Tổng hợp công thức toán THPT 2021 2022

Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C  Parabol y  ax  bx  c a   Công thức toaùn THPT b   ;   2a 4a  a 0 : Bề lõm quay xuống  Đỉnh I   a 0: Bề lõm quay lên  Phương trình ax  bx  c  a   Có hai nghiệm phân biệt   , có nghiệm kép   , vô nghiệm   b c Nếu phương trình có hai nghiệm x , x ta có định lí Vi-et: S  x  x   P  x x  a a Phương trình có hai nghiệm trái dấu P   ac    Phương trình có hai nghiệm dấu  P    Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương  S  , hai nghiệm phân biệt âm P      S  P     0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x    x    x    x        Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x1  x     x1      x       x1    x        Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn   x1  x   x1      x       x1    x     Chú ý: a chứa tham số xét riêng a  Nếu yêu cầu hai nghiệm (không phân biệt)   Phương trình chứa trị tuyệt đối g  x   a f x   b g  x   h x   f x   g x   f x   g x    f  x   g  x    f x   g  x  Dạng ta chia trường  f x   g  x   hợp để giải  f x   g  x  Phương trình chứa f  x   g x    f  x   or g  x      f  x   g  x   f x   g  x   h x  PP: Tìm điều kiện bình phương vế, đưa phương trình hệ g x   f x   g  x     f  x   g x  f x   g x   f x  g x   h x  PP: Đặt t  f x   g  x  a f  x   b f  x   c  Đặt t  f  x   Đưa pt bậc ẩn t Một số dạng khác sử dụng nhân liên hợp, đưa hệ đánh giá… Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT f  x  g  x  theo t, đưa phương  trình cho bậc hai theo ẩn t Phương trình trùng phương ax  bx  c  a   1  PP: Đặt t  x   at  bt  c    1 vô nghiệm   2 vơ nghiệm, có nghiệm âm 1 có nghiệm   2 có nghiệm kép 0, có nghiệm nghiệm âm 1 có nghiệm phân biệt   2 có nghiệm kép dương, có nghiệm âm nghiệm dương 1 có nghiệm phân biệt   2 có nghiệm dương nghiệm 1 có nghiệm phân biệt   2 có nghiệm phân biệt dương Hệ phương trình Đối xứng loại I  f  x ;y    g  x ;y    f  x ; y   f  y; x  Với  g  x ;y   g y; x  PP: Đặt S  x  y, P  xy với Đối xứng loại II  f  x ;y     f y; x   PP: Trừ hai vế phương trình cho nhau, sau đưa phương trình tích điều kiện S  4P Hệ đẳng cấp bậc a1x  b1xy  c1y  d1  2 a2x  b2xy  c2y  d2 PP: + Giải hệ x  + Khi x  0, đặt y  tx , chia vế với vế phương trình cho nhau, đưa phương trình bậc hai theo t Bất phương trình chứa trị tuyệt đối f x   g x  f x   g x  g x    g  x   f  x   g  x   f x   g x  g  x     g  x   f x   g  x        f x   g x      f x   g  x   Các dạng khác: Dùng định nghĩa trị tuyệt đối, chia khoảng để giải Bất phương trình chứa g  x   f x   g x     f  x   g  x   g  x      f x    f x   g x    g  x      f  x   g  x    f x    f x   g  x   g  x     f x   g  x  Các dạng khác: Đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, đánh giá… Ứng dụng dấu tam thức bậc hai ax  bx  c  0, x   a     ax  bx  c  0, x   a     ax  bx  c  0, x   a     ax  bx  c  0, x   a     Công thức lượng giác cos     cos  sin      sin  cos        cos  cot      cot  cot        cot  tan      tan    sin      cos  2    cos      sin  2  sin       sin  tan        tan    tan      cot  2  sin        sin  cos        cos  tan       tan  Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toaùn THPT   cot      tan  2  sin   cos   1  tan2   cos2  1  cot2   sin2  tan .cot   2 cos a  b   cosa.cos b  sin a.sin b cos a  b   cosa.cosb  sin a.sin b sin a  b   sin a.cos b  cos a.sin b sin a  b   sin a.cosb  cosa.sin b tan a  tan b  tan a.tan b tan a  tan b tan a  b    tan a.tanb tan a  b    cos2a  cos2a sin a   cos2 a tan a   cos2a 3cos a  cos3a cos3 a  3sin a  sin 3a sin a  a b a b cos a  cos b  2cos cos 2 a b a b cosa  cos b  2sin sin 2 a b a b sin a  sin b  2sin cos 2 a b a b sin a  sin b  2sin cos 2 cot       cot  sin 2a  sin a cos a cos2a  cos2 a  sin a  cos2 a    2sin a 2tana  tan2 a sin3a  3sin a  sin a cos3a  4cos3 a  3cosa tan a  tan a tan 3a   3tan a tan2a  cos2 a  cosa.cosb  cos a  b   cos a  b   sin a.sin b   cos a  b   cos a  b   sin a.cos b   sin a  b   sin a  b     sin a  cos a  sin  a   4    sin a  cosa  sin  a   4  Vectơ tính chất       AB  BC  AC AB  AC  CB Nếu ABCD hình bình hành Ilà trung  điểm   đoạn  ABthì     IA  IB  MA  MB  2MI AC  AB  AD G trọng tâm tam giác ABC Ba điểm phân biệt A, B,C thẳng hàng       GA  GB  GC       AB  kAC k   MA  MB  MC  3MG   a  b   x  x ; y1  y    Cho a   x ; y  , b   x ; y  , k    k a  kx ;ky1    x  x a b   y1  y Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C   Vectơ b phương với a   x y1 AB   x B  x A ;yB  yA    x 2y2   x y2 G trọng tâm tam giác ABC Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k   x A  x B  xC yA  yB  yC xG  ;yG   MA  kMB 3       x 1x  y1y a.b a.b  a b cos a,b cos a,b     a b x 12  y12 x 22  y 22  x 1x  y1y     I trung điểm AB x  xB y y xI  A ; yI  A B 2  a  x 12  y12   a  b  x 1x  y1y2  Một số kết cần nhớ H trực tâm tam giác ABC   A, B,C lập thành tam giác AH BC         AB AC không phương BH AC  I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 IA  IB  2 IA  IC AE đường phân giác ABC  EB AB     AC EC Hệ thức lượng tam giác vuông Hệ thức lượng tam giác thường b2  c2  a cos A  a  b  c  2bc.cos A 2bc 2 a b c b c a    2R ma2   sin A sin B sinC 1 abc S ABC  a.ha  bc.sin A   pr 2 4R  p  p  a  p  b  p  c  2 a b c 2 ah  bc ; h  b.c Với ma : Đường trung tuyến xuất phát từ A : đường cao xuất phát từ A a b c p : nửa chu vi tam giác ABC 1  2 b  a.b ; c  a.c  h b c R,r : bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp Phương trình đường thẳng  x  x  at Phương trình tham số đường thẳng  qua M  x ;y  có vtcp u  a;b  là:  y  y  bt  x  x y  y0  Phương trình tắc đường thẳng  qua M  x ;y  có vtcp u  a;b  là: a b  Phương trình tổng quát đường thẳng  qua M  x ;y  có vtpt n  a;b  là: a  x  x   b y  y     Đường thẳng ax  by  c  có vtpt n a;b  có vtcp u   b;a  Công thức toán THPT Đặc biệt: Trục Ox : y  0, trục Oy : x  Cho  : a 1x  b1y  c1  0;  : a 2x  b2y  c  , M  x ; y  1    a1 b1 c1   a2 b2 c2 1    a1a2  b1b2  1    a1 b1 c1   a2 b2 c2   n1 n    cos  ,   cos n1 , n2    n1 n     1 cắt   a1 : b1 : c1  a2 : b2 : c2 d M ; 1   a1x  b1x  c1x a12  b12 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Phân giác góc tạo 1  a1x  b1y  c1 2 a b  a2x  b2y  c2 2 Công thức toán THPT Cho  : f x ;y   ax  by  c  + A, B phía với   fA fB  + A, B khác phía với   fA fB  2 a b Phương trình đường trịn  x  a   y  b  2  a b  x  y  ax  by  c  có tâm I  ;  có bán  2 2   R có tâm I a;b  có bán kính R kính R  Phương trình đường elip x y2   a  b  0; b  a  c 2 a b F1  c;0 , F2 c;0  : Các tiêu điểm F1F2  2c : Tiêu cự a  b2 c   a  b2  c  0     A1  a;0  , A2 a;0  B1  0; b  , B2  0;b  A1A2  2a : Độ dài trục lớn B1B2  2b : Độ dài trục bé Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Phương trình lượng giác   k 2 u  v  k  sin u  sin v    k    sin u  1  u    k 2 u    v  k 2 sin u   u  k cos u   u  k 2 u  v  k 2 cos u  1  u    k 2 cos u  cos v   k     u  v  k 2 cos u   u   k  tan u  tan v  u  v  k cotu  cotv  u  v  k sin u   u  Phương trình a sin2 x  b sin x  c  a sin x  b cos x  c Đặt t  sin x  1  t  1 , đưa giải phương trình bậc hai ( tương tự cos x , đặt tan,cot khơng cần điều kiện t ) Chia hai vế cho a  b sau đưa PTLG Chú ý: Phương trình có nghiệm  a  b  c Xét trường hợp + TH1: cos x   sin x  Thay vào phương trình kết luận a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d + TH2: cos x  : Chia hai vế phương trình cho cos2 x , đưa phương trình bậc hai tanx a(sin x  cos x )  b sin x cos x  c   Đặt t  sin x  cos x   t  , biểu diễn sin x cos x theo t , đưa phương trình cho bậc hai theo t Phân tích thành nhân tử đánh giá Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp Quy tắc cộng Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai Một cơng việc hồn thành hai hành động hành động Nếu hành động có m cách thực liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ hiện, hành động có n cách thực khơng ứng với cách có n cách thực trùng với cách hành động thứ hành động thứ hai có m.n cách hồn thành có m  n cách hồn thành cơng việc cơng việc Hốn vị Chỉnh hợp Tổ hợp Chọn k phần tử từ Chọn k phần tử từ n phần tử ta có số n phần tử sau Sắp xếp (đổi chỗ) n phần tử khác thứ tự chúng có cách chọn C nk có Pn  n ! cách k An cách n! n !  n n  1 C nk  n! k n  k  !k ! Quy ước: 0!  An  n  k  ! Phương trình dạng dạng khác Cho n điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng Một số kết cần nhớ Số đường thẳng qua hai điểm: C n2  Số vectơ khác nối hai điểm bất kì: An2 Số tam giác tạo thành: C n3 Nếu n điểm khơng có điểm đồng thẳng số tứ diện tạo thành: C n4 Số đường chéo đa giác: C n2  n Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Nếu khơng có đường chéo đồng quy số giao điểm đường chéo mà giao điểm nằm đa giác C n4 Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác: C n3 Cho đa giác lồi n đỉnh Số tam giác có cạnh đa giác, cạnh lại đường chéo: n n   Số tam giác có cạnh đa giác, cạnh cịn lại đường chéo: n Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác: C n3  n