Tổng hợp kiến thức môn toán ôn thi đại học

Tổng hợp kiến thức môn toán ôn thi đại họ

WWW.ToanCapBa.Net TỔNG HỢP KIẾN THỨC TỐN ƠN THI ĐẠI HỌC NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT Ax = B • A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất A B x = • A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm • A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm Ax > B • A > 0 : A B x > • A < 0 : A B x < • A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm • A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 1/. Dạng :    =+ =+ /// cybxa cbyax 2/. Cách giải : baab ba ba D // // −== bccb bc bc D x // // −== caac ca ca D y // // −== ∗ D ≠ 0 : hệ có nghiệm duy nhất        = = D D y y D D x x ∗ D = 0 và D x ≠ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 và D y ≠ 0 ∗ D = D x = D y = 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a / , b / , c / Sơ đồ: a c b a’ c’ b' D D y D x Trang 1 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) ∗ ∆ = b 2 – 4ac ∆ > 0 a b x 2 1 ∆+− = , a b x 2 2 ∆−− = ∆ = 0 Nghiệm kép a b xx 2 21 −== ∆ < 0 Vô nghiệm ∗ ∆ / = b / 2 – ac ∆ / > 0 a b x // 1 ∆+− = , a b x // 2 ∆−− = ∆ / = 0 Nghiệm kép a b xx / 21 −== ∆ / < 0 Vô nghiệm Chú ý: a + b + c = 0 : nghiệm x 1 = 1, x 2 = a c a – b + c = 0 : nghiệm x 1 = –1, x 2 = a c − NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a ≠ 0) x – ∞ a b − +∞ f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG) Nếu Thì    > <∆ 0 0 a    < <∆ 0 0 a f(x) > 0, ∀x f(x) < 0, ∀x    > =∆ 0 0 a    < =∆ 0 0 a f(x) > 0, ∀x ≠ a b 2 − f(x) < 0, ∀x ≠ a b 2 − ∆ > 0 x – ∞ x 1 x 2 +∞ f(x) cùng 0 trái 0 cùng dấu a Trang 2 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ Cho: f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực 1/. Muốn có x 1 < α < x 2 ta phải có af(x) < 0 2/. Muốn có x 2 > x 1 > α ta phải có        >− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af 3/. Muốn có x 1 < x 2 < α ta phải có        <− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af 4/. Muốn có x 1 < α < β < x 2 ta phải có    < < 0)( 0)( β α af af 5/. Muốn có x 1 < α < x 2 <β ta phải có    > < 0)( 0)( β α af af 6/. Muốn có    <<< <<< 21 21 xx xx βα βα ta phải có 0)()( < βα ff 7/. Muốn có α < x 1 < x 2 <β ta phải có          << > > >∆ βα β α 2 0)( 0)( 0 S af af  Chú ý: 1/. Muốn có x 1 < 0 < x 2 ta phải có P < 0 2/. Muốn có x 2 > x 1 > 0 ta phải có      > > >∆ 0 0 0 S P 3/. Muốn có x 1 < x 2 < α ta phải có      < > >∆ 0 0 0 S P NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1/.    = ≥ ⇔= K K BA B BA 2 2 0 Trang 3 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 2/.    ≥≥ = ⇔= )0(0 22 hayBA BA BA KK NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1/.      < > ≥ ⇔< K K BA B A BA 2 2 0 0 2/.           > ≥    ≥ < ⇔> K K BA B A B BA 2 2 0 0 0 3/. 12 12 + + <⇔< K K BABA NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/.           ≥ −=    ≥ = ⇔= 0 0 B BA B BA BA 2/.    −= = ⇔= BA BA BA Chú ý:           ≤ =−    ≥ = ⇔= 0 )()( 0 )()( )()( x xgxf x xgxf xgxf NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/.    > <<− ⇔< 0B BAB BA Trang 4 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 2/.              ≥ −<    ≥ > < ⇔> 0 0 0 B BA B BA B BA 3/. 