Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn bội lẻ : đổi dấu; qua nghiệm kép bội chẵn : không đổi dấu... Số nghiệm[r]
(1)Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc đúng trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn này lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng là : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số cách : A nk 1 1 n! k!(n k )! n! , A nk Cnk Pk (n k)! Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị Tam giác Pascal : Cnk Tính chất : C00 C10 C20 C30 C04 C11 C12 C13 C14 C22 C32 C24 C33 C34 C44 C0n Cnn 1, Cnk Cnn k Cnk 1 Cnk Cnk1 Nhị thức Newton : * (a b)n C0n an b C1n an1b1 Cnn a0 b n a = b = : C0n C1n Cnn n Với a, b {1, 2, }, ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa : C 0n , C1n , , C nn * (a x)n C0n an C1n an1x Cnn x n Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa C 0n , C1n , , C nn cách : - Đạo hàm lần, lần, cho x = 1, 2, a = 1, 2, - Nhân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = 1, 2, , a = 1, 2, 1 - Cho a = 1, 2, , hay 2 hay Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : Ckn a n k b k Kx m Giải pt : m = 0, ta k * (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ k n k n Ca Giải hệ pt : m / p Z r / q Z * Giải pt , bpt chứa m p b Kc d k r q , tìm k A nk , Cnk : đặt điều kiện k, n N* , k n Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp Lop12.net (2) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm sau : số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác * Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải) * Dấu hiệu chia hết : - Cho : tận cùng là 0, 2, 4, 6, - Cho : tận cùng là 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận cùng là 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng các chữ số chia hết cho - Cho : tổng các chữ số chia hết cho - Cho : tận cùng là hay - Cho : chia hết cho và - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75 II- ĐẠI SỐ a + b = c a = c – b; ab = c Chuyển vế : a/b = c a 2n a bc ; b b c b a c / b a2 n1 b a n1 b b a b, a 2n 2n b a 2n b a 0 b a a b , a log b b a a b 0, c b0 a b c a c b ; ab c a c/ b b0 a c/ b Giao nghiệm : x a xa x max{a, b} ; x min{a, b} x b x b p xa a x b(neáu a b) p q ; VN(neáu a b) q xb a Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm Công thức cần nhớ : : bình phương vế không âm Làm b b ab , a b 2 a b 0 a b b b ab a a b a b (neáu a, b 0) ab a b (neáu a, b 0) Lop12.net phải đặt điều kiện (3) b : phá cách bình phương : a a Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) a hay định nghĩa : a (neáu a 0) a (neáu a 0) b a b ; a b a b a b a b b a b b a b b 0hay a b a b a b a2 b c Mũ : y ax , x R, y 0, y neáu a 1, y neáu a a0 ; a m / n 1/ n am ; am an am n am / an am n ; (am )n am.n ; an / bn (a/ b)n an bn (ab)n ; am an (m n,0 a 1) a = am an d m n (neáu a 1) , aloga m n (neáu a 1) log : y = logax , x > , < a 1, y R y a > 1, y < a < 1, = logaa loga(MN) = logaM + logaN ( ) loga(M/N) = logaM – logaN ( ) loga M loga M , loga M loga M () logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, log a M loga M loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN M = N loga M loga N M N(neáu a 1) M N 0(neáu a 1) Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện Đổi biến : a Đơn giản b c d a Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t Hàm số hợp : bước làm theo các cách trên Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục và đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với : f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = không đối xứng, giải hệ pt : b c : t ax b R, t x 0, t x 0, t x 0, t ax , t loga x R g S x1 x P x x Biết S, P thỏa S2 – 4P 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = Lop12.net (4) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * Dùng , S, P để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 P < 0, < x1 < x2 x1 < x2 < P S P S * Dùng , af(), S/2 để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 af() < < x1 < x2 a.f () S/ < x1 < < x2 a b ; x1 < x2 < a.f() a.f() a.f () S/ ; x1 < < x2 < a.f () a.f () Phương trình bậc : Viête : ax3 + bx2 + cx + d = x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C thì x1, x2, x3 là nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = Số