Tổng hợp các kiến thức cơ bản và nâng cao lớp 9

SAU ĐÂY LÀ PHÂN MÔN HÌNH HỌC PHẦN ĐỐI XỨNG 1. Phép đối xứng trục. a, Định nghĩa: Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho đoạn thẳng MM' nhận d làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng. Nếu điểm M thuộc d thì ta lấy M' trùng M. -Nếu một hình biến thành chính nó qua phép đối xứng trục d thì d được gọi là trục đối xứng của hình đó. b, Áp dụng trong giải toán: 1. Ứng dụng trong cực trị: VD1: Cho hai điểm A,B phân biệt và nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x cho trước. Hãy tìm trên x một điểm M sao cho tổng hai đoạn AM+BM là ngắn nhất. GIẢI: Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng x cho trước và gọi M là giao điểm của đường thẳng A'B với x. Ta có . Dấu đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng A'B với x. BL: Ta cũng hoàn toàn có thể tìm điểm M bằng cách tìm điểm B' đối xứng với B qua đường thẳng x sau đó ta có M là giao điểm của AB' với x. Bài toán này đã được đặt ra từ hàng năm trước đây, từ nhà toán học Hê-rông và cũng đã được đăng trên báo 3T và nhiều cuốn sách. Sau bài này, tiến sĩ Nguyễn Minh Hà đã có một nhận xét quan trọng: "Khi cần quan sát độ dài của một đường gấp khúc quá "cong queo" ta hãy dùng các phép đối xứng trục để thay nó bằng một đường gấp khúc mới, đỡ "cong queo" hơn, có độ dài bằng độ dài đường gấp khúc đã cho nhưng dễ quan sát hơn." Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này. Hãy tìm trên cạnh Ox một điểm B và trên cạnh Oy một điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. GIẢI: Gọi là điểm đối xứng với A qua cạnh là điểm đối xứng với A qua cạnh .Đường thẳng cắt lần lượt tại B và C. Ta có Với các điểm B' khác B và C' khác C trên Ox, Oy ta có đường gấp khúc luôn dài hơn đoạn Vậy các điểm B,C nói trên tạo nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. 2. Dựng hình: VD3: Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt cạnh Oy tại S. Hãy dựng một đường thẳng m vuông góc với d; cắt các cạnh Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho hai điểm A, B cách đều đường thẳng d. GIẢI: Ta nhận thấy A,B là hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d. Như vậy điểm A vừa nằm trên cạnh Ox, vừa nằm trên ảnh của cạnh Oy qua phép đối xứng trục d nói trên. Ta có điểm A cần tìm là giao điểm của Sy' với cạnh Ox, do đó đường thẳng m cần tìm đi qua A và vuông góc với d. Ta dễ dàng thấy rằng hai điểm A,B như vậy cách đều đường thẳng d. Dễ dàng chứng minh được đường thẳng m đó đó thỏa mãn các điều kiện của bài toán. 3. Chứng minh các đặc tính hình học: Ví dụ 4:Một đường tròn với tâm I nằm trên tia phân giác một góc xOy, cắt Ox và Oy tương ứng ở A,B và C,D. CMR AB=CD GIẢI: Từ giả thuyết suy ra đỉnh O phải ở ngoài đường tròn . Ta chọn OI là trục đối xứng, khi đó Ox đối xứng với Oy qua OI, (I,R) vẫn là chính nó. Do đó, A và B là giao của Ox với (I,R) biến thành C,D giao của Oy với (I,R) Do tính chất đối xứng, ta có AB=CD. c, bài tập áp dụng: -Một số bài toán mở đầu: 1. Đường tròn qua phép