22 BABA >⇔> NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/. Đònh nghóa : Dạng : A > B, A ≥ B A < B, A ≤ B 2/. Tính chất : a) abba <⇔> b) ca cb ba >⇒    > > c) cbcaba +>+⇔> d)    << >> ⇔> 0, 0, cbcac cbcac ba e) dbca dc ba +>+⇒    > > f) bdac dc ba >⇒    >> >> 0 0 g)       <> >< ⇒> 0; 11 0; 11 abkhi ba abkhi ba ba 3/. BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a 1 , a 2 , a 3 , , a n n n n aaaa n aaaa 321 321 ≥ ++++ hay n n n n aaaa aaaa       ++++ ≤ 321 321 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = a 3 = = a n 4/. BĐT Bunhia Côp ski : Cho a 1 , a 2 , a 3 , , a n , b 1 , b 2 , b 3 , , b n là những số tực khi đó: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++++≤+++ Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a i = k.b i , i = 1 , 2 , 3, , n 5/. BĐT BecnuLi : Trang 5 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Cho : a > –1, n ∈ N Ta có : (1 + a) n ≥ 1 + na Đẳng thức xảy ra    = = ⇔ 1 0 n a 6/. BĐT tam giác : BABA +≤+ Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0 NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức ) 1/. 1 22 =+ xCosxSin 2/. Cosx Sinx Tanx = 3/. Sinx Cosx Cotx = 4/. 1. = CotxTanx 5/. xCos xTan 2 2 1 1 =+ 6/. xSin xCot 2 2 1 1 =+ Điều kiện tồn tại : • Tanx là x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z • Cotx là x ≠ kπ , k ∈ Z • Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1 • Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1 Chú ý : • a 2 + b 2 = ( a + b) 2 – 2ab • a 3 + b 3 = ( a + b) 3 – 3ab( a + b) B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ) 7/. SinaSinbCosaCosbbaCos −=+ )( 8/. SinaSinbCosaCosbbaCos +=− )( 9/. CosaSinbSinaCosbbaSin +=+ )( 10/. CosaSinbSinaCosbbaSin −=− )( 11/. TanaTanb TanbTana baTan − + =+ 1 )( 12/. TanaTanb TanbTana baTan + − =− 1 )( 13/. CotbCota CotaCotb baCot + − =+ 1 )( Trang 6 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 14/. CotbCota CotaCotb baCot − + =− 1 )( C. CÔNG THỨC NHÂN I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức) 15/. SinaCosaaSin 22 = 16/. aSinaCosaSinaCosaCos 2222 21122 −=−=−= 17/. aTan Tana aTan 2 1 2 2 − = II. NHÂN BA : ( 3 công thức) 18/. CosaaCosaCos 343 3 −= 19/. aSinSinaaSin 3 433 −= 20/. aTan aTanTana aTan 2 3 31 3 3 − − = III.HẠ BẬC : ( 4 công thức) 21/. 2 21 2 aCos aSin − = ⇒ aSinaCos 2 221 =− 22/. 2 21 2 aCos aCos + = ⇒ aCosaCos 2 221 =+ 23/. 4 33 3 aSinSina aSin − = 24/. 4 33 3 aCosCosa aCos + = IV.GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) 25/. 2 1 2 t t Sinx + = 26/. 2 2 1 1 t t Cosx + − = , với 2 x Tant = 27/. 2 1 2 t t Tanx − = D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức) 28/. 22 2 ba Cos ba CosCosbCosa −+ =+ 29/. 22 2 ba Sin ba SinCosbCosa −+ −=− 30/. 22 2 ba Cos ba SinSinbSina −+ =+ 31/. 22 2 ba Sin ba CosSinbSina −+ =− 32/. CosaCosb baSin TanbTana )( + =+ 33/. CosaCosb baSin TanbTana )( − =− Trang 7 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 34/. SinaSinb baSin CotbCota )( + =+ 35/. SinaSinb baSin CotbCota )( −− =− E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức) 36/. ( ) [ ] )( 2 1 baCosbaCosCosaCosb ++−= 37/. [ ] )()( 2 1 baCosbaCosSinaSinb +−−= 38/. [ ] )()( 2 1 baSinbaSinSinaCosb ++−= F. CUNG LIÊN KẾT : Cos đối Cos(– α ) = Cos α ; Sin(– α ) = – Sin α Sin bù Sin( π – α ) = Sin α ; Cos( π – α ) = – Cos α Phụ chéo Sin( π /2 – α ) = Cos α ; Cos( π /2 – α ) = Sin α Khác π Tan Tan( π + α ) = Tan α ; Cot( π + α ) = Cot α Sai kém π / 2 Sin( π /2 + α ) = Cos α ; Cos( π /2 + α ) = – Sin α NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC A. CƠ BẢN : Sinu = Sinv    +−= += ⇔ ππ π 2 2 kvu kvu k ∈ Z Cosu = Cosv π 2kvu +±=⇔ Tanu = Tanv π kvu +=⇔ Cotu = Cotv π kvu +=⇔ Sinu = 0 π ku =⇔ Sinu = 1 ππ 22/ ku +=⇔ Sinu = –1 ππ 22/ ku +−=⇔ Cosu = 0 ππ ku +=⇔ 2/ Cosu = 1 π 2ku =⇔ Cosu = – 1 ππ 2ku +=⇔ B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos Dạng aSinx + bCosx = c ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) Phương pháp : Cách 1: Chia hai vế cho 22 ba + Đặt : αα Sin ba b Cos ba a = + = + 2222 ; Ta có 22 )( ba c xSin + =+ α (*) (*) Có nghiệm khi 1 22 ≤ + ba c 222 cba ≥+⇔ (*) Vô nghiệm khi 222 cba <+⇔ Trang 8 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Cách 2: • Kiểm chứng x = (2k + 1)π có phải là nghiệm của phương trình hay không? • Xét x ≠ (2k + 1)π Đặt : 2 x Tant = Thế 2 2 2 1 1 ; 1 2 t t Cosx t t Sinx + − = + = Vào phương trình ⇒ t ? ⇒ x ? C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1/. Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a≠ 0 0 2 =++ cbSinxxaSin ( đặt 1, ≤= tSinxt ) 0 2 =++ cbCosxxaCos (đặt 1, ≤= tCosxt ) 0 2 =++ cbTanxxaTan ( đặt π π kxTanxt +≠= 2 , ) 0 2 =++ cbCotxxaCot ( đặt π kxCotxt ≠= , ) 2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx Dạng: 0 22 =++ xcCosbSinxCosxxaSin (1) 0 3223 =+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2) Phương pháp : Cách 1: ∗ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ? ∗ Chia hai vế cho Cos 2 x ( dạng 1), chia Cos 3 x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx. Cách 2: Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và 2 2xSin SinxCosx = thế vào 3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx: Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) Phương pháp: Đặt : 2), 4 (2 ≤+=+= txSinCosxSinxt π 0 2 1 (*) 2 =+ − +⇔ c t bat t⇒ ( nếu có) x⇒ Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự : Đặt : 2), 4 (2 ≤−=−= txSinCosxSinxt π 0 2 1 (*) 2 =+ − +⇔ c t bat ⇒ t ? ( nếu có) ⇒ x ? D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : Trang 9 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 1/. Tổng bình phương : • A 2 + B 2 + + Z 2 = 0 ⇔ A = B = = Z = 0 • A ≥ 0, B ≥ 0, , Z ≥ 0 Ta có : A + B + + Z = 0 ⇔ A = B = = Z = 0 2/. Đối lập : Giả sử giải phương trình A = B (*) Nếu ta chứng minh    ≥ ≤ KB KA    = = ⇔ KB KA (*) 3/.      +=+ ≤ ≤ klBA kB lA    = = ⇔ kB lA 4/. 1,1 ≤≤ BA    = = ⇔= 1 1 1 B A AB hay    −= −= 1 1 B A NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG Tam giác thường ( các đònh lý) Hàm số Cosin • bcCosAcba 2 222 −+= • bc acb CosA 2 222 −+ = Hàm số Sin • R SinC c SinB b SinA a 2=== • R a SinARSinAa 2 ,2 == Hàm số Tan • ba ba BA Tan BA Tan + − = + − 2 2 Các chiếu • cCosBbCosCa += Trung tuyến • 4 )(2 222 2 acb m a −+ = Phân giác • 2 . 2 a A bc Cos l b c = + Diện tích Diện tích • cba chbhahS 2 1 2 1 2 1 === Trang 10 WWW.ToanCapBa.Net [...]... cầu tâm I(a, b, c), bán kính R • (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 • x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 Với R2 = a2 + b2 + c2 – d ≥ 0 NHỚ 26 : MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TT HÌNH VẼ KIẾN THỨC 1 α ∩ β = d  d // α // β  a // b  d a α ⇒ d ≡ a   b a ⊂ β d ≡ b β  b ⊂ α  2 a// α nếu và chỉ nếu trên α có a’ , a’//a 3 α ∩ β = d d β  ⇒... Nữa chu vi tam giác 2 Hệ thức lượng tam giác vuông: AH 2 = BH CH A • AH BC = AB AC 1 1 1 B = + C 2 2 H AH AB AC 2 • AB 2 = BH BC • AC 2 = CH CB • BC 2 = AB 2 + AC 2 NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ Cho tam giác ABC : A B C 1/ SinA + SinB + SinC = 4Cos Cos Cos 2 2 2 A B C 2/ CosA + CosB + CosC = 1 + 4 Sin Sin Sin 2 2 2 3/ TanA + TanB + TanC = TanA.TanB.TanC ( tam giác ABC không vuông) A B C A B C 4/ Cot... α P 17 18 A C B A' C' B' β ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN * Đoạn vuông góc chung OH là đoạn ngắn nhất * Hai đoạn xiên dài bằng nhau có hình chiếu dài bằng nhau và ngược lại OA = OA’ ⇔ HA = HA’ *Hai đoạn xiên có độ dài khác nhau thì đoạn xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại OB > OA ⇔ HB > HA ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC a ⊂ α và đường xiên b có hình chiếu vuông góc trên α là b’ , ta có : a ⊥... trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa độ: a b c 5/ Cho α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 