nghiệm phương trình bậc : x = f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) : nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt f () f () nghiệm f () = < hay f = Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) và (d) : y = m Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = nghiệm y ' y CÑ y CT nghiệm y ' y CÑ y CT nghiệm y' c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC : d y ' y CÑ y CT y ' y uoán So sánh nghiệm với : x = xo f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với Lop12.net (5) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa vào BBT Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) y' y CÑ y CT y() x CÑ < x1 < x2 < x3 y' y y CÑ CT y() x CT y' y y CÑ CT y() x CÑ x1 < < x2 < x3 x1 < x2 < < x3 Phương trình bậc có điều kiện : f(x) = ax2 + bx + c = (a 0), x nghiệm f () Vô nghiệm < a x1 x1 y' y CÑ y CT y() x CT x1 < x2 < x3 < x1 x2 x3 , nghiệm x1 f () f () f () Nếu a có tham số, xét thêm a = với các trường hợp nghiệm, VN Phương trình bậc : Trùng phương : + bx2 t = x2 x = t nghiệm ax4 P S + c = (a 0) ; nghiệm t x2 f (t ) P S P0 nghiệm ; S/ nghiệm Lop12.net P S S/ x2 x2 x2 x3 x3 x3 (6) VN < P S Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) <0 P0 S 0 t1 t t t1 t t1 S t1 t P t t nghiệm CSC Giải hệ pt : Tìm đk t BBT : t x Tìm đk t BBT : t R x b ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = Đặt t = x + c ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = Đặt t = x – d (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d Đặt : t = x2 + (a + b)x Tìm đk t BBT e (x + a)4 + (x + b)4 = c Đặt : 10 Hệ phương trình bậc : D= a b a' b' , Dx = t x ab , t R ax by c Tính : a' x b' y c' c b c' b' , Dy = a c a' c' D : nghiệm x = Dx/D , y = Dy/D D = 0, Dx Dy : VN D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết) 11 Hệ phương trình đối xứng loại : Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy ĐK : S2 – 4P Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải nghiệm là x và y (, ) là nghiệm thì (, ) là nghiệm; nghiệm =m=? Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm không 12 Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình này đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng các đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối xứng loại 13 Hệ phương trình đẳng cấp : ax bxy cy d 2 a' x b' xy c' y d' Xét y = Xét y : đặt x = ty, chia phương trình để khử t Còn phương trình theo y, giải y, suy t, suy x Có thể xét x = 0, xét x 0, đặt y = tx 14 Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B AB * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự * Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm * Bất đẳng thức Côsi : a, b : ab ab Dấu = xảy a = b Lop12.net (7) a, b, c : Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) abc abc Dấu = xảy a = b = c * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy a/b = c/d 15 Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách m, dùng tương giao (C) : y = f(x) và (d) : y = m Số nghiệm số điểm chung Nếu có điều kiện x I, lập BBT f với x I 16 Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x I : Nếu tách m, dùng đồ thị, lập BBT với x I f(x) m : (C) (d) (hay cắt) f(x) m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc đồng với cung AM, đồng với điểm M Ngược lại, điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội ( cung phần 2 2 2 2 M tư) và ( cung phần tư) 2 k x=+ : là góc đại diện, n : số điểm cách trên đường tròn lượng giác tg n A x+k2 sin Hàm số lượng giác : M cos Cung liên kết : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tgchiếu cotg hiệu ) xuyên chiếu * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu cotg M (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu) Công thức : a Cơ : đổi hàm, không đổi góc b Cộng : đổi góc a b, a, b c Nhân đôi : đổi góc 2a a d Nhân ba : đổi góc 3a a e Hạ bậc : đổi bậc bậc Công thức đổi bậc bậc suy từ công thức nhân ba f Đưa t tg a : đưa lượng giác đại số g Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a b) / h Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a b Phương trình : sin = 0 cos = – hay cos = 1 = k, sin = = + k2; sin = –1 = – cos = sin = –1 hay sin = = + k2, + k, cos = = k2, cos = – = + k2 sinu = sinv u = v + k2 u = – v + k2 cosu = cosv u = v + k2 tgu = tgv u = v + k cotgu = cotgv u = v + k Phương trình bậc theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 c2 * Chia vế cho a2 b , dùng công thức cộng đưa phương trình Lop12.net tâm (8) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) (cách khác : đưa phương trình bậc theo t2 sin u , t 2,sin u.cos u 4 Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu : Đặt : u ) Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng sin + cos và sin.cos Đặt : t = sinu + cosu = t tg t 1 t sin u cos u sin u , t ,sin u.cos u 4 Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : t2 t sin u cos u sin u , t 2,sin u.cos u 4 10 Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : 1 t t sin u cos u sin u , t ,sin u.cos u 4 11 Phương trình toàn phương (bậc và bậc theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu 0, chia vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = + tg2u, đưa phương trình bậc theo t = tgu 12 Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc và bậc theo sinu và cosu : chia vế cho cos3u * Bậc và bậc – : chia vế cho cosu 13 Giải phương trình cách đổi biến : Nếu không đưa phương trình dạng tích, thử đặt : * t = cosx : phương trình không đổi thay x – x * t = sinx : phương trình không đổi thay x – x * t = tgx : phương trình không đổi thay x + x * t = cos2x : cách trên đúng * t = tg x : cách trên không đúng 14 Phương trình đặc biệt : * * * u0 u2 v2 v uv uC uC vC vC uA uA v B uv AB v B sin u sin u 1 cos v cos v 1 sin u sin u 1 sinu.cosv = – cos v 1 cos v * sinu.cosv = * Tương tự cho : sinu.sinv = 1, cosu.cosv = 15 Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a Dạng : F(x) F(y) m (1) (2) xy n Dùng công thức đổi + thành nhân, (2) vào (1) đưa hệ phương trình : xy a xy b Lop12.net (9) b Dạng : Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) F(x).F(y) m xyn Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành + F(x) / F(y) m xyn a c ac ac Dùng tỉ lệ thức : b d bd bd c Dạng : biến đổi phương trình (1) dùng công thức đổi + thành x d Dạng khác : tìm cách phối hợp phương trình, đưa các pt 16 Toán : * Luôn có sẵn pt theo A, B, C : A + B + C = * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2 * A, B, C (0, ) ; A/2, B/2, C/2 (0, /2) A + B (0, ) ; (A + B)/2 (0, /2) ; A – B (– , ) , (A – B)/2 (– /2, /2) Dùng các tính chất này để chọn k * Đổi cạnh góc (đôi đổi góc cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA * * * 1 abc S ah a ab sin C pr 2 4R p( p a)( p b)( p c) b c2 a Trung tuyến : m a A bc cos Phân giác : ℓa = bc IV- TÍCH PHÂN Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là nguyên hàm f f là đạo hàm F Họ tất các nguyên hàm f : f (x)dx = F(x) + C * u1 du u C ; u du C , – du u u u u u ln u C; e du e C; a du a / ln a C sin udu cos u C ; cos udu sin u C du / sin u cot gu C b * (C R) f(x)dx F(x) b a du / cos ; F(b) F(a) a * a a b ; a a b c b c a b , a b b b b b a a a a a (f g) f g ; kf k f Tích phân phần : udv uv vdu Thường dùng tính tích phân các hàm hỗn hợp Lop12.net u tgu C (10) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) a b c x e , x sin x ; x cos x : u x n x ln x : u ln x x x x x e sin x , e cos x : u e hay dv e dx n x n n n phần lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ a b c d Các dạng thường gặp : : sin x cos x m n 1 : cos x.sin x 2m 2n : sin x cos x 2m 2n : tg x / cos x 2m 2n cot g x / sin x : : chứa a – u : chứa u – a : chứa a + u R(sin x, cos x) , R : hàm hữu tỷ m n 1 u = tgx (n 0) u = cotgx u = asint 2 u = a/cost 2 u = atgt u tg : thử đặt u hạ bậc bậc R đơn giản : u = cosx R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) / u = sinx x (n 0) : u = cosx : u = sinx : u = tgx u = cotgx x : thử đặt u x e f g h x m x m (a bx n )p / q , (m 1) / n Z : u q a bx n m 1 p Z : u q x n a bx n n q dx /[(hx k) ax bx c : hx k u R(x, (ax b) /(cx d) , R là hàm hữu tỷ : u (ax b) /(cx d) (a bx n )p / q , i Tích phân hàm số hữu tỷ : chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q * * Đưa Q dạng tích x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c ( < 0) Đưa P/Q dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số Q : xa A A A2 An , (x a)n xa x a (x a) (x a)n Lop12.net (11) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) A(2ax b) B dx