đối xứng trục biến thành đường tròn. 2.Hai đường tròn có tâm chung là điểm O. Đường tròn thứ ba cắt chúng tại các điểm A,B,C,D. Khi đó nếu đường thẳng AB đi qua điểm O thì đường thẳng CD cũng đi qua điểm O. 3. Một tứ giác có trục đối xứng. Khi đó tứ giác đó hoặc là hình thang cân hoặc đối xứng qua một đường chéo của mình. 4. Trục đối xứng của một đa giác cắt các cạnh của nó tại các điểm A và B. Khi đó điểm A hoặc là đỉnh của đa giác hoặc là trung điểm của một cạnh vuông góc với trục đối xứng. 5. Nếu một hình có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì nó có tâm đối xứng. --------------------------------------------------------------------- 1. Cực trị: Bài 1: Cho hai điểm A,B nằm về hai phía đường thẳng d và không cách đều d. Xác định điểm M trên đường thẳng d sao cho có giá trị nhỏ nhất. Bài 2: CMR trong các tam giác ABC có đáy BC không đổi và chiều cao tương ứng không đổi, tam giác cân tại A có chu vi nhỏ nhất. Bài 3: Cho hai đường thẳng và cắt nhau tại O và hai điểm A,B không thuộc và . Tìm các điểm sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất. Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC. Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội tiếp tam giác ABC, tức là có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh của tam giác ấy. (các bạn có thể tham khảo 2 cách giải độc đáo trên báo 3T số 4, nhưng tốt hơn là nên tự giải) 2. Dựng hình: Bài 5: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm A ở ngoài 2 đường thẳng a và b. Dựng tam giác ABC sao cho các phân giác và nằm trên a và b. Bài 6: Dựng tam giác cân đỉnh M với M cho trước nằm trong , thỏa mãn . Bài 7: Dựng tứ giác ABCD biết độ dài các cạnh và đường chéo AC là phân giác góc A. 3. Các bài toán khác: Bài 8: Trên các cạnh bên AC và BC của tam giác cân ABC cho các điểm M,N sao cho CM+CN=AC. CMR 3 trung điểm AC,BC,MN thẳng hàng. Bài 9: Tam giác cân đỉnh A với . Trên BC lấy D sao cho Tính góc DAC. Bài 10: Tam giác cân đỉnh A với . Điểm O được chọn trong tam giác sao cho . Tính góc AOB. Bài 11: Trên tia phân giác ngoài của góc C của tam giác ABC lấy điểm M tùy ý. CM: Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Đường thẳng AH cắt BC ở . CMR: TIẾP ĐẾN LÀ PHÂN MÔN ĐẠI SỐ PHẦN ĐL ĐIRICHLÊ I.Định nghĩa: Nguyên lý Đirichlê còn gọi là "nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng " hoặc "nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo" hoặc nguyên tắc lổ chuồng câu". Nội dung của nguyên lý này hết sức đơn giản và dễ hiểu, nhưng lại có tác dụng rất lớn trong giải toán. Nhiều khi có những bài toán, người ta đã dùng rất nhiều phương pháp toán học để giải mà vẫn chưa đi đến kết quả, nhưng nhờ nguyên lý Đirichlê mà bài toán trở nên dễ dàng giải quyết. Nguyên tắc Đirichlê được phát biểu dưới dạng bài toán sau đây: 1. Nếu đem nhốt m con thỏ vào n chiếc lồng, với m>n (nghĩa là số thỏ nhiều hơn số lồng) thì ít nhất cũng có một lồng nhốt không ít hơn 2 thỏ.