Tổng hợp các kiến thức cơ bản và nâng cao lớp 9

Sau bài này, tiến sĩ Nguyễn Minh Hà đã có một nhận xét quan trọng: "Khi cần quan sát độ dài của một đường gấp khúc quá "cong queo" ta hãy dùng các phép đối xứng trục để thay nó bằng một

SAU ĐÂY LÀ PHÂN MÔN HÌNH HỌC PHẦN ĐỐI XỨNG

VD1: Cho hai điểm A,B phân biệt và nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

x cho trước Hãy tìm trên x một điểm M sao cho tổng hai đoạn AM+BM là ngắn nhất

GIẢI:

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x cho trước và gọi M là giao điểm của đường thẳng A'B với x

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng A'B với x

BL: Ta cũng hoàn toàn có thể tìm điểm M bằng cách tìm điểm B' đối xứng với B qua đường thẳng x sau đó ta có M là giao điểm của AB' với x

Bài toán này đã được đặt ra từ hàng năm trước đây, từ nhà toán học Hê-rông và cũng đã được đăng trên báo 3T và nhiều cuốn sách Sau bài này, tiến sĩ Nguyễn Minh Hà đã có một nhận xét quan trọng:

"Khi cần quan sát độ dài của một đường gấp khúc quá "cong queo" ta hãy dùng các phép đối xứng trục để thay nó bằng một đường gấp khúc mới, đỡ "cong queo" hơn, có độ dài bằng độ dài đường gấp khúc đã cho nhưng dễ quan sát hơn."

Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này Hãy tìm trên cạnh

Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

GIẢI: Gọi là điểm đối xứng với A qua cạnh là điểm đối xứng với A qua cạnh

.Đường thẳng cắt lần lượt tại B và C

Ta có

Với các điểm B' khác B và C' khác C trên Ox, Oy ta có đường gấp khúc

luôn dài hơn đoạn

Vậy các điểm B,C nói trên tạo nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

2 Dựng hình:

VD3: Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt cạnh Oy tại S Hãy dựng một đường thẳng m

vuông góc với d; cắt các cạnh Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho hai điểm A, B cách đều đường thẳng d

GIẢI: Ta nhận thấy A,B là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d Như vậy điểm A vừa nằm trên cạnh Ox, vừa nằm trên ảnh của cạnh Oy qua phép đối xứng trục d nói trên

Ta có điểm A cần tìm là giao điểm của Sy' với cạnh Ox, do đó đường thẳng m cần tìm đi qua

A và vuông góc với d Ta dễ dàng thấy rằng hai điểm A,B như vậy cách đều đường thẳng d

Dễ dàng chứng minh được đường thẳng m đó đó thỏa mãn các điều kiện của bài toán

Ta chọn OI là trục đối xứng, khi đó Ox đối xứng với Oy qua OI, (I,R) vẫn là chính nó.

Do đó, A và B là giao của Ox với (I,R) biến thành C,D giao của Oy với (I,R)

Do tính chất đối xứng, ta có AB=CD

c, bài tập áp dụng:

-Một số bài toán mở đầu:

1 Đường tròn qua phép đối xứng trục biến thành đường tròn

2.Hai đường tròn có tâm chung là điểm O Đường tròn thứ ba cắt chúng tại các điểm A,B,C,D.Khi đó nếu đường thẳng AB đi qua điểm O thì đường thẳng CD cũng đi qua điểm O

3 Một tứ giác có trục đối xứng Khi đó tứ giác đó hoặc là hình thang cân hoặc đối xứng qua một đường chéo của mình

4 Trục đối xứng của một đa giác cắt các cạnh của nó tại các điểm A và B Khi đó điểm A hoặc

là đỉnh của đa giác hoặc là trung điểm của một cạnh vuông góc với trục đối xứng

5 Nếu một hình có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì nó có tâm đối xứng

-1 Cực trị:

Bài 1: Cho hai điểm A,B nằm về hai phía đường thẳng d và không cách đều d Xác định điểm

M trên đường thẳng d sao cho có giá trị nhỏ nhất

Bài 2: CMR trong các tam giác ABC có đáy BC không đổi và chiều cao tương ứng không đổi, tam giác cân tại A có chu vi nhỏ nhất

Bài 3: Cho hai đường thẳng và cắt nhau tại O và hai điểm A,B không thuộc và Tìm cácđiểm sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp tam giác ABC, tức là có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh của tam giác ấy (các bạn có thể tham khảo 2 cách giải độc đáo trên báo 3T số 4, nhưng tốt hơn là nên tự giải)

3 Các bài toán khác:

Bài 8: Trên các cạnh bên AC và BC của tam giác cân ABC cho các điểm M,N sao cho

CM+CN=AC CMR 3 trung điểm AC,BC,MN thẳng hàng

Bài 9: Tam giác cân đỉnh A với Trên BC lấy D sao cho Tính góc DAC.Bài 10: Tam giác cân đỉnh A với Điểm O được chọn trong tam giác sao cho