ax bx c( 0) ( 0) du /( u2 a2 ) : ñaët u atgt ax bx c ax bx c ax bx c Tính diện tích hình phẳng : a D giới hạn x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : b f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] đường tròn lượng giác D giới hạn x = a, x = b , (C) : y = f(x) b SD f (x) dx a b (C') : y = g(x) : SD f (x) g(x) dx a c Xét dấu f(x) – g(x) trường hợp a/ D giới hạn (C1) : f1(x, y) = , (C2) : f2 (x, y) = f(x) b SD f(x) g(x) dx / a g(x) x=a x=b g(y) y=b b SD f(y) g(y) dy / f(y) y=a a Với trường hợp ) : biên trên hay biên bị gãy, ta cắt D các đường thẳng đứng chỗ gãy Với trường hợp ) : biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D các đường ngang chỗ gãy Chọn tính theo dx hay dy để dễ tính toán hay D ít bị chia cắt Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = và biết chọn y a : treân, y : dưới, x : phaûi, x Tính thể tích vật thể tròn xoay : D 5.a/ xoay quanh (Ox) : : traùi f(x) b V f (x)2 dx a b a b b V f (y) dy b a f(y) f(x) a b c g(x) V [f (x) g2 (x)]dx b d V [f (y) g2 (y)]dy a b a a b g(y) f(y) a f(x) a Lop12.net f(x) -g(x) b a c b hay (12) c b a c Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) V f (x)dx g2 (x)dx e c b b V g (y)dy f (y)dy f a f(y) c c -g(y) a Chú ý : xoay quanh (Ox) : dx ; xoay quanh (Oy) : dy V- KHẢO SÁT HÀM SỐ a b c , dạng : P(x) (x a)P1 (x) P Phân thức hữu tỷ : lim (daïng / 0) lim lim x a Q ( x ) xa (x a)Q1 (x ) xa Q1 f (x) sin u Hàm lg : lim (dạng / 0), dùng công thức lim 1 xa g(x ) u u f (x) Hàm chứa : lim (daïng / 0) , dùng lượng liên hiệp : xa g(x ) Tìm lim dạng , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá d Hàm chứa mũ hay log (dạng 1) : dùng công thức Đạo hàm : a Tìm đạo hàm định nghĩa : lim (1 u)1/ u e u f (x) f (x o ) xxo x xo f ' (x ) lim Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm phía : f/ (x o ) lim , f/ (x o ) lim xxo b xxo / / Nếu f (x o ) f (x o ) thì f có đạo hàm xo Ý nghĩa hình học : k = tg = f/(xM) c d + : f f// + : f lõm f/ –:f f// – : f lồi f/ , , f đạt CĐ M f / (x M ) // f (x M ) f đạt CT M f / (x M ) // f (x M ) f(x) M M là điểm uốn f f//(xM) = và f// đổi dấu qua xM e Tính đạo hàm công thức : C/ = 0, (x)/ = x–1 , (lnx)/ = 1/x , loga x , (ex)/ = ex x ln a (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u v)/ = u/ v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : số e) vế , đạo hàm vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, f thương, chứa n Vi phân : du = Tiệm cận : u/dx Lop12.net (13) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) lim y x a : tcđ x=a x lim y b x a y y = b : tcn x y lim [y (ax b)] x * * b b x y = ax + b : tcx y Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : y càng tiến thì đường cong càng gần đường t c - t c x :khi x và y càng tiến thì đường cong càng gần đường t c - t c n :khi x càng tiến thì đường cong càng gần đường t c Xét y P(x) Q( x ) Có tcđ x = a Q(a) = 0, P(a) Có tcn bậc P bậc Q : với x , tìm lim y cách lấy số hạng bậc cao P chia số hạng bậc cao Q Có tcx P Q bậc, đó chia đa thức ta có : * f (x) ax b P1 (x) , tcx là y = ax + b Nếu Q = Q( x ) x – , có thể chia Honer Biện luận tiệm cận hàm bậc / bậc : y ax b c dx e (d0) a 0, c : có tcđ, tcx a = 0, c : có tcn, tcđ c = : (H) suy biến thành đt, không có tc Đồ thị các hàm thường gặp : a/ y = ax + b : a> b/ y = ax2 + bx + c c/ y = ax + bx + c + d a<0 a>0 a=0 a<0 a> : y > a<0: y = y < d/ y = ax4 + bx2 + c a>0 a<0 ab < ab > e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c 0) ad - bc > f/ y = ax bx c dx e ad > ad - bc < (ad 0) y > Lop12.net y = y < (14) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ad < x=a ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) a x>a x<a b y>b y=b y<b (C/) : y = f (x) (C/) : y = f ( x ) : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = đối xứng qua (Oy) : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên y = đối xứng qua (Ox) ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) a/ Điểm cố định : M(xo, yo) (Cm), m yo = f(xo, m), m Am + B = 0, m (hay Am2 + Bm + C = 0, m) A B (hay A B ) Giải hệ, M C b/ Điểm (Cm) không qua, m : M(xo, yo) (Cm), m yo f(xo,m), m yo = f(xo, m) VN m Am + B = VN m (hay Am2 + Bm + C = VN m) Chú ý : A C B VN B = A B B A BC VN (hay A A ) Giải hệ , M B C c/ Điểm có n đường cong