[/color Hoặc là: color=red]2. Nếu đem xếp m đồ vật vào n ô ngăn kéo, với m>n (nghĩa là số đồ vật nhiều hơn số ngăn kéo), thì ít nhất cũng phải có một ô ngăn kéo chứa không ít hơn 2 đồ vật. Chứng minh (dùng phương pháp phản chứng): Giả sử không có lồng nào nhốt từ 2 thỏ trở nên, thế thì cho dù mỗi lồng đều có nhốt một thỏ thì tổng số thỏ bị nhốt cũng chỉ là n thỏ, trong khi đó tổng số thỏ là m. Điều này vô lý. Vậy ít nhất cũng phải có 1 lồng nhốt từ 2 thỏ trở nên.(đpcm) Nguyên lí Dirichlet là một định lí về tập hợp hữu hạn.Phát biểu chính xác nguyên lí này như sau Cho A vàB là 2 tập không rỗng có số phần tử hữu hạn mà số phần tử ở A lớn hơn số lượng phần tử của B ,Nếu với quy tắc nào đấy, mỗi phần tử của A tương ứng với 1 phần tử của B thì tồn tại 2 phần tử khác nhau của A mà chúng tương ứng với cùng 1 phần tử của B II)Mở rộng nguyên lí Dirichlet Cho A là tập hữu hạn những phần tử , Kí hiệu s(A) là số lượng các phần tử thuộc A.Nguyên lý Dirichlet có thể phát biểu như sau Nếu A và B là những tập hợp hữu hạn và s(A) > ks(B) ở đây k là 1 số tự nhiên nào đó và nếu mỗi phần tử của A cho tương ứng với 1 phần tử nào đó của B thì tồn tại ít nhất k+1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B II. Các ví dụ:A.Các bài toán số học:1. Toán suy luận:[color=Blue]Ví dụ 1: Có 10 đội bóng thi đấu với nhau mỗi đội phải đấu một trận với các đội khác. CMR vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau. GIẢI: Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9. Vậy theo nguyên lý Đirichlê phải có ít nhất 2 đội có số trận đấu như nhau. Ví dụ 2: Có 6 đội bóng thi đấu với nhau (mỗi đội phải đấu 1 trận với 5 đội khác). CMR vào bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào. GIẢI: Giả sử 6 đội bóng đó là . Xét đội A. Theo nguyên lý Đirichlê ta suy ra: A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3 đội khác. Không mất tính tổng quát, giả sử A đã đấu với . Nếu từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh. Nếu có 2 đội đã đấu với nhau, ví dụ B và C thì 3 đội từng cặp đã đấu với nhau. Như vậy bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào. Ví dụ 3: CMR trong n người bất kì, tồn tại hai người có số người quen như nhau (kể cả trường hợp quen 0 người) GIẢI: Tương tự ví dụ 1, ta xét n nhóm . Ví dụ 4: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. CMR ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10) GIẢI: Có 43 học sinh phân chia vào 8 loại điểm (từ 2 đến 9). Giả sử mỗi loại trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp học có không quá học sinh, ít hơn 43 học sinh. Vậy tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. 2.Sự chia hết:[/color Trong các phép tính trên số nguyên thì phép chia là rất đặc biệt.Phép chia có hàng loạt các tính chất mà các phép còn lại không có. Ví dụ các phép toán cộng , trừ , nhân đều thực hiện với số 0 còn phép chia thì không thể.Vì những lí do đặc biệt đó mà trong toán học xây dựng hẳn 1 lý thuyết về phép vchia . Những ví dụ sau có liên quan mật thiết giữa phép chia và nguyên lý Dirchlet color=Blue]Ví dụ 1[color=blue]:[/color CMR tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2007. GIẢI: Xét số có dạng . Theo nguyên tắc Đirichlê thì tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho . Giả sử hai số đó là: và với Khi đó chia hết cho Do nên chia hết cho . Ví dụ 2: CMR trong số bất kì thuộc tập hợp luôn chọn được hai số mà số này là bội của số kia. GIẢI: Viết số đã cho dưới dạng: Trong đó là các số lẻ. Ta có . Mặt khác trong khoảng từ 1 đến có đúng n số lẻ nên tồn tại hai số m\neq n sao cho . Khi đó, trong hai số và có một số là bội của số kia. Ví dụ 3: Cho 5 số nguyên phân biệt Xét tích: CMR GIẢI: -Chứng minh . Xét 4 số tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3. Giả sử thì .Lại xét trong 4 số này lại tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3. Suy ra -Chứng minh Trong 5 số đã cho có 3 số cùng tính chẵn lẻ. -Nếu có 4 số chẵn, chẳng hạn thì : . -Nếu có 3 số chẵn, 2 số lẻ thì đặt: Ta có Trong 3 số có 2 số cùng tính chẵn lẻ. Giả sử thì nên . -Nếu có 3 số lẻ là còn chẵn thì đặt Xét tương tự cũng có . Vậy ta có 3. Toán về tổng, hiệu, chữ số tận cùng .các loại: Ví dụ 1: Cho 51 số nguyên dương khác nhau có 1 chữ số và có 2 chữ số. CMR ta có thể chọn ra 6 số nào đó mà bất cứ 2 số nào trong số đã lấy ra ấy không có chữ số hàng đơn vị giống nhau cũng không có chữ số hàng chục giống nhau. GIẢI: Vì có 51 số nên tìm được 6 chục sao cho một nhóm có không ít hơn 6 số rơi vào một trong các số chục đó, một nhóm có không ít hơn 5 số rơi vào chục khác . Cuối cùng có ít nhất một trong các số đã cho rơi vào một chục nào đó (như vậy số các chục khác nhau không ít hơn 6) về các số đã cho là khác nhau (chú ý các số dạng xét nhiều nhất có 2 chữ số ) do đó ở nhóm cuối cùng ta lấy một số , sau đó nhóm trước đó (vì có ít nhất 2 chữ số hàng đơn vị của hai số trong nhóm ấy khác nhau) ta lấy một số khác với chữ số hàng đơn vị khác số chọn trước, rồi nhóm trước đó lại lấy 1 số có chữ số hàng đơn vị khác 2 số chọn trước . Cuối cùng sẽ được 6 số phải tìm với các chữ số khác nhau. Ví dụ 2: Chọn bất kì số trong số tự nhiên từ 1 đến . CMR trong các số được chọn có ít nhất 1 số bằng tổng của 2 số được chọn (kể cả các trường hợp 2 số hạng của tổng bằng nhau ).[/font] [font=tahoma]GIẢI:Giả sử là số được chọn. Xét n số: (mỗi hiệu đều nhỏ hơn ) Trong tập số đó là tồn tại 2 số bằng nhau, hai số ấy không thể cùng thuộc dãy cũng không thể cùng thuộc dãy . Ta có: (đpcm) TIẾP ĐẾN LÀ PHÂN MÔN HÌNH HỌC PHẦN CỰC TRỊ I.Mở đầu : Để học giải các bài toán, chúng ta cần nhiều thủ thuật và phương pháp suy luận hoặc chí ít cũng phải được trang bị những thủ thuật và phương pháp cơ bản. Có thể nói rằng mỗi một sự trang bị thêm một thủ thuật hay phương pháp mới thì phạm vi và khả năng giải các bài toán của người làm toán được mở rộng hơn rất nhiều. Thậm chí có những thủ thuật và phương pháp mang tính quyết định để người làm toán có thể giải được một bài toán cụ thể được đặt ra hay không. Điều này được thể hiện đặc biệt rõ ràng trong lớp những bài toán không mẫu mực. Một trong những thủ thuật và phương pháp đó là nguyên tắc biên (hay còn được gọi là