β: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 a/ Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi công thức : A1 A2 + B1 B2 + C1C2 Cosϕ = 2 2 A12 + B12 + C12 A22 + B2 + C2 b/ Vuông góc : α ⊥ β ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 c/ Vò trí tương đối : • α cắt β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A1 B1 C1 D1 = = = • α ≡β ⇔ A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1 = = ≠... phẳng H S’: Diện tích của hình chiếu vuông góc của H là H’ α : Góc giữa mặt phẳng chứa H và mặt phẳng chứa H’ S ' = S Cosα HÌNH LĂNG TRỤ 1/ Đònh nghóa : Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt song song gọi là hai đáy và các cạnh không thuộc hai đáy đều song song nhau 2/ Các loại : * Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy * Hình lăng trụ đều là... x + h + 2 Ln x + x + h + c 2 NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP Pn = n! 1/ Hoán vò : n! C nK = 2/ Tổ hợp : K !(n − K )! K n− K  Cn = Cn Trang 17 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net n 0  Cn = Cn = 1 K K −1 K  C n −1 + C n −1 = C n 0 1 n n  C n + C n + + C n = 2 n! AnK = (0 ≤ K ≤ n ) 3/ Chỉnh hợp : (n − K )! NHỚ 23 : SỐ PHỨC 1/ Phép tính : ∗ Cho z’ = a’ + b’i z ± z’ = ( a ± a’) + ( b ± b’)i z.z’... 2 ⇔ D = D x = D y = 0 Chú ý : A2, B2, C2 ≠ 0 A1 B1 ≠ d1 cắt d2 ⇔ A2 B2 A B C d1 // d 2 ⇔ 1 = 1 ≠ 1 A2 B2 C 2 A B C d1 ≡ d 2 ⇔ 1 = 1 = 1 A2 B2 C 2 11/ Góc của hai đường thẳng d1 và d2 : Xác đònh bởi công thức : Cosϕ = A1 A2 + B1 B2 2 2 A12 + B12 A2 + B2 Trang 20 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 12/ Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 : A1 x + B1 y + C1 A x + B2 y + C 2 =± 2 2... (x) liên tục trên [a, b] và f ( a) f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈ (a, b) sao cho f (c) = 0 NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ 1/ Đònh nghóa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố đònh) Hàm số mũ là hàm số xác đònh bởi công thức : y = ax ( x ∈ R) 2/ Tính chất : a) Hàm số mũ liên tục trên R b) y = ax > 0 mọi x ∈ R c) a > 1 : Hàm số đồng biến x1 x2 a < a ⇔ x1 < x 2 d) 0 < a < 1 : Hàm số nghòch biến x1 x2 a < a ⇔ x1 > x 2... Cz0 + D ≠ 0  → → ⇔ a.n ≠ 0 → →  ⇔ a n = 0  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0  Trang 25 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C * d⊥α * Góc của đường và mặt phẳng : được tính bởi công thức a1 A + a2 B + a3C Sinϕ = 2 2 a12 + a2 + a3 A2 + B 2 + C 2 E KHOẢNG CÁCH : 1/ Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0, z0) đến Ax + By + Cz + D = 0 Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2 2/ Khoảng cách từ... 1/ Đònh nghóa : a > 0, a ≠ 1, N > 0 a) Cho Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N Ký hiệu : logaN = M b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1) 2/ Tính chất và đònh lý cơ bản về logarit : Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn TC1 : logaN = M ⇔ aM = N TC2 : loga aM = M , a log a M = M TC3 : loga 1 . WWW.ToanCapBa.Net TỔNG HỢP KIẾN THỨC TỐN ƠN THI ĐẠI HỌC NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT Ax = B • A ≠ 0 : phương trình. ra    = = ⇔ 1 0 n a 6/. BĐT tam giác : BABA +≤+ Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0 NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức ) 1/. 1 22 =+ xCosxSin 2/. Cosx Sinx Tanx = 3/. Sinx Cosx Cotx. 6 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 14/. CotbCota CotaCotb baCot − + =− 1 )( C. CÔNG THỨC NHÂN I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức) 15/. SinaCosaaSin 22 = 16/. aSinaCosaSinaCosaCos 2222 21122 −=−=−= 17/. aTan Tana aTan 2 1 2 2 − = II. NHÂN BA : ( 3 công thức) 18/.