họ (Cm) qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) yo = f(xo, m) có n nghiệm m Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm các loại phương trình : bậc 2, bậc có điều kiện x , bậc 3, trùng phương TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : a b (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) hệ phương trình sau có nghiệm : Nghiệm x hệ là hoành độ tiếp điểm Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo Dùng điều kiện tx tìm k Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc hay bậc / bậc thì số nghiệm x hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến) * // () : y = ax + b : (d) // () (d) : y = ax + m Tìm m nhờ đk tx * () : y = ax + b (a 0) : (d) () (d) : y = c y C y C / / / y C y C / x + m Tìm m nhờ đk tx a Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M (C/) : g(x, y) = cho từ M kẻ đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(xo,yo) (C/) g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : y C y d / y C k (1) Thế k vào (1) phương trình ẩn x, tham số xo hay yo Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm xo hay yo TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x) Số nghiệm pt = số điểm chung * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm Nếu pt hoành độ điểm chung tách m sang vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung * Biện luận tương giao (Cm) và (C/m) : Lop12.net (15) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT F; số điểm chung (Cm) và (C/m) = số điểm chung (C) và (d) PThđ điểm chung, không tách m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = (x ) hay dạng bậc : x = f(x) = : lập , xét dấu , giải pt f(x) = để biết m nào thì là nghiệm f, với m đó, số nghiệm bị bớt CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị f/ đổi dấu n lần f / (x o ) // f (x o ) f / (x o ) f đạt cực tiểu xo // f (x o ) * f đạt cực đại xo * f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị f có CĐ và CT f/ >0 * f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị : Bên phải (d) : x = y/ = có nghiệm < x1 < x2 Bên trái (d) : x = y/ = có nghiệm x1 < x2 < bên (Ox) bên (Ox) f / yCD yCT f / yCD yCT * Với hàm bậc / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < (>0) có thể thay y = VN (có nghiệm.) * Tính yCĐ.yCT : Hàm bậc : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = Hàm bậc 2/ bậc : u v / u (x CÑ ).u / (x CT ) , dùng Viète với pt y/ = / / v (x CÑ ).v (x CT ) y yCĐ.yCT = * Đường thẳng qua CĐ, CT : Hàm bậc : y = Cx + D Hàm bậc / bậc : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có cực trị ab 0, cực trị ab < 10 ĐƠN ĐIỆU : a Biện luận biến thiên hàm bậc : i) a > và y’ = vô nghiệm hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < và y’ = vô nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > và y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 hàm số đạt cực đại x1 và đạt cực tiểu x2 Ngoài ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn + hàm số tăng trên (, x1) + hàm số tăng trên (x2, +) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < và y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 hàm đạt cực tiểu x1 và đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm trên (, x1) + hàm số giảm trên (x2, +) + hàm số tăng trên (x1, x2) b Biện luận biến thiên y = baäc baäc1 i) Nếu a.m > và y/ = vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên khỏang xác định ii) Nếu a.m < và y/ = vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên khỏang xác định Lop12.net (16) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) iii) Nếu a.m > và y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại x1 và đạt cực tiểu x2 thỏa x1 < x2 và x1 x2 p m iv) Nếu a.m < và y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu x1 và đạt cực đại x2 thỏa x1 < x2 và x1 x2 p m Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc đồng biến (nghịch biến) trên miền x I : đặt đk để I nằm miền đồng biến (nghịch biến) các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc y/ = với 11 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : a Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang vế : f(x) = m; lập BBT f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị f), số nghiệm = số điểm chung c b Với pt