Tính góc AOB

Bài 11: Trên tia phân giác ngoài của góc C của tam giác ABC lấy điểm M tùy ý CM:

Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H Đường thẳng AH cắt BC ở CMR:

TIẾP ĐẾN LÀ PHÂN MÔN ĐẠI SỐ PHẦN ĐL ĐIRICHLÊ

I.Định nghĩa:

Nguyên lý Đirichlê còn gọi là "nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng " hoặc "nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo" hoặc nguyên tắc lổ chuồng câu" Nội dung của nguyên lý này hết sức đơn giản

và dễ hiểu, nhưng lại có tác dụng rất lớn trong giải toán Nhiều khi có những bài toán, người

ta đã dùng rất nhiều phương pháp toán học để giải mà vẫn chưa đi đến kết quả, nhưng nhờ nguyên lý Đirichlê mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết

Nguyên tắc Đirichlê được phát biểu dưới dạng bài toán sau đây:

1 Nếu đem nhốt m con thỏ vào n chiếc lồng, với m>n (nghĩa là số thỏ nhiều hơn số lồng) thì

ít nhất cũng có một lồng nhốt không ít hơn 2 thỏ.[/color

Hoặc là:

color=red]2 Nếu đem xếp m đồ vật vào n ô ngăn kéo, với m>n (nghĩa là số đồ vật nhiều hơn

số ngăn kéo), thì ít nhất cũng phải có một ô ngăn kéo chứa không ít hơn 2 đồ vật

Chứng minh (dùng phương pháp phản chứng):

Giả sử không có lồng nào nhốt từ 2 thỏ trở nên, thế thì cho dù mỗi lồng đều có nhốt một thỏ thì tổng số thỏ bị nhốt cũng chỉ là n thỏ, trong khi đó tổng số thỏ là m Điều này vô lý Vậy ít nhất cũng phải có 1 lồng nhốt từ 2 thỏ trở nên.(đpcm)

Nguyên lí Dirichlet là một định lí về tập hợp hữu hạn.Phát biểu chính xác nguyên lí này như sau

Cho A vàB là 2 tập không rỗng có số phần tử hữu hạn mà số phần tử ở A lớn hơn số lượng phần tử của B ,Nếu với quy tắc nào đấy, mỗi phần tử của A tương ứng với 1 phần tử của B thìtồn tại 2 phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với cùng 1 phần tử của B

II)Mở rộng nguyên lí Dirichlet

Cho A là tập hữu hạn những phần tử , Kí hiệu s(A) là số lượng các phần tử thuộc A.Nguyên lý Dirichlet có thể phát biểu như sau

Nếu A và B là những tập hợp hữu hạn và s(A) > ks(B) ở đây k là 1 số tự nhiên nào đó và nếu mỗi phần tử của A cho tương ứng với 1 phần tử nào đó của B thì tồn tại ít nhất k+1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B

II Các ví dụ:A.Các bài toán số học:1 Toán suy luận:[color=Blue]Ví dụ 1: Có 10 đội bóng thi

đấu với nhau mỗi đội phải đấu một trận với các đội khác CMR vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau

GIẢI: Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ

1 đến 9 Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2 đội có số trận đấu như nhau

Ví dụ 2: Có 6 đội bóng thi đấu với nhau (mỗi đội phải đấu 1 trận với 5 đội khác) CMR vào bất

cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào.GIẢI: Giả sử 6 đội bóng đó là Xét đội A

Theo nguyên lý Đirichlê ta suy ra: A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3 đội khác Không mất tính tổng quát, giả sử A đã đấu với

Nếu từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh

Nếu có 2 đội đã đấu với nhau, ví dụ B và C thì 3 đội từng cặp đã đấu với nhau.Như vậy bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào

Ví dụ 3: CMR trong n người bất kì, tồn tại hai người có số người quen như nhau (kể cả trường hợp quen 0 người)

GIẢI: Tương tự ví dụ 1, ta xét n nhóm

Ví dụ 4: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10 CMR ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10)

GIẢI: Có 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9) Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm

đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không quá học sinh, ít hơn 43 học sinh Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.