n    n n C n 4 Số tam giác vuông tạo thành: 4.C n2 với n chẵn; với n lẻ Cho đa giác n đỉnh Số tam giác tù tạo thành: n.C n 2 n với n chẵn; n C n2 1 với n lẻ Số tam giác nhọn  số tam giác  ( số tam giác vuông  số tam giác tù) Số hình chữ nhật: C n2 Cho đa giác 2n đỉnh n   Số tam giác vuông: 4.C n2 Số tam giác đều: n Cho đa giác 3n đỉnh n  1  3n    3n   Số tam giác cân không đều: 3n    với n chẵn; 3n    với n lẻ     Xác suất P A   n A  Hai biến cố xung khắc AB   Nếu A, B xung khắc  P A   n   P     0, P     n  A  : số phần tử biến cố A   P A   P A n    : số phần tử không gian mẫu P A  B   P A   P B  Hai biến cố độc lập việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến biến cố khác Nếu A, B độc lập P  AB   P  A  P  B  A : b/cố đối A P  A  : Xác suất biến cố A TQ: P A  B   P  A   P B   P  AB  Nhị thức Niutơn n a  b   C a n k 0 k n C n0  C n1   C nn  2n C nk  C nn k n k k b Số hạng thứ k  : Tk 1  C a C n0  C n1  C n2    1 C nn  n C nk  C nk 1  C nk 11 k n k k n b Ank  k !C nk C 20n  C 22n   C 22nn  C 21n  C 23n   C 22nn 1 Cấp số Cấp số cộng un   u n  d Cấp số nhân u n  u1   n   d S n  u1  u   un  n  u1  u n  uk   uk 1  uk 1 n 2u1  n  d  un 1  un q un  u1 q n 1 Sn  u1  u2   un  Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S  u1  u2   un   uk2  uk 1 uk 1  u1  q n q  q  1 u1 q Hàm số liên tục Hàm số y  f  x  liên tục x   lim f  x   f  x   or lim f  x   lim f  x   f  x   x  x x  x  0  x x Hàm số y  f  x  liên tục đoạn a;b  liên tục khoảng a;b  lim f  x   f a  ; lim f  x   f b  x a  x b Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Nếu hàm số khơng liên tục x x gọi điểm gián đoạn hàm số f  x  Hàm số y  f  x  liên tục a;b  f a  f b   phương trình f  x   có nghiệm thuộc khoảng a;b  Công thức đạo hàm C   u  v   u   v  Hàm thường Hàm hợp ku   k u  kx   k   x   n.x n u   n.u n 1 n      x x   x  x sin x   cos x u       cos x    sin x  tan x    tan n 1   u    u u   u u  u sin u   u .cos u    u  u v  v u    v2 v  u.v   u v  v u    cos u   u .sin u x cos2 x   tan u   cosu u  cotx    1  cot x    sin1 x  cotu    sinu u e   e a   a lna e   u .e a   u .a  lnx   x1  ln u   uu  log x   x ln a u  log u   u.ln a  2 x x x x u u u u ln a   a a Phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến có hệ số góc k , ta giải phương trình Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M x ;y  : y  f   x  x  x   y0 f   x   k  x y Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  ax  b  f   x     x y a  f   x   a  x y Tiếp tuyến qua điểm A  x ;y  có hệ số góc k Tiếp tuyến có hệ số góc k tạo với đường thẳng k a d : y  ax  b góc  :  tan   ka k  f   x  thỏa mãn hệ   f  x   k  x  x   y Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Quan hệ song song Nếu a không nằm P  song song với b nằm P  a   P  Nếu d   P  mặt phẳng Q  chứa a mà cắt P  cắt theo giao tuyến song song với a Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy, song song với Nếu P  chứa hai đường thẳng a,b cắt song song với mặt phẳng Q   P   Q  Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng P  Q  song với mặt phẳng R  cắt P  phải cắt Q  giao tuyến chúng song song với Quan hệ vuông góc Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm P  d   P  Định lí đường vng góc: Cho đường thẳng a khơng vng góc với P  đường thẳng b nằm P , điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a  a P  P   Q  P  chứa đường thẳng d d  Q  Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng lại Nếu  P   Q  A   P  đường thẳng a qua điểm A vng góc với Q  a  P  Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba Góc đường thẳng đường thẳng, mặt phẳng, góc hai mặt phẳng Góc đường thẳng a b góc đường thẳng a  b  qua qua điểm song song với a b Góc đường thẳng a P  góc a hình chiếu vng góc a  a lên P  Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Cơng thức dcm tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hình chóp S ABC có đường cao SH Khi 1 c2   d SA, BC  d m Trong đó: d  d  A, BC  m  SH đ𝑖ể𝑚 𝑐ℎâ𝑛 𝐴𝐻 𝑐= = 𝐴𝑀 đ𝑖ể𝑚 𝑐ắ𝑡 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Phép suy đồ thị: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị C  , a  y  f x  a  y  f x  a  y  f x   a Tịnh tiến C  Tịnh tiến C  Tịnh tiến C  Tịnh tiến C  sang trái a đơn vị sang phải a đơn vị lên a đơn vị xuống a đơn vị y   f x  y  f  x  Lấy đối xứng C  qua Ox Lấy đối xứng C  qua Oy   Đồ thị f x : Đồ thị f  x  : B1: Giữ nguyên phần đồ thị C  nằm bên phải B1: Giữ nguyên phần đồ thị C  nằm Ox y  f x   a B2: Lấy đối