Tổng hợp kiến thức toán 9

Tóm tắt kiến thức cơ bản Phần đại số Ch ơng I căn bậc hai - căn bậc ba 1/ Khái niệm căn bậc hai: + Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2 = a. + Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dơng ký hiệu là a và số âm là - a . + Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, viết 00 = . + Số a âm không có căn bậc hai, viết a với a < 0 không có nghĩa. 2/ Căn bậc hai số học: Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0. + Với hai số a và b không âm, a < b <=> a < b. 3/ Căn thức bậc hai: + Nếu A là một biểu thức đại số thì A đợc gọi là căn thức bậc hai của A, còn A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn. + Điều kiện có nghĩa hay điều kiện xác định của A là A 0. + Với mọi số A, ta có AA = 2 (hằng đẳng thức AA = 2 ). 4/ Khai phơng một tích, một thơng: + Với hai số a và b không âm, ta có baab .= . Kết quả này có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm. + Với số a không âm và số b dơng ta có b a b a = 5/ Bảng căn bậc hai: + Muốn tìm căn bậc hai của một số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100, ta tra bảng căn bậc hai trên giao của dòng (phần nguyên) và cột (phần mời) rồi theo dòng đó đến cột hiệu chỉnh (phần trăm) nếu cần, ta đợc giá trị gần đúng của căn bậc hai cần tìm. Tác giả: Đậu Thiết Hiếu Trờng THCS Nghĩa Thuận TX Thái Hòa Nghệ An + Muốn tìm căn bậc hai của số N lớn hơn 100 (hoặc nhỏ hơn 1), ta cần phải theo hớng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6 chữ số thì phải dời dấu phẩy trong số N đi 1, 2, 3 chữ số sang trái (hoặc sang phải) và sẽ đợc N cần tìm. 6/ Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai: Với hai biểu thức A, B mà B 0 ta có: BABA . 2 = + Với A 0 và B 0 thì BA BA 2 = + Với A < 0 và B 0 thì BABA 2 = + Với các biểu thức A, B mà A.B 0, B 0 thì: B AB B A = + Với các biểu thức A, B mà A.B 0, ta có: B BA B A = + Với các biểu thức A, B, C mà A 0, A B 2 ta có: 2 )( BA BAC BA C = + Với các biểu thức A, B, C mà A 0,B 0,A B ta có: BA BAC BA C = )( 7/ Căn bậc ba: + Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x 3 = a. + Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. + Kí hiệu căn bậc ba của a là 3 a tức là ( 3 a ) 3 = a. + Căn bậc ba của số dơng là một số dơng, căn bậc ba của một số âm là một số âm, căn bậc ba của số 0 là số 0. + a > b 33 ba < + Với mọi số a, b, 333 . abba = 2 + Với mọi số a, b mà b 0 thì 3 3 3 b a b a = Ch ơng II Hàm số bậc nhất 1/ Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y, thì y đợc gọi là hàm số của x, và x đợc gọi là biến số. 2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x: f(x)) trên mặt phẳng toạ độđợc gọi là đồ thị của hàm số y = f(x) 3/ Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá trị x 1 , x 2 (a, b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 ) + Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các giá trị x 1 , x 2 (a, b) mà x 1 < x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 ) 3 A x 4/ Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số cho trớc và a 0 + Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R, đồng biêt khi a > 0, và nghịch biến khi a < 0. 5/ Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là môt đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b va song song với đờng thẳng y = ax nếu b 0 trùng với đờng thẳng y = ax nếu b = 0. + Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) ta xác định hai điểm đặc biệt là giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ: đó là điểm P(0; b) và điểm Q(- a b ; 0) rồi vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q. 6/ Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0) và y = a x + b (a 0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a , b b và trùng nhau khi và chỉ khi a = a và b = b . * Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0) và y = a x + b (a 0) cắt nhau khi và chỉ khi a a . 