2.Sự chia hết:[/color

Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia là rất đặc biệt.Phép chia có hàng loạt các tính chất mà các phép còn lại không có Ví dụ các phép toán cộng , trừ , nhân đều thực hiện với số 0 còn phép chia thì không thể.Vì những lí do đặc biệt đó mà trong toán học xây dựng hẳn 1 lý thuyết về phép vchia Những ví dụ sau có liên quan mật thiết giữa phép chia và nguyên lý Dirchlet

color=Blue]Ví dụ 1[color=blue]:[/color

CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007

GIẢI: Xét số có dạng Theo nguyên tắc Đirichlê thì tồn tại hai số có cùng số

dư khi chia cho Giả sử hai số đó là:

Ví dụ 2: CMR trong số bất kì thuộc tập hợp luôn chọn được hai số mà số này làbội của số kia

GIẢI: Viết số đã cho dưới dạng:

Trong đó là các số lẻ Ta có Mặt khác trong khoảng từ 1 đến có đúng n số lẻ nên tồn tại hai số m\neq n sao cho Khi đó, trong hai số

và có một số là bội của số kia

Ví dụ 3: Cho 5 số nguyên phân biệt Xét tích:

CMR

GIẢI:

-Chứng minh

Xét 4 số tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 Giả sử thì

.Lại xét trong 4 số này lại tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 Suy ra

-Chứng minh

Trong 5 số đã cho có 3 số cùng tính chẵn lẻ

.-Nếu có 3 số chẵn, 2 số lẻ thì đặt:

Ta có

Trong 3 số có 2 số cùng tính chẵn lẻ Giả sử thì nên

-Nếu có 3 số lẻ là còn chẵn thì đặt

về các số đã cho là khác nhau (chú ý các số dạng xét nhiều nhất có 2 chữ số ) do đó ở nhóm cuối cùng ta lấy một số , sau đó nhóm trước đó (vì có ít nhất 2 chữ số hàng đơn vị của hai số trong nhóm ấy khác nhau) ta lấy một số khác với chữ số hàng đơn vị khác số chọn trước, rồi nhóm trước đó lại lấy 1 số có chữ số hàng đơn vị khác 2 số chọn trước Cuối cùng sẽ được 6

số phải tìm với các chữ số khác nhau

Ví dụ 2: Chọn bất kì số trong số tự nhiên từ 1 đến CMR trong các số được chọn có ít nhất 1 số bằng tổng của 2 số được chọn (kể cả các trường hợp 2 số hạng của tổng bằng nhau ).[/font]

[font=tahoma]GIẢI:Giả sử là số được chọn

Xét n số:

(mỗi hiệu đều nhỏ hơn )

Trong tập số đó là tồn tại 2 số bằng nhau, hai số ấy không thể cùng thuộc dãy cũng không thể cùng thuộc dãy Ta có:

(đpcm)TIẾP ĐẾN LÀ PHÂN MÔN HÌNH HỌC PHẦN CỰC TRỊ

I.Mở đầu :

Để học giải các bài toán, chúng ta cần nhiều thủ thuật và phương pháp suy luận hoặc chí ít cũng phải được trang bị những thủ thuật và phương pháp cơ bản Có thể nói rằng mỗi một sựtrang bị thêm một thủ thuật hay phương pháp mới thì phạm vi và khả năng giải các bài toán của người làm toán được mở rộng hơn rất nhiều Thậm chí có những thủ thuật và phương pháp mang tính quyết định để người làm toán có thể giải được một bài toán cụ thể được đặt

ra hay không Điều này được thể hiện đặc biệt rõ ràng trong lớp những bài toán không mẫu mực Một trong những thủ thuật và phương pháp đó là nguyên tắc biên (hay còn được gọi là nguyên lý cực hạn hay nguyên lý khởi đầu cực trị), một nguyên tắc chung hết sức hiệu quả trong quá trình giải toán Bởi lẽ đó là một phương pháp cần thiết phải trang bị cho chúng ta

II.Cơ sở của phương pháp và cách áp dụng:

1.Một tập hợp M được xét trên cơ sở một quy ước chuẩn nào đó có các phần tử cực biên (cực hạn) Không giảm tính tổng quát ta có thể gọi phần tử a ở bên "trái" và phần tử b ở bên

"phải" (quy ước a ở bên "trái" tất cả các phần tử thuộc tập hợp M, b ở bên "phải" tất cả các

phần tử thuộc tập hợp M Dựa trên quy ước chuẩn) Nói nôm na thì đơn giản là trong một tập hữu hạn các phần tử, tồn tại phần tử nhất (lớn nhất, nhỏ nhất)

Kí hiệu như sau:

A bên trái nên A không thể nằm trong đoạn thẳng nào nối hai điểm khác nhau của

Từ đó có sự mâu thuẫn, điều này chứng tỏ tập M phải là vô hạn (đpcm)

Bài toán 2:

Trên mặt phẳng cho 2 bộ điểm và

sao cho không có 3 điểm nào trong số điểm trên thẳng hàng CMR có thể nốicác điểm thuộc bộ 1 với bộ 2 (bởi n đoạn) sao cho không có hai đoạn nào cắt nhau

Lời giải:

Giả sử không thể thực hiện cách nối thỏa mãn đầu bài.Theo nguyên tắc "biên" thì tồn tại một cách nối sao cho tổng độ dài các đoạn là nhỏ nhất Sẽ có hai đoạn cắt nhau, ví dụ