nguyên lý cực hạn hay nguyên lý khởi đầu cực trị), một nguyên tắc chung hết sức hiệu quả trong quá trình giải toán. Bởi lẽ đó là một phương pháp cần thiết phải trang bị cho chúng ta. II.Cơ sở của phương pháp và cách áp dụng: 1.Một tập hợp M được xét trên cơ sở một quy ước chuẩn nào đó có các phần tử cực biên (cực hạn). Không giảm tính tổng quát ta có thể gọi phần tử a ở bên "trái" và phần tử b ở bên "phải" (quy ước a ở bên "trái" tất cả các phần tử thuộc tập hợp M, b ở bên "phải" tất cả các phần tử thuộc tập hợp M. Dựa trên quy ước chuẩn). Nói nôm na thì đơn giản là trong một tập hữu hạn các phần tử, tồn tại phần tử nhất (lớn nhất, nhỏ nhất) Kí hiệu như sau: III.Ứng dụng: Phương pháp trên có vẻ rất đơn giản tuy nhiên nó có rất nhiều ứng dụng vô cùng hiệu quả trong các dạng toán tổ hợp.Dưới đây là một số bài toán điển hình về việc áp dụng nguyên tắc "biên" với tư cách là một suy luận cơ bản để quyết định tìm ra chìa khóa cho lời giải của bài toán, đồng thời cũng qua lời giải của các bài toán này các bạn có thể tự rút ra cho mình phương pháp áp dụng nguyên tắc "biến" một cách hợp lý trong việc giải nhiều bài toán khác nhau. Bài toán 1: Trên đường thẳng cho tập hợp M các điểm sao cho mỗi một điểm trong tập hợp M là trung điểm của đoạn nối hai điểm khác trong M.Chứng minh rằng tập M chứa vô hạn điểm. Lời giải 1: Giả sử tập M chứa hữu hạn điểm. Khi đó trong M có điểm là điểm bên trái và có điểm là điểm bên phải. Chúng ta xét một trong các biên này, chẳng hạn xét điểm bên trái, ta kí hiệu là A.Vì A bên trái nên A không thể nằm trong đoạn thẳng nào nối hai điểm khác nhau của Từ đó có sự mâu thuẫn, điều này chứng tỏ tập M phải là vô hạn (đpcm). Lời giải 2: Giả sử M là tập hữu hạn và xét độ dài các đoạn thẳng nối hai điểm trong tập hợp M, số các đoạn thẳng này là hữu hạn. Áp dụng quy tắc "biến" trong tập hữu hạn này có số lớn nhất và số nhỏ nhất. Chúng ta xét đoạn thẳng BC có độ dài lớn nhất. Rõ ràng ngoài đoạn BC không thể còn điểm nào thuộc tập hợp M.Nói cách khác tất cả các điểm của tập hợp M đều nằm trong đoạn BC, chính vì vậy cả B lẫn C đều không thỏa mãn điều kiện của bài toán, dẫn đến mâu thuẫn. Vậy tập M là vô hạn. Bài toán 2: Trên mặt phẳng cho 2 bộ điểm và sao cho không có 3 điểm nào trong số điểm trên thẳng hàng. CMR có thể nối các điểm thuộc bộ 1 với bộ 2 (bởi n đoạn) sao cho không có hai đoạn nào cắt nhau. Lời giải: Giả sử không thể thực hiện cách nối thỏa mãn đầu bài.Theo nguyên tắc "biên" thì tồn tại một cách nối sao cho tổng độ dài các đoạn là nhỏ nhất. Sẽ có hai đoạn cắt nhau, ví dụ Theo BDT tam giác thì Do là nhỏ nhất nên ta có điều mâu thuẫn. Vậy được đpcm. Bài toán 3: Cho và 6 điểm nằm trong đường tròn. CMR tồn tại hai điểm A,B trong 6 điểm trên sao cho Lời giải: Giả sử 6 điểm nằm trong theo chiều kim đồng hồ lần lượt là Nối Ta có Do đó góc nhỏ nhất trong chúng không lớn hơn Không mất tính tổng quát giả sử nhỏ nhất. Khi đó Vì vậy trong tam giác không phải là góc lớn nhất. Mặt khác nên ta có đpcm. Bài toán 4: Cho và . CMR có hai số bằng nhau. Lời giải: Giả sử 6 số đôi một khác nhau. Do đó không mất tính tổng quát giả sử . (mâu thuẫn) Vậy phải có hai số bằng nhau. Bài toán 5 : Chứng minh rằng nếu tất cả các cạnh của một tam giác đều nhỏ hơn 1 thì diện tích của tam giác nhỏ hơn Lời giải: Gọi A là góc nhỏ nhất của tam giác ABC, suy ra: Ta có (BH là đường cao) Do đó Bài toán 6: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu các bán kính của bốn đường tròn nội tiếp các tam giác bằng nhau thì tứ giác ACBD là hình thoi. Lời giải: Không mất tính tổng quát có thể giả sử rằng Lấy là điểm đối xứng của B và C qua E. Tam giác nằm trong tam giác AED. Giả sử AD ko trùng với Khi đó đường tròn nội tiếp tam giác AED nằm trong đường tròn nội tiếp tam giác AED, đồng dạng với đường tròn này với tâm đồng dạng E, hệ số đồng dạng lớn hơn 1. Do đó là bán kính đường tròn nội tiếp) (vô lý).Chứng tỏ . Khi đó là hình bình hành. Lại có là nửa chu vi các tam giác ) Vậy là hình thoi. TỨ GIÁC NỘI TIẾP A-Định nghĩa Tứ giác nội tiếp là tứ giác sao cho tồn tại một đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác đó B-Các cách CM tứ giác nội tiếp Đối với tứ giác cho trước thì các mệnh đề sau là tương đương: 1/ là tứ giác nôi tiếp 2/ 3/ 4/ 5/ thẳng hàng ,trông đó là đường vuông góc hạ từ xuống 6/ ,trong đó là giao điểm của và 7/ ,trong đó theo thứ tự là chân bán kính ĐTR ngoại tiếp các tam giác 8/Tứ giác là HCN,trong đó theo thứ tự là tâm DTR ngoại tiếp các tam giác 9/ trong đó và 3/Mở rộng Một tứ giác nội tiếp có thể được chia nhỏ thành vô số các tứ giác nội tiếp khác. Một hình vuông (chữ nhật) có thể chia thành vô số các hình vuông, hình chữ nhật, vốn là các tứ giác nội tiếp. Một hình thang cân có thể chia nhỏ thành vô số các hình thang cân bằng (vô số) các đường thẳng song song với đáy và cắt hai cạnh bên. Một tứ giác nội tiếp bất kì cũng có thể được chia thành bốn tứ giác sau: Từ đa giác nội tiếp lớn ban đầu hãy sắp đặt đa giác sao cho cạnh kề với hai góc nhọn ở dưới. Sau đó kẻ ba đường thẳng song song với ba cạnh để tạo thành hai hình thang cân (1) và (2). Hình thang còn lại, (3), tuy không phải là cân nhưng là tứ giác nội tiếp. Hình (4) có các cạnh song song với tứ giác nội tiếp ban đầu nên đồng dạng và do đó cũng là tứ giác nội tiếp. Ta có thể áp dụng cách như trên đối với hình (4) để được (vô số) các tứ giác nội tiếp; cũng như phân chia các hình thang cân (1) và (2) thành vô số các hình thang cân (nội tiếp) khác. 4/Ví dụ minh họa Ví dụ 1:Cho tam giác có DTR nội tiếp tâm tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại .Các đường thẳng lần lượt cắt tại .CMR 4 điểm cùng thuộc 1 DTR Lời giải: *Nếu M thuộc tia đối của tia EF,ta có: Vậy tứ giác IFMC nội tiếp do đó *Nếu thuộc đoạn ,bằng cách làm tương tự ta cũng suy ra .Vậy ta luôn có . Tương tự ,do đó 4 điểm cùng thuộc 1 DTR [...]