7/ Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox đợc hiểu là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đố A là giao điểm của đờng thẳng = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng = ax + b và có tung độ dơng (hình dới) * Các đờng thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau nên gọi a là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b. y = ax + b T A O x y a > 0 4 y = ax + b T O y a < 0 Ch ơng IiI hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn 1/ Phơng trình bậc nhất hai ẩn: + Phơng trình bậc nhất hai ẩn x và y là phơng trình có dạng ax + by = c (1) trong đó a, b và c là cấ số đã cho biết (a 0 hoặc b 0). + Nếu tại x = x 0 và y = y 0 mà vế trái của phơng trình (1) có giá trị bằng vế phải thì cặp số (x 0 ; y 0 ) đợc gọi là nghiệm của phơng trình đó. Đồng thời mỗi nghiệm (x 0 ; y 0 ) của phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi một điểm có toạ độ(x 0 ; y 0 ) trong mặt phẳng toạ độ Oxy. + Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng ax + by = c, kí hiệu là đờng thẳng (d). 2/ Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn là hệ phơng trình có dạng (I) =+ =+ ''' cybxa cbyax Trong đố ax + by = c và a x + b y = c là các phơng trình bậc nhất hai ẩn. + Nếu hai phơng trình của hệ (I) có nghiệm chung (x 0 ; y 0 ) thì (x 0 ; y 0 ) đợc gọi là nghiệm của hệ. + Nếu hai phơng trình của hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm. Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó. 5 3/ Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ phơng trình này cũng là nghiệm của hệ phơng trình kia và ngợc lại. Trong một hệ phơng trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai phơng trình của hệ để đợc một phơng trình mới. Phơng trình mới này cùng với một trong hai phơng trình của hệ lập thành một hệ tơng đơng với hệ đã cho. 4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới rong đó có một phơng trình một ẩn; giải phơng trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho. 5/ Nhân các vế của hai phơng trình với hệ số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là đợc một phơng trình một ẩn; giải phơng trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho. 6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình: Bớc 1: Lập hệ phơng trình - Chọn hai ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số. - Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn số và các đại lợng đã biết. - Lập hệ hai phơng trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lợng. Bớc 2: Giải hệ phơng trình vừa lập đợc. Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, thích hợp với bài toán rồi kết luận. Ch ơng Iv Hàm số y = ax 2 (a 0). ph ơng trình bậc hai một ẩn 1/ Hàm số y = ax 2 (a 0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R. 2/ Hàm số y = ax 2 có các tính chất: a) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 6 b) Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 c) Nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0) d) Nếu a < 0 thì giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0) 3/ Đồ thị hàm số là một đờng cong (đợc gọi là parabol với đỉnh O(0; 0)) đi qua gốc toạ độ và nhận Oy làm trục đối xứng. + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị. + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O(0; 0) là điểm cao nhất của đồ thị. Để vẽ parabol ta có thể dựa vào bảng với một giá trị tơng ứng của x và y. Ngoài ra có thể vẽ bằng các cách đợc mô tả trong sách giáo khoa trang 37 nếu trên trang vở có dòng kẻ hoặc biết một điểm khác O(0; 0) của nó. 4/ a) Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình bậc hai) là phơng trình có dạng ax 2 + bx + c = 0. (1) b) Có hai cách cơ bản để giải (1): + Phân tích vế trái (1) ra thừa số: a(x m)(x n) = 0 <=> = = nx mx 2 1 + Bằng cách biến đổi tơng đơng để đa (1) về dạng 2 2 2 4 4 2 a acb a b x = + (2) Từ đó tuỳ theo dấu của vế phải của (2) mà kết luận về nghiệm của ph- ơng trình đã cho. 5/ Đặt = b 2 4ac. Gọi là biệt thức của phơng trình (1) + Nếu > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 = a b 2 + ; x 2 = a b 2 + Nếu = 0 thì (1) có nghiệm kép x 1 = x 2 = a b 2 + Nếu < 0 thì (1) vô nghiệm. 6/ Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn: 7 Nếu đặt b = 2 b và ' = b 2 ac: + Nếu ' > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = a b '' + ; x 2 = a b '' + Nếu ' = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = a b ' + Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm. 7/ Nếu x 1 và x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì có định lý Vi-ét: x 1 + x 2 = - a b ; x 1 .x 2 = a c + Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = 1 và một nghiệm x 2 = a c Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = -1 và một nghiệm x 2 = - a c . 