Theo BDT tam giác thì

Do là nhỏ nhất nên ta có điều mâu thuẫn

Giả sử 6 điểm nằm trong theo chiều kim đồng hồ lần lượt là

Nối

Ta có

Do đó góc nhỏ nhất trong chúng không lớn hơn

Không mất tính tổng quát giả sử nhỏ nhất Khi đó

Vì vậy trong tam giác không phải là góc lớn nhất

Giả sử 6 số đôi một khác nhau

Do đó không mất tính tổng quát giả sử

(mâu thuẫn)Vậy phải có hai số bằng nhau

Bài toán 5 :

Chứng minh rằng nếu tất cả các cạnh của một tam giác đều nhỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ hơn

Lời giải:

Gọi A là góc nhỏ nhất của tam giác ABC, suy ra:

Lời giải:

Không mất tính tổng quát có thể giả sử rằng

Lấy là điểm đối xứng của B và C qua E Tam giác nằm trong tam giác AED.Giả sử AD ko trùng với

Khi đó đường tròn nội tiếp tam giác AED nằm trong đường tròn nội tiếp tam giác AED, đồng dạng với đường tròn này với tâm đồng dạng E, hệ số đồng dạng lớn hơn 1

Do đó là bán kính đường tròn nội tiếp) (vô lý).Chứng tỏ

Tứ giác nội tiếp là tứ giác sao cho tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác đó

B-Các cách CM tứ giác nội tiếp

Đối với tứ giác cho trước thì các mệnh đề sau là tương đương:

1/ là tứ giác nôi tiếp

3/

4/

5/ thẳng hàng ,trông đó là đường vuông góc hạ từ xuống

7/ ,trong đó theo thứ tự là chân bán kính ĐTR ngoại tiếp các tam giác

8/Tứ giác là HCN,trong đó theo thứ tự là tâm DTR ngoại tiếp các tamgiác

3/Mở rộng

Một tứ giác nội tiếp có thể được chia nhỏ thành vô số các tứ giác nội tiếp khác

Một hình vuông (chữ nhật) có thể chia thành vô số các hình vuông, hình chữ nhật, vốn là các

tứ giác nội tiếp

Một hình thang cân có thể chia nhỏ thành vô số các hình thang cân bằng (vô số) các đường thẳng song song với đáy và cắt hai cạnh bên

Một tứ giác nội tiếp bất kì cũng có thể được chia thành bốn tứ giác sau:

Từ đa giác nội tiếp lớn ban đầu hãy sắp đặt đa giác sao cho cạnh kề với hai góc nhọn ở dưới Sau đó kẻ ba đường thẳng song song với ba cạnh để tạo thành hai hình thang cân (1) và (2) Hình thang còn lại, (3), tuy không phải là cân nhưng là tứ giác nội tiếp Hình (4) có các cạnh song song với tứ giác nội tiếp ban đầu nên đồng dạng và do đó cũng là tứ giác nội tiếp

Ta có thể áp dụng cách như trên đối với hình (4) để được (vô số) các tứ giác nội tiếp; cũng như phân chia các hình thang cân (1) và (2) thành vô số các hình thang cân (nội tiếp) khác

4/Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho tam giác có DTR nội tiếp tâm tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại.Các đường thẳng lần lượt cắt tại CMR 4 điểm cùng thuộc 1 DTR

Lời giải:

*Nếu M thuộc tia đối của tia EF,ta có:

Vậy tứ giác IFMC nội tiếp do đó

*Nếu thuộc đoạn ,bằng cách làm tương tự ta cũng suy ra Vậy ta luôn có

.Tương tự ,do đó 4 điểm cùng thuộc 1 DTR

Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn là đường cao xuất phát từ Vẽ về phía ngoài tam giác các tam giác vuông đồng dạng với nhau (vuông tại M;N).Gọi là trung điểm của,CMR các điểm cùng thuộc 1 DTR

Vậy 4 điểm cùng thuộc 1 DTR

Và sau đây là 1 số bài tập ứng dụng(from THTT)

Bài 1:CMR là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi các DTR nội tiếp tam giác tiếp xúc nhau

Bài 2:CMR là tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp khi và chỉ khi

Bài 3: Giả sử tồn tại 1 ĐTR tiếp xúc với 4 cạnh của tứ giác tại

.CMR là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi

Bài 4: Giả sử tồn tại 1 ĐTR có tâm trên cạnh và tiếp xúc với 3 cạnh còn lại của tứ giác

Chứng minh rằng ĐK cần và đủ để nội tiếp được 1 ĐTR là:

Cái này phân môn Đại Số phần : CM Bất Đẳng Thức

PP cm Bđt vài cái thôi kô hết đâu

Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương