Tổng hợp kiến thức toán 9

5/ Nhân các vế của hai phơng trình với hệ số thích hợp nếu cần sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để đợc h

Tóm tắt kiến thức cơ bản

Phần đại số

Ch ơng I

căn bậc hai - căn bậc ba

1/ Khái niệm căn bậc hai:

+ Số dơng a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dơng ký hiệu

2/ Căn bậc hai số học: Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0

+ Với hai số a và b không âm, a < b <=> a < b

3/ Căn thức bậc hai:

A, còn A đợc gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dới dấu căn

4/ Khai phơng một tích, một thơng:

Kết quả này có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm

+ Với số a không âm và số b dơng ta có

b

a b

a



5/ Bảng căn bậc hai:

+ Muốn tìm căn bậc hai của một số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100, ta tra bảng căn bậc hai trên giao của dòng (phần nguyên) và cột (phần mời) rồi theo dòng đó đến cột hiệu chỉnh (phần trăm) nếu cần, ta đợc giá trị gần đúng của căn bậc hai cần tìm

Trờng THCS Nghĩa Thuận – TX Thái Hòa – Nghệ An

+ Muốn tìm căn bậc hai của số N lớn hơn 100 (hoặc nhỏ hơn 1), ta cần phải theo hớng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6

6/ Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai:









B

AB B

A



B

B A B

A



+ Với các biểu thức A, B, C mà A  0, A  B2 ta có:

2

) (

B A

B A C B A

C









B A

B A C B A

C









) (

7/ Căn bậc ba:

+ Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba

+ Kí hiệu căn bậc ba của a là 3 a tức là (3 a)3 = a

+ Căn bậc ba của số dơng là một số dơng, căn bậc ba của một số âm là một số âm, căn bậc ba của số 0 là số 0

+ a > b  3 a 3 b

+ Với mọi số a, b, 3 a 3 b  3 ab

b

a b a



Ch ơng II

Hàm số bậc nhất

1/ Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị

của x ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y, thì y đợc gọi là hàm

số của x, và x đợc gọi là biến số

2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tơng ứng (x: f(x)) trên

mặt phẳng toạ độđợc gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)

3/ Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của

biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá trị x1, x2 (a, b) mà x1< x2 thì f(x1) < f(x2)

+ Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tơng ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các giá trị x1, x2  (a, b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)

4/ Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức

y = ax + b

A x

+ Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R, đồng biêt khi a > 0, và nghịch biến khi a < 0

5/ Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là môt đờng thẳng cắt trục tung tại

điểm có tung độ bằng b va song song với đờng thẳng y = ax nếu b  0 trùng với đờng thẳng y = ax nếu b = 0

+ Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) ta xác định hai điểm đặc biệt

là giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ: đó là điểm P(0; b) và điểm

Q(-a

b

; 0) rồi vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q

6/ Hai đờng thẳng y = ax + b (a  0) và y = a’x + b’ (a’  0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b  b’ và trùng nhau khi và chỉ khi a = a’ và b = b’

* Hai đờng thẳng y = ax + b (a  0) và y = a’x + b’ (a’  0) cắt nhau khi và chỉ khi a  a’

7/ Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox đợc hiểu là góc tạo bởi tia

Ax và tia AT, trong đố A là giao điểm của đờng thẳng = ax + b với trục Ox, T

là điểm thuộc đờng thẳng = ax + b và có tung độ dơng (hình dới)

* Các đờng thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau nên gọi a là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b

y = ax + b T



y

a > 0

y = ax + b T



O y

a < 0

Ch ơng IiI

hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn

1/ Phơng trình bậc nhất hai ẩn:

+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn x và y là phơng trình có dạng

trong đó a, b và c là cấ số đã cho biết (a  0 hoặc b  0)

+ Nếu tại x = x0 và y = y0 mà vế trái của phơng trình (1) có giá trị bằng

vế phải thì cặp số (x0; y0) đợc gọi là nghiệm của phơng trình đó Đồng thời mỗi

+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng ax + by = c, kí hiệu là đờng thẳng (d)

2/ Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:

Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn là hệ phơng trình có dạng

(I) 











' ' '

c y b x a

c by ax

Trong đố ax + by = c và a’x + b’y = c’ là các phơng trình bậc nhất hai ẩn

+ Nếu hai phơng trình của hệ (I) có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) đợc gọi là nghiệm của hệ

+ Nếu hai phơng trình của hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm

Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó

3/ Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có

cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ phơng trình này cũng là nghiệm của hệ phơng trình kia và ngợc lại

Trong một hệ phơng trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai phơng trình của hệ để đợc một phơng trình mới Phơng trình mới này cùng với một trong hai phơng trình của hệ lập thành một hệ tơng đơng với hệ đã cho

4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ

phơng trình mới rong đó có một phơng trình một ẩn; giải phơng trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho

5/ Nhân các vế của hai phơng trình với hệ số thích hợp (nếu cần)

sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là đợc một phơng trình một ẩn; giải phơng trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho

6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:

Bớc 1: Lập hệ phơng trình

- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn số và các đại lợng đã biết

Bớc 2: Giải hệ phơng trình vừa lập đợc.

Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình

nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, thích hợp với bài toán rồi kết luận

Ch ơng Iv

Hàm số y = ax2 (a  0) ph ơng trình bậc hai một ẩn

1/ Hàm số y = ax 2 (a  0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R.

2/ Hàm số y = ax 2 có các tính chất:

a) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 b) Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0

c) Nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)

d) Nếu a < 0 thì giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)

3/ Đồ thị hàm số là một đờng cong (đợc gọi là parabol với đỉnh O(0; 0)) đi

qua gốc toạ độ và nhận Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O(0; 0) là điểm cao nhất của đồ thị

Để vẽ parabol ta có thể dựa vào bảng với một giá trị tơng ứng của x và y Ngoài ra có thể vẽ bằng các cách đợc mô tả trong sách giáo khoa trang 37 nếu trên trang vở có dòng kẻ hoặc biết một điểm khác O(0; 0) của nó

4/ a) Phơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phơng trình bậc hai) là phơng

trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (1)

b) Có hai cách cơ bản để giải (1):

+ Phân tích vế trái (1) ra thừa số:

a(x – m)(x – n) = 0 <=> 









n x

m x

2 1

+ Bằng cách biến đổi tơng đơng để đa (1) về dạng

2 2 2

4

4

ac b

a

b











Từ đó tuỳ theo dấu của vế phải của (2) mà kết luận về nghiệm của

ph-ơng trình đã cho

5/ Đặt  = b2 – 4ac Gọi  là biệt thức của phơng trình (1)

+ Nếu  > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt

x1 =

a

b

2





a

b

2







+ Nếu  = 0 thì (1) có nghiệm kép x1 = x2 =

a

b

2

 + Nếu  < 0 thì (1) vô nghiệm

6/ Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn:

Nếu đặt b’ =

2

b

và '

 = b’2 – ac:

 > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

a

b  

a

b  



 = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x1 = x2 =

a

b'



 < 0 thì phơng trình vô nghiệm

7/ Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì

có định lý Vi-ét:

x 1 + x 2 =

-a

b

; x 1 x 2 =

a c

+ Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a + b + c = 0 thì phơng

trình có một nghiệm x 1 = 1 và một nghiệm x 2 =

a c

trình có một nghiệm x 1 = -1 và một nghiệm x 2 =

-a

c

8/ a) Để giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0 (a  0), thờng đặt

không âm của phơng trình này và từ đó suy ra nghiệm của phơng trình đã cho

b) Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu theo bốn bớc:

+ Tìm điều kiện xác định của phơng trình

+ Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức

+ Giải phơng trình vừa thu đợc

+ Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện

c) Phơng trình tích là phơng trình có dạng A(x).B(x) = 0 Để giải ta giải riêng biệt đối với hai phơng trình A(x) = 0 và B(x) = 0 Nghiệm của phơng trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phơng trình trên

9/ Để giải toán bằng cách lập phơng trình ta tiến hành theo các bớc:

Bớc 1: Lập phơng trình:

+ Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn;

+ Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số;

+ Lập phơng trình biểu thị tơng quan giữa ẩn số và các dữ liệu đã biết

Cạnh kề

Cạnh đối

Cạnh đối

Cạnh kề

Bớc 2: Giải phơng trình vừa lập đợc.

Bớc 3: Chọn các nghiệm thích hợp, từ đó đa ra đáp số.

Phần hình học

Ch ơng I

Hệ thức l ợng trong tam giác vuông

1/ Hệ thức về cạnh và đờng cao của tam giác vuông:

+ b2 = ab’; c2 = ac’

+ h2 = b’c’

+ ah = bc

+ 12 12 12

c b

A

c h b

B c’ b’

a

2/ Tỷ số lợng giác của góc nhọn:

sin =

cos =

tg =

cotg =

 +  = 900 ( và là hai góc

phụ nhau) thì:

sin = cos , cos = sin

tg = cotg , cotg = tg

cạnh kề cạnh đối



Cạnh huyền A

 

C B

3/ Hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông: A

Cạnh đối

Cạnh huyền

Cạnh kề Cạnh huyền

Trong tam gi¸c vu«ng ABC, Aˆ = 900 ta cã hÖ thøc:

c h b

C c’ b’ B

a

4/ HÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c tØ sè lîng gi¸c:

+ sin   1; cos  1; tg  =





cos

sin

; cotg  =





sin

cos s

;

+ 1 + tg2  =



2 cos

1

; 1 + cotg2  =



2 sin

1

Ch ¬ng II

đ ờng tròn

1/ Định nghĩa, sự xác định, tính chất dối xứng của đờng tròn:

a) Định nghĩa:

định một khỏng R không đổi ( R > 0) gọi là

đờng tròn tâm O bán kính R

Ký hiệu là: (O; R) hoặc (O)

đợc giới hạn bởi hai điểm

Hai điểm này gọi là hai mút của cung Chẳng hạn cung AC (AC), cung BC (BC)

cung BC

Định lý: Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn

b) Sự xác định của đờng tròn: Định lý: Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng chỉ vẽ đợc một đờng tròn và chỉ một mà thôi

c) Tính chất đối xứng:

Định lý 1: Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây

ấy

Định lý 2: (Đảo của 1) Đờng kính đi qua trung điểm của một dây (dây

không là đờng kính) thì vuông góc với dây ấy

Định lý 3: Trong một đờng tròn:

2/ Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:

a) Đờng thẳng có thể cắt, tiếp xúc hoặc không cắt đờng tròn

R

O

C

 Định nghĩa:

Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng

thẳng chỉ có một điểm chung với đờng

tròn đó

Định lý 1: Nếu một đờng thẳng a là

tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó

vuông góc với tiếp tuyến qua tiếp

điểm

Định lý 2: Nếu một đờng thẳng a đi

qua một điểm của đờng tròn và vuông

góc với bán kính qua điểm đó thì đờng

thẳng ấy là tiếp tuyến của đờng tròn

a

3/ Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng

tròn cắt nhau tại một điểm:

tuyến

kính đi qua hai tiếp điểm

4/ Vị trí tơng đối của hai đờng tròn: (Ba vị trí tơng đối)

Định lý: Hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm vuông góc với dây chung và

đi qua trung điểm của dây chung ấy

OO’

 Hai đờng tròn tiếp xúc nhau là

hai đờng tròn chỉ có một điểm

chung, điểm chung đó gọi là tiếp

điểm.

OO’ = R + r (tiếp xúc ngoài); OO’ = R =

r > 0 (tếp xúc trong)

 Hai đờng tròn không cắt nhau

(không có điểm chung

O

+ Ngoài nhau: OO’ > R + r.

+ Đựng nhau: OO’ < R + r

+ Đờng tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác hay tam giác nội tiếp đờng tròn

+ Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đờng phân giác của tam giác

+ Đờng tròn bàng tiếp tam giác là đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia Tâm của đờng tròn bàng tiếp

là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài với tia phân giác góc trong còn lại

+ Hai đờng tròn trong nhau không có tếp tuyến chung

Hai đờng tròn (không trong nhau) có thể có nhiều tiếp tuyến chung

Ch ơng III

Góc với đ ờng tròn

1/ Góc ở tâm Cung và dây:

a) Định nghĩa:

chung hai đầu mút vơíi cung lớn đó

b) So sánh hai cung: (chỉ so sánh hai cung trên một đờng tròn hay hai đờng

tròn bằng nhau)

H

B

A R

O’ O

r

 Hai cung đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

c) Điểm nằm trên cung: Điểm C nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng

tổng số đo cung AC với số đo cung CB

d) Liên hệ giữa cung và dây:

Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay hai đờng tròn bằng

nhau:

Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn hay hai đơng tròn bằng nhau:

2/ Góc nội tiếp – Góc giữa tiếp tuyến và dây cung:

a) Góc nội tiếp:

hai cạnh chứa hai dây cung của đờng tròn đó

Chẳng hạn góc BAC là góc nội tiếp của đờng tròn (O)

Định lý: Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiếp

bằng nửa số đo cung bị chắn

sđ

2

1

A

* Hệ quả: Trong một đờng tròn:

+ Các góc nội tiếp bằng nhau, chắn các cung bằng nhau’

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

cung

+ Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông

B

O

C A

b) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung:

* Góc CAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC

và dây AB

* Định lý Số đo của góc tạo bởi tia tiếp

tuyến và dây cung băng nửa số đo của cung

bị chắn

sđ

2

1

A

 Hệ quả: Trong một đờng tròn góc tạo

bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc

nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng

nhau C AˆB A DˆB

c) Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn:

+ Góc BEC là góc có đỉnh ở bên trong

đ-ờng tròn Góc PNQ cũng gọi là góc có

đỉnh ở bên trong đờng tròn

+ Định lý 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên

trong đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai

cung bị chắn

sđ

2

1

E

+ Góc BMD là góc có đỉnh ở bên ngoài

đờng tròn

+ Định lý 2: Số đo góc có đỉnh ở bên

ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu số đo hai

cung bị chắn

sđ

2

1

M

A

B

A

B

P N

A C

D C

D

Q

D

M nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới góc

 (00 <  < 1800) là hai cung chứa góc

3/ Tứ giác nội tiếp Đờng tròn nội ngoại tiếp:

a) Tứ giác nội tiếp:

đ-ờng tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

 Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 1800

đợc đờng tròn

b) Đờng tròn ngoại tiếp, đờng tròn nội tiếp.

tiếp đa giác và đa giác đợc gọi là đa giác nội tiếp đờng tròn.

tròn nội tiếp đa giác và đa giác đợc gọi là đa giác ngoại tiếp đờng tròn.

Định lý: Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đờng tròn ngoại

tiếp, có một và chỉ một đờng tròn nội tiếp

4/ Chu vi, diện tích hình tròn:

a) Độ dài đờng tròn, cung tròn.

180

Rn







b) Diện tích hình tròn và quạt tròn.

 Diện tích hình tròn: S =  R2

O