8/ a) Để giải phơng trình trùng phơng ax 4 + bx 2 + c = 0 (a 0), thờng đặt ẩn phụ t = x 2 (t 0) và đa về phơng trình bậc hai ẩn t. Lấy những nghiệm không âm của phơng trình này và từ đó suy ra nghiệm của phơng trình đã cho. b) Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu theo bốn bớc: + Tìm điều kiện xác định của phơng trình + Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức + Giải phơng trình vừa thu đợc + Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện. c) Phơng trình tích là phơng trình có dạng A(x).B(x) = 0. Để giải ta giải riêng biệt đối với hai phơng trình A(x) = 0 và B(x) = 0. Nghiệm của phơng trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phơng trình trên. 9/ Để giải toán bằng cách lập phơng trình ta tiến hành theo các bớc: Bớc 1: Lập phơng trình: 8 + Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn; + Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số; + Lập phơng trình biểu thị tơng quan giữa ẩn số và các dữ liệu đã biết. Bớc 2: Giải phơng trình vừa lập đợc. Bớc 3: Chọn các nghiệm thích hợp, từ đó đa ra đáp số. Phần hình học Ch ơng I Hệ thức l ợng trong tam giác vuông 1/ Hệ thức về cạnh và đờng cao của tam giác vuông: + b 2 = ab ; c 2 = ac + h 2 = b c + ah = bc + 222 111 cbh += A c h b B c b a 2/ Tỷ số lợng giác của góc nhọn: 9 C¹nh kÒ C¹nh ®èi C¹nh ®èi C¹nh kÒ sin α = cos α = tg α = cotg α = α + β = 90 0 ( α vµ β lµ hai gãc phô nhau) th×: sin α = cos β , cos α = sin β tg α = cotg β , cotg α = tg β c¹nh kÒ c¹nh ®èi α C¹nh huyÒn A α β C B 3/ HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc cña mét tam gi¸c vu«ng: A Trong tam gi¸c vu«ng ABC, A ˆ = 90 0 ta cã hÖ thøc: c h b C c ’ b ’ B a + b = a sin B = a cos C b = c tg B = c cotg C + c = a sin C = a cos B c = b tg C = b cotg B 4/ HÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c tØ sè lîng gi¸c: + sin α 1≤ ; cos α 1≤ ; tg α = α α cos sin ; cotg α = α α sin cos s ; + 1 + tg 2 α = α 2 cos 1 ; 1 + cotg 2 α = α 2 sin 1 . 10 C¹nh ®èi C¹nh huyÒn C¹nh kÒ C¹nh huyÒn [...]... Tứ giác nội tiếp: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp) 16 Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 1800 Định lý đảo Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 thì nội tiếp đợc đờng tròn b) Đờng tròn ngoại tiếp, đờng tròn nội tiếp Đờng tròn đi qua các đỉnh của một đa giác đợc gọi là đờng tròn ngoại... bằng nhau) Hai cung đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn gọi là cung lớn hơn c) Điểm nằm trên cung: Điểm C nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng tổng số đo cung AC với số đo cung CB d) Liên hệ giữa cung và dây: Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay hai đờng tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau thì hai dây bằng hau, Hai dây bằng nhau... sđ BC O B C * Hệ quả: Trong một đờng tròn: + Các góc nội tiếp bằng nhau, chắn các cung bằng nhau + Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau + Góc nộit iếp (nhỏ hơn 90 0) có sđ bằng nửa sđ của góc ở tâm cùng chắn một cung + Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông b) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung: * Góc CAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC và dây AB... trong đờng tròn, cung chức góc D 15 + Góc BEC là góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn Góc PNQ cũng gọi là góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn + Định lý 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn A C E N P 1 2 sđ CEB = (sđ CB + sđ CD) Q B Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn M C + Góc BMD là góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn A + Định lý 2: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài...Chơng II đờng tròn 1/ Định nghĩa, sự xác định, tính chất dối xứng của đờng tròn: a) Định nghĩa: C Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khỏng R không đổi ( R > 0) gọi là đờng tròn tâm O bán kính R R B A Ký hiệu là: (O; R) hoặc (O) O Cung tròn là một phần của đờng tròn đợc giới hạn bởi hai điểm Hai . b <=> a < b. 3/ Căn thức bậc hai: + Nếu A là một biểu thức đại số thì A đợc gọi là căn thức bậc hai của A, còn A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn. + Điều kiện. đổi đơn giản căn thức bậc hai: Với hai biểu thức A, B mà B 0 ta có: BABA . 2 = + Với A 0 và B 0 thì BA BA 2 = + Với A < 0 và B 0 thì BABA 2 = + Với các biểu thức A, B mà A.B. thì: B AB B A = + Với các biểu thức A, B mà A.B 0, ta có: B BA B A = + Với các biểu thức A, B, C mà A 0, A B 2 ta có: 2 )( BA BAC BA C = + Với các biểu thức A, B, C mà A 0,B 0,A B