xứng phần đồ đồ thị C  nằm phía Ox qua Ox , bỏ hết phần đồ thị phía Ox Oy, bỏ hết phần đồ thị bên trái Oy B2: Lấy đối xứng phần đồ thị C  nằm bên phải Oy qua Oy Số điểm cực trị hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Số điểm cực trị hàm Số điểm cực trị Nếu hàm số y  f  x  có n điểm cực trị đồ thị số y  f x  hàm số y  f x   số điểm cực trị hàm số f  x  cộng với số nghiệm đơn phương trình f  x   2n  1, n số điểm cực trị dương hàm số f  x  hàm số y  f  x  đường thẳng y  có tối đa n  giao điểm Từ hàm số y  f x  có tối đa 2n  điểm cực trị y  f  x   ax  bx  cx  d a   C  Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị:  y   b  3ac  a  a   Hàm số đồng biến (nghịch biến)  khi:    y   a  a   Đồng biến (nghịch biến) đoạn có độ dài l khi:   x  x  l Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: y  f  x   Định lí vi-et điểm cực trị: x  x   f   x  f   x  18a 2b c x 1x  3a 3a Trong tiếp tuyến C  , tiếp tuyến điểm uốn tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ a  0, tiếp tuyến có hệ số góc lớn a  Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị x 1, x Trái dấu Cùng dấu Cùng dấu dương Cùng dấu âm y   có hai nghiệm phân biệt trái dấu y   có hai nghiệm phân biệt dấu y   có hai nghiệm phân biệt dương y   có hai nghiệm phân biệt âm nằm phía với trục Oy phương trình y   có hai Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị nằm bên phải trục Oy nằm bên trái trục Oy là phương trình y   phương trình y   có hai có hai nghiệm phân nghiệm phân biệt âm biệt dương 10 nằm khác phía so với trục Oy phương trình y   có hai nghiệm trái dấu Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT nghiệm phân biệt dấu nằm phía với trục Ox phương trình f  x   có nằm phía với trục Ox phương trình f  x   có nghiệm nghiệm nhất yU  nằm phía trục Ox phương trình f  x   có nghiệm yU  nằm khác phía với trục Ox phương trình f  x   có bao nghiệm phân biệt Chú ý: Hoành độ điểm uốn xU nghiệm phương trình đạo hàm cấp hai hàm bậc ba Phương trình bậc ba có nghiệm lập thành b d cấp số cộng có nghiệm x   cấp số nhân có nghiệm x   3a a Xác định dấu hệ số hàm số bậc ba theo thứ tự a  d  b  c a : Nhìn nhánh ngồi bên tay phải, lên a  0, xuống a  d : Quan sát giao đồ thị với Oy, cắt Oy phía d  0, cắt phía d  b c , kết hợp với dấu c : sử dụng vi-ét x 1x  , kết hợp với dấu a 3a 3a a suy dấu b suy ra dấu c Định lí vi-ét cho phương trình bậc ba y  ax  bx  cx  d b : Sử dụng vi-ét x  x   x1  x  x   b a c a y  f  x   ax  bx  c a   x 1x  x 2x  x 3x1  x 1x 2x   d a Điều kiện đề hàm số có điểm cực trị ab  0, để có cực trị ab  Hàm số có Hàm số có cực Hàm số có hai điểm cực Hàm số có điểm cực trị cực trị trị cực trị cực đại: tiểu điểm cực đại: cực tiểu hai điểm a  a  a  a  cực tiểu:  cực đại:    b  b  b  b   b   b  Giả sử đồ thị hàm số có điểm cực trị A  0;c  , B    ;  ,C   ;   điểm cực trị  2a 4a   2a 4a     , ln tạo thành tam giác cân A Gọi S diện tích ABC BAC  0 32a 3S  b  Đồ thị hàm số cắt trục hồnh bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng 9b  100ac Đồ thị hàm số cắt trục hoành tạo thành ba miền diện tích có diện tích phần diện tích phần 5b  36ac 2   2   Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC x  y     c y  c      b 4a   b 4a  Chú ý: Có thể dựa vào đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương để dễ dàng nhớ công thức ax  b y c  0,ad  bc   C  cx  d Tính chất tiếp tuyến (gọi I giao hai đường tiệm cận) Tiếp tuyến M thuộc Khoảng cách từ M tới Khoảng cách từ M tới tiệm cận ngang đồ thị hàm phân thức cắt tiệm cận đứng ad  bc tiệm cận A B d  d  cx M  d M trung điểm c cx M  d c AB 8a  b tan2 11 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Taân – THPT Nho Quan C Tổng khoảng cách ngắn từ điểm M đến hai đường tiệm cận dmin  ad  bc Công thức toán THPT Khoảng cách ngắn hai điểm P ,Q Diện tích tam giác IAB khơng đổi SIAB  ad  bc c ad  bc thuộc hai nhánh đồ thị PQmin  2 c2 c Điểm M thỏa mãn tính chất: Tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất, khoảng cách IM ngắn nhất, khoảng cách từ I đến tiếp tuyến M đại giá trị lớn nhất, tiếp tuyến M vuông góc với IM , tam giác IAB vng cân, chu vi tam giác IAB nhỏ nhất, AB nhỏ nhất, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ điểm M phải thỏa mãn tính chất IA  IB  y  x M   M , N thuộc hai nhánh khác C  cho MN nhỏ hồnh độ điểm M , N thỏa M , N thuộc hai nhánh khác C  cho tiếp tuyến C  M , N song song khoảng mãn y   Tiệm cận ngang a y  : Nếu tiệm cận c ngang nằm Ox ac  0, nằm Ox ac  cách hai tiếp tuyến lớn hồnh độ điểm M , N thỏa mãn y   Cách nhận dạng đồ thị hàm phân thức bậc nhất/ bậc d Tiệm cận đứng x   : b Giao Oy : y  Nếu giao c d Nếu tiệm cận đứng nằm điểm nằm Ox bên trái Oy cd  0, bd  0, nằm Ox nằm bên phải Oy thì bd  cd  b Giao Ox : x   a Nếu giao điểm nằm bên trái Oy ab  0, nằm bên phải Oy ab  Cho hàm số y  f  x  có giá trị lớn nhỏ D M m 0 M m   f  x    M  m  M  m max f  x   D D M m    Cơ lập m giải phương trình, bất phương trình f  x   m có nghiệm D  f  x   m  max f  x  M m  M m D D f  x   m nghiệm x  D  m  f  x  f  x   m có nghiệm D  m  max f  x  f  x   m nghiệm x  D  m  max f  x  f  x   m có nghiệm D  m  f x  D D D D Chú ý: Nếu có dấu bất phương trình ta thêm dấu điều kiện tương ứng (nên xét riêng dấu xem có xảy không) Một số ta vẽ bảng biến thiên dùng tương giao để giải Đồ thị hàm lũy thừa   : Điều kiện f  x   y   f  x      0,     : Điều kiện f  x      : Điều kiện hàm số điều kiện f  x  Đồ thị hàm số y  x  qua điểm I 1;1  12 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Đồ thị hàm số mũ y  a có tập xác định D  , tập giá trị T   0;   x Đồ thị hàm số y  a x qua điểm I  0;1  có tiệm cận ngang trục hoành Vẽ đường thẳng x  để so sánh a,b,c,d ( hình vẽ b a 1d c ) Đồ thị hàm số logarit y  loga x có tập xác định D   0;  , tập giá trị T   Đồ thị hàm số y  loga x qua điểm I 1;0  có tiệm cận đứng trục Oy Vẽ đường thẳng y  để so sánh a,b,c,d ( hình vẽ b a 1 d c  ) a a  a m Công thức mũ a , b   n m n a   a m n m Công thức logarit a ,b  0,a  1 n am  a m n n a ab  m n a a2 m  a b m log  log10 ; ln  loge loga a  loga b n  n loga b loga b  loga bc   loga b  loga c a logc b c  1 logc a loga b a  am    m b b  a n  n a m am  a n loga b    a   b b  loga    loga b  loga c c  m b loga  loga b n loga b  b  1 logb a logan b  a logb c c logb a Bài toán lãi suất Lãi đơn: Số tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn tiếp Lãi kép: Số tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Bài tốn 3: Gửi ngân hàng T đồng với lãi kép r % / tháng, hàng tháng rút t đồng, số tiền lại sau n tháng Bài toán 1: Gửi vào ngân hàng T đồng với lãi kép r % / kì hạn, số tiền nhận sau n kì hạn Tn  T 1  r %  n Bài toán 2: Hàng tháng gửi t đồng vào ngân hàng với lãi kép r % / tháng, tổng số tiền nhận sau n tháng Tn  t 1  r %  1  r %  t 1 1  r %  t 1 n Tn  T 1  r %  n Tn  T 1  r %  n r% Hết tiền Tn  Bài toán tương đương: Vay ngân hàng số tiền T đồng với lãi kép r % / tháng, hàng tháng trả t đồng Số tiền nợ sau n tháng 1  r %   n n r% Trả hết nợ Tn  r% 13 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Tính chất ngun hàm Nếu F  x  nguyên hàm f  x  F  x   f x   f x dx  F x   C  f  x dx  f x   C   f x dx   f x   kf x dx  k  f x dx k  0   f x   g x  dx   f x dx   g x dx  f u du  F u   C Nguyên hàm cần nhớ  kdx  kx  C  0dx  C n  x dx  x n 1  C n  1 n 1  x dx  ln x x n  (ax  b) dx  x x a dx  x  (ax  b) e ax C lna  cos xdx  sin x  C  sin x  cos x dx   cot x  C  cotxdx  ln sin x dx x  sin x  ln tan dx x dx  tan ax  b dx   a ln cos ax  b   C C  cot ax  b dx  a ln sin ax  b   C C dx  sin ax  b   a ln tan C  cos x   ln cot ax b  cos (ax  b)  a tan(ax  b)  C dx  tan x  C  tan xdx   ln cos x 1 dx    C a ax  b dx  eax b  C a a mx n mx n a dx  C  m lna  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C dx  sin (ax  b)   a cot(ax  b)  C C  sin xdx   cos x  C  ax  b dx  a ln ax  b  C C dx    C x e dx  e (ax  b)n 1 C a n 1 ax  b C dx  cos ax  b    a ln cot C ax  b C Nguyên hàm mở rộng dx ax  b  ax  b cx  d   ad  bc ln cx  d    dx x a dx a x 2 C    ln x  x  a  C  arcsin x C a a x dx x  arctan  C a x a x  arccos  C a a x a dx 2 a  x  a2   C  x x  a a ln x dx x a2 x a  x dx  a  x  arcsin  C 2 a dx a x  ln C 2a a  x x a Phương pháp đổi biến 14 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Thường đặt mẫu, mũ, căn, số trường khác đặt nâng cao khác sau Dấu hiệu nhận biết Cách đặt    x  a sin t,t    ;  a2  x  2 a    , t    ;  \ 0 sin t  2    x  a tan t ,t    ;   2 x x a2 a2  x a x a x a x a x x  a cos2t x  a  b  a  sin t x  a b  x  Phương pháp phần  udv  uv   vdu Một số tính chất cần nhớ ax  b A B ax  bx  c A B C      x  x1 x  x  x  x1 x  x x  x1 x  x x  x  x  x1 x  x x  x ax  bx  c x  x  x  x    f   x dx  d f x  ax  bx  c A B C   x  x  x  x 2 x  x x  x  mx  nx  p   A Bx  C  x  x1  mx  nx  p Nguyên hàm hàm ẩn   f   x   f   x  f  x    f   x     f x   f  x   Thứ tự ưu tiên đặt u : Log  đa  lượng  mũ  f  x dx  f x   C f n  x d  f  x    f   x   p  x  f x   h  x  : Nhân hai vế với e  f n 1  x  n 1 p x dx Cho y   A.y  B , y a   m, tính y b  ?  f  x  f   x    f   x  f  x    f   x        C  d f x  f x    ln f x   C p  x dx  p  x dx , đẳng thức trở thành  f  x  e   e h  x     b a b a x x  :y  y  y , CALC x  a, y  m 20 20 ấn "  " liên tục đến x  b ta giá trị y b  Chú ý: Chuyển hết f   x  f  x  sang vế phải, bậc f   x  phải bậc Một số tính chất tích phân b  f x dx  F b   F a  a a a  f  x dx  a b b a a  kf x dx  k  f x dx b  f  x dx  a a b b b a a a f  x   0, x  a;b    f  x dx  c b a a c b b a a a  b  c  f  x   g  x  , x  a;b    f  x dx   g  x dx a f  x  hàm chẵn liên tục  a;a  a b  f x dx   f x dx   f x dx   f x   g x  dx   f x dx   g x dx b b  f  x dx   f t dt  a a a a  f x dx   f x dx  2 f x dx 15 Söu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C a  f x dx  f  x  hàm lẻ liên tục  a;a  a f  x  hàm số chẵn liên tục  a;a  b b a a f x  a b a x 1 Công thức toán THPT a a  f x dx    f x dx a dx   f  x dx  f x dx   f a  b  x dx f  x  liên tục a;b  f  x  liên tục a;b  thỏa mãn f a  b  x   f  x  , x  a;b  f  x  liên tục f a  b  x    f  x  b  xf x dx  a b a b f  x dx a b  f  x dx  a f  x  liên tục 0;2a  2a a 0  f x dx    f x   f  2a  x   dx b b a a  max f ,gdx   f , g liên tục a;b  f g  f g dx , b b a a  f , gdx   f b  f  g dx b b  b Bất đẳng thức tích phân (Holder với p  q  ):   f  x  g  x dx    f  x dx  g x dx   a a  a Kỹ thuật chọn hàm tích phân b Nếu đề cho  f  x dx  C  chọn f  x   a C b a điều kiện chọn f x   ax hai điều kiện chọn f x   ax  b Nếu đề cho ba điều kiện chọn f  x   ax  bx  c điều kiện chọn f x   ax Nếu đề cho hàm lẻ có hai điều kiện chọn f  x   ax  bx điều kiện chọn f  x   ax Nếu đề cho hàm chẵn có hai điều kiện chọn f  x   ax  b Một số kĩ thuật nâng cao Điều kiện đề Phương pháp giải Nếu f  x  liên tục a;b  b b a a  f a  b  x dx   f x dx Nếu u a   a, u b   b A.f  x   B u .f u   C f a  b  x   g  x  b  f x dx  a b Nếu u a   b, u b   a b g  x dx A  B  C a a Đặt t  u t  v để giải giải phương trình hai ẩn (Nếu u  x cần đặt t  v )  f x dx  Af u   Bf v   g x  b g  x dx A  B  C a 16 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT b dx b a  2k a k  f x  f x  f a  b  x   k I  b g  f  x    x với g t  đơn điệu  Tính  f x dx , ta đặt y  f x   x  g y  a Tính diện tích hình phẳng Theo Oy Theo Ox y  f  x   Điều kiện: y  g x   x  a, x  b Điều kiện: y  f  x   Ox : y  x  a, x  b  Điều kiện: x  f y   Oy : x  y  a,y  b  b S   f  x   g  x  dx b S   f  x  dx a a Tính thể tích khối trịn xoay y  f  x   Điều kiện: y  g x   x  a, x  b Điều kiện: y  f  x   Ox : y  x  a, x  b  Điều kiện: x  f y   Oy : x  y  a,y  b  b VOx    f  x dx a  f y   g y  dy S   f y  dy a Theo Ox b b b a x  f y   Điều kiện: x  g y   y  a,y  b VOx    f  x   g  x  dx b a  f x , g x      x  a;b   VOy    f y dy a Theo Oy x  f y   Điều kiện: x  g y   y  a,y  b b VOy    f y   g y  dy a  f y ,g y      y  a;b   b Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S  x  : V   S  x  dx a Một số công thức tính nhanh Đường thẳng y  n cắt đường cong y  ax  bx  c điểm phân biệt hình phẳng giới hạn hai đường gồm phần phía phần phía đường thẳng có diện tích 5b  36a c  n  Đường thẳng y  mx  n cắt đường cong y  ax  bx  cx  d ba điểm phân biệt hình phẳng giới hạn bới hai đường gồm phần phía phía đường thẳng có diện tích chi điểm uốn đường cong bậc ba thuộc đường thẳng y  mx  n 17 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  mx  n parabol y  ax  bx  c     b  m   4a c  n      S    36a  36a      Trong đó:  phương trình hồnh độ ( Tức phương trình ax  bx  c  mx  n ) Số phức z  a  bi a ,b    z số thực  b  z số ảo  a  Số vừa số thực vừa số ảo Tính chất số phức : z  a  bi, z   a   b i a : Phần thực, b : phần ảo, i : đơn vị ảo, i  1 a  a  z  z   b  b M a;b  điểm biểu diễn số phức z z  a  bi : số phức liên hợp z z  a  b2 z số thực  z  z z số ảo  z  z z z ; z 1z  z1 z z1  z  z1  z z  z z z1 z1  z2 z2  z1   z2 z z  a  b z1z  z1 z  z1    z2 z1  z  z1  z  z1  z Dạng lượng giác số phức z  r  cos   i sin   r   dạng lượng giác z  a  bi a b  : acgumen z ,   Ox ,OM  r  a  b , cos   , sin   r r z r1  cos 1  2   i sin 1  2   z r2  z1  r1  cos 1  i sin 1  , z  r2  cos 2  i sin 2  z 1z  r1r2  cos 1  2   i sin 1  2  r  cos   i sin     r n  cos n  i sin n    Một số đẳng thức mođun quan trọng n 2   mz1  nz  m z1  n2 z  mn z1 z  z1z với m,n    2 z  z  z  z  z1  z z1  z  z2 z1 z  z1 z2 z 2   z1 z  z1z  2OM 1OM 2 với z , z  z  z1  z  z 2  z1  z z z  2 z   2       Các cơng thức thể tích Thể tích chóp V  Bh Thể tích chóp cụt