... phương pháp giải tổng quát Ở đây tôi xin giới thiệu 11 thủ pháp cơ bản để giải các phương trình nghiệm nguyên thường gặp 1) Hạn chề tập hợp chứa nghiệm dựa vào tính chia hết Lựa chọn nghiệm trong 1 tập hợp hữu hạn số là thủ pháp cơ bản để giải các phương trình vô định Các thủ pháp đều nhằm xác định tập số chứa nghiệm sao cho có ít phần tử nhất Cách đưa về tập hợp hữu hạn số ở đây dựa vào tính chia hết... NGUYÊN Việc giải các phương trình vô định tức là việc tìm nghiệm nguyên của các phương trình đại số với các hệ số nguyên ,luôn đòi hỏi chúng ta khả năng phân tích ,đối chiếu dự đoán và phương pháp tư duy lôgic để lựa chọn nghiệm thích hợp. Do vậy các bài toán này thường thấy cả trong các đề toántreen các tạp chí toán học sơ cấp ,các đề toán thi chọn HSG và cả các đề thi vào đại học và trung học chuyên... HỌC phần ƯỚC Và BỘI Ước và bội là hai trong số những khái niệm cơ bản nhất của số học Tuy nhiên sự cơ bản luôn luôn có sự thú vị riêng của nó Những người học số học luôn cần phải nắm vững vấn đề này, không chỉ vì sự ứng dụng rộng rãi của nó mà nó còn là cả nền tảng xây dựng nên những vấn đề phức tạp và đa dạng hơn Trước hết chúng ta hãy điểm qua một số khái niệm cơ bản A Một số khái niệm cơ bản: I/ Ước... chế tập hợp chúa nghiệm dựa vào ĐK của các ẩn Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của pt: Lời giải: Thấy ngay Từ ta có: Vì nguyên nên Lựa chọn với chỉ có thể nhận các giá trị : trong các số trên thỏa mãn phương trình ta được các nghiệm là : Ví dụ 5: giải pt nghiệm nguyên dương: Lời giải: Biến đổi thành Do tính đối xứng của và nên có thể giả thiết rằng Ta lựa chọn các nghiệm trong các trường hợp sau:... giác vuông có cạnh kề dài bằng a và b và cạnh huyền dài c, thì Định lý đảo Định lý đảo Pytago phát biểu là: Cho ba số thực dương a, b, và c thỏa mãn và c, và góc giữa a và b là một góc vuông , tồn tại một tam giác có các cạnh là a, b Định lý đảo này cũng xuất hiện trong quyển Các nguyên tố và được phát biểu bởi Euclid là: Nếu bình phương của một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia,... khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên b sao cho II/ Ước số chung: Một số nguyên dương d được gọi là một ước số chung của hai số nguyên dương a và b khi và chỉ khi d là ước số của a và d cũng là ước số của b Tương tự ta cũng có định nghĩa ước số chung của n số nguyên dương III/ Ước chung lớn nhất: Một tính chất cơ bản của ước mà các bạn cũng có thể nhận ra là: nếu d là ước của a thì , do đó tập hợp các. .. hai cạnh nhỏ là góc vuông Bộ ba Pytago Tập hợp các số a, b và c thỏa mãn được gọi là bộ ba Pytago Trong lịch sử, người ta thường quan tâm tới các bộ ba này với a, b và c là các số nguyên Ví dụ {3, 4, 5} hay tổng quát hơn, bộ các số được những người thuộc trường phái Pytago khám phá ra cũng thỏa mãn phương trình này Tiếp đến là phân môn SỐ HỌC phần QUY NẠP I Các dạng sơ đồ của quy nạp: 1.Phép chứng minh... dụng công thức nhị thức Niu-tơn) Rõ ràng r . thích hợp. Do vậy các bài toán này thường thấy cả trong các đề toántreen các tạp chí toán học sơ cấp ,các đề toán thi chọn HSG và cả các đề thi vào đại học và. đối xứng của và nên có thể giả thiết rằng .Ta có: Ta lựa chọn các nghiệm trong các trường hợp sau: Từ đó duy ra các nghiệm là và 3)Hạn chế tập hợp chứa nghiệm