mũ, log, , , lượng giác : đổi biến; cần biết biến t biến cũ x; cần biết đk t để cắt bớt đồ thị f 12 QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, F(xo, yo) = 0; suy M (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn m ? xo ? (hay yo ?) Nếu xo = a thì M (d) : x = a Nếu yo = b thì M (d) : y = b 13 TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a CM hàm bậc có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc có tâm đx (gđ tc) I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I b CM hàm bậc có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; x = a là nghiệm hay là nghiệm chính nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a c Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ pt ẩn : x M x N 2x I y y 2y M N I y M f(x M ) y N f(x N ) d Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt (d) là (d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung (C) và (d'); giả sử pt có nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I a AB theo m; A, B đối xứng qua (d) I (d) m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy yA, yB 14 Tìm điểm M (C) : y = ax + b + c y M ax M b dx M e x M , y M Z c dx e có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e Z) : giải hệ c y M ax M b dx e M c xM , Z dx M e c y M ax M b dx M e x M Z, dx M e ước số c 15 Tìm min, max hàm số y = f(x) Lập BBT, suy miền giá trị và min, max 16 Giải bất phương trình đồ thị : xa bx xa fgaxb,fg xb f f < g a < x < b, f > g g a Lop12.net b (17) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Tọa độ , vectơ : * (a,b) (a/, b/) = (a a/, b b/) k(a, b) = (ka, kb) (a, b) = (a/, b/) a a/ / bb (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ (a, b) a2 b2 v.v / / cos( v ,v ) / v v AB (x B x A , y B y A ), AB AB MA k MB x kx B y ky B , yM A xM A (k 1) 1 k 1 k x xB y yB , yM A M : trung điểm AB x M A 2 x A x B xC x M M : trọng tâm ABC y A y B yC y M M chia AB theo tỉ số k (tương tự cho vectơ chiều) * Vectơ chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : / v (a, b, c), v (a' , b' , c' ) b c c a a b v, v / / / , / / , / / b c c a a b [ v ,v / ] v v / sin( v ,v / ) * [v, v / ] v, v / v v / v.v / = ; v // v / [ v ,v / ] = ; v, v / , v // / // [v, v ].v S ABC AB, AC VS.ABC AB, AC AS VABCD.A 'B'C'D' [AB, AD].AA / A, B, C thẳng hàng AB // AC * mp : H là trực tâm AH.BC BH.AC H là chân đường cao AH.BC BH // BC M là chân phân giác A MB AB MC AC Lop12.net đồng phẳng (18) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) M là chân phân giác ngòai A MB AB MC AC I là tâm đường tròn ngoại tiếp IA = IB = IC I là tâm đường tròn nội tiếp I là chân phân giác ABC Đường thẳng mp : v * Xác định điểm M(xo,yo) và 1vtcp (d) : B ABM với M là chân phân giác = (a,b) hay pháp vectơ (A,B) : x x o at x xo y yo , (d ) : y y bt a b o (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = x y 1 a b x xA y yA xB xA yB yA * (d) qua A(a, 0); B(0,b) : * (AB) : * (d) : Ax + By + C = có v ( B, A ) ; n (A, B) * (d) // () : Ax + By + C = (d) : Ax + By + * (d) () (d) : – Bx + Ay + C/ = * (d), (d/) tạo góc nhọn thì : nd nd / cos = nd nd / * d(M,(d)) = C =0 cos( n ,n ) d d/ Ax M By M C A B2 * Phân giác (d) : Ax + By + C = và (d/) : A/x + B/y + C/ = là : Ax By C A B2 A / x B/ y C/ A / B/ n d n d/ > : phân giác góc tù + , nhọn – n d n d/ < : phân giác góc tù – , nhọn + * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm Mặt phẳng không gian : * Xác định điểm M(xo, yo, zo) và pháp vectơ : n = (A, B, C) hay vtcp v , v' (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = n =[ v , v' ] (P) : Ax + By + Cz + D = có n = (A, B, C) (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) (P) : x/a + y/b + z/c = * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = d(M,(P)) = Ax o By o Cz o D A B2 C2 * (P) , (P/) tạo góc nhọn thì : cos = * (P) (P/) cos(n( P ) , n( P ') ) n( P ) n( P ') , (P) // (P/) n( P ) // n( P ') Đường thẳng không gian : * Xác định điểm M (xo, yo, zo) và vtcp v = (a, b, c) hay pháp vectơ : Lop12.net n , n' : A (19) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) (d) : x x o at x xo y yo z zo y y o bt , (d ) : a b c z z ct o v [ n , n' ] x xA y yA z zA xB x A y B y A z B z A Ax By Cz D * (d) = (P) (P/) : A' x B' y C' z D' * (AB) : * (d) qua A, vtcp v thì : [AM, v ] d(M,(d)) = v * là góc nhọn (d), (d/) thì : cos( vd , v / ) cos = d * là góc nhọn (d), (P) thì : sin = cos( vd , n p ) v , (P) có pvt n * (d) qua M, vtcp v.n (d) cắt (P) : 0 (d) // (P) v.n = và M (P) (d) (P) v.n = và M (P) v ; (d /) qua B, vtcp * (d) qua A, vtcp (d) cắt (d/) [ (d) // (d/) [ : v , v' ] , [ v , v' ] AB v , v' ] = (d) chéo (d/) [ (d) (d/) [ v' =0 , A (d/) v , v' ] , [ v , v' ] AB v , v' ] = 0 , A (d/) [ v , v' ] AB * (d) chéo (d/) : d(d, d/) = [ v , v' ] * (d) chéo (d/) , tìm đường chung () : tìm n [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n ; () = (P) * (d) (P), cắt (d/) (d) nằm mp (P), chứa (d/) * (d) qua A, // (P) (d) nằm mp chứa A, // (P) * (d) qua A, cắt (d/) (d) nằm mp chứa A, chứa (d/) * (d) cắt (d/), // (d//) (d) nằm mp chứa (d/), // (d//) * (d) qua A, (d/) (d) nằm mp chứa A, (d/) * Tìm hc H M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, (d), H = (d) (P) * Tìm hc H M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, (P) : H = (d) (P) * Tìm hc vuông góc (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), (P); (d/) = (P) (Q) * Tìm hc song song (d) theo phương () xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (); (d/) = (P) (Q) Đường tròn : * Đường tròn (C) xác định tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (P/) * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = có tâm I(–A,–B), bk R = Lop12.net A B2 C ; tìm (P/) chứa (d/), // n (20) Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * (d) tx (C) d(I, (d)) = R, cắt < R, không cắt > R * Tiếp tuyến với (C) M(xo,yo) : phân đôi t/độ (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = thì PM/(C) = F(xM, yM) = MA.MB = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M (C) PM/(C) = , M (C) PM/(C) < 0, ngoài > * Trục đẳng phương (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = * (C), (C/) ngoài II/ > R + R/ : (có tiếp tuyến chung); tx ngoài = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt < R R/ R R/ < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx = R R/ (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa (không có tt chung) Mặt cầu : * Mc (S) xđ tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2 * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = có tâm I(–A,–B,–C), bk R = A B2 C2 D * (P) tx (S) d(I,(P)) = R, cắt < R, không cắt > R * Pt tiếp diện với (S) M : phân đôi tđộ (S) * Cho (S) : F(x, y, z) = PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = M (S), < M (S), > M ngoài (S) * Mặt đẳng phương (S) và (S/) : 2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = * Tương giao (S), (S/) : (C), (C/) * Khi (S), (S/) tx thì tiết diện chung là mặt đẳng phương * Khi (S), (S/) cắt thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > M (E) MF1 + MF2 = 2a * (E) : x2 y2 a2 b = (a > b > 0) : tiêu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM, MF2 = a – exM; tt với (E) M : phân đôi tọa độ (E), (E) tx (d) : Ax + By + C = a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2 * (E) : x2 y2 (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(– b a2 b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = a/e; bán kính qua tiêu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + By + C = a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chú ý : tất các kết trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên cách thay x y, y x) Hypebol : * Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho < a < c M (H) MF1 MF2 (H) : = 2a x2 y2 a2 b2 = (pt chính tắc) tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo B1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = a/e; bán kính qua tiêu : M nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M nhánh trái MF1 = – exM – a, MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H); (H) tx (d) : Ax + By + C = a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y = hình chữ nhật sở : x = a, y = b; c2 = a2 + b2 (H) : y2 x2 (pt không chính tắc) a2 b2 b x a tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(–b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = a/e; bán kính qua tiêu : M nhánh trên MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M nhánh MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H); Lop12.net (21)