V  h B  B   B B  Công thức tính nhanh thể tích khối chóp đặc biệt Nhận dạng Cơng thức tính nhanh Tứ diện cạnh a Thể tích lăng trụ V  Bh a3 V 12 18   Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Taân – THPT Nho Quan C Tứ diện gần có độ dài cạnh đối a,b,c V Chóp có ba mặt phẳng SAB  , SAC  , SBC  đơi vng góc có diện tích Công thức toán THPT a 2    b2  c b2  c  a a  c  b2  2S1 S S V S1 , S , S Tứ diện ABCD có S ABC  S1 , S ABD  S ,  AB  a  ABC  ,  ABD    V Tứ diện ABCD có AB  a,CD  b  d  AB,CD   d ;  AB,CD    V  abd sin  Chóp S ABC có SA  a, SB  b, SC  c    , ASC   SAB , SAC   , ASB V abc sin .sin  sin  Chóp S ABC có SA  a, SB  b, SC  c   , BSC   ,CSA   ASB V abc  2cos .cos  cos   cos2   cos2   cos2      Chóp S ABC có BC  a,CA  b, AB  c  SBC , ABC   ,  SAC , ABC       SAB , ABC      Chóp tam giác S ABC  V 2S1 S2 sin  3a 2S ABC a.cot   b.cot   c.cot   Tỉ số thể tích M , N , P thuộc SA, SB, SC : VS MNP VS ABC  SM SN SP SA SB SC M , N , P ,Q thuộc SA,SB,SC , SD Chóp tứ giác S ABCD Có ABCD hình bình hành VS MNPQ VS ABCD  x y z t 4xyzt SA SB SC SD ;y  ;z  ;t  x  z  y  t SM SN SP SQ Thể tích tứ diện tạo đỉnh khơng đồng phẳng V Thể tích chóp tứ giác tạo thành từ đỉnh lăng 2V trụ Gọi M , N , P thuộc AA, BB ,CC  với x  Lăng trụ tam giác ABC AB C  thể tích V VABC MNP VABC AB C  với x  Hình hộp ABCD.AB C D  tích V  x y z AM BN CP ;y  ;z  AA BB  CC  Thể tích tứ diện tạo đỉnh khơng đồng phẳng V Thể tích tứ diện tạo đường chéo mặt V phẳng đối diện hình hộp 19 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Gọi M , N , P ,Q thuộc AA, BB ,CC , DD  Khi VABCD MNPQ VABCD AB C D   x y z t AM BN CP DQ ,y  ,z  ,t  x  z  y  t AA BB  CC  DD  Nón – Trụ – Cầu Nón cụt Trụ Cầu R,r : bán kính đáy lớn Sxq  2rl với l  h đáy nhỏ S  4r với x  Nón l  r  h2 Sxq  rl S  r l  r V  r 2h S xp  rl  R  r  mc S  2rl  2r  Stp   R  r  l R  r   V  r 2h Với AB ,CD hai đường hai đáy V  h R  r  Rr VABCD  AB CD OO .sin  AB,CD  Các vật thể trịn xoay khơng gian  V  r  S xq  2Rh   r  h Chỏm cầu   h  h V  h  R    h  3r    S xq  R h1  h2  Hình trụ cụt h h  V  R     Hình nêm loại V  R tan  Hình nêm loại  2 V     R tan   3 S  Rh 3 S1  a   x    S  R   h V  R 2h Parabol S  ab Elip 20      Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Vquay quanh 2a  ab Vquay quanh 2b  a 2b Diện tích hình vành khăn S   R2  r  Hình xuyến  Thể tích hình phao 2 V   R  r  R  r  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp  Rc  nội tiếp  rc  hình chóp, lăng trụ Hình lập phương có cạnh x : Rc  x x  y2  z2 Hình hộp chữ nhật có kích thước x , y, z : Rc  h  Chóp có chiều cao h có cạnh bên vng góc với đáy thì: Rc  R    2 2 d Chóp có chiều cao h, cạnh bên l thì: Rc  l2 2h  giao tuyen  Chóp có mặt bên vng góc với đáy thì: Rc  Rd2  Rb2      Rd , Rb bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy mặt bên (mặt vng góc với đáy) Tổng qt: chóp có chân đường cao H , I tâm đường trịn ngoại tiếp đáy, gọi IH  d  h  d  Rd2  Rc  R     2h   2 d Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều: Rc  cạnh Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều: Rc  2 2 a b c mặt cầu nội tiếp tứ diện gần đều: rc  cạnh Mặt cầu nội tiếp hình chóp: rc  3V  Sm 12 Trong đó: S m : tổng diện tích tất mặt chóp Cách tính Rd Nếu đáy tam giác vng Rd  cạnh huyền Nếu đáy tam giác Rd  cạnh 3 Nếu đáy hình vng hình chữ nhật Rd  đường chéo 21 Nếu đáy tam giác thường áp dụng hai cơng thức abc  p  p  a  p  b  p  c  4R a b c    2R sin A sin B sinC Söu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT Tọa độ điểm vec tơ Hệ tọa độ không gian gồm ba trục Ox , Oy, Oz đôi vuông góc với vec-tơ đơn vị tương ứng    ba trục i  1;0;0 , j   0;1;0 ,k   0;0;1     u   x ; y; z  u   x ;y; z   u  x  y  z AB   x B  x A ;yB  yA ; z B  z A       u  x i  y j  z k ABCD hình bình   hành  AB  DC I trung điểm AB  x  x B yA  yB z A  z B  I A ; ;  2   G trọng tâm ABC  x  x B  xC yA  yB  yC z A  z B  zC  G A ; ;  3     Cho u   x ; y1 ; z  , v   x ; y ; z              u v  x 1x  y1y  z 1z u v  u v cos u, v u, v   u v sin u, v      u  v  u.v            w  u, w  v  w  u , v    y z z x x y    1 u,v    1 ; u, v, w đồng phẳng ;      y z z x x y     2  u v phương  2  u, v  w        y1z  y2z1 ;z 1x  z 2x ; x 1y2  x 2y1   u, v           A, B ,C , D bốn đỉnh tứ diện  AB, AC , AD không đồng phẳng  AB, AC  AD    Diện tích, thể tích số hình Diện tích hình bình Diện tích tam giác Thể tích tứ diện Thể tích khối hộp hành      1        AB, AD  AA V V  S ABC  AB, AC   AB, AC AD ABCD AB C D  