a,

b những đoạn thẳng tỉ lệ

' ' ' '

b d

α

9

a b

( ) ( )

Nếu α β // và a ⊥ α thì

Nếu a ⊥ α và a ⊥ β thì //

α β

13

b

α a b

a β

* Có hai mặt phẳng song song và mỗi mặt chứa một đường

14

H O

A'

B A α

ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN

* Đoạn vuông góc chung OH là đoạn ngắn nhất

* Hai đoạn xiên dài bằng nhau có hình chiếu dài bằng nhau và ngược lại

OA = OA’⇔HA = HA’

*Hai đoạn xiên có độ dài khác nhau thì đoạn xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại

∆

( ) ( )

( ) ( ),

( )

P

17 – Hình đa diện: Hình đa diện là hình được tạo

bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất:

– Khơng là hình đa diện:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ cĩ thể: hoặc khơng cĩ điểm chung, hoặc chỉ cĩ một đỉnh chung, hoặc chỉ cĩ một cạnh chung

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai

đa giác

Khối đa diện là phần khơng gian

được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đĩ

Tên gọi và các thành phần: đỉnh, cạnh, mặt bên, … được đặt tương ứng với hình đa diện tương ứng

18

C'

B' A'

C

B

1/ Định nghĩa : Hình lăng trụ

là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt song song gọi là hai đáy và các cạnh không thuộc hai đáy đều song song nhau

2/ Các loại :

* Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy

* Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có mỗi đáy là đa giác đều

Ngoài ra còn có lăng trụ xiên

Hình lăng trụ tam giác

Hình lăng trụ tứ giác

Hình lăng trụ lục giác

Hình lăng trụ cĩ đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp

* STP = Sxq + 2Sđáy

* V = B.h

B : diên tích đáy

h : chiều cao

19

DS

CB

A

A

D

C B

S

H

HÌNH CHÓP 1/ Định nghĩa : Hình chóp là

một hình đa diện có một mặt là một đa giác, các mặt còn lại đều là những tam giác có chung một đỉnh

* Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau

* Hình chóp cụt là phần của hình chóp nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy

2/ S xq , S TP , V :

• Sxq của hình chóp và hình chóp cụt là tổng diện tích tất cả các mặt bên của mỗi hình đó

xq

S = chu vi đáy x trung đoạn

• Thể tích hình chóp :

1 3

B, B’ : diện tích hai đáy

h : chiều cao

20 SỰ TẠO THÀNH MẶT TRỊN

XOAY

Trong KG, cho mp (P) chứa đường thẳng ∆ và một đường (C) Khi quay (P) quanh ∆ một gĩc 360 0

thì mỗi điểm M trên (C) vạch ra một đường trịn cĩ tâm O thuộc ∆ và nằm trên mp vuơng gĩc với ∆ Khi

đĩ (C) sẽ tạo nên một hình đgl mặt

trịn xoay

(C) đgl đường sinh của mặt trịn xoay đĩ ∆ đgl trục của mặt trịn xoay.

HÌNH TRỤ TRÒN XOAY 1/ Định nghĩa :

* Hình chữ nhật OO’A’A khi quay quanh cạnh OO’ tạo nên một hình gọi là hình trụ tròn xoay( hay hình trụ)

_ Hai cạnh OA và O’A’ vạch thành hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy

_ Cạnh AA’ vạch thành một mặt tròn xoay gọi là mặt xung quanh của hình trụ _ OO’ gọi là trục hay đường cao của hình trụ