ABCD S ABCD  AB, AD      2 6   Phương trình mặt cầu x  y  z  ax  by  cz  d       a b c  ; ; ,  2 2 2  x  a   y  b    z  c   R  Tâm I a;b;c , bán kính R Mặt phẳng qua M  x ; y ; z   Tâm I   a  b2  c  a  b2  c d  d  0 4   Phương trình mặt phẳng  Phương trình mặt chắn: Mặt phẳng    qua có vtpt n  A;B;C R  A x  x   B y  y   C z  z    P : Ax  By  Cz  D  có vtpt nP    A; B;C     A a;0;0 , B  0;b;0  ,C  0;0;c  có phương trình x y z    abc   a b c Vậy để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm vtpt điểm thuộc mặt phẳng (một cặp vtcp mặt phẳng tạo thành vtpt việc lấy tích có hướng) Oxy  : z  Oxz  : y  Oyz  : x  Các phương trình mặt phẳng đặc biệt Vị trí tương đối: Cho    : Ax  By  Cz  D      : Ax  B y  C z  D   22 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C       AA  BB  CC  DD   cắt   A : B :C  A : B  :C  Khoảng cách từ điểm M  x ; y ; z  0   d M ;   Công thức toán THPT       AA  BB  CC  DD        AA  BB   CC   đến mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  Ax  By0  Cz  D A2  B  C  Phương trình đường thẳng  qua điểm M  x ; y ; z  có vtcp u  a ;b;c  x  x  at  Có phương trình tham số  : y  y  bt t    z  z  ct  Có phương trình tắc x  x y  y0 z  z :   abc  0 a b c Vậy để viết phương trình đường thẳng ta cần tìm vtcp điểm thuộc đường thẳng   Vị trí tương đối: Đường thẳng d1 qua điểm M có vtcp u1 , d2 qua điểm M có vtcp u       d1 d2 đồng phẳng  u1 , u  M 1M  d1 chéo d  u1 , u  M 1M             u , u    u , u       d1 cắt d2      d1  d       u1 , u2  M 1M   u1 , M 1M         Khoảng cách, góc: M   , M   , u1 , u hai vtcp  ,       u , u  M M MM , u  1  2  d  1 ,    d  M , 1      u , u  u1  2     nP  n Q  u1 u     cos  1 ,    cos u1 , u    cos  P , Q   cos nP  , nQ     u1 u nP  n Q    u  n P    sin ,  P   cos u  , n P     u  nP            Hình chiếu vng góc, điểm đối xứng đặc biệt Oxy  H x ;y ;0 Oxz  H x ;0;z  Oyz  H  0;y ;z  Ox H  x ;0;0  Oy H  0;y ;0  Oz H  0;0;z  Oxy  M  x ;y ; z  Oxz  M  x ; y ;z  Oyz  M   x ;y ;z  Ox M   x ; y ; z  Oy M   x ;y ; z  Oz M   x ; y ; z  Hình chiếu vng góc điểm M  x ;y0 ; z  lên 0 0 Nhớ nhanh: Khuyết vị trí vị trí 0 0 0 Điểm đối xứng với M  x ;y0 ; z  qua 0 0 0 0 0 0 0 Nhớ nhanh: Khuyết vị trí vị trí đối Một số công thức giải nhanh ( a , b,c độ dài cạnh tam giác ABC ) 23 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT   HA.BC      Tọa độ trực tâm H tam giác ABC nghiệm hệ: HB.AC         AB, AC  AH   IA  IB  Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nghiệm hệ: IA  IC        AB, AC  IA     Tọa độ chân đường phân giác D góc A thỏa mãn đẳng thức: b.DB  c.DC     Tọa độ chân đường phân giác ngồi E góc A thỏa mãn đẳng thức: b.EB  cEC      Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức: a.IA  b.IB  c.IC  Tọa độ hình chiếu vng góc H A lên  P  : ax  by  cz  d  H at  x A ;bt  yA ;ct  z A  với t   ax A  byA  cz A  d a  b2  c M trọng tâm ABC a  3x M ,b  3y M ,c  3z M   M trực tâm tam giác ABC OM  n P  P  qua M cắt trục tọa độ A a;0;0 , B  0;b;0 ,C  0;0;c  (phương trình mặt chắn) VO ABC nhỏ M trọng tâm ABC 1    nhỏ M trực tâm ABC 2 OA OB OC a b c  Tâm mặt cầu ngoại tiếp O ABC I  ; ;  2 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp O ABC RC  Cực trị hình học Oxyz      Viết P  chứa d1 thỏa mãn d2 , P  lớn thì: nP   u1 , u1 , u2             Viết d1 chứa P  cho d1 ,d2  nhỏ thì: u1  nP  , n P  , u2        Viết P  chứa d1 cho 2 a b c      P , Q   nhỏ thì: n   u , u ,n     P 1 Q     Viết d nằm P  qua A cho d  M ,d  nhỏ thì: ud  nP  , nP  , AM           Viết P  chứa d cho d M ,  P  lớn thì: nP   ud , ud , AM   với điểm A thuộc d       Viết d nằm P  qua A cho d  M ,d  lớn thì: ud  n P  , AM        Tâm tỉ cự: Điểm I thỏa mãn: a1 IA1  a2 IA2   an IAn  đgl tâm tỉ cự hệ điểm A1 , A2 , , An  Khi đó: x I   a1x A  a2x A   an x A a1  a2   an n , yI  a1yA  a2y A   an yA a1  a2   an n , zI  a1z A  a2z A   an z A a1  a2   an Cuốn công thức của:……………………………………………………………… Giáo viên: Nguyễn Thanh Tân 24 n ... thường áp dụng hai công thức abc  p  p  a  p  b  p  c  4R a b c    2R sin A sin B sinC Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toaùn THPT Tọa độ điểm vec... Khuyết vị trí vị trí đối Một số cơng thức giải nhanh ( a , b,c độ dài cạnh tam giác ABC ) 23 Sưu tầm biên soạn : Nguyễn Thanh Tân – THPT Nho Quan C Công thức toán THPT   HA.BC    ... Phương trình tổng quát đường thẳng  qua M  x ;y  có vtpt n  a;b  là: a  x  x   b y  y     Đường thẳng ax  by  c  có vtpt n a;b  có vtcp u   b;a  Công thức toán THPT Đặc